【文档说明】湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（解析版）.docx，共(24)页，1.392 MB，由小赞的店铺上传

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2023年永州一中高二第二次月考数学试卷第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“0xR，2001xx+”的否定是（）A.xR，2||1xx+B.0xR，2001xx+C.xR

，2||1xx+D.0xR，2001xx+【答案】C【解析】【分析】由存在量词命题的否定形式可得.【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题可知，命题“0xR，2001xx+”的否定是“xR，2||1xx+”．故选：C．2.复数()()()12i3izaa=++R

是纯虚数，则=a（）A.32−B.32C.3−D.3【答案】B【解析】【分析】根据纯虚数的定义列式求解即可.【详解】因为()()()12i3i326izaaa=++=−++是纯虚数，则32060aa−=

+，解得32a=.故选：B.3.已知π2cos63+=，则πsin3−的值是（）A.73B.23C.73−D.23−【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可

求解.【详解】因为π2cos63+=，则ππππ2sincoscos32363−=−−=+=.故选：B.4.如图所示，在ABC中，6BDDC=，则AD=（）A.1677ABAC+B.6177ABA

C+C.1566ABAC+D.5166ABAC+【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得：()66167777ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+−=+

.故选：A.5.已知(2,1,3)=−a，(1,2,3)=−b，(7,6,)=c，若a，b，c共面，则等于（）A.9−B.9C.3−D.3【答案】A【解析】【分析】由a，b，c共面，设cmanb=+，根据条件列出方程组即可求出λ的值．【详解】因为a，b，c共面，设cmanb=+，又(2,1,3

)=−a，(1,2,3)=−b，(7,6,)=c，得到(7,6,)(2,2,33)mnmnmn=−+−+，所以272633mnmnmn−=+=−+=，解得4,1,9mn===−，故选：A.6.已知点()1,3A−，()3

,1B，过点()0,1C−的直线l与线段AB相交，则l的斜率的取值范围为（）A.13,42−B.24,3−C.13,,42−−+D.(2,4,3−−+【答案】D【解析】

【分析】先求得直线AC和直线BC的斜率，再利用数形结合法求解.【详解】解：如图所示：()()311124,10303ACBCkk−−−−==−==−−−，由图象知：当l的斜率不存在时，直线与线段AB相交，故l的斜率的取值范围为(2,4,3

−−+.故选：D.7.设12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左､右焦点，过点1F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M.若23MFb=，则双曲线C的离心率为（）A.3B.33C.3D.5【答案】A【解析】【分析】根据题意，先求得焦点1F到渐近线的距离为

b，在直角1MOF△中，求得1cosbOFMc=，再在12MFF△中，利用余弦定理求得222343bcb=−，结合222bca=−和离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=，可得1(,0)Fc−，渐近线方程为byxa=，如图所示，

则焦点1F到渐近线byxa=−的距离为122bcMFbab−==+，在直角1MOF△中，可得111cosMFbOFMOFc==，在12MFF△中，由余弦定理得222212112112cosMFFFMFFFMFOFM=+−，即22222342243bbcbcbcbc=+−=−，所以2223c

b=，又由222bca=−，所以22223()cca=−，可得223ca=，所以双曲线的离心率为3==cea.故选：A.8.已知函数()fx是奇函数且满足()()2fxfx=−，当1x，()2120,1xxx时，()()12120fxfxxx−−

恒成立，设()1af=，103bf=，92cf=−，则a、b、c的大小关系为（）A.cbaB.bcaC.cabD.abc【答案】B【解析】【分析】先求得()fx

的周期性、单调性，结合奇偶性判断出正确答案.【详解】因为()()2fxfx=−，所以函数()fx的图象关于直线0212x+==对称，又因为函数()fx是奇函数，故函数关于()0,0对称，所以()()()2fxfxfx−=+=−，故()()()42fxfxfx+=−+=，所以函数()fx的

周期为4T=，当1x、20,1x时，()()12120fxfxxx−−恒成立，即当1201xx时，()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以函数()fx在0,1上为单调增函数，因为函

