【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第22讲 三角函数的图象与性质（讲） Word版含解析.docx，共(15)页，1.056 MB，由小赞的店铺上传

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第22讲三角函数的图象与性质（讲）思维导图知识梳理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)“五点法”作图原理：在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2

π，0)．在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝

cosxy＝tanx图象定义域RRxx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R奇偶奇函数偶函数奇函数性单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π

，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期

是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是k

π2，0(k∈Z)题型归纳题型1三角函数的定义域【例1-1】（2019秋•南京期末）函数()tan(2)4fxx=+的定义域为()A．{|2xxk+，}kZB．{|22xxk+，}kZC．{|28kxx+，}kZD．{|8x

xk+，}kZ【分析】直接由24x+的终边不在y轴上求解x的取值集合得答案．【解答】解：由242xk++，得24xk+，,28kxkZ+．函数tan(2)4yx=+的定义域为{|28kxx+，}k

Z．故选：C．【例1-2】（2019秋•青山区期末）函数2cos1yx=+的定义域是．【分析】直接利用无理式的范围，推出cosx的不等式，解三角不等式即可．【解答】解：由2cos10x+…得1cos2x−…，222233kxk−+剟，kZ．故答案为：2[2

3k−，22]()3kkZ+．【跟踪训练1-1】（2019秋•平罗县校级期末）函数()tan()4fxx=−−的定义域为()A．3|,4xxkkZ+B．3|,4xxkkZ+C．3|,4xxkkZ

=+D．|,4xxkkZ+【分析】根据正切函数的定义域，即可求得函数()fx的定义域．【解答】解：函数()tan()4fxx=−−中，令42xk−+，kZ；解得34xk+，kZ；所以函数()fx的定义域为

3{|4xxk+，}kZ．故选：A．【跟踪训练1-2】（2019春•杜集区校级月考）函数sintanyxx=的定义域为．【分析】由sintan0xx…，得sin0tan0xx……或sin0tan0xx„„，求解后取并集得答案．【解答】解：由sintan0x

x…，得sin0tan0xx……①或sin0tan0xx„„②，由①得，2xk=，kZ；由②得，222kx−+或2xk=+，kZ．函数sintanyxx=的定义域为{|2222xkxk

−++或xk=，}kZ．故答案为：{|2222xkxk−++或xk=，}kZ．【名师指导】1．三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．(

2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．2．简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解．(2)利用三角函数的图象求解．题型2三角函数的值域（最值）【例2-1】（2019秋•如皋市月考）函数tan2yx=在区间[,)68−上的值域为．【分析】根据x的

取值范围，结合正切函数的单调性求出tan2yx=的值域．【解答】解：当[,)68x−时，2[3x−，)4，且tan2yx=在[3−，)4上单调递增；又tan()33−=−，tan14=，所以3tan21x−„，所以tan2yx=的值域为[3,1

)−．故答案为：[3−，1)．【例2-2】（2020春•浦东新区校级期中）函数cos(),[0,2]23xyx=−的值域是．【分析】根据02x剟，求得23x−的范围，可得cos()23x−的范围，从而求得函数的值

域．【解答】解：02x剟，23233x−−剟，1cos()1223x−−剟，故函数的值域为：1[2−，1]，故答案为：1[2−，1]．【跟踪训练2-1】（2019•西湖区校级模拟）函数cos,[,]62yxx

=−的值域是()A．[0，1]B．[1−，1]C．[0，3]2D．1[2−，1]【分析】由余弦函数的单调性，函数在[,0]6−，上是增，在[0,]2上减，由此性质即可求出函数的值域．【解答】解：由余弦函数的单调性，函数在[,0]6−，上是增，在[0,]2上减，故其最大值在0x=处取到

为1最小值在2x=处取到为0，故其值域是[0，1]；故选：A．【跟踪训练2-2】（2019秋•舒城县期末）函数tan()24xy=+，(0x，]6的值域是．【分析】根据(0x，]6，求解24x+的范围，结合正切函数的性质可得值域；【解答】解：由(0x

