【文档说明】《苏教版（2019）选择性必修2 高二数学下学期期末考试分类汇编》期末测试卷（二）（教师版）【高考】.docx，共(23)页，1.196 MB，由小赞的店铺上传

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2021-2022高二下学期期末测试卷（二）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时

间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标

号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题意要求的.）1．已知平面α的法向量为()3,1,2n=−r，()3,1,2AB=−−，则直线AB与平面α的位置关系为（）A．AB∥αB．AB⊂αC．AB与α相交D．AB⊂α或AB∥α【答案】C【解析】【分析】由题可得

//nAB，进而即得.【详解】∵()3,1,2n=−r，()3,1,2AB=−−，∴nAB=−，∴//nAB，∴直线AB与平面α的位置关系为相交．故选：C．2．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号

之和大于5的概率为（）A．15B．25C．13D．16【答案】C【解析】【分析】从4个球中随机抽取两个球，共有24C6=种抽法，其中满足两球编号之和大于5的情况有2,4,3,4共2种抽法，从而利用古典概型概率计算公式即可求

解.【详解】解：从4个球中随机抽取两个球，共有24C6=种抽法，其中满足两球编号之和大于5的情况有2,4,3,42种抽法，所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为2163P==.故选：C.3．设随机变量X的分布列如下表，则实数a的值为（）X-101P16a−a16a+A．16B．13

C．14D．12【答案】B【解析】【分析】根据概率之和为1求得a的值.【详解】依题意11131,663aaaaa−+++===.故选：B4．已知平面α和平面β的法向量分别为(3,1,5)m=−，(6,2,10)n=−−，则（）A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对【答案】

B【解析】【分析】由法向量的坐标可判断法向量的关系，进而确定平面α和平面β的位置关系.【详解】解：∵(3,1,5)m=−，(6,2,10)n=−−∴2nm=−，∴//mn，∴//故选：B.5．变量X与Y相对应的一组数据为)(10,1，)(11.3,2，)(11.8,

3，)(12.5,4，)(13,5；变量U与V相对应的一组数据为)(10,5，)(11.3,4，)(11.8,3，)(12.5,2，)(13,1.1r表示变量Y与X之间的线性相关系数，2r表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）.A．210rrB．210r

rC．210rrD．21rr=【答案】C【解析】【分析】根据变量对应数据可确定X与Y之间正相关，U与V之间负相关，由此可得相关系数的大小关系.【详解】由变量X与Y相对应的一组数据为()10,1，()11.3,2，()11.8,3，()12.5,

4，()13,5，可得变量X与Y之间正相关，10r；由变量U与V相对应的一组数据为()10,5，()11.3,4，()11.8,3，()12.5,2，()13,1，可知变量U与V之间负相关，20r；综上所述：1r与2r的大小关系是210rr．故选：C

.6．空间中，与向量()3,0,4a=同向共线的单位向量e为（）A．()1,0,1e=B．()1,0,0e=或()1,0,1e=−−C．34,0,55e=D．34,0,55e=或34,0,55e=−−【答案

】C【解析】【分析】由已知条件，先求出ar，从而即可求解.【详解】解：因为()3,0,4a=，所以2223045a=++=，所以与向量()3,0,4a=同向共线的单位向量()3,0,4134,0,555aea===，故选：C.7．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位

的二进制数12345Aaaaaa=，其中A的各位数字中，11a=，()2,3,4,5kak=出现0的概率为13，出现1的概率为23．记12345Xaaaaa=++++，当程序运行一次时，3X=的概率为（）

．A．6581B．2527C．827D．79【答案】C【解析】【分析】先分析3X=的条件，再利用独立重复试验的概率公式进行求解.【详解】已知11a=，要使3X=，只需后四位中出现2个1和2个0．所以()2224218

33327PXC===．故选：C8．如图,在正方体1111ABCDABCD−中,点E是线段1CD上的动点,则下列判断：①三棱锥1BABE−的体积是定值与E点位置无关；②若异面直线1BE与AD所成的角为,则c

os的最大值为63；③无论点E在线段1CD的什么位置,都有11ACBE⊥；④当点E与线段1CD的中点重合时,1BE与1AC异面．其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】根据1//CD平面11AABB,所以11BABEEABBVV

