【文档说明】湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试 数学 Word版含解析.docx，共(9)页，740.619 KB，由小赞的店铺上传

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雅礼教育集团2024年下学期期中考试试卷高一数学时量：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2}A=，{,}BxyxAyA=，则集合

B中元素的个数为（）A.4B.3C.2D.12.设,abR，则“ab=”是“22ab=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“aR，210ax+=有实数解”的否定是（）A.aR，210ax+有实数解B.aR，210ax+=无实数解

C.aR，210ax+=无实数解D.aR，210ax+有实数解4.已知集合{1,2}M=，{1,2,4}N=，给出下列四个对应关系：①1yx=，②1yx=+，③yx=，④2yx=，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A.①②

B.①③C.②④D.③④5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）A.B.C.D.6.若0a，0b，且4ab+=，则下列不等式恒

成立的是（）A.02aB.111ab+C.2abD.228ab+7.已知定义在R上的奇函数()fx在(,0)−上单调递减，且(2)0f=，则满足()0xfx的x的取值范围是（）A.(,2)(2,)−−+B.(

0,2)(2,)+C.(2,0)(2,)−+D.(,2)(0,2)−−8.若函数2(21)2(0)()(2)1(0)bxbxfxxbxx−+−=−+−−，为在R上的单调增函数，则实数b

的取值范围为（）A.1,22B.1,2+C.1,2D.[2,)+二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()bfxxx=+，下列说法正确的是（）A.若1

b=，则函数()fx的最小值为2B.若1b=，则函数()fx在(1,)+上单调递增C.若1b=−，则函数()fx的值域为RD.若1b=−，则函数()fx是奇函数10.已知二次函数2yaxbxc=++（a，b，c为常数，且0

a）的部分图象如图所示，则（）A.0abcB.0ab+C.0abc++D.不等式20cxbxa−+的解集为112xx−11.定义在R上的函数()fx满足()()()fxfyfxy+=+，当0x时，()0f

x.则下列说法正确的是（）A.(0)0f=B.()fx为奇函数C.()fx在区间,mn上有最大值()fnD.()2(21)20fxfx−+−的解集为{31}xx−三、填空题，本题共3小题，每小题5分

，共15分.12.若36a，12b，则ab−的范围为________.13.定义在R上的函数()fx满足：①()fx为偶函数；②()fx在(0,)+上单调递减；③(0)1f=，请写出一个满足条件的函数()fx=________.14.对于一个由整数组成的集合A，A中所有元

素之和称为A的“小和数”，A的所有非空子集的“小和数”之和称为A的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B=−，则B的“小和数”为________，B的“大和数”为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知

集合{3}Axaxa=+，集合{1Bxx=−或5}x，全集RU=.（1）若AB=，求实数a的取值范围；（2）若命题“xA，xB”是真命题，求实数a的取值范围.16.（15分）已知幂函数()2()253mfxmmx=−+是定义在R上的偶函数.（1）

求()fx的解析式；（2）在区间1,4上，()2fxkx−恒成立，求实数k的取值范围.17.（15分）已知关于x的不等式(2)[(31)]0mxxm−−−.（1）当2m=时，求关于x的不等式的解集；（2）当mR时，求关于x的不等式的解集.18.（17分）

为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分

打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x元，实际支付金额为y元.（1）求y关于x的函数解析式；（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a、b元，且a、b满足关系式45085baa=++−320(90

)a，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额−甲乙拼单后实际支付的总额

）19.（17分）经过函数性质的学习，我们知道：“函数()yfx=的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()yfx=是奇函数”.（1）若()fx为定义在R上的奇函数，且当0x时，2()1fxx=+，求()fx的解析式；（2）某数学学习小组

针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()yfx=的图象关于点(,0)a成中心对称图形”的充要条件是“()yfxa=+为奇函数”.若定义域为R的函数()gx的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且当1x时，1()1gx

x=−.（i）求()gx的解析式；（ii）若函数()fx满足：当定义域为,ab时值域也是,ab，则称区间,ab为函数()fx的“保值”区间，若函数()tg()(0)hxxt=在(0,)+上存在保值区间，求t的

