【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：5.4三角函数的图象与性质 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第二课时） 含解析【高考】.docx，共(13)页，387.455 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-86a3dc3bba675ffd47717ee4ae925d21.html

以下为本文档部分文字说明：

-1-第五章三角函数5.4三角函数图象与性质5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)必备知识·探新知基础知识知识点1正弦、余弦函数的最值正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的__定义域_都是实数集R，__值

域___都是[－1,1]．对于正弦函数y＝sinx，x∈R有：当且仅当x＝2＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝－2＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.对于余弦函数y＝cosx，x∈R有：当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最

小值－1.思考1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？(2)从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？提示：(1)正弦、余弦函数的定义域为R，值域为[－1,1]．(2)正弦

、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方．知识点2正弦、余弦函数的单调性(1)正弦函数y＝sinx的增区间为[2kπ－2，2kπ＋2](k∈Z)；减区间为[2kπ＋2，2kπ＋32](k∈Z)．(2)余弦函数y＝c

osx的增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．思考2：(1)正弦函数在[－2，32]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？-2-(2)余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提

示：(1)观察图象可知：当x∈[－2，2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；当x∈[2，32]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x∈[－2＋2kπ，2＋2kπ](k∈Z

)时，正弦函数y＝sinx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2＋2kπ，32＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是减函数，函数值由1减小到－1.(2)观察图象可知：当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，

是增函数，cosx的值由－1增大到1；当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦

函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.基础自测1．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是(C)A．[0，π]B．[2，32]C．[－2，2]D．[π，2π]2．下列函数中在(,)2上是增函数的是(D)A．y＝sinxB．y＝cosx

C．y＝sin2xD．y＝cos2x-3-【解析】y＝sinx在(,)2上是减函数，不满足条件．y＝cosx在(,)2上是减函数，不满足条件．y＝sin2x的周期是π，在(,)2上不单调，不满足条件．y＝cos2x的周期是π，在(,)2上是增函数，满足

条件．3．函数y＝3sin()4x−的一个单调递减区间为(B)A．[,]22−B．3[,]44−C．37[,]44D．3[.]44−【解析】y＝3sin()4x−＝－3sin()4x−，检验各选项可知，只有B项所给区间是单调递减区间，故选B．4．函数y

＝2－sinx取得最大值时x的值为_____2______________.【解析】∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝2kπ－2(k∈Z)．5．函数y＝sinx(6≤x≤43)的值域为___

__3[,1]2−__________.关键能力·攻重难题型探究题型一三角函数的单调区间【例1】求下列函数的单调递减区间：(1)y＝12cos(2x＋3)；(2)y＝3sin6－3x)．【分析】(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x

的系数转化为正数再求单调区间．【解析】(1)令z＝2x＋3，而函数y＝cosz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．∴当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－6≤x≤kπ＋3(k∈Z)．∴原函数的单调递减区间是[kπ－6，kπ

＋3](k∈Z)．-4-(2)y＝3sin(6－3x)＝－3sin(3x－6)．令z＝3x－6，则y＝－3sinz，由y＝－3sinz的单调递减区间，即为y＝sinz的单调递增区间．∴－2＋2kπ≤z≤2＋2kπ，k∈Z.即－2＋2kπ≤3x－6≤2＋2kπ，k∈Z.

解得－9＋23k≤x≤23k＋29，k∈Z.所以原函数的单调减区间为[－9＋23k，29＋23k]，k∈Z.【归纳提升】与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧：(1)结合正弦、余弦函数的图象，

熟记它们的单调区间．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．【变式训练1】求下列函数的单调区间

：(1)函数y＝sin(x＋4)的单调增区间；(2)函数y＝3sin(3－2x)的单调减区间．【解析】(1)∵函数y＝sinx在[－2＋2kπ，2＋2kπ](k∈Z)上是增函数，∴函数y＝sin(x＋4)为增函数，当且仅当－2＋2kπ≤x＋4≤2＋2kπ时，即－34

＋2kπ≤x≤4＋2kπ(k∈Z)．∴函数y＝sin(x＋4)的单调增区间为：[－34＋2kπ，4＋2kπ](k∈Z)．(2)令u＝3－2x，则u是x的减函数．∵y＝sinu在[－2＋2kπ，2＋2kπ](k∈Z)上

为增函数，∴原函数y＝3sin(3－2x)在区间[－2＋2kπ，2＋2kπ](k∈Z)上递减，∴－2＋2kπ≤3－2x≤2＋2kπ，即－12＋kπ≤x≤512＋kπ(k∈Z)．∴原函数y

