【文档说明】湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，722.288 KB，由小赞的店铺上传

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雅礼教育集团2024年下学期期中考试试卷高一数学时量：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若{1,2},{(,),}ABxyxAyA==∣,则集合B中元素的个数为()A.1B.2C

.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据题意求出集合B，进而可得集合B中元素的个数．【详解】由题意得集合()()()()1,1,1,2,2,1,2,2B=，所以集合B中共有4个元素．故选：D．2.若,Rab，则“ab=”是“22ab=”的（）A.充分不必要条件B.必要

不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件及必要条件的定义来判断即得．【详解】由22ab=可得，ab=或ab=−，∴“ab=”是“22ab=”的充分不必要条件.故选：A．3.命题“aR，210ax+

=有实数解”的否定是（）A.aR，210ax+有实数解B.aR，210ax+=无实数解C.aR，210ax+=无实数解D.aR，210ax+有实数解【答案】C【解析】【分析】存在量词命题（又称特称命题）的否定为全称量词命题（又称全称命题），即,()xMpx变为,()xMpx

.【详解】“aR，210ax+=有实数解”的否定是“aR，210ax+=无实数解”，故选：C.4.已知集合{1,2}M=，{1,2,4}N=，给出下列四个对应关系：①1yx=，②1yx=+，③yx=，④2yx

=，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】D【解析】【分析】由函数的定义一一判断即可.【详解】对于①，1yx=，当2x=时，12yN=，故①不满足题意；对于②，1yx=

+，当2x=时，213yN=+=，故②不满足题意；对于③，yx=，当1x=时，1yN=，当2x=时，2yN=，故③满足题意；对于④，2yx=，当1x=时，1yN=，当2x=时，4yN=，故④满足题意.故选：D.5.汽

车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意分析各个阶段的路程与时间之间的关系可得结论.【详解】解析：由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀

速→由大变小．速度由小变大时，路程随时间变化的曲线上升得越来越快，曲线显得越来越陡峭；匀速行驶时路程随时间变化的曲线上升速度不变；速度由大变小时，路程随时间变化的曲线上升得越来越慢，曲线显得越来越平缓．故选：A.6.若0a，0b，

且4ab+=，则下列不等式恒成立的是（）A.02aB.111ab+C.2abD.228ab+【答案】C【解析】【分析】取3,1ab==可判断ABD是否正确；再利用基本等式判断C.【详解】因为0a，0b，当3a=，1b=时，3ab=，1114133ab+=+=，2210ab+=，所以A

BD选项错误.由基本不等式2abab+，得22abab+=，当且仅当2ab==时取等号，故选：C.7.已知定义在R上的奇函数()fx在(),0−上单调递减，且()20f=，则满足()0xfx的x的取值范围是（）A.()(),22,−−+B.()()0,2

2,+UC.()()2,02,−+D.()(),20,2−−【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断函数在各区间的正负，考虑0x和0x两种情况，将不等式转化为()fx的正负，计算得到答案.【详解

】定义在R上的奇函数()fx在(),0−上单调递减，故函数在()0,+上单调递减，且()20f=，故()()220ff−=−=，函数在()2,0−和()2,+上满足()0fx，在(),2−−和()0,2上满足()0fx.()0xfx，当0x时，()0fx，即(),2x−−；当

0x时，()0fx，即()2,x+.综上所述：()(),22,x−−+.故选：A8.若函数()()()()2212(0)210bxbxfxxbxx−+−=−+−−，为在R上的单调增函数，则实数b的取值范围为（）A.1,22B.1,2+C.

