【文档说明】《苏教版（2019）选择性必修2 高二数学下学期期末考试分类汇编》计数原理（教师版）【高考】.docx，共(15)页，441.962 KB，由小赞的店铺上传

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专题02计数原理一、单选题1．（2021·北京市十一学校高二期末）若33210nnAA=，则n=（）A．1B．8C．9D．10【答案】B【解析】【分析】将33210nnAA=展开得2(21)(22)10(1)(2)nnnnnn−−=−−，化简计算即可.【详解】∵33210nnAA

=，∴2(21)(22)10(1)(2)nnnnnn−−=−−，化简可得42510nn−=−，则8n=.故选：B2．（2021·广东中山·高二期末）对任意实数x，有3230123(2)(2)(2)xaaxaxax=+−+−+−，则2a的

值为（）A．6B．9C．12D．21【答案】A【解析】【分析】由33[(2)2]xx=−+，根据二项式定理可得特定项系数.【详解】因为33[(2)2]xx=−+，所以123C26a==，故选：A.3．（202

1·重庆南开中学高二期末）若()25*nnCCnN=，则n=（）A．lB．3C．5D．7【答案】D【解析】根据组合数的性质，将方程化简整理，即可求解.【详解】由()25*nnCCnN=，根据组合数的性质可得：()225*nnnnCCCnN−==，则25n−=，解得7n

=.故选：D.4．（2021·湖南师大附中高二期末）已知2nxx−的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（）A．－34B．－672C．84D．672【答案】B【解析】由二项式系数公式求得9n=，再根据通项公式令x指数为0解出参数r然后代回公式求得常数项.【详

解】由已知，2512n=，则9n=，所以()93921992(2)rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−.令930r−=，得3r=，所以常数项为()3392884672C−=−=−，故

选：B．【点晴】方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.5．（2021·辽宁葫芦岛·高二期末）设集合4,,4,1,2,3,4mAxxCmNmB===，则AB=（）A．1,3B．2,3C．1,4D．2,4【答案】

C【解析】【分析】化简集合A，再求集合交集．【详解】由4,,41,4,6mAxxCmNm===，则AB=1,4故选：C6．（2021·湖南·衡阳市八中高二期末）用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有（）A．48个B．64个C．

72个D．90个【答案】C【解析】根据排列的定义，结合分步计算原理进行求解即可【详解】满足条件的五位偶数有：14343432172AA==.故选：C.二、多选题7．（2021·重庆南开中学高二期末）我国古代著名的数学著作中，

《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经

》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（）A．124564CCAB．5651ACC．124564CAAD．2565CA【答案】AD【解析】先选出一个人分得两本书，剩余四人各

分得一本书，再利用分步乘法计数原理相乘即得结果.【详解】依题意，6本书分给5名数学爱好者，其中一人至少一本，则有一人分得两本书，剩余四人各分得一本书，方法一：分三步完成，第一步：选择一个人，有15C种选法；第二

步：为这个人选两本书，有26C种选法；第三步:剩余四人各分得一本书，有44A种选法.故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为124564CCA，故A正确；方法二：分两步完成，第一步：先分组，选择两本书，将书分成“2+1+1+1+

1”的五组，有26C种选法；第二步：将五组分配给五个人，有55A种选法.故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为2565CA，故D正确.故选：AD.8．（2021·辽宁辽阳·高二期末）现有3个男生4个女生，若从中选取3个学生，则（）A．选取的

3个学生都是女生的不同选法共有4种B．选取的3个学生恰有1个女生的不同选法共有24种C．选取的3个学生至少有1个女生的不同选法共有34种D．选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有18种【答案】AC【解析】【分析】根据组合的

定义和分步计数原理即可求出．【详解】解：选取的3个学生都是女生的不同选法共有344C=种，恰有1个女生的不同选法共有213412CC=种，至少有1个女生的不同选法共有337334CC−=种，选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有11234422CCC+=种.