＝3sin(3－2x)的单调减区间为：[－12＋kπ，512＋kπ](k∈Z)．题型二三角函数单调性的应用【例2】比较下列各组值的大小：-5-(1)sin215与sin425；(2)sin15

与cos5.【分析】比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．【解析】(1)sin215＝sin(4π＋5)＝sin5，sin425＝sin(8π＋25)＝sin25.∵y＝sinx在

[0，2]上单调递增，又0<5<25<2，∴sin5<sin25，∴sin215<sin425.(2)∵cos5＝cos(2π－5)，sin15＝cos(2－15)，∵y＝cosx在[0，2]上递减，又∵0<2π－5<2－15<2

，∴cos(2π－5)>cos(2－15)，∴cos5>sin15.【归纳提升】比较三角函数值大小的步骤：(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．【变式训练2】

比较下列各组数的大小：(1)sin194°与cos160°；(2)sin3(sin)8与sin3(cos)8.【解析】(1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－si

n70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°，从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.(2)∵cos38＝sin8，∴0<cos38<sin38<1.而y＝sinx在(0,1)内递增，∴sin3(cos)8<sin3(s

in)8.误区警示忽略函数的定义域而致错【例3】已知定义在[0，π]上的函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝3时取得最小值，-6-求f(x)在[0，π]上的单调递增区间．【错解】∵函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝3时取得最小

值，∴cos(3＋θ)＝－1，∴3＋θ＝π＋2kπ，k∈Z.又∵0<θ<π，∴θ＝23，故f(x)＝cos(x＋23)．令－π＋2kπ≤x＋23≤2kπ，k∈Z，得－53＋2kπ≤x≤－23＋2kπ，k∈Z.∴f(x)

的单调递增区间是[－53＋2kπ，－23＋2kπ]，k∈Z.【错因分析】造成错解的原因是忽略了函数定义域的限制，从而扩大了单调区间．【正解】∵函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝3时取得最小值，∴cos(3＋θ)＝－1，

∴3＋θ＝π＋2kπ，k∈Z.又∵0<θ<π，∴θ＝23，故f(x)＝cos(x＋23)．令－π＋2kπ≤x＋23≤2kπ，k∈Z，得－53＋2kπ≤x≤－23＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是[

3，π]．【方法点拨】解决与三角函数有关的函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题．学科素养与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．2．对于形如y＝Asin(ωx＋

φ)＋k(A，ω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换

元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．4．求形如y＝sinsinaxbcxd++，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦

函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.【例4】(1)求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值：②y＝2sinx－1；②y＝－sin2x＋2sinx＋34.(2)求下列函数的值域：①y＝2sin(2x

－3)，x∈[3，34]；-7-②y＝sin2sin1xx−+.【分析】(1)①先确定sinx的最值再求y的最值；②换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求y的最值．(2)①利用y＝sinx的图象求解；②利用分离常数法或|sinx|≤1

求解．【解析】(1)①由－1≤sinx≤1知，当x＝2kπ＋2，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最大值，ymax＝1；当x＝2kπ＋32，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最小值，ymin＝－3.②y＝－si

n2x＋2sinx＋34＝－(sinx－22)2＋54，因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝22，即x＝2kπ＋4或x＝2kπ＋34(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝54；当sinx＝－1，即x＝2kπ＋32(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－1

4－2.(2)①∵x∈[3，34]，∴2x∈[23，32]，∴2x－3∈[3，76]，由y＝sint的图象(如图所示)可得sin(2x－3)∈[－12，1]，则2sin(2x－3)∈[－1,2]，即y＝2sin(2x－3

)，x∈[3，34]的值域为[－1,2]．②方法一：y＝sin2sin1xx−+＝sin13sin1xx+−+＝1－3sin1x+.当sinx＝1时，ymax＝－12，由题易得该函数的值域为(－∞，－12]．方法二：由y＝sin2

sin1xx−+，得(sinx＋1)y＝sinx－2，-8-即(1－y)sinx＝y＋2，显然y≠1，∴sinx＝21yy+−.∵－1<sinx≤1，∴－1<21yy+−≤1，解得y≤－12，即值域为(－∞，－12]．素养

作业·提技能A组素养自测一、选择题1．y＝2sinx2的值域是(A)A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．R【解析】∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，∴y＝2sinx2∈[－2,2]．2．函数y＝4sin(π6x－π6)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(D)A．0B．

－3C．－2－3D．4－23【解析】∵0≤x≤9，∴－π6≤π6x－π6≤4π3，∴sin(π6x－π6)∈[－32，1]，所以函数的值域为[－23，4]，故最大值与最小值之和为4－23，故选D．3．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是(C)A．－π