，]6，(244x+，]3结合正切函数的性质可得：13y„．故答案为：(1，3]．【名师指导】求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝

asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(4

)对分式形式的三角函数表达式也可构造基本不等式求最值．题型3三角函数的单调性【例3-1】（2020•北京模拟）函数()sin(2)6fxx=+的单调递增区间是()A．2[,],()63kkkZ++B．[,],()2kkkZ+C．[

,],()36kkkZ−+D．[,],()2kkkZ−【分析】由题意利用正弦函数的的单调性，求得结果．【解答】解：对于函数()sin(2)6fxx=+，令222262kxk−++剟，求得36

kxk−+剟，故函数的单调增区间为[3k−，]6k+，kZ，故选：C．【例3-2】（2020•咸阳一模）函数cos()4yx=−的单调递增区间是()A．13[2,2]()44kkkZ−+B．37[2,2]()44kkkZ++C．31[2,2]()44kkkZ−+D．15

[2,2]()44kkkZ++【分析】根据余弦函数的单调递增区间，解不等式224kxk−−剟即可得出原函数的单调递增区间．【解答】解：解224kxk−−剟得，312244kxk−+剟，函数cos()4yx=−的单调递增区间是31[2,2](

)44kkkZ−+．故选：C．【例3-3】（2020春•黄浦区期末）函数tan()63yx=+的单调递增区间为．【分析】根据正切函数的单调性，解不等式2632kxk−+++，kZ，将所得

的解集化为等价的开区间，即为所求函数的单调增区间．【解答】解：令(632xk+−+，)2k+，kZ，即2632kxk−+++，kZ，可解得：6561kxk−+，kZ，函数tan()63yx=+的单调递增区间是(65,6

1)kk−+，kZ．故答案为：(65,61)kk−+，kZ．【例3-4】（2020春•崇明区期末）已知函数()sin(2)3fxx=+在区间[0，]a（其中0)a上单调递增，则实数a的取值范围是()A．{|0}12aa„B．{|0}2aa„C．{|12aak=+，*}kN

D．{|2212akak+„，*}kN【分析】求出原函数的单调增区间，可得()fx的一个增区间为5[12−，]12，再由函数()fx在区间[0，]a（其中0)a上单调递增，可得a的取值范围．【解答】解：由222232kxk−+++剟，得51212

kxk−++剟，kZ．取0k=，得51212x−剟，则函数数()sin(2)3fxx=+的一个增区间为5[12−，]12．函数()sin(2)3fxx=+在区间[0，]a（其中0)a上

单调递增，012a„．故选：A．【跟踪训练3-1】（2020春•南昌月考）函数2()3sin(2)3fxx=−的一个单调递减区间是()A．713[,]1212B．7[,]1212C．[,]22−D．5[,]66−【分析】解

2222232kxk−+−+剟即可得出()fx的单调递减区间，然后即可判断每个选项的区间是否为()fx的一个单调递减区间．【解答】解：解2222232kxk−+−+剟得，7()1212kxkkZ−−剟，0k=时，71212x剟；1

k=时，1151212x−−剟；1k=−时，13191212x剟，7[,]1212是()fx的一个单调递减区间．故选：B．【跟踪训练3-2】（2019秋•丽水期末）函数3cos(2)3yx=−的单调递减区间是()A．

2[,],63kkkZ++B．2[,],36kkkZ−−C．[,],63kkkZ−+D．[,],36kkkZ−+【分析】先利用诱导公式化简函数的解析式，再由条件利用余弦函数的单调性求得y的减区间．【解答】解：因为3cos(2

)3cos(2)33yxx=−=−，令2223kxk−+剟，求得263kxk++剟，kZ可得函数的减区间为[6k+，2]3k+，kZ．故选：A．【跟踪训练3-3】（2019春•双流区校级期中）函数2tan(3)4yx=+的单调递增区间是()A．(,),412

kkkZ−++B．(,),43123kkkZ−++C．3(,),44kkkZ−++D．3(,),4343kkkZ−++【分析】根据正切函数的图象与性质，即可求出

函数y的单调递增区间．【解答】解：函数2tan(3)4yx=+中，令3242kxk−+++，kZ；解得43123kkx−++，kZ；所以函数y的单调递增区间是(43k−+，)123k+，kZ．故选：B．【跟踪训练3-4】（2019秋•铜陵期末）已知函

