【文档说明】北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，1.070 MB，由小赞的店铺上传

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数学试卷（120分钟）2024.04第一部分（选择题共24分）一、选择题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题列出的四个选项中.选出符合题目要求的一项.1.sin585值为（）A.22B.22−C.32D.32−【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解

.【详解】2sin585sin(360225)sin(18045)sin452=+=+=−=−.故选：B.【点睛】本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题.2.在平面直角坐标系xOy中，若角的

终边经过点()4,3−，则sin，cos分别为（）A.4−，3B.3，4−C.45−，35D.35，45−【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义计算可得.【详解】因为角的终边经过点()4,3−，所以()2233sin543==−+，()2244cos543−==−−+.

故选：D3.设O，A，B，C为平面四个不同点，它们满足34OBOCOA+=，则（）A.A，B，C三点共线B.O，B，C三点共线C.A，O，C三点共线的D.A，B，O三点共线【答案】A【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则得到3ABCA=，即可判断.【详解】

因34OBOCOA+=，所以33OBOAOAOC−=−，即()3OBOAOAOC−=−，所以3ABCA=，所以//ABCA，所以A，B，C三点共线.故选：A4.下列条件满足ABCV为直角三角形的个数为（）①()()sinsinABAB−=+；②sinsincoscosCBC

B=；③22sinsin1CB+=A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】【分析】利用和差角公式判断①②，利用特殊值判断③.【详解】对于①：()()sinsinABAB−=+，所以sincoscossinsi

ncoscossinABABABAB−=+，所以cossin0=AB，又()0,πB，sin0B，所以cos0A=，又()0,πA，所以π2A=，则ABCV为直角三角形，故①正确；对于②：sinsincoscosCBCB=，则coscossinsin0CBCB−=，即()cos0BC+=

，又()0,πBC+，所以π2BC+=，则π2A=，即ABCV为直角三角形，故②正确；对于③：当π6B=，2π3C=，则1sin2B=，3sin2C=，满足22sinsin1CB+=，但是ABCV为钝角三角形，故③错误.故选：C5.已知tantan，那么下列命题成立的是（）

为A.若，是第一象限角，则coscosB.若，是第二象限角，则sinsinC.若，是第三象限角，则coscosD.若，是第四象限角，则sinsin【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合三

角函数线，以及三角函数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若，是第一象限角，且tantan，作出三角函数线，如图1所示，则cos,cosOAOAOPOQ==，因为OPOQ，所以coscos，所以A错误；对于B中，若，是第二

象限角，且tantan，作出三角函数线得到有向线段11,NNMM，如图2所示，则11sin,sinNNMM==，所以sinsin，所以B错误；对于C中，若，是第三象限角，且tantan，作出三角函数线得到有向线段11,OMON，如图3所示，则11co

s,cosOMON==，所以coscos，所以C错误；对于D中，若，是第四象限角，且tantan，作出三角函数线得到有向线段11,MMNN，如图4所示，则11sin,cosMMNN==，所以sinsin，所以D正确.故选：D.6.

函数()()()sin20fxx=+图像上存在两点(),Pst，()(),0Qrtt满足π6rs-=，则下列结论成立的是（）A.π162fs骣琪+=琪桫B.π362fs骣琪+=琪桫C.π162fs骣琪-=-琪桫D.π362fs骣琪-=

-琪桫【答案】B【解析】【分析】先求出周期，其次根据(),Pst，()(),0Qrtt在函数()fx图象上，根据正弦函数的对称性可得22π2π,Zrskkjj+++=+?，再联立π6rs-=得到2sj+值，根据0t缩小2sj+的取值范围，最后代入π6fs骣琪+琪桫和π6fs骣琪-琪桫求值即可.

【详解】周期2ππ2T==，因为函数()()()sin20fxx=+图像上存在两点(),Pst，()(),0Qrtt，所以()()sin2sin20srtjj+=+=>，因为ππ644Trs-=<=，所以0222Trs−，故由正弦函数图像的性质可得22π2π,Z

rskkjj+++=+?，联立22π2π2π6rskrs+=+−−=，解得π2π3skj=+-，则π2π3skj+=+，又()()sin2sin20srtjj+=+=>，所以11π22π,Z3skkj+=+?，所以πππsin2si

n2663fsssjj轾骣骣骣犏琪琪琪+=++=++琪琪琪犏桫桫桫臌1π2π3sinsin332π2π3k骣琪=+==琪ø+è，故B正确；A错误；πππsin2sin2663fsssjj轾骣骣骣犏琪琪琪-=-+=-+琪琪琪犏桫桫桫臌1