−−=，由此即可判断①是否正确；建立空间直角坐标系，利用空间向量即可判断②和③是否正确；点E与线段1CD的中点重合时,即可判断1BE与1AC的关系，进而判断④是否正确.【详解】因为1//CD平面11AABB,所以点E到平面11AABB的距离为BC,设正

方体的棱长为a,则111321113326ABBABEABBBEVVaSBCaa−−====,即无论点E在线段1CD的什么位置,三棱锥1BABE−的体积为定值,故①正确；建立如图所示的直角坐标系,设正方体棱长为1,则()()()()110,0,0,1,1,1,1,0,1,0

,1,0ACBD,设()1,1,Emm−,01m,则1,1,1()BEmm=−−,又()0,1,0AD=,设异面直线1BE与AD所成角为,则12222111cos1113222()BEADBEADmmm===++−−

+,当12m=时,cos有最大值63,此时点E是线段1CD的中点,故②正确,又()11,1,1AC=，所以11110BEACmm=−++−=,所以11ACBE⊥,故③正确；当点E与线段1CD的中点重合时,11CDCDE=,显然1BE与1AC均在平面11AD

CB,故④错误,所以①②③正确.故选：C.二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．在61xx−的展开式中，下列说法正确的有（）A．所有项的二项式系数和为64B

．所有项的系数和为0C．常数项为20D．二项式系数最大的项为第4项【答案】ABD【解析】【分析】由二项式系数可判断A；令1x=可判断B；由二项式定理以及二项式系数的性质可判断CD.【详解】对于A，所有项的二项式系数和为62

64=，故A正确；对于B，令1x=，得所有项的系数和为6(11)0−=，故B正确；对于C，常数项为33361C20xx−=−，故C错误；对于D，展开式有7项，二项式系数最大为第4项，故D正确．故选：AB

D．10．记考试成绩Z的均值为，方差为2，若Z满足()0.660.70PZ−+，则认为考试试卷设置合理.在某次考试后，从20000名考生中随机抽取1000名考生的成绩进行统计，得到成绩的均值为66，方差为196，将数据分成7组，得到如图所示的频率分布直

方图.用样本估计总体，下列说法正确的是（）A．本次考试成绩不低于80分的考生约为4000人B．本次考试成绩的25%分位数约为47.5C．0.030a=D．本次考试试卷设置合理【答案】AC【解析】【分析】对A：由频率

分布直方图求出考试成绩不低于80分的频率即可求解；对B：由频率分布直方图，根据百分位数的计算公式即可求解；对C：由所有矩形面积和为1即可求解；对D：由题意，66=，14=，由频率分布直方图求出()5280PZ即可判断.【详解】解：对A：由频率

分布直方图可得考试成绩不低于80分的频率为()100.0050.0150.2+=，所以本次考试成绩不低于80分的考生约为200000.24000=人，故选项A正确；对B：由频率分布直方图可知，考试成绩在)30,50的频率为0.050.10.150.25+=，考

试成绩在)30,60的频率为0.050.10.150.30.25++=，所以本次考试成绩的25%分位数为0.1105056.70.15+，故选项B错误；对C：由()100.0050.010.0150.020.0150.0051a++++++=可得0.03

0a=，故选项C正确；对D：由题意，66=，14=，所以52−=，80+=，所以()()()852800.015100.02100.03100.620.66,0.710PZPZ−+=

=++=，故选项D错误.故选：AC.11．在正方体1111ABCDABCD−中，下列结论正确的有（）A．1AA是平面1111DCBA的一个法向量B．AC是平面11BDDB的一个法向量C．1ACBC⊥D．1ACBD

⊥【答案】ABD【解析】【分析】根据正方体的结构特征及线面位置关系求解即可.【详解】如图，由正方体中的线面位置关系，可知1AA⊥平面1111DCBA，AC⊥平面11BBDD，BD⊥平面11ACCA，所以A

BD正确，因为AC与1BC所成的角为60°，所以C不正确，故选：ABD12．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨

淋淋”，“日落云里走，雨在半夜后”，……小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了A地区的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：日落云里走夜晚天气下雨不下雨出现255不出现2545临界值表0.10.050.010.001x2.7063.