4，π4B．π4，3π4C．π，3π2D．3π2，2π【解析】画出y＝|sinx|的图象即可求解．故选C．4．已知函数f(x)＝－cosx，下列结论错误的是(D)A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间[0，π2]上是

增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数【解析】本题考查余弦函数的性质．∵f(x)＝－cosx的图象即为函数f(x)＝cosx的图象绕x轴翻折而成的，∴A，B，C均正确，函

数f(x)应是偶函数，故选D．5．三个数cos32，sin110，－cos74的大小关系是(C)A．cos32>sin110>－cos74B．cos32>－cos74>sin110-9-C．cos32<sin110<－cos74D．－cos74<cos32>sin110【解析】sin110

＝cos(π2－110)，－cos74＝cos(π－74)．∵π>32>π2－110>π－74>0，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，∴cos32<cos(π2－110)<cos(π－74)，即cos32<sin110<－cos74.6．函数y＝－cos

x2－π3的单调递增区间是(D)A．2kπ－43π，2kπ＋23π(k∈Z)B．4kπ－43π，4kπ＋23π(k∈Z)C．2kπ＋23π，2kπ＋83π(k∈Z)D．4kπ＋2

3π，4kπ＋83π(k∈Z)【解析】函数y＝－cosx2－π3的单调递增区间即为函数y＝cosx2－π3的单调递减区间．由2kπ≤x2－π3≤π＋2kπ，k∈Z，得23π＋4kπ≤x≤8

π3＋4kπ，k∈Z.故选D．二、填空题7．函数y＝sinx，x∈[－π3，2π3]的值域为__[－32，1]__.【解析】y＝sinx在[－π3，π2]上为增函数，在[π2，2π3]上为减函数，当x＝－π3时，y＝sinx有

最小值－32，当x＝π2时，y＝sinx有最大值1，所以值域为[－32，1]．8．已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(2015)＝7，则f(－2015)＝__－5__.【解析】由f(2015)＝2015a＋bsin2015＋1＝7，得2015a

＋bsin2015＝6，∴f(－2015)＝－2015a－bsin2015＋1＝－(2015a＋bsin2015)＋1＝－6＋1＝－5.9．函数y＝2＋cosx2－cosx的最大值为__3__.【解析】由y＝2＋cosx2－cosx，得y(2－cosx

)＝2＋cosx，即cosx＝2y－2y＋1(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤2y－2y＋1≤1，解得13≤y≤3，所以函数y＝2＋cosx2－cosx的最大值为3.三、解答题10．求下列函数的单调区间．(1)y＝cos2

x；(2)y＝2sinπ4－x.【解析】(1)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①-10-2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②解①得，kπ－π2≤x≤kπ(k∈Z)，解②得，kπ≤x≤kπ＋π2(k∈Z

)．故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为kπ－π2，kπ(k∈Z)、kπ，kπ＋π2(k∈Z)．(2)y＝2sinπ4－x化为y＝－2sinx－π4.∵y＝sinu(u∈R)

的单调增、单调减区间分别为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．∴函数y＝－2sinx－π4的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)①2kπ－π2≤x－π4≤2k

π＋π2(k∈Z)②解①得，2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，解②得，2kπ－π4≤x≤2kπ＋3π4(k∈Z)．故函数y＝2sinπ4－x的单调增区间、单调减区间分别为2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)、2kπ

－π4，2kπ＋3π4(k∈Z)．11．求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．(1)y＝－sin2x＋3sinx＋54；(2)y＝cos2x－sinx，x∈[－π4，π4]．【解析】(1)y＝－sin2x＋3sinx＋54＝－(sin

x－32)2＋2.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝32，即x＝2kπ＋π3(k∈Z)或x＝2kπ＋2π3(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；当sinx＝－1，即x＝2kπ＋3π2(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝14－3.(2)y＝cos2x－si

nx＝1－sin2x－sinx＝－(sinx＋12)2＋54.因为－π4≤x≤π4，所以－22≤sinx≤22，所以当sinx＝－12，即x＝－π6时，函数取得最大值，ymax＝54；当sinx＝22，即x＝π4时，函数取得最小值，ymin＝12－22.-11-B组素养提升一、选择

题1．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是(A)A．y＝sin(2x＋π2)B．y＝cos(2x＋π2)C．y＝sin(x＋π2)D．y＝cos(x＋π2)【解析】C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cos