πsinsin0π2π303k骣琪==÷桫+-=ç，故C、D错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够根据正弦函数的对称性得到22π2π,Zrskkjj+++=+?.第二部分（非选择题共126分）二、填空题共9道小题，其

中7-10题，每小题4分，共16分，11-15题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.7.两个非零向量()1,1ax=−，()21,0bx=−共线，则x=______.【答案】1【解析】【分析】根据共线向量的坐标表示可求x的值.【详解】因为()1,1ax=−，()21,0bx=−共线，

故()()10121xx=−−，故1x=或12x=，而当12x=时，0b=，与题意不合，舍，故1x=，故答案为：1.8.设1x，2x为方程220xxm−−=的两个根，且1220xx+=，则m的值为______.【答案】8【解析】【分析】

利用韦达定理计算可得.【详解】因为1x，2x为方程220xxm−−=的两个根，所以440m=+即1m−，且12122xxxxm+==−，又1220xx+=，所以1224xx=−=，所以24m−=

−，解得8m=.故答案为：89.函数()cosfxx=在π,π3−上的值域为______.【答案】[1,1]−【解析】【分析】根据题意，结合余弦函数图象与性质，即可求解.【详解】由余弦函数的性质，可得()cosfx

x=在π,03−上单调递增，在0,π上单调递减，所以，当0x=时，()()max01fxf==，又因为π1(),(π)132ff−==−，所以函数()fx的值域为[1,1]−.故答案为：[1,1]−.10.已知()3,1a=，()23,2b=−，则a与b的夹角为___

___．【答案】2π3【解析】【分析】根据题意结合向量的坐标运算求解.【详解】由题意可知：624,2,4abab=−+=−==rrrr，的可得1cos,2ababab==−rrrrrr，且,0,

πab，所以a与b的夹角为2π3.故答案为：2π3.11.函数πsin23yx=+图像上的点π,4Pt向右平移()0ss个单位后得到P，若P落在函数sin2yx=上，则s的

最小值为______.【答案】π6##1π6【解析】【分析】先把点π,4Pt代入πsin23yx=+求出12t=，再把π,4Pst骣¢琪+琪桫代入sin2yx=，求出s值，结合0s求出其最小值即可.【详解】因为点π,4Pt在函数πsin23

yx=+图像上，所以ππ1sin2432t骣琪=?=琪桫，由题意可知π,4Pst骣¢琪+琪桫，又P落在函数sin2yx=上，所以ππ1sin2sin2cos2422sss轾骣骣犏琪琪?=+==琪琪犏桫桫臌，解得π22π3s

k=+或π2π,Z3kk-?，即ππ6sk=+或ππ,Z6kk-?，又0s，所以π6s=，即s的最小值为π6.故答案为：π6.12.若π3+=，则tantan3tantan++的值____

__.【答案】3【解析】【分析】利用两角和的正切公式计算可得.【详解】因为π3+=，则()πtantan33+==，即()tantantan31tantan++==−，所以()tantan31tant

an+=−所以tantan3tantan3++=.故答案为：313.如图，函数()()()cos0,0,02πfxAxA=+，则=______；=______.【答

案】①.π4②.7π4【解析】【分析】由周期的定义结合图象可得π4=，代入点()3,0后再结合余弦函数值可得7π4=.【详解】由图象可知，函数的周期为()718T=−−=，所以2ππ4T==；根据五点法，当3x=时，π

π32π,Z42kk+=+，所以π2π,Z4kk=−，因为0π，所以π47=；故答案为：π4；7π4.14.若()()sinsin044fxaxbxab=++−是奇函数，则有序实数对(),a

b可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．【答案】()1,1（答案不唯一）【解析】【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数a，b应该满足的条件，按等式关系选取答案即可.【详解】已

知0ab，()2222sinsinsincossincos442222fxaxbxaxxbxx=++−=++−()()22sincos22abxabx=++−，若()fx是奇函

数，则0ab−=即可，可以取1a=，1b=.故答案为：()1,1（答案不唯一）15.在平面直角坐标系xOy中，()1,0A，()0,2B.集合,02,01MPOPOAOB==+，下列结论正确的是______.①点(

)3,1CM；②若45AOP=，则2=；③若1ON=，则OPON的最小值为22−.【答案】②③【解析】【分析】首先求出点P所在的平面区域，再数形结合即可判断.【详解】对于①，因为()1,0A，()0,2B，所以()1,0OA=，()0,2O