数()sin(fxx=为正整数）在区间(,)612−上单调，则的最大值为．【分析】结合正弦函数的性质可知，212260−−…„，解不等式可求．【解答】解：因为()sinfxx=在区间(,)612−上单调，且0，结合正弦函数的性质可知，21226

0−−…„，解可得，3„即的最大值3．故答案为：3．【跟踪训练3-5】（2019春•岳阳楼区校级月考）已知0，函数()cos()4fxx=−在(2，)上单调递减，则的取值范围是()A．1[2，5]4B．1[2，3]4C．(0，1]

2D．(0，2]【分析】根据函数的单调性求出02„，然后求出当(2x，)时，4x−的取值范围，利用余弦函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：()cos()cos()44fxxx=−=−，若函数()fx在(2，)上单调递减，则22()2T=−=

…，02„，若2x，则2x，2444x−−−，02„，34244−−，7444−−，若函数()fx在(2，)上单调递减，则满足0244−−…„，即1254

…„，即1524剟，故选：A．【名师指导】1.求三角函数单调区间的方法求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，可利用换元法转化为两个简单函数(t＝ωx＋φ与y＝Asint)进行求解，应注意ω的符号对复合函数单调性的影响，牢记基本法则——同增异减．准确

记忆基本结论：函数单调递增区间单调递减区间y＝sinx－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)y＝cosx[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)y＝tanx－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)无2.已知函数

单调性求参数(1)明确一个不同：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集．(2)抓住两种方法．已知函数在区间M上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间

的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解．题型4三角函数的周期性、奇偶性、对称性【例4-1】（2020•怀化模拟）函数()|tan()|3fxx=+的最小正周

期是()A．2B．4C．D．2【分析】画出草图即可判断结论．【解答】解：因为函数()|tan()|3fxx=+；326xkxk+++，kZ；其定义域为：{|6xxk+，}kZ；其图象大致为：故其周期为：；故选：C．【例4-2】（2019秋•淮南期末）函

数1sin()(0)2yx=+剟是R上的偶函数，则的值是()A．0B．4C．2D．【分析】由给出的函数为实数集上的偶函数，所以有11sin()sin()22xx−−=−恒成立，展开两角和

及差的正弦后移向整理，得cos0=恒成立，再根据给出的的范围可求其值．【解答】解：由1sin()2yx=−是R上的偶函数，则11sin()sin()22xx−−=−恒成立，即1111sincoscossinsincoscossin2222xxxx−−=−，也

就是12sincos02x=恒成立．即cos0=恒成立．因为0剟，所以2=．故选：C．【例4-3】（2020•来宾模拟）已知点(2,0)为函数()2cos()(||)32fxx=+图象的一个对称中心，则实数(=)A．3−B．6C．3

D．6−【分析】把点的坐标代入，利用三角函数求值即可求得结论．【解答】解：根据题意，得2cos(2)03+=，2()32kkZ+=+，()6kkZ=−，又||2，取0k=，可得6=−．故选：D．【例4-4

】（2020•成都模拟）已知函数()sin(2)2fxx=+，则函数()fx的图象的对称轴方程为()A．,4xkkZ=−B．,4xkkZ=+C．1,2xkkZ=D．1,24xkkZ=+【分析】根据函数的解析式

，结合正弦函数的对称性，可得答案．【解答】解：由函数()sin(2)2fxx=+，则222xk+=+，kZ，得：12xk=，kZ，故选：C．【跟踪训练4-1】（2020•新课标Ⅰ）设函数()cos()6fxx=+在[−，]的图象大致如图，则()fx的

最小正周期为()A．109B．76C．43D．32【分析】由图象观察可得最小正周期小于139，大于109，排除A，D；再由4()09f−=，求得，对照选项B，C，代入计算，即可得到结论．【解答】解：由