8416.63510.828并计算得到219.048，下列小明对A地区天气判断正确的是（）A．夜晚下雨的概率约为12B．在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为514C．样本中出现“日落云里走”且夜晚下雨的频率是不出现“日落

云里走”且夜晚下雨的频率的2.5倍D．认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001【答案】ABD【解析】【分析】根据表格中的数据计算出各个选项所求的数据，然后判断即可.【详解】对于A，样本容量为100，夜晚出现下雨的频数为50，概率

约为5011002=，故正确；对于B，未出现“日落云里走”的天数为25+45=70，夜晚下雨的概率为2557014=，故正确；对于C，出现“日落云里走”且夜晚下雨的天数为25，不出现“日落云里走”且夜晚下雨的天数也为25

，其概率分别为2511004=，故错误；对于D，出现“日落云里走”时，由于219.04810.828，由99.9%把握认为夜晚会下雨，故正确；故选：ABD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知样本11+x，21

+x，…，1+nx的平均数为5，方差为3，则样本132x+，232x+，…，32nx+的平均数与方差的和是_____．【答案】23【解析】【分析】利用期望、方差的性质，根据已知数据的期望和方差求新数据的期望和方差.【详解】由题设，(1)5iEx+=，(1)3iDx+=，所以(32)[12(1)]

12511iiExEx+=++=+=，(32)[12(1)]4312iiDxDx+=++==.故平均数与方差的和是23.故答案为：23.14．如图，圆锥的轴截面ABC为正三角形，其面积为43，D为弧AB的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC，DE

所成的角的大小为______．【答案】4【解析】【分析】先根据轴截面面积计算AB，然后建立空间直角坐标系，算出,ACDE，最后根据空间向量夹角公式计算即可.【详解】因为圆锥的轴截面ABC为正三角形，其面积为43，所以4AB=．

建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则23CO=，()0,2,0A−，()2,0,0D，()0,0,23C，()0,1,3E，()0,2,23AC=，()2,1,3DE=−，262cos,2422ACDEACDEACDE

+===，则异面直线AC，DE所成的角的大小为4．故答案为：415．下列说法正确的是______.①独立性检验中，为了调查变量X与变量Y的关系，经过计算得到()26.6350.01Pk=，表示的意义是有99%的把握认为变量X与变量Y有关系；②()xfxeax=−在1x

=处取极值，则ae=；③ab是lnlnab成立的充要条件.【答案】①②【解析】【分析】①根据2K的意义作出判断即可；②分析导函数，根据()10f=求解出a的值后再进行验证；③根据ab与lnlnab互相推出的情况作出判断.【详解】解：①因为变量X与变量Y没有关系的概率为0.01，所以有99

%的把握认为变量X与变量Y有关系，故正确；②由题意知()xfxea=−且()10f=，所以0ea−=，所以ae=，所以()xfxee=−，令()0fx¢=，所以xe=，当(),xe−时，()0fx¢<，当(),xe+时，()0fx¢>，所以()fx在1x=取极值，故正确

；③当ab时不一定有lnlnab，如1,2ab=−=−；当lnlnab时，则有ab，所以ab是lnlnab成立的必要不充分条件，故错误，故答案为：①②.16．如图，正三棱柱111ABCABC−的各棱长均为1，点O和点E分别为棱BC和棱11AB的中点，先将底面ABC置于

平面内，再将三棱柱绕BC旋转一周，则以下结论正确的是___________（填入正确结论对应的序号）.①设向量OE旋转后的向量为a，则52a=②点E的轨迹是以194为半径的圆③设①中的a在平面上的投影向量为b，则b的取值范围是15,42④直线OE在平面内的投影与直线BC所成

角的余弦值的取值范围是5,15【答案】①②③【解析】【分析】利用坐标法，由可得13,,144OE=，利用模长公式可判断①②，利用投影向量的概念可得1,,04by=，可判断③，利用夹角公

式可判断④.【详解】如图，取棱11BC的中点F，以OB为x轴，OA为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，则()0,0,0O，13,,144E，()1,0,0CB=，13,,144OE=，OE绕着BC旋转即绕