数()fx是奇函数，所以函数在1,1−上为单调增函数，因为101024333bfff==−=−，9914222cfff=−=−=−，因为211132−−−，所以()21132fff−−

．故bca．故选：B【点睛】如果一个函数的图象既关于直线对称，也关于点对称，则这个函数具有周期性.对于函数的单调性来说，在12xx时，若()()120fxfx−，则函数单调递增.奇函数的单调性在x轴两侧对应的区间上相同，偶函数则相反.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共

20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()()πsin22fxx=+的一个零点为π12，则（）A.π362f=B.()fx的最大值

为1C.()fx在区间ππ,44−上单调递增D.()fx的图象可由曲线cos2yx=向右平移π3个单位长度得到【答案】BD【解析】【分析】由零点及已知求得π6=−，即得()πsin26fxx=−，根据正弦型函数的性质、图象平移逐一判断各项的

正误.【详解】由题设()πππsin0π,Zπ,Z666fxkkkk=+=+==−，又π2，故π6=−，则()πsin26fxx=−，所以ππ1sin662f==，A错；()max1fx=，B对；ππ,44x−，则

π2ππ2[,]363x−−，显然()fx不单调，C错；曲线cos2yx=向右平移π3个单位长度得到π2ππππ)))sincos2(cos(2cos(2()323266yxxxx==−−=−=−−，D对故选：BD10.设抛物线28yx=的顶点为O，焦点为F

.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是（）A.若4MF=，则25OM=B.若4MF=，则O为线段MN的中点C.若8MF=，则45OM=D.若8MF=，则3OMON=【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为(2,0)F，准线

为2x=−，结合选项，利用抛物线的定义，求得点M和点N的坐标，即可求解.【详解】由抛物线28yx=，可得焦点为(2,0)F，准线为2x=−，对于A中，设11(,)Mxy，若4MF=，根据抛物线的定义，可得124MF

x=+=，解得12x=，可得2116y=，可得221625OM=+=，所以A正确；对于B中，由2116y=，则14y=，不妨设(2,4)M，则直线OM的方程为2yx=，.令2x=−，可得4y=−，即

(2,4)N−−，所以O为线段MN的中点，所以B正确；对于C中，设22(,)Mxy，若8MF=，根据抛物线的定义，可得228MFx=+=，解得26x=，则2248y=，可得2648221OM=+=，所以C不正确；对于D中，由2248y=，可得143y=，不妨设(6,

43)M，则直线OM的方程为233yx=，令2x=−，可得433y=−，即43(2,)3N−−，则2243221(2)()33ON=−+−=，所以3OMON=，所以D正确.故选：ABD.11.椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C

的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点1F射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点2F.一束光线从1F射出，经椭圆镜面反射至2F，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为32，左顶点和上顶点分别为,AB．则下列说法正确的是（）A.椭圆的标准方程为2214

xy+=B.若点P在椭圆上，BP的最大值为433C.若点P在椭圆上，则12FPF的最大值为3π4D.过直线1yx=+上一点M分别作椭圆切线，交椭圆于,PQ两点，则直线PQ恒过定点()4,1−【答案】ABD【解析】【分析】利用椭圆定义以及离心率大小可求

得椭圆的标准方程为2214xy+=；利用两点间距离公式并结合椭圆范围即可求得BP的最大值为433；由余弦定理可得121cos2FPF−，所以12FPF的最大值为2π3；利用结论椭圆()222210xyabab+=上在点()00,xy处的切线方程为00221x

xyyab+=，以及点M在直线1yx=+上可求出,PQ满足的直线方程，即可得直线PQ恒过定点()4,1−.【详解】根据题意，一束光线从1F射出，经椭圆上的E点反射至2F，如下图所示：所以可得2124EFaEF+==，即2a=；又椭圆的离心率为32cea==，可

得3c=，所以2221bac=−=；即椭圆的标准方程为2214xy+=，所以A正确；易知()()2,0,0,1AB−，设(),PPPxy，且2214PPxy+=，则()()2222221161441325333PPPPPPPxyyyyBPyy==+−−+−−−+−++==，又11Py−