故选：AC三、填空题9．（2021·陕西·榆林市第十中学高二期末（理））风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程.时值建党100周年，为深入开展党史学习教育，某街道党支部决定将4名党员安排到3个社区进行专题宣讲，且每名党员只去1个社区，每个社区至少安排

1名党员，则不同的安排方法种数为__________.【答案】36【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：先将党员分成3组，再将三组党员安排到三个社区，由分步计数原理可以计算答案.【详解】解：根据题意得：第一步：先将

4名党员分成三组，一共有246C=种分法；第二步：然后将分好的3组安排到3个社区，有336A=种分法，根据分步计数法可知不同的安排方法数共有6636=种.故答案为：3610．（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））已知7270127(12)xaaxaxax−=+

+++，则127...aaa+++=_____．【答案】2−【解析】【分析】令0,1xx==分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值.【详解】令0x=得：01a=，令1x=得：07121...aaaa+−=+++，712...2aaa+++=−.【点睛】赋值法是求解二项式定理有关问题

的常用方法.11．（2021·河北·石家庄市第一中学东校区高二期末）1233xx−的展开式的中间一项为______.【答案】924【解析】【分析】根据二项式的展开式通项公式，以及展开式的项数，即可求出展开式的中间一

项．【详解】解：123()3xx−的展开式通项公式为：121123()()3rrrrxTCx−+=−，令6r=，得6666712123()4()239xTCCx=−==，即展开式的中间一项为924．故答案为：924四、解答题12．（2021·江苏省镇江第

一中学高二期末）（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？（2）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则有多少个不同的排法？【答案】（1）328个；（2）216种.【解析】

（1）分类讨论0是否在末位，结合分类加法计数原理以及分步乘法计数原理求解即可；（2）当最左端排甲时，剩下5人全排列，当最左端只排乙时，先安排甲的位置，再安排剩下3人的位置.【详解】解：（1）首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有299872A==（个）当0不排在

末位时，有111488488256AAA==（个）于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328+=（个）（2）最左端排甲，共有55120A=种最左端只排乙，最右端不能排甲，有14449

6CA=种根据加法原理可得，共有12096216+=种.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是优先安排特殊元素，再分类讨论得出所有的排法.一、单选题1．（2021·江苏南通·高二期末）琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“

中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安

排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）A．1360B．16C．715D．115【答案】B【解析】【分析】先求出全部的结果总数为810A，再求出琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的基本事件总数为5376AA，再利用古典概型的概率求解.【

详解】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为810A.从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有57A种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有36A种情况，故琵琶、二胡、编钟一定

安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为5376AA.所以所求的概率537681016AAPA==，故选：B.【点睛】方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接

法、复杂问题分类法、小数问题列举法.2．（2021·云南玉溪·高二期末（理））把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（）种．A．60B．72C．96D．150【答案】D【解析

】先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出．【详解】5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有1235452225CCCA+=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食

堂、学生活动中心有336A=种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有256150=种．故选：D．【点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法

点睛：常见排列问题的求法有：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．3．（2021··高二期末）在()nab+的

展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n=（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】利用二项式系数的性质：展开式中间项二项式系数最大，得142n+=，得出n的值.【详解】在()nab+的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项12n

T+项的二项式系数最大，即142n+=，解得：6n=故选：C．【点睛】结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在()nab+的展开式中，若n是偶数时，中间项12nT+项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项12nT+与1

12nT++项的二项式系数相等且最大．4．（2021·北京市十一学校高二期末）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个B．120个C．96个D．72个【答案】B【解析】【详解】试题

分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原

理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数

字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B考点：排列、组合及简单计数问题．二、多选题5．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高二期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．

如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为72种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种【答案】ABCD【解析】【分析】对于A利用捆绑法可求，对

于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题即解.【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有4424A=种，故正确，对于B，最左端排甲时，有4424A=种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有133318AA=种

不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24+18=42种,故正确，对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有323472AA=种，故正确，对于D，甲乙丙按从左

到右的顺序排列的排法有553320AA=种，故正确．故选：ABCD．6．（2021·辽宁丹东·高二期末）对于二项式3*1()()nxnNx+，以下判断正确的有（）A．存在nN，展开式中有常数项B．对任意nN，展开式中没有常数项C．对任意nN，展开式中没有x的

一次项D．存在nN，展开式中有x的一次项【答案】AD【解析】【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．【详解】设二项式3*1()()nxnNx+展开式的通项公式为1rT+，则33411=()()

rnrrrnrrnnTCxCxx−−+=，不妨令4n=，则3r=时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令3n=，则2r=时，展开式中有x的一次项，故C答案错误，D答案正确．故选：AD7．（2021·湖南·衡阳市八中高二期末）关于2020(1)x−及其展开式，下列说法

