【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试(新高考专用)专题33 平面向量基本定理及坐标表示 Word版无答案.docx,共(9)页,770.553 KB,由小赞的店铺上传
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专题33平面向量基本定理及坐标表示知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一:平面向量基本定理的应用题型二:平面向量的坐标运算题型三:利用向量共线求参数题型四:利用向量共线求参数培优训练训练一:训练二:训练三:训练四:训练五:训练六:强化测试单选题:共8题多选
题:共4题填空题:共4题解答题:共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【考点预测】1.平面向量基本定理
(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.(2)基底:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=x21+y21.(2)向量坐标的求法①若
向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标;②设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB→=(x2-x1,y2-y1),|AB→|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⇔x1y2-x2y1=0.【常用
结论】1.平面内不共线向量都可以作为基底,反之亦然.2.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.4.已知P为线段AB的中点,若A(
x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为x1+x22,y1+y22;已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为x1+x2+x33,y1
+y2+y33.【方法技巧】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.3.向量的坐标表示把点与数联
系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体.4.平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线
的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R).二、【题型归类】【题型一】平面向量基本定理的应用【典例1】在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且BD→=2DC→,CE→=3EA→,若AB→=a,AC→=b,则DE→等于()A.13a+512bB.13a-131
2bC.-13a-512bD.-13a+1312b【典例2】在△ABC中,点P是AB上一点,且CP→=23CA→+13CB→,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又CM→=tCP→,则t的值为________.【典例3】在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,
M,N分别为CD,BC的中点.若AB→=λAM→+μAN→,则λ+μ等于()A.15B.25C.35D.45【题型二】平面向量的坐标运算【典例1】已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c等于()A.133,8
3B.-133,-83C.133,43D.-133,-43【典例2】如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA→=λCE→+μDB→(λ,μ∈R),则λ
+μ的值为()A.65B.85C.2D.83【典例3】向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ等于()A.1B.2C.3D.4【题型三】利用向量共线求参数【典例1】已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线,则x
的值为________.【典例2】已知向量OA→=(k,12),OB→=(4,5),OC→=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是()A.-23B.43C.12D.13【题型四】利用向量共线求向量或点的坐标【典例1】在△ABC中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),O
C→=14OA→,OD→=12OB→,AD与BC交于点M,则点M的坐标为________.【典例2】已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为________.三、【培优训练】【训练一】已知在Rt△ABC中,A=π2,AB=3,AC=4,P为BC上任
意一点(含B,C),以P为圆心,1为半径作圆,Q为圆上任意一点,设AQ→=aAB→+bAC→,则a+b的最大值为()A.1312B.54C.1712D.1912【训练二】(多选)已知向量e1,e2是平面α内的一组基向量,O为
α内的定点,对于α内任意一点P,当OP→=xe1+ye2时,则称有序实数对(x,y)为点P的广义坐标.若点A,B的广义坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),关于下列命题正确的是()A.线段AB的中点的广义坐标为x1+x22,y1+y22B.A,B两点间的距离为(x1-x2)2
+(y1-y2)2C.向量OA→平行于向量OB→的充要条件是x1y2=x2y1D.向量OA→垂直于OB→的充要条件是x1x2+y1y2=0【训练三】已知△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,A
D为角平分线.(1)求AD的长度;(2)过点D作直线交AB,AC的延长线于不同两点E,F,且满足AE→=xAB→,AF→=yAC→,求1x+2y的值,并说明理由.【训练四】如图,G是△OAB的重心,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.(1)设PG→=λPQ→,将OG→用λ,
OP→,OQ→表示;(2)设OP→=xOA→,OQ→=yOB→,求证:1x+1y是定值.【训练五】如图,在△OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点,设AB→=a,AO→=b.(1)用向量a与b表示向量OC→,CD→;(2)
若OE→=35OA→,判断C,D,E三点是否共线,并说明理由.【训练六】如图,在同一个平面内,三个单位向量OA→,OB→,OC→满足条件:OA→与OC→的夹角为α,且tanα=7,OB→与OC→的夹角为45°.若OC→=mOA→+nOB→(m,n
∈R),求m+n的值.四、【强化测试】【单选题】1.已知向量a,b满足a-b=(1,-5),a+2b=(-2,1),则b=()A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)2.设向量e1,e2是平面内的一组基底,若向量a=-3e1-e2与b=e1-λe
2共线,则λ=()A.13B.-13C.-3D.33.已知OB是平行四边形OABC的一条对角线,O为坐标原点,OA→=(2,4),OB→=(1,3),若点E满足OC→=3EC→,则点E的坐标为()A.-23,-23B.-13,-13C.13,13D.