着x轴旋转，设旋转后的向量为a，则52aOE==，①正确；设(),,axyz=，则14x=，222251192416yz+=−=，点E的轨迹是以194为半径的圆，②正确；由题知2190,16y，a在平面上的投影向量即为其在xOy平面上

的投影向量1,,04by=，2115,1642by=+，③正确；设直线OE在平面内的投影与直线BC所成的角为，则2154coscos,,110116bCBy==+，④错误.故答案为：①②③.四、解

答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如下表所示：x23456y457109(1)求x，y；(2)根据上表中的数据，求出y关于x的线性回归方程；并估计当10x=时y的值.附：对于一组

数据()()()1122,,,,,,nnxyxyxy，其回归方程ybxa=+$$$的斜率和截距的.最小二乘估计公式分别为：()()()121niiiniixxyybxx==−−=−，aybx=−$$.注：根据上表所

给数据可算出1.5b=.【答案】(1)4x=，7y=；(2)312yx=+，16【解析】【分析】（1）代入求平均数公式中进行计算；（2）代入公式求出ˆ32b=，1a=，确定y关于x的线性回归方程；并代入10x=，求出答案.(1)2345645x++++==，45710975y

++++==(2)()()()()()()()51521231201322341014ˆ2iiiiixxyybxx==−−−−+−−+++===++++−，312ˆ7ˆ4aybx=−=−=，所以y关于x的线性回归方程为31

2yx=+，当10x=时，310162ˆ1y=+=.18．如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD和侧面11BCCB都是矩形，22ABBC==，12BB=，E是CD的中点，11DE=.(1)求证：1DE⊥平面ABCD；(2)求平面1BED与平面11B

CCB的夹角.【答案】(1)证明见解析(2)π3【解析】【分析】（1）根据条件证明出BC⊥平面11DCCD，进而证明出1BCDE⊥，利用勾股定理得到1DEDC⊥，从而证明出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角.(1)证明：因为底面ABCD和侧面11BCCB都是

矩形，所以BCCD⊥，1BCCC⊥，又因为1CDCCC=，CD，1CC平面11DCCD，所以BC⊥平面11DCCD，因为1DE平面11DCCD，所以1BCDE⊥，又由题知11DEDE==，12DD=，22211DEDEDD+=，所

以1DEDC⊥，又BCDCC=，所以1DE⊥平面ABCD.(2)设G为AB的中点，以E为原点，EG､EC､1ED所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则得点()0,0,0E，()1,1,0B，(

)0,1,0C，()10,2,1C，()10,0,1D，设平面1BED的一个法向量为()1111,,xnyz=，又()1,1,0EB=，()10,0,1ED=，则{𝑛1⃯⋅𝐸𝐵⃯=𝑥1+𝑦1=0𝑛1⃯⋅𝐸𝐷1

⃯=𝑧1=0，令11x=−，则取()11,1,0n=−，设平面11BCCB的一个法向量为()2222,,nxyz=，又()1,0,0CB=，()10,1,1CC=，则22212200nCBxnCCyz===+=，令21y=，则取()20,1,1n=−，设平面1BED

与平面11BCCB的夹角为π0,2，则12121211coscos,222nnnnnn====，所以π3=，即得平面1BED与平面11BCCB的夹角为π3.19．“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统

计如下表所示：周末体育锻炼时间()mint)30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90频率0.10.20.30.150.150.1(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数t；（同一组中的数据用该组区间

的中点值作代表）(2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在)40,60内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在)50,60内的人数为X，求X的分布列以及数学期望()EX.