，则2116136333343PByP−++==，所以BP的最大值为433，即B正确；由椭圆定义可知124PFPF+=，不妨设()21,,0,0PmPnmnFF==>>，()2222212244422cos1222mnmncmncmnFPFmnmnmnm

n+−−+−−====−，又42mnmn+=，可得04mn，所以12221cos1142FPFmn=−−=−，当且仅当2mn==时，等号成立；此时12FPF的余弦值最小为12−，所以12FPF的最大值为2π3，即C错误；易知椭圆()22

2210xyabab+=上在点()00,xy处的切线方程为00221xxyyab+=，证明如下：当切线斜率存在时，设直线ykxm=+与()222210xyabab+=相切于点()00,xy，联立直线和椭圆方程22221ykxmxyab=++=可得()()222222222

0akbxakmxamb+++−=，所以()()()22222222240akmambakb=−−+=，整理可得2222makb=+；又易知00ykxm=+，即00mykx=−，所以可得()2222200mykxakb=−=

+；整理可得()22222000020kaxbykxy−+−+=①；又因为切点()00,xy在椭圆上，即2200221xyab+=，整理可得22220022222002ayaxbbxbya−=−=②联立①②可得2222200002220aybxkk

xyba++=，即2000akybxba+=，可得2020bxkay=−；所以切线方程为()200020bxyyxxay−=−−，化简可得00221xxyyab+=；经检验，切线斜率不存在时也符合上式，即圆()222210xyabab+=上在点()00,xy处的切线方程为

00221xxyyab+=.设(),1Mtt+，()()1122,,,PxyQxy，所以椭圆2214xy+=在点P处的切线PM的方程为1114xxyy+=，同理点Q处的切线QM的方程为2214xxyy+=，又两切线交于点M，所以可得()()1122114114

xtytxtyt++=++=，即,PQ满足方程()114txty++=，所以直线PQ的方程为()1104txty++−=整理可得直线PQ的方程为104xyty++−=，若过顶点则与t无关，所以0410xyy+

=+=，即可得4,1xy=−=，即可得直线PQ恒过定点()4,1−，即D正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题在求解直线过定点问题时，关键是利用结论：椭圆()222210xyabab+=上在点()00,xy处的切线方程为00

221xxyyab+=，分别求得两切线方程即可得出直线过定点.12.菱形ABCD的边长为a，且60BAD=，将ABD△沿BD向上翻折得到PBD△，使二面角PBDC−−的余弦值为13，连接PC，球O与三棱锥PBCD−的6条棱都相切

，下列结论正确的是（）A.PO⊥平面BCDB.球O的表面积为22πaC.球O被三棱锥PBCD−表面截得的截面周长为43π3aD.过点O与直线,PBCD所成角均为π4的直线可作4条【答案】AC【解析】【分析】利用余弦定理求得PCa=，说明三棱锥PBCD−为正四面体，进而补成正方体，则

说明O点为正方体的中心，结合线面垂直的判定可判断A；求得球O的半径可判断B；求出球O被三棱锥一个侧面所截得的截面的周长，即可求得球O被三棱锥PBCD−表面截得的截面周长，判断C；根据平行公理以及直线所成角的概念可判断D.【详解

】如图在菱形ABCD中，连接AC，则ACBD⊥，设,ACBD交于E，则,PEBDCEBD⊥⊥，PE平面PBD,CE平面CBD，即PEC为二面角PBDC−−的平面角，即1cos3PEC=，又60BAD=，即ABD△为正三角形，即PBD△，

CBD△为正三角形，故32PECEa==，故2222cosPCPECEPECEPEC=+−2223312243aaa=−=，即PCa=，故三棱锥PBCD−为棱长为a的正四面体；如图，将该四面体补成正方体P

HDGNCMB−，四面体的各棱为正方体的面对角线，则正方体棱长为22a，因为球O与三棱锥PBCD−的6条棱都相切，则O点即为正方体的中心，连接PM，则O为正方体体对角线PM的中点，因为PN^平面,MBNCBC平面MBNC，故PNBC⊥，