23,234.已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设AD→=λAB→+μAC→(λ,μ∈R),则λμ=()A.233B.33C.3D.235.设向量a=(m,2),b=(1,m+1)
,且a与b的方向相反,则实数m的值为()A.-2B.1C.-2或1D.m的值不存在6.如图,已知AB→=a,AC→=b,BC→=4BD→,CA→=3CE→,则DE→=()A.34b-13aB.512a-34bC.34a-13bD.512b-34a7.已知等边三角形
ABC的边长为4,O为三角形内一点,且OA→+OB→+2OC→=0,则△AOB的面积是()A.43B.833C.433D.238.在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M,N分别是AB,AD上的动点,且满足2|AM→|+|AN→
|=1,设AC→=xAM→+yAN→,则2x+3y的最小值为()A.48B.49C.50D.51【多选题】9.已知向量OA→=(1,-3),OB→=(2,-1),OC→=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m可以是()A.-2B.12C
.1D.-110.已知等边三角形ABC内接于⊙O,D为线段OA的中点,则BD→=()A.23BA→+16BC→B.43BA→-16BC→C.BA→+13AE→D.23BA→+13AE→11.设a是已知
的平面向量且a≠0,关于向量a的分解,有如下四个命题(向量b,c和a在同一平面内且两两不共线),则真命题是()A.给定向量b,总存在向量c,使a=b+cB.给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μcC.给定单位向量b和正数μ,总
存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μcD.给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc12.如图,B是AC的中点,BE→=2OB→,P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,且OP→=xOA→+yOB→(x,y∈R),则下列结论中正确的是()A.当x=0时
,y∈[2,3]B.当P是线段CE的中点时,x=-12,y=52C.若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段D.当P在C点时,x=1,y=2【填空题】13.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+
2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=________a+________b.14.已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若AP→=AB→+
λAC→(λ∈R),且点P在直线x-2y=0上,则λ的值为________.15.在△AOB中,AC→=15AB→,D为OB的中点,若DC→=λOA→+μOB→,则λμ的值为________.16.已知O为坐标原点,向量OA→=(1,2),OB→=(
-2,-1),若2AP→=AB→,则|OP→|=________.【解答题】17.已知a=(1,0),b=(2,1),(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线;(2)若AB→=2a+3b,BC→=a+mb且A,B,C三
点共线,求m的值.18.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB→=a,BC→=b,CA→=c,且CM→=3c,CN→=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量MN→的坐标.19.如图,在
△ABC中,AM→=34AB→+14AC→.(1)求△ABM与△ABC的面积之比;(2)若N为AB中点,AM→与CN→交于点P,且AP→=xAB→+yAC→(x,y∈R),求x+y的值.20.如图,已知平面内有三个向量O
A→,OB→,OC→,其中OA→与OB→的夹角为120°,OA→与OC→的夹角为30°,且|OA→|=|OB→|=1,|OC→|=23.若OC→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),求λ+μ的值.21.已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM→=t1OA→+t2
AB→.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点共线.22.已知点A,B为单位圆O上的两点,点P为单位圆O所在平面内的一点,且OA→与OB→不共线.(1)在△OAB中,点P在AB上,且AP→=2PB
→,若AP→=rOB→+sOA→,求r+s的值;(2)已知点P满足OP→=mOA→+OB→(m为常数),若四边形OABP为平行四边形,求m的值.