【答案】(1)58.5；(2)分布列答案见解析，数学期望：95.【解析】【分析】(1)根据平均数的定义，t等于频率乘以每一组数据的中点值之和；(2)根据题意，X的可能取值是0，1，2，3，再根据古典概

型计算方法分别计算概率即可.(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数350.1450.2550.3650.15750.15850.158.5t=+++++=.(2)依题意，周末体育锻炼时间

在)40,50内的学生抽6人，在)50,60内的学生抽9人，则()363154091CPXC===，()216931527191CCPXC===，()12693152162455CCPXC===，(

)3931512365CPXC===，故X的分布列为：X0123P49127912164551265则()42721612901239191455655EX=+++=.20．如图.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且2,3,3,//,ABADPAADBC===AB

BC⊥，45ADC=.(1)求异面直线PC与AD所成角的余弦；(2)求点A到平面PCD的距离.【答案】(1)24(2)355【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角；（2）先求出平面PCD的法向量，然后利用点到平面的向量公式进行求解.(1)因为PA⊥平面ABCD

，,ABADPA⊥平面ABCD所以，PAAB⊥，PAAD⊥，因为ABBC⊥，故以A为坐标原点，,,ABADAP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为2,3,3,//,ABADPAADBC===过点C作CE⊥AD于点E，则CE=AB=2

，AE=BC=1，因为45ADC=，所以DE=CE=2，故()2,1,0C，()0,0,0A，()0,3,0D，()0,0,3P，()2,1,3PC=−，()0,3,0AD=，设异面直线PC与AD所成角为，所以()()2,1,30,3,02coscos,4

3413PCAD−===++，异面直线PC与AD所成角的余弦值为24.(2)()2,1,0AC=，()2,2,0CD=−，设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，则00nPCnCD==，即230220xyzxy+−=−+=

，令1x=，解得：1y=，3z=，故()1,1,3n=，设点A到平面PCD的距离为d，则33555nACdn===21．科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化，主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳

中和”．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”．为了解市民对“碳达峰”和“碳中和”的知晓程度，某机构随机选取了100名市民进行问卷调查，他们年龄的分

布频数及对“碳达峰”和“碳中和”的知晓人数如下表：年龄（单位：岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数102030201010知晓人数1020251942(1)若以“年龄45岁”为分界点，根据以上数据完成下面22列联表，并判断是否在犯错

误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关．年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计知晓不知晓合计(2)若从年龄在[25,35)和[55,65)的知晓人．．．中按照分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中任意选取2人担任“碳达峰’和“碳中和”讲解员

，求2人年龄都在[25,35)的概率．参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．参考数据：()20PKk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910

.828【答案】(1)22列联表:年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计知晓255580不知晓15520合计4060100能够在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关.(2)23【解析】【分析】（1）根据题意统

计个数填入22列联表，根据表格数值计算2K，与()200.001PKk=的010.828k=比较大小即可；（2）分层抽样计算在[25,35)和[55,65)中抽取的人数，并利用超几何分布的概率计算结果即可.(1)根据统计数据统计，年龄不低于45岁的人数的人数共有40人，其中知晓“碳达峰”和“碳

中和”的有25人，不知晓“碳达峰”和“碳中和”的有15人；年龄低于45岁的人数的人数共有60人，其中知晓“碳达峰”和“碳中和”的有55人，不知晓“碳达峰”和“碳中和”的有5人；故22列联表如下：年龄不低

于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计知晓255580不知晓15520合计4060100222()100(2555515)122512.76()()()()8020406096nadbcKabcdacb

d−−===++++，因为()210.8280.001PK=，且12.7610.828.所以能够在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关.(2)年龄在[

25,35)中的知晓人有20人，在的[55,65)中知晓人有4人，所以分层抽到的年龄在[25,35)中的知晓人有2065204=+（人），分层抽到的年龄在[55,65)中的知晓人有461204=+（人），并从这6人中任意选取2人担任“碳达峰’和“碳中和”讲解员，求

2人年龄都在[25,35)的概率为2526102153CpC===.22．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的

直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．【答案】（1）l∥平面PAC，见解析（2）见解析【解析】【详解】【分析】（1）直线l∥平面PA

C，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC．（2）（综

合法）如图1，连接BD，由（1）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l．而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所

以l⊥BF．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．由，作DQ∥CP，且．连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与

平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，从而．（2）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且．连接PQ，E

F，BE，BF，BD，由（1）可知交线l即为直线BD．以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有．于是，∴=，从而，又取平面ABC的一个法向量为，可得，设平面B

EF的一个法向量为，所以由可得．于是，从而．故，即sinθ=sinαsinβ．