【文档说明】安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二下学期期中质量检测理科数学试题含答案.docx，共(9)页，740.973 KB，由小赞的店铺上传

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宿州市十三所重点中学2020—2021学年度第二学期期中质量检测高二数学（理科）试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若复数()212bibRi−+的实部与虚部互为相反数，则b=（）A.23−B.23C.2D.22、用反证法证明命题：“已知a、b是自然数，若4ab+，则a、b中至少有一个不小于2”，提

出的假设应该是（）A.a、b中两个都不小于2B.a、b中至少有一个小于2C.a、b都小于2D.a、b中至多有一个小于23、一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为212st=，则2t=时，此木块在水平方向的瞬时速度为（）A.2B.1C.12D.1

44、分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特（Benoit.Mandelbrot）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第13行的实心圆点

的个数是（）A.55个B.89个C.144个D.233个5、已知函数()2exfxx−=+，1,3x，则下列说法正确的是（）A.函数()fx的最小值为13e+B.函数()fx的最大值为13e+C.函数()fx的最小值为1e+D.函数()

fx的最大值为36、已知函数()43lnfxxx=−，则()fx的图象大致为（）A.B.C.D.7、下列类比推理正确的序号为（）①“边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和是定值32a”类比空间，“棱长为a的正四面体内任一点到四个面的

距离之和是定值64a”；②在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2，则他们的面积比为1:4.类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则他们的体积比为1:8；③已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆上()222210x

yabab+=关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，则当PM，PN的斜率都存在，22PMPNbKKa=−，类似的，点P若在双曲线22221xyab−=上，则22PMPNbKKa=.④长宽分别为a，b的矩形的外接圆的面积为()

224ab+，类比空间中，长宽高分别为a，b，c的长方体的外接球的面积为()2224abc++.A.①③B.②④C.①④D.②③8、用数学归纳法证明不等式()*111125N1233124nnnnn++++++++时，从“nk=到1nk=+”左边需增加的代数式为（）A.134K+B.1

11323334KKK+++++C.111323433KKK+−+++D.113234KK+++9、设正三棱柱的体积为V，当其表面积最小时，底面边长为（）A.4VB.38VC.36VD.34V10、若函数()2xfxxea=−恰有三个零点，则实数a的取值范围是

（）A.24,e+B.240,eC.()20,4eD.()0,+11、设m为整数，对于任意的正整数n，2111111222nm+++，则m的最小值是（）A.2B.3C

.4D.512、设()fx是定义在R上的函数，其导函数为()fx，若()()1fxfx+，()02021f=，则不等式()2020xxefxe+（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A.()(),02020,−+B.(),0−C.()2020

,+D.()0,+第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案写在题中的横线上.13、已知复数z满足()21zii+=+（i为虚数单位），则z的模为______.14、已知P是曲线2lnyxx=−上的任意一点，则P到直线:4m

yx=−距离的最小值为______.15、求值：()2204(2)xxdx−−−=______.16、已知函数()lnxaxfxx−=，若有且仅有一个整数k，使()()20fkfk−，则实数a的取值范围是______.三、解答题：本

大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分10分）已知e是自然对数的底数，函数()2xaxfxe=（Ra，且0a）.（1）当1a=−时，求函数()fx的单调

区间；（2）当0a时，函数()fx的极大值为1e，求a的值.18、（本小题满分12分）（1）已知0a，证明：()221122aaaa++−−.（2）已知实数a，b，c，d满足()2acbd+，用反证法证明：方程20xaxb++

=与方程20xcxd++=至少有一个方程有实根.19、（本小题满分12分）设函数()yfx=，对任意实数x，y都有()()()2fxyfxfyxy+=++（1）求()0f的值；（2）若()11f=，求()2f，()3f，()4f的值；（3）在（2）的条件下，猜想()()*Nfnn的表达

式，并用数学归纳法加以证明.20、（本小题满分12分）已知函数()2e1xfxxax=−−−.（1）若()fx在定义域内单调递增，求实数a的范围；（2）设函数()()3xgxxfxexx=−++，若()gx至多有一个极值点，求a的取值集合.21、（本小题满分12分）

如图，已知二次函数()233fxxx=−，直线1:2lx=，直线2:3lytx=（其中11t−，t为常数）；若直线2l与函数()fx的图象以及直线1l，2l与函数()fx的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（1）求阴影面积s关

于t的函数()yst=的解析式；（2）若过点()1,Am，4m可作曲线()yst=，tR的三条切线，求实数m的取值范围.22、（本小题满分12分）已知函数()2()ln()2axfxxaR+=+.（1）若函数()()(1)lnhxfxxax=−−+，讨论()h

x的单调性；（2）若函数()fx的导数()fx的两个零点从小到大依次为1x，2x，证明：()1222xxfx+.宿州市十三所重点中学2020—2021学年度第二学期期中质量检测高二年级数学（理科）试卷参考答案一、选择