取值范围.雅礼教育集团2024年下学期期中考试参考答案高一数学1.B2.A3.C4.D【详解】对于①，1yx=，当2x=时，1N2y=，故①不满足题意；对于②，1yx=+，当1x=−时，110Ny=−+=，故②不满足题意；对于③，yx=，当1x=时，1yN=，当2x=时，2Ny

=，故③满足题意；对于④，2yx=，当1x=时，1yN=，当2x=时，4Ny=，故④满足题意.D.5.A6.C【详解】因为0a，0b，当3a=，1b=时，3ab=，1114133ab+=+=，2210ab+=，所以ABC选项错误.由基本不等式2abab

+，得22abab+=，选C.7.A【详解】定义在R上的奇函数()fx在(,0)−上单调递减，故函数在(0,)+上单调递减，且(2)0f=，故(2)(2)0ff−=−=，函数在(2,0)−和(2,)+上满足()0fx，在(,2)−−和(0,

2)上满足()0fx.()0xfx，当0x时，()0fx，即(,2)x−−；当0x时，()0fx，即(2,)x+.综上所述：(,2)(2,)x−−+.故选A.8.C【详解】21020

221bbb−−−−，解得12b.实数b的取值范围是1,2，故选C.9.BCD10.ACD11.ABD解：因为函数()fx满足()()()fxfyfxy+=+，所以(0)(0)(0)fff+=，即2(0)(0)ff=，则(0)0f=；令

yx=−，则()()(0)0fxfxf+−==，故()fx为奇函数；设12,xxR，且12xx，则1122122()()()()fxfxxxfxxfx=−+=−+，即1212())()(0fxfxfxx

−=−，所以()fx在R上是减函数，所以()fx在区间,mn上有最大值()fm；由2(21)(2)0fxfx−+−，得2(23)(0)fxxf+−，由()fx在R上减函数，得2230xx+−，即(3)(1)0xx+−，解得31x−，所

以2(21)(2)0fxfx−+−的解集为{31}xx−，故选ABD.12.[1,5]13.21x−+（答案不唯一）14.5，80【详解】由题意可知，B的“小和数”为(1)01235−++++=，集合B中一共有5个元素，则一共有52个子集

，对于任意一个子集M，总能找到一个子集M，使得MMB=，且无重复，则M与M的“小和数”之和为B的“小和数”，这样的子集对共有54222=个，其中MB=时，M=，考虑非空子集，则子集对有421−对，则B的“大和数”为4(21)5580−+=.故答案为：5；80.15.【详解】（1）因为3aa+

对任意aR恒成立，所以A，又AB=，则135aa−+，解得12a−；（2）若xA，xB是真命题，则有AB，则31a+−或5a，所以4a−或5a.16.【详解】（1）因为2()(253)mfxmmx=−+是幂函数，所以22531mm−+=，解

得2m=或12，又函数为偶函数，故2m=，2()fxx=；（2）原题可等价转化为220xkx−+对[1,4]x恒成立，分离参数得2kxx+，因为对[1,4]x恒成立，则min2()kxx+，当0x时，22222xxxx+=，当且仅当2xx=即2x=时取得最小值.故22k.17

.【详解】（1）解：当2m=时，不等式可化为(1)(5)0xx−−解得1x或5x，所以当2m=时，不等式的解集是{1xx或5}x.（2）①当0m=时，原式可化为2(1)0x−+，解得1x

−；②当0m时，原式可化为2()[(31)]0xxmm−−−，令231mm=−，解得23m=−或1；1）当23m−时，231mm−.故原不等式的解为231mxm−；2）当23m=−时，解得3x=−；3）当203m−时，231mm−，原不等式的解为23