又BCMN⊥,而,,PNMNNPNMN=平面PMN，故BC⊥平面PMN，PM平面PMN，故BCPM⊥；同理可证BDPM⊥,,,=BCBDBBCBD平面BCD，故PM⊥平面BCD，即PO⊥平面BCD，A正确；因为球O与三棱锥

PBCD−的6条棱都相切，故球O即为正方体PHDGNCMB−的内切球，球的直径为正方体棱长22a，则球的半径为24a，故球O的表面积为2214)2π(π42aa=，B错误；球O被平面截得的截面圆即为正三角形BCD的内切圆，由于BCa=，故正三角形BCD的内切圆半径为

133326aa=，故内切圆周长即球O被平面截得的截面圆周长为332ππ63aa=，故球O被三棱锥PBCD−表面截得的截面周长为3434ππ33aa=，C正确；连接HM，因为,PHBMPHBM=∥，即四边形PHMB为平行四边形，故PBH

M∥，而HMCD⊥，故PBCD⊥，不妨取空间一点S，作,PBCD的平行线,PBCD，如图，则和,PBCD所成角均为π4的直线即为它们形成的角的角平分线12,ll，假设平面过1l且垂直于,PBCD所确定的平面，当1l绕点S且在内转动时，则此时直线

l与,PBCD所成角相等，但会变大，大于π4，即在,PBCD所确定的平面外过点S不存在直线l与,PBCD所成角为π4，故过点O与直线,PBCD所成角均为π4的直线可作2条，D错误，故选：AC第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，

每小题5分，共20分．13.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为______.【答案】39【解析】【分析】根据第75百分位

数的定义计算可得答案.【详解】8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，因875%6=，所以第75百分位数为3840392+=.故答案为：3914.已知直线()()21350mxmym+++−−=过定点

A且该点在抛物线()220xpyp=上，则p的值为_________.【答案】2【解析】【分析】化简直线方程为(3)(25)0mxyxy+−++−=，联立方程组，求得点(2,1)A，将点A代入抛物线方程，即可求解.【详解】直线()()21350mxmym

+++−−=，可化为(3)(25)0mxyxy+−++−=，联立方程组30250xyxy+−=+−=，解得2,1xy==，即直线恒过点(2,1)A，因为点(2,1)A在抛物线22xpy=上，可得24p=，解得2p=.故答案为：2.15.点A是圆224xy+=上的一个动点，点()

0,4B，当点A在圆上运动时，线段AB的中点P的轨迹方程为_______.【答案】()2224xy+−=【解析】【分析】设()()00,,,AxyPxy，利用中点坐标公式可用x，y表示出00,xy，再

根据点A在圆224xy+=上，即可得到答案．【详解】设()()00,,,AxyPxy，又点()0,4B，则004,22xyxy+==，所以02xx=，024yy=−，为又点A在圆224xy+=上，则()()222241xy+−=，即()22

21xy+−=，所以线段AB的中点P的轨迹方程为()2221xy+−=．故答案为：()2221xy+−=．16.已知函数()()ln11,20ln,0xxfxxx−−+−=，若关于x的方程()fxm=有4个不同的解，记为1x，2x，3x，4x（1234xxxx），且

312432xxxx−+恒成立，则的取值范围是______．【答案】()2,+【解析】【分析】结合分段函数的图象，确定x的取值变化情况，可得出123412xxxx+=−==，将不等式转化为2311222x−−+对任意()30,1x恒

成立，结合二次函数即可求解的取值范围．【详解】ln(2),21ln(11),20ln(),10()ln,0ln,01ln,1xxxxxxfxxxxxxx−+−−−−+−−−−==−，作出函数的图象如下：则可得

12342101xxxx−−因为1234()()()()fxfxfxfxm====，所以1234ln(2)ln()lnlnxxxx−+=−−=−=，所以123412xxxx+=−==，所以132xx=−，23xx=−，4

31xx=，因为312432xxxx−+恒成立，所以233122xx−，所以2322333312121122222xxxxx−=−+=−−+,对任意()30,1x恒成立，即23max11222x−−+，所以当312x=时