题题号123456789101112答案ACACBADDDBBD二、填空题13、214、2215、2−16、ln2ln31123a−−三、解答题17、（1）函数的定义域为R.求导得()()22xaxxfxe−=当1a=−时，令()0fx，解得0x或2x，函数(

)fx的单调递增区间为(),0−，()2,+；减区间为()0,2.（2）由（1）可知，当0a时，函数()fx在区间(),0−，()2,+上单调递减，在()0,2上单调递增，于是当2x=时，函数()fx取

到极大值，极大值为241aee=，故a的值为4e.18.证明：（1）要证原不等式，只需证221122aaaa++++．∵0a，∴两边均大于零．因此只需证2222221111442222aaaaaaaa+++++++++，只需证221122aaa

a++，只需证22221122aaaa+++，即证2212aa+而2212aa+显然成立，∴原不等式成立．（2）（反证法）：假设结论不成立，即方程20xaxb++=与方程20xcxd++=都没有实

根，则判别式满足2140ab=−，22c40d=−，则22440acdb+−−，即2244dbac++，即22442dbacac++，即()2bdac+，这与条件()2acbd+矛盾，即假设不成立，则原命题成立．19.解：（Ⅰ）令0xy==得：()()()()0000200

00ffff+=++=（Ⅱ）由()11f=()()()()211112114ffff=+=++=()()()3212219fff=++=()()()43123116fff=++=（Ⅲ）由（Ⅱ）猜想()()2*Nfnnn=证

明如下：（1）当1n=时，()2111f==，猜想成立（2）假设()*N,1nkkk=时猜想成立，即()2fkk=（3）则()()()()221121121fkfkfkkkk+=++=++=+所以当1nk=+时，猜想也成立综合（1）（2）可知，对一切*Nn，都

有()2fnn=成立.20、解：（1）由题意得()20xfxexa=−−，得2xaex−令()2xhxex=−，则()2xhxe=−由()0hx=得ln2x=当ln2x，()0hx；ln2x，()2hx故当ln2x=时，min()(ln2)22ln2hxh==−所以22

ln2a−.（2）2()xxgxxeaxe=−−，()(2)xgxxea=−当0a时，0x，()0gx；0x，()0gx，所以0时()gx的唯一的极小值点。当0a时，令()0gx=得10x=，2ln(2)xa=当12a=，12xx=，()0gx恒成立

，()gx无极值。故a的取值集合为102aaa=或.21、（1）由2333yxxytx=−=得()210xtx−+=，∴10x=，21xt=+∵11t−，∴直线2l与()fx的图象的交点横坐标分别为0，1t+，由

定积分的几何意义知：()()()122201333333ttsttxxxdxxxtxdx++=−−+−−()()12233201313122ttttxxxx++++=−+−

()3126tt=++−，11t−（2）∵曲线方程为()3(1)26sttt=++−，tR，∴()23(1)6stt=+−，∴点(1,)Am，4m不在曲线上.设切点为()00,Mxy，则点M的坐标满足()3000126yxx=++−，因()(

)200316sxx=+−，故切线的斜率为()()3200001623161xxmxx+−+−+−=−，整理得300260xxm−+=.∵过点(1,)Am可作曲线的三条切线，∴关于0x方程300260xxm−+=有三

个实根.设()300026gxxxm=−+，则()20066gxx=−，由()00gx=得01x=∵当()()0,11,x−−+时，()00gx∴()0gx在(),1−−，()1,+上单调递增，∵当()01,1x−时，()00gx，∴()0gx在()1,

1−上单调递减.∴函数()300026gxxxm=−+的极值点为01x=，∴关于0x方程300260xxm−+=有三个实根的充要条件是()()1010gg−，解得44m−，故所求的实数m的取值范围是44m−.22、解：（1）∵()()2ln2axhxaxx+=−−+

∴()()()1(0)xxahxxx−+=．当0a时，()'01hxx，()'001hxx∴()hx在()1,+上单调递增，在()0,1上单调递减；当10a−时，()'01hxx或0xa−，()'01hxax

−∴()hx在()1,+，()0,a−上单调递增，在(),1a−上单调递减；当1a−时，()'0hxxa−或01x，()'01hxxa−∴()hx在(),a−+，()0,1上单调递增，在()1,a−上单调递减；当1a=−时，()'0hx在(

)0,+上恒成立，所以()hx在()0,+上单调递增；（2）∵()21(0)xaxfxxx++=．且()'fx的两个零点从小到大依次为1x，2x∴1x，2x是方程210xax++=的两个根，∴12121xxaxx+=−=又10x，20x且12

xx所以1201xx欲证()1222xxfx+，即证()22122ln22xaxxx+++只需证1211111ln22xxxx++令()21ln(01)222xxgxxxx=−−−，()()()221212xxgxx−−=∴()gx在10,2上

单调递增，1,12上单调递减，∴()102gxg，即()1222xxfx+成立．