B=，又()()()1,00,2,2OPOAOB=+=+=，因为02，01，所以点P在边长为2的正方形OBEF区域内（包括边界上的点），如下图所示：显然()3,1CM，故①错误；对于②，若4

5AOP=，即P在OE上，则OPtOE=()01t，又2OEOAOB=+，所以2OPtOAtOB=+，又OPOAOB=+，OA、OB不共线所以2tt==，所以2=，故②正确；对于③，因为1ON=，则N在以圆点为圆心，半径为1的圆上，由图可知

当P在E点且N在EO的延长线与圆的交点时OPON取得最小值，且()()min122122OPON=−=−，故③正确.故答案为：②③三、解答题共6道题，共85分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16.函数()()22cossin

0fxxx=−的最小正周期为π.（1）求；（2）求()fx单调递增区间，【答案】（1）1=（2）ππ,π,Z2kkk轾-?犏犏臌的【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简()cos2fxxw=，再由周期的定义求出1=；（2）由余弦函数的单调递增区间解出即可.【小问1详解】因为()

22cossincos2fxxxxwww=-=，所以2ππ12ww=?，【小问2详解】由（1）可知，()cos2fxx=，所以π2ππ22π,Zππ,Z2kxkkkxkk-＃无-＃?，所以()fx的单调递增

区间为ππ,π,Z2kkk轾-?犏犏臌.17.在ABCV中，角A，B，C对应边长分别为a，b，c，其中4a=，2b=，60A=.（1）求c；（2）求sinB.【答案】（1）113+（2）34【解析】【分析】（1）利用余弦定

理求解即可（2）利用正弦定理求解即可【小问1详解】由余弦定理得2222cosacbbcA=+−，即21642cc=+−，解得113c=+（负值舍去）.故c值为113+.【小问2详解】由正弦定理得sin2sin603si

n44bABa===.故sinB值为34.18.在ABCV中，角A，B，C对应边长分别为a，b，c.（1）设AD，BE，CF是ABCV的三条中线，用AB，AC表示AD，BE，CF；（2）设90A=，ADBC⊥，求证：2ADBDDC=.（用向量方法证明）【答案】

（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；（2）根据题意，得到,DBDCADABACAD=−=−，结合向量的数量积的运算公式和数量积的几何意义，即可得证.【小问1详解】解：由AD，BE，CF

是ABCV的三条中线，可得1111()2222ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+−=+，1122BEAEABACABABAC=−=−=−+，12CFAFACABAC=−=−uuuruuuruuuruuuruuur.【小问2详解】证明：在ABCV中，因为90A=，ADBC⊥，所

以0ABAC=，可得,DBDCADABACAD=−=−，则()()2BDDCADABACADADACADABACADAB=−−=−−+2ADACADABAD=+−，因为22cos,cosADACADACA

CADADABADADBADDBA====，所以2222BDDCADADADAD+−==，即2ADBDDC=.19.设00xxyy==是方程2214xy+=的一组解，计算：（1）000022yyxx+−；（2）求000022112xyyx++−−的值.【

答案】（1）14−（2）4【解析】【分析】（1）依题意可得220014xy+=，即220044xy+=，再将所求式子化简，最后整体代入即可；（2）由abab=将所求式子展开，再代入220044xy+=计算可得.【小问1详解】因为00xxyy==是方程2214

xy+=的一组解，所以220014xy+=，即220044xy+=，即220044xy−=−，则220000220000122444yyyyxxxy===−+−−−.【小问2详解】因为000022112xyyx++−−000000222

122yxyxyx−=−++−−()()()200002122yxyx=−+−−2200000000004444282yxxyxxyyxy+++−+−−−=又220044xy+=，所以原式000000008448242yxyxxyyx=−−−−+=+，即0000221412xyyx++=−−

.20.已知函数()sincosfxxx=+，𝑥∈𝑅.（1）求π6f，2π3f的值并直接写出()fx的最小正周期；（2）求()fx的最大值并写出取得最大值时x的集合；（3）定义()()maxxgafxa=−R，aR

，求函数()ga的最小值.【答案】（1）π2π31632ff+==，最小正周期为π2.（2）()max2fx=，此时对应的x的取值集合为ππ|,Z42kxxk=+.（3）()min212ga−=