1,2D.[2,)+【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的单调性求解即可.【详解】由题意可得，21020221bbb−−−−，解得12b.所以实数b的取值范围是1,2.故选：C.二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分

，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()bfxxx=+，下列说法正确的是（）A.若1b=，则函数()fx的最小值为2B.若1b=，则函数

()fx(1,)+上单调递增C.若1b=−，则函数()fx的值域为RD.若1b=−，则函数()fx是奇函数【答案】BCD【解析】【分析】当1b=时，根据对勾函数的单调性及性质判断AB；当1b=−时，结合

函数奇偶性的定义可判断D，结合函数()fx的单调性及图象可判断C.【详解】当1b=时，1()fxxx=+，在函数()fx在()1,0−和(0,1)上单调递减，在(),1−−和(1,+∞)上单调递增，如图，所以函数()fx没有最小值，故A错误，B正确；当1

b=−时，1()fxxx=−，0x，则()11()fxxxfxxx−=−+=−−=−，所以函数()fx是奇函数，故D正确，又因为函数1,yxyx==−在(),0−和(0,+∞)上单调递增，所以函数()fx在(),0−和(0,+∞)上单调递增，如图，

所以函数()fx的值域为R，故C正确.故选：BCD.10.已知二次函数2yaxbxc=++（a，b，c为常数，且0a）的部分图象如图所示，则（）A.0abcB.0ab+C.0abc++D.不等式20cxbxa−+的解集为1|12

xx−【答案】ACD【解析】【分析】由二次函数图象可得0a，,2baca=−=−，进而代入各选项判断即可.【详解】由图象可知，该二次函数开口向上，故0a，与x轴的交点为()1,0−，()2,0，故()()22122yaxbxcaxxaxaxa=++=+−=−−，即,2baca

=−=−，对于A，()()3220abcaaaa=−−=，故A正确；对于B，0abaa+=−=，故B错误；对于C，220abcaaaa++=−−=−，故C正确；对于D：不等式20cxbxa−+可化为220axax

a−++，即2210xx−−，即()()2110xx+−，其解集为1|12xx−，故D正确.故选：ACD.11.定义在R上的函数()fx满足()()()fxfyfxy+=+，当0x时，()0fx，则下列说法正确的是（）A()00f=B.()fx为奇函数C.(

)fx在区间,mn上有最大值()fnD.()()22120fxfx−+−的解集为31xx−【答案】ABD【解析】【分析】A.由()()()fxfyfxy+=+，利用赋值法求解判断；B.由()()()fxfyfxy+

=+，令yx=−，由奇偶性的定义判断；C.判断函数的单调性求解；D.利用函数的奇偶性和单调性求解判断..【详解】解：因为函数()fx满足()()()fxfyfxy+=+，所以()()()000fff+=，即()()200ff=，则()00f=；令yx=−，则()()()00fxfxf+

−==，故()fx为奇函数，设12,Rxx，且12xx，则()()()()1122122fxfxxxfxxfx=−+=−+，即()()()12120fxfxfxx−=−，所以()fx在R上是减函数，所以(

)fx在区间,mn上有最大值()fm，由()()22120fxfx−+−，得()()2230fxxf+−，由()fx在R上是减函数，得2230xx+−，即()()310xx+−，解得31x−，所以()()22120fxfx−+−的解集为31xx−，故选：AB

D三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若36a，12b，则ab−的范围为________.【答案】[1,5]【解析】【分析】根据不等式的基本性质求解即可.【详解】由12b，得21b−−−，又36a，则15ab−，即ab−的范围为[1,5].故

答案为：[1,5].13.定义在R上的函数()fx满足：①()fx为偶函数；②在(0,+∞)上单调递减；③()01f=，请写出一个满足条件的函数()fx=______．【答案】||2x−(不唯一)【解析】【分析】根据指数函数恒过()0,

1即可考虑指数型函数得出答案.【详解】由函数()fx满足：①()fx为偶函数②()fx在(0,+∞)单调递减；②(0)1f=，则()fx=||2x−.故答案为：||2x−14.对于一个由整数组成的集合A，A中所有元素之和称为A的“小和数”，A的所有非空子集的“小和数”之和称为

A的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B=−，则B的“小和数”为________，B的“大和数”为________.【答案】①.5②.80【解析】【分析】根据给定定义直接求出B的“小和数”；求出集合B的所有非空子集中

含有每个元素的子集个数即可求出B的“大和数”.【详解】依题意，B的“小和数”为(1)01235−++++=；集合B的所有非空子集中，含有数1−的子集，可视为集合{0,1,2,3}的每个子集与{}1−的并集，因此含有数1−的子集个数为42，同理含有数0,1,2,3的子集个数均为42