，函数2311222yx=−−+取到最大值2，所以2，即的取值范围为(2,)+．四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17

.在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为,,abc，且2sin3bAa=．（1）求角B；（2）若6ac+=，ABC的面积为3，求b．【答案】（1）π3B=（2）26b=【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合锐角三角形即可求解；（2）由面积公式及余弦定理即可求解.【小问1详

解】在ABC中，根据正弦定理2sinsinsinabcRABC===可得sinsinaBbA=，因为2sin3bAa=，所以2sin3aBa=，即3sin2B=，因为ABC为锐角三角形，所以π3B=.【小问2详解

】由第一问知π3B=，所以13sin324ABCSacBac===，所以4ac=，根据余弦定理得：22222cos()2(1cos)bacacBacacB=+−=+−+，代入数据得：26b=.18.已知圆1O

：()2251xy++=的圆心为1O，圆2O：()2259xy−+=的圆心为2O，动圆M与圆1O和圆2O均外切，记动圆M圆心的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）若P是C上一点，且12OPOP⊥，求12OOP△面积.【答案】（1）()221124yxx−=−（2）24【解析】【分析】（1）根据

已知条件集合双曲线的定义即可求解；（2）设1OPx=，则22OPx=+，由12OPOP⊥，建立关系式求出1OP，则2OP，再利用三角形面积公式求出即可.【小问1详解】设动圆M的半径为r，因为圆M与圆1O和圆2O均外切，所以11MOr=+，23MOr=+，则21122MOMO

OO−=，根据双曲线的定义可知，M的轨迹是以1O，2O为焦点的双曲线的一支.设方程为()22221xyxaab−=−，的由121025OOcc===，又21221MOMOaa−===，所以22225124bca=−=−=，所以C的方程为()221124yxx−=−.【小问2详解

】设1OPx=，则22OPx=+.因为12OPOP⊥.所以2221212OPOPOO+=，即222(2)10xx++=，解得6x=或8x=−（舍去）.故12OOP△的面积为：1211682422SOPOP===

.19.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，12AAAD==，1BD和1BD交于点,EF为AB的中点.（1）求证：//EF平面11ADDA；（2）已知1BD与平面11BCCB所成角为π4，求（ⅰ）平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；（ⅱ）点A到平面CEF的距离.【答案

】（1）证明见解析（2）（ⅰ）63；（ⅱ）1【解析】【分析】（1）通过证明1//EFAD来证得//EF平面11ADDA.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值、点A到平面CEF的

距离.【小问1详解】连接1AD，11BD，BD.因为长方体1111ABCDABCD−中，11//BBDD且11BBDD=，所以四边形11BBDD为平行四边形.所以E为1BD的中点，在1ABD中，因为E，F分别为1BD和

AB的中点，所以1//EFAD.因为EF平面11ADDA，1AD平面11ADDA，所以//EF平面11ADDA.【小问2详解】1BD与平面11BCCB所成角为π4.连接1BC.因为长方体1111ABCDABCD−中，CD

⊥平面11BCCB，1BC平面11BCCB，所以1CDBC⊥.所以1DBC为直线1BD与平面11BCCB所成角，即14DBC=.所以1DBC为等腰直角三角形.因为长方体中12AAAD==，所以122=BC.所以122CDBC==.

如图建立空间直角坐标系Dxyz−，因为长方体中12AAAD==，22CD=，则()0,0,0D，()2,0,0A，()0,22,0C，()2,22,0B，()2,2,0F，()12,22,2B，()1,2,1

E.所以()1,2,1CE=−，()2,2,0CF=−，()2,0,0CB=.设平面CEF的法向量为()111,,mxyz=，则00mCEmCF==，即1111120220xyzxy−+=−=.令11x=，则12y=，11z=，可得()1,2,1m

=.设平面BCE的法向量为()222,,xnyz=，则00nCEnCB==，即22222020xyzx−+==.令21y=，则20x=，22z=，所以()0,1,2n=.设平面CEF与平面BCE的夹角为，则6coscos,3mnmnmn===.所以平面C

