【文档说明】2023届高考人教A版数学一轮复习试题（适用于老高考旧教材）课时规范练24　余弦定理、正弦定理及应用举例含解析【高考】.docx，共(9)页，126.916 KB，由小赞的店铺上传

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1课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例基础巩固组1.(2021四川成都二诊)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3b,sinA=35,则sinB的值为()A.15B.115C.13D.592.(2021江西宜春模拟)在△ABC

中,BC=√17,AC=3,cosA=13,则△ABC的面积为()A.4√2B.2C.4D.923.(2021四川眉山三诊)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若△ABC的面积S△ABC=𝑐2-𝑎2-𝑏24,则C=()A.

π3B.2π3C.3π4D.5π64.(2021河南郑州模拟)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=30°,a=√3,若这个三角形有两解,则b的取值范围是()A.√3<b≤2√3B.√3<b<2√3C.b<2√3D.b≤2

√35.(2021云南红河三模)如图所示,网格中小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则△ABC外接圆的面积为()A.130π9B.65π9C.65π18D.65π366.(2021山西临汾适应性考

试)说起延安革命纪念地景区,可谓是家喻户晓,它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、西北局革命旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山,它可是圣地延安的标志,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡度比为√7∶3(坡度比即坡

面的垂直高度和水平宽度的比),在山坡A处测2得∠CAD=15°,从A处沿山坡往上前进66m到达B处,在山坡B处测得∠CBD=30°,则宝塔CD的高为()A.44mB.42mC.48mD.46m7.(2021江苏徐州考前

模拟)在平面四边形ABCD中,AB=8,AC=14,cos∠BAC=57,内角B与D互补,若AC平分∠BAD,则CD的长为.8.(2021浙江杭州二模)设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,𝑎+𝑐𝑏=sin𝐴-sin𝐵sin𝐴-sin𝐶.

若a=1,c=√7,则C=,△ABC的面积S=.9.(2021山东潍坊二模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2b2=(b2+c2-a2)(1-tanA).(1)求角C;(2)若c=2√10,D为BC中点,cosB=2√55,求AD的长度.10.(2021山东德州二模)

在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6cos2π2+A+cosA=5.(1)求A;(2)若a=2,求b2+c2的取值范围.综合提升组11.(2021东北三省四市联考)圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省,是一座始建于1907年拜占庭风格

的东正教教堂,为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准,被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美,可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度,在该

教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为(15√3-15)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则小明估算该教堂的高

度为()3A.20mB.30mC.20√3mD.30√3m12.(2021河南郑州二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D.若a+4c的最小值为9,则BD=.13.(2021四川成都石室中学高三月考

)拿破仑定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个正三角形,则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置,合理组织人流、物流,使城市土地的利用

率、建筑的使用效率达到最佳,因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图,设△ABC代表旧城区,新的城市发展中心O1,O2,O3分别为正三角形ACD,正三角形BCF,正三角形ABE的中心.现已知AB=2,∠ACB=30°,三角形O1O2O3的面积为√3,则三角形ABC的面积为.14.(2

021福建三明模拟)在①bsinB+csinC=2√33bsinC+asinA;②cos2C+sinBsinC=sin2B+cos2A;③2b=2acosC+c这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC外接圆的半径R为1,且.(1)求角A;(2)若AC=√2,AD是△ABC的内角平分线,求AD的长度.创新应用组15.(2021广东深圳二模)著名的费马问题是法国数

学家皮埃尔·德·费马(1601—1665)提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点,已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当△ABC的三个内角均小于2π3

时,则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3的点P即为费4马点.已知点P为△ABC的费马点,且AC⊥BC,若|PA|+|PB|=λ|PC|,则实数λ的最小值为.16.(2021辽宁大连一模)如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三

种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工

具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际高度有误差,请你针

对误差情况进行说明.答案：课时规范练1.A解析:由正弦定理可知𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,即3𝑏35=𝑏sin𝐵,所以sinB=15.2.A解析:因为BC=√17,AC=3,cosA=13,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,

所以AB2-2AB-8=0,所以AB=4.又因为cosA=13,A∈(0,π),所以sinA=2√23,所以S△ABC=12AB·AC·sinA=12×4×3×2√23=4√2.3.C解析:由S△ABC=12absinC,得𝑐2-𝑎2-𝑏24=12absinC,整理得c