图象可得最小正周期小于413()99−−=，大于4102()99−=，排除A，D；由图象可得44()cos()0996f−=−+=，即为4962k−+=+，kZ，(*)若选B，即有212776==，由4129762k−+=+，可得k不为整数，排除

B；若选C，即有23423==，由439262k−+=+，可得1k=−，成立．故选：C．【跟踪训练4-2】（2020春•辽宁期中）下列函数中，周期为，且在(4，)2上单调递减的是()A．sinc

osyxx=B．sincosyxx=−C．tan()4yx=+D．|cos2|yx=【分析】由条件利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：对于A，由于1sincossin22yxxx==的周期为22=，且在(

4，)2上单调递减，故满足条件．对于B，由于sincos2sin()4yxxx=−=−的周期为2，故不满足条件．对于C，由于tan()4yx=+的周期为，在(4，)2上，(42x+，3)4，故函数单调递增，故不

满足条件．对于D，函数|cos2|yx=的最小正周期为2，函数在区间(4，)2上单调递增，故不满足条件．故选：A．【跟踪训练4-3】（2020•徐汇区二模）函数()cos3xfx=的最小正周期为．【分析】由题意利用

利cos()yAx=+的周期为2，得出结论．【解答】解：函数()cos3xfx=的最小正周期为263=，故答案为：6．【跟踪训练4-4】（2019秋•大武口区校级月考）函数tan2xy=是()A．最小正周期为4的奇函数B．最小正周期为2的

奇函数C．最小正周期为4的偶函数D．最小正周期为2的偶函数【分析】根据正切函数的周期公式以及函数奇偶性进行判断即可．【解答】解：函数的周期212T==，且函数为奇函数，故选：B．【跟踪训练4-5】（2020•温州模拟）已知函数()sin()(0f

xx=+，0)剟是偶函数，且在[0，]2上是减函数，则=，的最大值是．【分析】首先利用三角函数的对称性的应用求出的值，进一步利用函数的单调性的应用求出的范围，从而确定结果．【解答】解：由于函数()sin(

)(0fxx=+，0)剟是偶函数，所以2=．由于在[0，]2上是减函数，所以02−…，所以02„，故答案为：;22．【跟踪训练4-6】（2019•浦东新区二模）已知函数()sin2()(0)fxx=+是偶函数

，则的最小值是．【分析】结合三角函数的奇偶性，建立方程关系求出的表达式即可．【解答】解：()sin2()sin(22)fxxx=+=+是偶函数，则22k=+，kZ，即42k=+，kZ，当0k=时，取得最小值，为4，故答案为：

4．【跟踪训练4-7】（2020•武汉模拟）已知函数()cos(3)()22fxx=+−图象关于直线518x=对称，则函数()fx在区间[0，]上零点的个数为()A．1B．2C．3D．4【

分析】根据余弦型函数的对称性知，()fx在518x=时取得最值，由此求出值，再令()0fx=，解出x，即可判断在[0，]上零点个数．【解答】解：因为函数()cos(3)()22fxx=+−图象关于直线518x=对称，5co

s(3)118+=，5,6kkZ+=，由22−知，1k=时，6=．故()cos(3)6fxx=+，令()0fx=得3,62xkkZ+=+，,93kxkZ=+．因为[0x，]，所以0k=，1，2时，47,,999

=满足条件．故零点有三个．故选：C．【跟踪训练4-8】（2020春•临川区校级期中）下列是函数cos()3yx=+图象的对称轴方程的是()A．6x=B．3x=C．56x=D．23x=【分析】根据余弦函数的对称性，求出对称轴即可．【解答】解：令3xk

+=，kZ，解得3xk=−，kZ，当1k=时，23x=，选项D符合题意．故选：D．【名师指导】1．三角函数最小正周期的求解方法(1)定义法；(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ω

x＋φ))的最小正周期T＝2π|ω|，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|；(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．2．有关周期的2个结论(1)函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|A

tan(ωx＋φ)|的周期均为T＝π|ω|.(2)函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝2π|ω|.3．若y＝f(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时

，y＝0；若y＝f(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值．4.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)整理；对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.(2

)求f(x)＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)．整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x即可．(3)求f(x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)，求x.