【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题04 基本不等式及其应用 Word版无答案.docx，共(12)页，233.825 KB，由小赞的店铺上传

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专题04基本不等式及其应用知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：用配凑法求基本不等式的最值题型二：用常数代换法求基本不等式的最值题型三：用消元法求基本不等式的最值题型四：基本不等式的常见变形应用题型五：利用基本

不等式求参数范围题型六：基本不等式与其他知识交汇的最值问题题型七：基本不等式的实际应用培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解基本不等式的证明

过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.【考点预测】1.基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中a＋b2叫做正数a，b的算术

平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数

，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.【常用结论】1.ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取

等号.2.ab≤a＋b22≤a2＋b22.3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次

使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.【方法技巧】1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求ax＋by的最值”的问题，先将ax＋by转化为

ax＋by·x＋yt，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，

构造目标式的不等式求解.5.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.6.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.7.根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式

求得函数的最值.8.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.9.在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.二、【题型归类】【题型一】用配凑法求基本不等式的最值【典例1】设

0<x<32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为()A.94B．4C.92D．9【典例2】若x<23，则f(x)＝3x＋1＋93x－2有()A．最大值0B．最小值9C．最大值－3D．最小值－3【典例3】函数y＝(𝑥+5)(𝑥+2)𝑥+1(x>－

1)的最小值为________．【题型二】用常数代换法求基本不等式的最值【典例1】已知首项与公比相等的等比数列{an}中，满足ama2n＝a24(m，n∈N＋)，则2m＋1n的最小值为()A.1B.32C.2D.92【典例2】已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则2a＋12b的最

小值是()A．1B．2C.94D.92【典例3】已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．【题型三】用消元法求基本不等式的最值【典例1】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．【典

例2】若实数x>1，y>12且x＋2y＝3，则1x－1＋12y－1的最小值为________．【典例3】已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝2a＋3ba＋b()A.有最大值145B.有最小值145C.有最小值3D.有最大值3【题型四】基本不等式的常见变形应用【典

例1】《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为()A

.a＋b2≥ab(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C.2aba＋b≤ab(a>0，b>0)D.a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)【典例2】已知0<a<1，b>1，则下列不等式中成立的是()A．a

＋b<4aba＋bB.ab<2aba＋bC.2a2＋2b2<2abD．a＋b<2a2＋2b2【典例3】若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2abC.1a＋1b>2abD.ba＋ab≥2【题型五】利

用基本不等式求参数范围【典例1】已知a>0，b>0，若不等式m3a＋b－3a－1b≤0恒成立，则m的最大值为()A．4B．16C．9D．3【典例2】已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．若关于x的不

等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围为________．【典例3】已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8【题型六】基

本不等式与其他知识交汇的最值问题【典例1】在△ABC中，点P满足BP→＝2PC→，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若AM→＝mAB→，AN→＝nAC→(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为()A.3B.4C.83D.103【典例2】如果函数f(x)＝12(m－2)x2＋

(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间12，2上单调递减，那么mn的最大值为()A．16B．18C．25D.812【典例3】在△ABC中，A＝π6，△ABC的面积为2，则2sinCsinC＋

2sinB＋sinBsinC的最小值为()A.32B.334C.32D.53【题型七】基本不等式的实际应用【典例1】某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60m，AB＝40m，且△EFG

中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10m，EF＝20m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN＝x(m)．(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的

函数；(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【典例2】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘

积ab成反比．现有制箱材料60m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)?【典例3】如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋

网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？三、【培优训练】【训练一】

(多选)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是()A.a＋b＋c≤3B.(a＋b＋c)2≥3C.1a＋1b＋1c≥23D.a2＋b2＋c2≥1【训练二】已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求12

a＋12b＋8a＋b的最小值；(2)若a，b∈R，ab>0，求a4＋4b4＋1ab的最小值.【训练三】若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xx－1＋2yy－1的最小值为________．【训练四】设a>b>0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是________．【训

练五】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b2的最大值．【训练六】如图所示，已知树顶A离地面212米，树上另一点B离地面112米，某人在离地面32米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视

角最大．四、【强化测试】【单选题】1.若x>0，y>0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是()A.x＝yB.x＝2yC.x＝2且y＝1D.x＝y或y＝12.函数f(x)＝x2＋4|x|的最小值为()A.3B.4C

.6D.83.若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为()A.8B.6C.4D.24.已知正数a，b满足a＋b＝1，则4a＋1b的最小值为()A.53B.3C.5D.95.已知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a

，b)在直线l上，则2a＋2－b的最小值是()A.4B.2C.22D.26.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]7.设a>0，若关于x的不等式x＋ax－1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(

)A．16B．9C．4D．28.已知x>0，y>0，且1x＋1＋1y＝12，则x＋y的最小值为()A．3B．5C．7D．9【多选题】9.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a＋b≥2abB．1a

＋1b>1abC．ba＋ab≥2D．a2＋b2≥2ab10.给出下面四个推断，其中正确的为()A．若a，b∈(0，＋∞)，则ba＋ab≥2B．若x，y∈(0，＋∞)，则lgx＋lgy≥2lgx·lgyC．若a∈R

，a≠0，则4a＋a≥4D．若x，y∈R，xy<0，则xy＋yx≤－211.已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥12B．2a－b>12C．log2a＋log2b≥－2D.a＋b≤212.设a>0

，b>0，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋b＋1ab≥22B.2aba＋b>abC.a2＋b2ab≥a＋bD．(a＋b)1a＋1b≥4【填空题】13.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，则

4a3＋9a7的最小值为________.14.设P(x，y)是函数y＝2x(x>0)图象上的点，则x＋y的最小值为________．15.函数y＝x2x＋1(x>－1)的最小值为________．16.若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为_______

_，1a＋2b的最小值为________．【解答题】17.(1)当x<32时，求函数y＝x＋82x－3的最大值；(2)设0<x<2，求函数y＝x（4－2x）的最大值．18.已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．19.设a，b为正实数，且1a＋1b

＝22.(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．20.(1)已知0＜x＜43，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．21.(1)解不等式4x－1≤x－1；(2)求函数y

＝2x＋91－2xx∈0，12的最小值．22.某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是

1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数

；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家获取利润最大，最大利润是多少？