正确的是（）A．该二项展开式中二项式系数和是1−B．该二项展开式中第七项为610072020CxC．该二项展开式中不含有理项D．当100x=时，()20201x−除以100的余数是1【答案】BD【解析】求出二项式系数和判断A；求出二项展开式中第七项判断B；根据最后一项是有理

项判断C；利用二项展开式的应用和整除问题的应用判断D．【详解】对于A，该二项展开式中二项式系数和是20202，故错误；对于B，由于2020661200662()(1)TCx−+=−=610072020Cx，即该二项展开式中第

七项为610072020Cx，故正确．对于C，该二项展开式中，最后一项为2020020200220()1)1(Cx−=，是有理项，故错误．对于D，当100x=时，()2020101−=0202000201912019202002

020202020202020(10).(1)(10).(1)(10)(1)CCC−−++−+−，除了最后一项（最后一项等于1），前面的所有项都能被100整除，即当100x=时，()20201x−除以100的余数是1，故正确．故选：BD.【

点睛】方法点睛：二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1CrnrrrnTab−+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定

理的应用.8．（2021·江苏常州·高二期末）若()()()220121+1++1nnnxxxaaxaxax+++=++++LL，且121125naaan−+++=−，则下列结论正确的是（）A．6n=B．()12nx+展开式中

二项式系数和为729C．()()()21+1++1nxxx+++L展开式中所有项系数和为126D．12323321naaana++++=【答案】ACD【解析】对于A，利用赋值法令1x=，0x=并结合题目条件，即可求出123125nnn+−−=

−，从而可求出6n=；对于B，根据二项展开式中二项式系数和为2n，即可判断B选项；对于C，由于已求出6n=，利用赋值法1x=，即可求出展开式中所有项系数和；对于D，对原式进行求导，再令1x=，即可得出1236236aaaa++++的结果.【详

解】解：对于A，令1x=，可得0231212222nnnaaaaa−+++=++++++，即()012121212nnnaaaaa−−++=+−++，即0211122nnnaaaaa+−+++++=−，①令0x=，得0231111na++++=，即0an=，②由于()1n

x+的展开式中01nnnnCxx=，所以1na=，③所以①-②-③得：1112122123nnnaaann++−+++=−−−=−−，而121125naaan−+++=−，所以123125nnn+−−=−，解得：6n=，故A正确；对于B，由于6n=，则()()6

1212nxx+=+，所以展开式中二项式系数和为6264=，故B错误；对于C，由于6n=，则()()()261+1++1xxx+++L的所有项系数为172222126n+−=−=，故C正确；对于D，由于6n=，则()()()262601261+1

++1xxxaaxaxax+++=++++LL，等式两边求导得：()()()252512361213161236xxxaaxaxax+++++++=++++，令1x=，则2512361223262236321aaaa++++=++++=，故D正确.故选

：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查根据二项式的系数和求参数，以及所有项的二项式系数和的求法，利用赋值法求各项系数和是解题的关键，考查学生运用和计算能力.9．（2021·江苏·南京师大附中高二期末）(1＋ax＋by)n的展开式中

不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，n的值可能为A．a=2，n=5B．a=1，n=6C．a=－1，n=5D．a=1，n=5【答案】CD【解析】【分析】每个(1＋ax＋by)中取1，ax，by之一求得乘积构成(1＋ax＋by)n

的展开式中的每一项，利用组合知识得出所有系数的绝对值，结合二项式定理即可得解.【详解】(1＋ax＋by)n的展开式可以看成n个(1＋ax＋by)，每个(1＋ax＋by)中取1，ax，by之一求得乘积构成的每一项，(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的

项的系数的绝对值的和为32，即201232nnnnnnCCaCaCa++++=，即()132na+=，结合四个选项则a，n的值可能为：a=－1，n=5，或a=1，n=5故选：CD【点睛】此题考查二项式定理的应

用，关键在于弄清多项式展开式的求法，结合组合知识和二项式定理求解.三、填空题10．（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）,,,,ABCDE共五人站成一排，如果B必须站在A的右边，那么不同的排法有___________种.【答案】60【