【解析】【分析】（1）根据特殊角三角函数值可求π6f，2π3f的值，而()1sin2fxx=+，故可求()1sin2fxx=+的最小正周期.（2）先求出0sin21x，结合（1）的化简结果

可得()fx何时取何最值.（3）利用（2）的结合可求()ga的解析式，故可求其最小值.【小问1详解】πππ312π2π2π31sincos,sincos66623332ff++=+==+=

，又()1sin2fxx=+，而sin2yx=的最小正周期为π2，的故()1sin2fxx=+的最小正周期为π2.【小问2详解】因为0sin21x，故()12fx，故()max2fx=，此时sin21x=即π2π2xk=+即ππ,Z42kxk=+.对应的x的集合

为ππ|,Z42kxxk=+；【小问3详解】由（2）可知，()min1fx=，()max2fx=，当1a时，()()fxafxa−=−，所以()2gaa=−；当2a时，()()fxaafx−=−，所以()1gaa=−；当12a时，()122,1

2max2,1121,22aagaaaaa+−=−−=+−，综上，()122,2121,2aagaaa+−=+−，故()min212ga−=.21.已知集合()()12,,,,0,1,1,2,,2nniSXX

xxxxinn===，对于()12,,,nAaaa=，()12,,,nnBbbbS=，定义A与B的差为()1122,,,nnABababab−=−−−，A与B之间的距离

为()1,niiidABab==−.（1）直接写出nS中元素的个数，并证明：任意,nABS，有nABS−；（2）证明：任意,,nABCS，有()()(),,,dABdACdBC++是偶数；（3）证明：,,nABCS，有()()()(),,,,

dBCdABdACdBC−−.【答案】（1）nS中元素的个数为2n；证明见详解（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意分析可知nS中元素的个数为2n，结合定义可得0,1iiab

−，即可证明结论；（2）分类讨论可知iiiiiiabacbc−+−+−为偶数，结合定义分析证明即可；（3）根据题意分析可得iiiiiiiibcabacbc−−−−−−，进而可得结果.【小问1详解】因为0,1,1,2,,,2ixinn=，可知ix均为2个值可取，所

以nS中元素的个数为2n，对于任意1212(,,,),(,,,)nnnAaaaBbbbS==，可知0,1,1,2,,,2,iibainn=，则iiab−的结果如下表所示：iaib01001110可得0,1iiab−，

所以nABS−.【小问2详解】设121212(,,,),(,,,),(,,,)nnnnAaaaBbbbCcccS===，,,0,1(1,2,,)iiiabcin=，对任意1

,2,,in，均有iiiiabba−=−，则()(),,dABDBA=，若,,iiiabc均为0或,,iiiabc均为1，则0iiiiiiabacbc−=−=−=，所以0iiiiiiabacbc−+−+−

=为偶数；若,,iiiabc中有1个0，2个1，不妨设,01iiiabc===，则1,0iiiiiiabacbc−=−=−=，所以2iiiiiiabacbc−+−+−=为偶数；若,,iiiabc中有2个0，1个1，不妨设,10iiiabc===，则1,

0iiiiiiabacbc−=−=−=，所以2iiiiiiabacbc−+−+−=为偶数；综上所述：iiiiiiabacbc−+−+−为偶数，所以()()()111,,,nnniiiiiiiiidABdACdBCabacbc===++

=−+−+−()1niiiiiiiabacbc==−+−+−为偶数.【小问3详解】设121212(,,,),(,,,),(,,,)nnnnAaaaBbbbCcccS===由（1）可知：,,nACBCABS−−−，由题

意知：,,0,1(1,2,,)iiiabcin=，当0ia=时，1,1,00,1,0,1iiiiiiiiiiiibcabacbcbcbc==−−−=−==−==；但1,1,00,1,0,1iiiiiii

ibcbcbcbc==−====，可得iiiiiibcbcbc−−−−，即iiiiiiiibcabacbc−−−−−−；当1ia=时，()()1,1,00,1,0,1iiiiiiiiiiiiiiiibcabacabaccbbcbc−=

=−−−=−−−=−====，但1,1,00,1,0,1iiiiiiiibcbcbcbc==−====，可得iiiiiibccbbc−−−−，即iiiiiiiibcabacbc−−−−−−；综上所述：iiiiiiiibcabacbc−−−−−

−，由i的任意性可得：1111nnnniiiiiiiiiiiibcabacbc====−−−−−−，所以()()()(),,,,dBCdABdACdBC−−.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通

过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，

分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.