2=a2+b2+2absinC,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,所以sinC=-cosC,即tanC=-1.又C∈(0,π),所以C=3π4.54.B解析:当△ABC有两解时,bsinA<a<b,即bsin30°<√3<b,解得

√3<b<2√3.5.C解析:由图可知a=3,b=√10,c=√13,由余弦定理,得cosC=10+9-136√10=√1010,所以sinC=3√1010.设R为△ABC外接圆的半径,根据正弦定理知2R=𝑐sin𝐶

=√133√1010=√1303,所以R=√1306,所以S=πR2=130π36=65π18.6.A解析:由题可知∠CAD=15°,∠CBD=30°,则∠ACB=15°,所以BC=AB=66.设坡角为θ,则由题可得tanθ=√73,则可求得cosθ=34.在△BCD中,∠B

DC=θ+90°,由正弦定理,得𝐶𝐷sin30°=𝐵𝐶sin(𝜃+90°),即𝐶𝐷12=66cos𝜃=6634,解得CD=44,故宝塔CD的高为44m.7.10解析:在△ABC中,由余弦定理,得BC=√𝐴

𝐵2+𝐴𝐶2-2𝐴𝐵·𝐴𝐶cos∠𝐵𝐴𝐶=√82+142-2×8×14×57=10.由cos∠BAC=57可得sin∠BAC=2√67.由正弦定理,得sinB=𝐴𝐶𝐵𝐶sin∠B

AC=1410×2√67=2√65,又内角B与D互补,所以sinD=sinB=2√65.因为AC平分∠BAD,所以sin∠DAC=sin∠BAC=2√67,所以由正弦定理,得CD=𝐴𝐶sin𝐷sin∠DAC=142√65×

2√67=10.8.π33√34解析:因为𝑎+𝑐𝑏=sin𝐴-sin𝐵sin𝐴-sin𝐶=𝑎-𝑏𝑎-𝑐,整理得a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=12,因为C为三角形内角,所以C=π3.由

a2+b2-c2=ab且a=1,c=√7得b2-b-6=0,解得b=3或b=-2(舍去),6所以△ABC的面积S=12absinC=12×1×3×√32=3√34.9.解:(1)∵2b2=(b2+c2-a2)(1-tanA),∴2b2=2bccosA·(1-tanA).∴b=c(cosA-s

inA),由正弦定理,得sinB=sinC(cosA-sinA),∴sin(A+C)=sinCcosA-sinCsinA,∴sinAcosC=-sinCsinA,∵sinA≠0,∴tanC=-1,又C∈(0,π),解

得C=3π4.(2)∵cosB=2√55,∴sinB=√55.∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√1010,由正弦定理,得a=𝑐sin𝐴sin𝐶=2√2,∴BD=√2,在△ABD中,由

余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcosB,解得AD=√26.10.解:(1)由题意得6sin2A+cosA=5,整理得6cos2A-cosA-1=0,解得cosA=12或cosA=-13.又

A∈0,π2,所以cosA=12,即A=π3.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得4=b2+c2-bc,即b2+c2=4+bc.由正弦定理,得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin

𝐶=2√32=4√33,即b=4√33sinB,c=4√33sinC,而C=2π3-B,bc=163sinBsinC=163sinBsin2π3-B=8√33sinBcosB+83sin2B=4√33sin2B-43cos2

B+43=83sin2B-π6+43.又{0<𝐵<π2,0<23π-𝐵<π2,解得π6<B<π2,7所以π6<2B-π6<56π,所以sin2B-π6∈12,1,即bc∈83,4,所以b2+c2=4+

bc∈203,8.11.D解析:由题意得∠CAM=45°,∠AMC=105°,所以∠ACM=30°.在Rt△ABM中,AM=𝐴𝐵sin∠𝐴𝑀𝐵=𝐴𝐵sin15°,在△ACM中,由正弦定理,得𝐴𝑀sin∠𝐴𝐶𝑀=𝐶𝑀sin∠𝐶𝐴𝑀,所以CM=𝐴

𝑀·sin45°sin30°=𝐴𝐵·sin45°sin15°·sin30°,在Rt△DCM中,CD=CM·sin60°=𝐴𝐵·sin45°·sin60°sin15°·sin30°=(15√3-15)×√22×√32√6-√24×12=30√3.12.√2解析

:因为∠ABC的平分线交AC于点D,所以∠ABD=∠CBD=45°,所以S△ABC=12acsin90°=12c·BD·sin45°+12a·BD·sin45°,可得2ac=√2c·BD+√2a·BD,可得√2𝐵𝐷(𝑎+𝑐)