(2x＋π2)＝－sin2x，该函数在[π4，π2]上为增函数，不合题意；A项中y＝sin(2x＋π2)＝cos2x，该函数符合题意，选A．2．已知函数f(x)＝x2＋1，x>0，cosx，x≤0，则下列

结论正确的是(D)A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)【解析】因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A

；函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，D正确．3．(多选题)关于x的函数f(x)＝2si

n(φx＋φ)，则下列命题正确的是(BD)A．∀φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)B．∃φ∈R，f(x＋1)＝f(x)C．∀φ∈R，f(x)都不是偶函数D．∃φ∈R，f(x)是奇函数【解析】A错误，若命题f(x＋2π)＝2sin[φ·(x＋2π)＋φ]＝2sin(φx＋φ)成立，则φ必

须为整数，所以A是假命题；B正确，当φ＝2π时，函数f(x)＝2sin(φx＋φ)满足f(x＋1)＝2sin(2πx＋2π＋φ)＝2sin(2πx＋φ)＝f(x)，所以B是真命题；C错误，当φ＝π2时，f(x)＝2cosπ2x满足f(－x)＝2cos(－π2

x)＝2cosπ2x＝f(x)，所以存在实数φ使得函数为偶函数，所以C是假命题；D正确，当φ＝2π时，f(x)＝2·sin2πx满足f(－x)＝2sin(－2πx)＝－2·sin2πx＝－f(x)，所以存在实数φ使得函数为奇函数，所以D是真命题，故选BD．4．(多选题)已知函数f(x)＝cos(2

x－π6)，下列结论正确的是(CD)A．函数f(x)是周期为π的偶函数B．函数f(x)在区间[π12，5π12]上是增函数C．若函数f(x)的定义域为(0，π2)，则值域为(－32，1]D．函数f(x)的图象与g(x)＝－sin(2x

－2π3)的图象重合【解析】A错，函数f(x)是周期为π的函数，但不是偶函数；B错，x∈[π12，5π12]时，2x－π6∈[0，2π3]⊆[0，π]，所以函数f(x)在区间[π12，5π12]上是减函数；

C正确，若函数f(x)-12-的定义域为(0，π2)，则2x－π6∈(－π6，5π6)，其值域为(－32，1]；D正确，g(x)＝－sin(2x－2π3)＝－sin(－π2＋2x－π6)＝sin[π2－(2x－π6)]＝cos(2x－π6)，故D正确，故选CD．二、填空题5．y＝sinx的定义域为

__[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)__，单调递增区间为__[2kπ，2kπ＋π2]，k∈Z__.【解析】∵sinx≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝sinx在[0，π2]上单调递增．∴其递增区间为：[2kπ，2kπ＋π2]，k∈Z.6．(201

9·江苏镇江高一期末)已知函数f(x)＝2ksinx＋3，若对任意x∈[－π6，π6]都有f(x)≥0恒成立，则实数k的取值范围为__[－3,3]__.【解析】由x∈[－π6，π6]得sinx∈[－12，12]．当k≥0时，－k＋3≤2ksinx

＋3≤k＋3，由f(x)≥0得－k＋3≥0，解得0≤k≤3；当k<0时，k＋3≤2ksinx＋3≤－k＋3，由f(x)≥0得k＋3≥0，解得－3≤k<0.综上所述，k的取值范围是[－3,3]．7．(2019·湖北高三调

研)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－π3，2π3]上是增函数，其在区间[0，π]上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是__[12，34]__.【解析】由函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－π3，2π3]上是增函数，得T4≥2π3，即2π4ω≥2

π3，解得ω≤34.当x∈[0，π]时，ωx∈[0，ωπ]，又函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以π2≤ωπ<52π，12≤ω<52.综上，12≤ω≤34.三、解答题8．已知函数y＝sin(π3－2x)．(1)求函数的周期；(2)求函数在

[－π，0]上的单调递减区间．【解析】y＝sin(π3－2x)可化为y＝－sin(2x－π3)．(1)周期T＝2πω＝2π2＝π.(2)令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，所以x∈R时，y＝sin(π3－

2x)的单调递减区间为[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z.从而x∈[－π，0]时，y＝sin(π3－2x)的单调递减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]．-13-9．已知函数f(x)＝2a

sin(2x＋π6)＋a＋b的定义域为[0，π2]，值域是[－5,1]，求a、b的值．【解析】∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6.∴－12≤sin(2x＋π6)≤1.∴a>0时，b＝－5，3

a＋b＝1，解得a＝2，b＝－5.a<0时，b＝1，3a＋b＝－5，解得a＝－2，b＝1.综上，a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.