1xmm−；③当0m时，原式可化为2()[(31)]0xxmm−−−，1）当01m时，231mm−，2xm或31xm−；2）当1m=时，不等式为2(2)0x−，xR；3）当1m时，231mm−，31xm−或2xm.综上，当23m

−时，原不等式的解集为231xmxm−；当23m=−时，不等式的解集为3xx=−；当203m−时，解集为231xxmm−；当0m=时，解集为1xx−；当01m时，不等式的解集是{2x

xm或31}xm−；当1m=时，不等式的解集为R；当1m时，解集是31xxm−或2}xm.18.【详解】（1）由题意，当0300x时，yx=；当300500x时，3000.8(300)0.860yxx=+−=+；当

500x时，3000.8(500300)0.7(500)0.7110yxx=+−+−=+.综上，,03000.860,3005000.7110,500xxyxxxx=++.（2）甲乙购买商品的金额之和为4502320(90)85abaaa+=++−.450450232

02(85)3201708585abaaaa+=++=−+++−−45022(85)49023049055085aa−+=+=−（元）当且仅当4502(85)85aa−=−即45085152a−==时

，原式取得最小值.此时100a=（或70a=，舍去），550450ba=−=（元）因为550500，则拼单后实付总金额0.7550110495M=+=（元）故折扣省下来的钱为55049555−=（元）.则甲乙拼单后，甲实际支付5510072.52−=（元），乙

实际支付55450422.52−=（元）而若甲乙不拼单，因为100300，故甲实际应付100a=（元）；300450500，乙应付0.845060420b=+=（元）.因为420元422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则

乙实付金额b比不拼单时的实付金额b还要高，因此该分配方式不公平.（能够答出“乙购买的商品的金额是甲购买商品的金额的4.5倍，则乙应减的价钱应是甲的4.5倍，故不公平”之类的答案的可酌情给分）答：当甲、乙的购物金额

之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平.19.【详解】（1）()fx为定

义在R上的奇函数，当0x时，0x−，所以()()fxfx=−−()2211xx=−−+=−−，又()00f=，所以()221,00,01,0xxfxxxx+==−−；（2）（i）因为

定义域为R的函数()gx的图象关于点()1,0成中心对称图形，所以()1ygx=+为奇函数，所以()()11gxgx+=−−，即()()2gxgx=−−，1x时，21x−，所以()()1121122gxgxxx=−−=−−=−+−−.所以()11,111,1

2xxgxxx−=−+−；（ii）()()()11,1tg011,12txxhxxttxx−==−+−，a）当()0,1x时，()11

()11022hxtttxx=−+=−−−−在()0,1单调递增，当()[,]0,1ab时，则112112taatbb−−=−−−=−，即方程112txx−−=−在()0,1有两个不相等的

根，即()220xtxt+−−=在()0,1有两个不相等的根，令()()()22,0mxxtxtt=+−−，因为()()0011210mtmtt=−=+−−=−，所以()220xtxt+−−=不可能在()

0,1有两个不相等的根；b）当()1,x+时，()()110hxttx=−=在()1,+单调递增，当()[,]1,ab+时，则1111taatbb−=−=

，即方程11txx−=在()1,+有两个不相等的根，即20xtxt−+=在()1,+有两个不相等的根，令()()2,0nxxtxtt=−+，则有()2110022212ntttttnttt=−+=−+

，解得4t.c）当01ab时，易知()gx在R上单调递增，所以()()()tg0hxxt=在()0,+单调递增，此时11211taatbb−−=−−=

，即()()()()()2222211221111111211112111aaaaataaaaabbbtbbbb−−−+−====−+−−−−−+−+===−++−−−令()()()11,011raaaa=−−+−，则

易知()ra在()0,1递减，所以()()00rar=即0t，又1b时，()()1112212411tbbbb=−++−+=−−，当且仅当()111bb−=−，即2b=时取等，以()()110111241taatbb=−+−=−++−，此

时无解；t的范围是()4,+.