，所以B的“大和数”为4[(1)0123]280−++++=.故答案为：5；80四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合3Axaxa=+，集合{1Bxx=

−或5}x，全集RU=.（1）若AB=，求实数a的取值范围；（2）若命题“xA，xB”是真命题，求实数a的取值范围.【答案】（1）12aa−（2）4aa−或5a【解析】【分析】（1）直接根据两个集合的交集是空集求解即可；（2）根据题意可得AB，进而

结合包含关系求解即可.【小问1详解】因为3aa+对任意Ra恒成立，所以A，又AB=，则135aa−+，解得12a−，所以实数a的取值范围为12aa−【小问2详解】若xA，xB是真命题，则有AB，则31a+−

或5a，所以4a−或5a，即实数a的取值范围为4aa−或5a.16.已知幂函数()2()253mfxmmx=−+是定义在R上的偶函数.（1）求()fx的解析式；（2）在区间1,4上，()2fxkx−恒成立，求实数k

的取值范围.【答案】（1）2()fxx=（2）(),22−【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义可得22531mm−+=，解得m的值，再根据常见幂函数的奇偶性即可求解；（2）转化问题为2kxx+对[1,4]x恒成立，即min2()kxx+，进而根据基本不等式求解即可.【小问

1详解】因为2())(253mfmmxx=−+是幂函数，所以22531mm−+=，解得2m=或12，又函数为偶函数，故2m=，2()fxx=.【小问2详解】由（1）知，2()fxx=，则原题可等价转化为220xkx−+对[1,4]x恒成立，分离

参数得2kxx+，因为对[1,4]x恒成立，则min2()kxx+，当0x时，22222xxxx+=，当且仅当2xx=，即2x=时取得最小值，即22k，所以实数k的取值范围为(),22−.17.已知关于x的不等式(2

)[(31)]0mxxm−−−.（1）当2m=时，求关于x的不等式的解集；（2）当Rm时，求关于x的不等式的解集.【答案】（1）{1xx或5}x³.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）根据含参一元二次不等式的解法求解即可.【小问1详解】当2m

=时，不等式可化为(1)(5)0xx−−，解得1x或5x≥，所以当2m=时，不等式解集是{1xx或5}x³.【小问2详解】当0m=时，原式可化为2(1)0x−+，解得1x−；当0m时，原式可化为2()[(31)]0xxmm−−−，令231m

m=−，解得23m=−或1（舍去）；①当23m−时，231mm−，故原不等式的解为231mxm−；②当23m=−时，原不等式为2(3)0x+，解得3x=−；③当203−m时，231mm−，原不等式的解为231xmm−；当0m时，原式可化为2()[(31)]0x

xmm−−−，令231mm=−,解得23m=−（舍去）或1；①当01m时，231mm−，原不等式的解为2xm或31xm−；②当1m=时，不等式2(2)0x−，解得𝑥∈𝑅；③当1m时，231mm−，原不等式的

解为31xm−或2xm.的为综上所述，当23m−时，原不等式的解集为231xmxm−；当23m=−时，不等式的解集为3xx=−；当203−m时，解集为231xxmm−；当0m=时，解集为1xx−；当

01m时，不等式的解集是2{xxm或31}xm−；当1m=时，不等式的解集为𝑅；当1m时，解集是{31xxm−或2}xm.18.为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，

不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x元，实际支付金额为y元.（1）求y关于x的函数解析式

；（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a、b元，且a、b满足关系式45085baa=++−320(90)a，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并

分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额−甲乙拼单后实际支付的总额）【答案】（1）,03000.860,3005000.7110,500xxyxxxx

=++（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，分0300x，300500x，500x三种情况求解即可；（2）根据题意及基本不等式可确定ab+的最小值，及取得最小值时,ab的值，进而结合题意分析即可求解.【小问1详解】由题意，当0300x

时，yx=；当300500x时，3000.8(300)0.860yxx=+−=+；当500x时，3000.8(500300)0.7(500)0.7110yxx=+−+−=+.综上所述，𝑦={𝑥,0<𝑥≤3000.8𝑥+60,300<𝑥≤5000.7𝑥