2𝑎𝑐=1,所以a+4c=(𝑎+4𝑐)·√2(𝑎+𝑐)2𝑎𝑐·BD,所以a+4c=√22BD𝑎𝑐+5+4𝑐𝑎≥√22BD5+2√𝑎𝑐·4𝑐𝑎=9√22BD=9,当且仅当a=2c=3时,等号成立,所以BD=√2.13

.2√33解析:如图所示,连接CO1,CO2,由题意得CO1=√33AC,CO2=√33BC,∠O2CB=30°,∠O1CA=30°.因为∠ACB=30°,所以∠O1CO2=90°,𝑆三角形𝑂1𝑂2𝑂3=√34O1𝑂22=√3,解得O1O2=2.由

勾股定理,得C𝑂12+C𝑂22=O1𝑂22,即√33AC2+√33BC2=O1𝑂22,即AC2+BC2=12.由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos30°,解得AC·BC=8√33,8所以三角形ABC的面积为12AC·BCsin30°=

2√33.14.解:(1)方案一:选择①,bsinB+csinC=2√33bsinC+asinA,由正弦定理,得b2+c2=2√33bsinC+aa,即b2+c2-a2=2√33absinC,由余弦定理,得2bccosA=2√33absinC,所以sinCcosA=√33

sinAsinC.因为C∈(0,π),所以sinC>0,所以tanA=√3.又因为A∈(0,π),所以A=π3.方案二:选择②,cos2C+sinBsinC=sin2B+cos2A得1-sin2C+sinBsin

C=sin2B+1-sin2A,即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,由正弦定理,得b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=12,因为A∈(0,π),所以A=π3

.方案三:选择③,由2b=2acosC+c,结合正弦定理,得2sinB=2sinAcosC+sinC.因为A+B+C=π,所以sinB=sin(A+C),即2sin(A+C)=2sinAcosC+sinC,所以2cosAsinC=sinC.因为C∈(0,π),所以sin

C>0,所以cosA=12.因为A∈(0,π),所以A=π3.(2)在△ABC中,由正弦定理,得𝐴𝐶sin𝐵=2R=2,所以sinB=√22,所以B=π4因为A=π3,由三角形内角和定理,B不可能为3π4.在△ABC中,C=π-π3−π4=5π12.因为AD是△ABC的内角平分线,所以∠C

AD=π6,所以∠ADC=π-π6−5π12=5π12,所以AD=AC=√2.15.2√3+2解析:根据题意,点P为△ABC的费马点,△ABC的三个内角均小于2π3,9所以∠APB=∠BPC=∠CPA

=2π3.设∠PCB=α,所以在△BCP和△ACP中,∠CBP=π3-α,∠ACP=π2-α,∠CAP=π3-∠ACP=α-π6,且均为锐角,所以α∈π6,π3.所以由正弦定理,得|𝐵𝑃|sin𝛼=|𝑃𝐶|sin(π3-𝛼),|𝑃𝐴|sin(

π2-𝛼)=|𝑃𝐶|sin(𝛼-π6),所以|BP|=sin𝛼sin(π3-𝛼)|PC|,|PA|=sin(π2-𝛼)sin(𝛼-π6)|PC|,因为|PA|+|PB|=λ|PC|,所以λ

=sin𝛼sin(π3-𝛼)+sin(π2-𝛼)sin(𝛼-π6)=√32-sin𝛼cos𝛼sin𝛼cos𝛼-√34=√34-(sin𝛼cos𝛼-√34)sin𝛼cos𝛼-√34=√34sin𝛼cos𝛼-√34-1=√3

2sin2𝛼-√3-1,因为α∈π6,π3,所以2α∈π3,2π3,所以2sin2α-√3∈(0,2-√3],所以√32sin2𝛼-√3-1∈[2√3+2,+∞),故实数λ的最小值为2√3+2.16.解:(1)选用测角仪和米尺,如图所示,①

选择一条水平基线HG(如图),使H,G,B三点共线;②在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为β,α,用米尺测量得CD=a,测得测角仪的高为h;③经计算建筑物AB=𝑎sin𝛼sin𝛽sin(𝛼-𝛽)+h或者

写成𝑎tan𝛼tan𝛽tan𝛼-tan𝛽+h.(2)答案合理即可.①测量工具精度问题;②两次测量时位置的间距差.