解析】【分析】首先将C、D、E排序，再将,AB作为整体插入队列中的一个空或分别插入队列中的两个空，即可得不同的排法数.【详解】1、将C、D、E排成一列，有336A=种，2、把,AB作为整体插入4个空中，有14C4=种，或,

AB分别插入4个空中的2个空中，有246C=种，所以共有312344()60ACC+=种.故答案为：60.11．（2021·湖北黄冈·高二期末）若()202022020012202032xaaxaxax+

=++++，则1352019aaaa++++被12整除的余数为______．【答案】0【解析】根据题意，给自变量x赋值，取1x=和1x=−，两个式子相减，得到1352019aaaa+++的值，用二项展开式可以看出被12

整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x=得202001220205aaaa++++=，取1x=−得01220201aaaa−+−+=，两式相减得202013520192()51aaaa+++=−，即()202013520191512aaa

a+++=−，因为()()()1010202010101111512512412222−=−=+−()01010110091010101010101010101124242422CCCC=++++−()010101100911010

1010101012424242CCC=+++能被12整除，所以则1352019aaaa++++被12整除，余数是0.故答案为：0.【点睛】本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中

等题．12．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）在()522xx−−的展开式中，3x的系数为_____．【答案】120【解析】【分析】先把25(2)xx−−变形为55(1)(2)xx+−，再利用二项式定理中的通项公式求出结果．【详解】2555(2)

(1)(2)xxxx−−=+−，3x的系数为25534443352255555555(2)(2)(2)(2)120CCCCCCCC−+−+−+−=．故答案为：120．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用四、解答题13．（2021·江苏省镇江第一中学高二期

末）（1）已知()727012712xaaxaxax−=++++.求：①127aaa+++；②0127aaaa++++L；（2）在522xx+的展开式中，求：①展示式中的第3项；②展开式中二项式系数最大的项.【答案】（1）

①2−；②2187；（2）①5240x−；②5240x−或580x−.【解析】（1）①运用赋值法，令0x=，求得01a=，令1x=，求得012345671aaaaaaaa+++++++=−，由此可求得答案.②由二项式的展开式判断0a、2a、4a、6a都大于零，而1a、3a、5a、7a都小于零，令

1x=−，可求得答案；（2）先求出展开式的通项公式，①令2r=时，求展示式中的第3项；②令2r=或3时，求得二项式系数最大项．【详解】解：（1）令0x=，则01a=，令1x=，则()7012345671211aaaaaaaa+++++++=−=−.①∴12372aaaa++++=−L.②

∵()712x−展开式中，0a、2a、4a、6a都大于零，而1a、3a、5a、7a都小于零，∴()()012702461357aaaaaaaaaaaa++++=+++−+++L，令1x=−，则7012345673aaaaaaaa−+−+

−+−=.所以01272187aaaa++++=L.（2）522xx+的展开式中第1r+项为()()551225215522rrrrrrrTCxxCx−−−+==，①当2r=时，所以展示式中的第3项为55222235240TCxx−−==

.②2r=或3时，二项式系数5rC最大，2r=时，由（1）知52340Tx−=，3r=时，335545280TCxx−−==．【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n是奇数，最大的就是最中间一个，如果n是偶数,

最大的就是最中间两个；求系数的最大项时：设第r+1项为系数最大项，需列出不等式组+1+2+1rrrrTTTT，解之求得r.14．（2021·全国·高二期末）在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为10

2，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知()123012321nnnxaaxaxaxax−=+++++（nN），若()21nx−的展开式中，______.（1）求n的值；（2）求123naaaa++++的

值.【答案】（1）10；（2）1031−【解析】【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出；（2）令0x=和1x=−可求出.【详解】（1）选择条件①，若()21nx−的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则52n=，10n=；选择条件②，若()21nx−的

展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则37nnCC=，10n=；选择条件②，若()21nx−的展开式中所有二项式系数的和为102，则1022n=，10n=；（2）由（1）知10n=，则()101231001

231021xaaxaxaxax−=+++++，令0x=，得01a=，令1x=−，则100123101012331aaaaaaaaa+=−+−+++++=+，101231031aaaa++++=

−.【点睛】本题考查二项展开式系数关系