+110,𝑥>500.【小问2详解】甲乙购买商品的金额之和为4502320(90)85abaaa+=++−，而45045023202(85)3201708585abaaaa+=++=−+++−−45022(85)49055085aa−+=−（元），当且仅当4502(

85)85aa−=−，即100a=时，原式取得最小值.此时550450ba=−=（元），因为550500，则拼单后实付总金额0.7550110495M=+=（元）故折扣省下来的钱为55049555−=（元）.则甲乙拼单后，甲实际支付5510072.52−=（元），乙实际支付55450422.

52−=（元）而若甲乙不拼单，因为100300，故甲实际应付100a=（元）；300450500，乙应付0.845060420b=+=（元）.因为420元422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额b比不拼单时的实付金

额b还要高，因此该分配方式不公平.所以当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方

式对乙不公平.19.经过函数性质的学习，我们知道：“函数()yfx=的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()yfx=是奇函数”．（1）若()fx为定义在R上的奇函数，且当0x时，2()1fxx=+，求()fx的解析式；（2）某数学学习小组针对

上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()yfx=的图象关于点(),0a成中心对称图形”的充要条件是“()yfxa=+为奇函数”．若定义域为R的函数()gx的图象关于点()1,0成中心对称图形，且当1x时，1()1gxx=−．（i）求()gx的解析式；（ii）若函数

()fx满足：当定义域为,ab时值域也是,ab，则称区间,ab为函数()fx的“保值”区间，若函数()()()0hxtgxt=在()0,+上存在保值区间，求t的取值范围．【答案】（1）()

221,00,01,0xxfxxxx+==−−（2）（i）()11,111,12xxgxxx−=−+−；（ii）()4,+【解析】【分析】（1）由奇偶性的定义求解即可；（2）（i）由题意可知()yg

xa=+为奇函数，进而()()2gxgx=−−，由此可求出1x时解析式，即可求解；（ii）由()()()11,1011,12txxhxtgxttxx−==−+−的单调性结合“保值”区间

的定义，分类讨论即可求解【小问1详解】()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，0x−，所以()()()2211fxfxxx=−−=−−+=−−，又()00f=，所以()221,00,01,0xxfxxxx+==−−；【小问2详解】（i）因为定义域为R的函数()gx的图象

关于点()1,0成中心对称图形，的所以()1ygx=+为奇函数，所以()()11gxgx+=−−，即()()2gxgx=−−，1x时，21x−，所以()()1121122gxgxxx=−−=−−=−+−−．所以()11,111,12xxgxx

x−=−+−；（ii）()()()11,1011,12txxhxtgxttxx−==−+−，当()0,1x时，()()111=1022hxttt

xx=−+−−−−在()0,1单调递增，当(),0,1ab时，则112112taatbb−−=−−−=−即方程112txx−−=−在()0,1有两个不相等的根，即()220xtxt+−−

=有()0,1两个不相等的根，令()()()22,0mxxtxtt=+−−，则又()()0011210mtmtt=−=+−−=−，所以()220xtxt+−−=有()0,1不可能有两个不相等的根；当()1,x+时，()()11=0hxttx=

−在()1,+单调递增，当(),1,ab+时，则1111taatbb−=−=即方程11txx−=在()1,+有两个不相等的根，即20xtxt−+=有()1,+两个不相等的根，令()()2,0nxxtxtt=−+

，则又()2110022212ntttttnttt=−+=−+，解得4t，当01ab时，易知()gx在R上单调递增，所以()()()0hxtgxt=在()0,+单调递增，此时11211taatbb−−=

−−=，即()()()()()2222211221111111211112111aaaaataaaaabbbtbbbb−−−+−====−+−−−−−+−+===−++−−−，令()()()11,011raaaa=−+−，则

易知()ra在()0,1单调递减，所以()()00rar=即0t，又1b时，()()1112212411tbbbb=−++−+=−−，当且仅当()111bb−=−，即2b=时取等，所以()()110111241taatbb=−+−=−++−，此时无解；

综上可知：t的取值范围是()4,+