EF与平面BCE的夹角的余弦值为63.（ⅱ）因为()0,2,0AF=，所以点A到平面CEF的距离为1AFmdm==.20.多项选择题是高考的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.现高二某同学

正在进行第一次月考，做到多项选择题的11题和12题.该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是12，选择两个选项的概率是13，选择三个选项的概率是16.已知该同学做题时题目

与题目之间互不影响且第11题正确答案是两个选项，第12题正确答案是三个选项.（1）求该同学11题得5分的概率；（2）求该同学两个题总共得分不小于7分的概率.【答案】（1）118（2）37864【解析】【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算；（2）利用互斥事

件的加法公式和独立事件的乘法公式计算.【小问1详解】根据题意，11题得5分需满足选两个选项且选对，选两个选项共有6种情况,,,,,ABACADBCBDCD.所以1113618P==.【小问2详解】总得分不低于7分共3种情况，它们分别是：第11题得5

分且第12题得2分；第11题得2分且第12题得5分；第11题得5分且第12题得5分，记事件1A：11题得2分，满足选了一个选项且选对；事件2A：11题得5分，满足选了两个选项且选对；事件1B：12题得2分，满足选了一个选

项且选对或选了两个选项且选对；事件2B：12题得5分，满足选了三个选项且选对.则1121()244PA==；21()18PA=；1131113()=243224PB=+；2111()6424PB==；122122111131137(

)()()42418241824864PPABPABPAB=++=++=.21.已知圆C过点()()3,3,1,7AB−，且圆心C在直线:3lyx=上．（1）求圆C的方程；（2）若从点()2,4P−发出的光线经过直线270xy−−=反射，

反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的方程．【答案】（1）()()222610xy−+−=（2）80xy+−=【解析】【分析】（1）计算AB的垂直平分线，计算交点得到圆心，再确定半径得到答案.（2）根据垂直和中点得到()2,4P−关于直线270xy−−=对称的点为()010,2P−

，0CP即为所求直线.【小问1详解】73113ABk−==−−−，则AB的垂直平分线的斜率为1k=，AB中点为()1,5，故AB的垂直平分线为4yx=+，43yxyx=+=，解得26xy==，即圆心

为()2,6C，圆的半径221310rCA==+=，故圆C方程为()()222610xy−+−=.【小问2详解】反射光线恰好平分圆C的圆周，故反射光线过圆心()2,6C，设()2,4P−关于直线270xy−−=对称的点为()0,Pxy，则041

22PPykx−==−+，且2427022xy−+−−=，解得102xy==−，即()010,2P−，0621210CPk+==−−，故反射光线为()268yxx=−−+=−+，即80xy+−=.22.已知P为圆M：()22216xy++=上任一点，

()2,0N，MQMP=，()0,1，且满足()0QPQNPN+=.（1）求动点Q的轨迹的方程；（2）直线l：1ykx=+与轨迹相交于A，B两点，与x轴交于点D，过AB的中点且斜率为1k−的直线与x轴交于点E，记ABDE=，若1,22k，求的取值范围.

【答案】（1）22142xy+=（2）454170,55【解析】【分析】（1）根据向量的几何性质由()0QPQNPN+=得QNQP=，进而可得4NQQM+=，可得动点Q的轨迹为椭圆，进而可得轨迹方程；（

2）根据弦长公式得222218221kABkk+=++，根据中垂线的方程可得()22121kDEkk+=+，()226281141kk=++−+，由函数的单调性可得454170,55.小问1详解】【如图，由()0QPQNPN+=，可得QNQP=，因为4

MQQPMP+==，所以4NQQM+=，所以动点Q的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，所以动点Q的轨迹的方程为22142xy+=.【小问2详解】直线l的方程为1122ykxk=+，联立221421xyykx+==+消去y并整理，得

()2221420kxkx++−=，()()()222442213280kkk=−−+=+，设()11,Axy，()22,Bxy，则122421kxxk+=−+，122221xxk=−+，又()1212

22221yykxxk+=++=+，可得线段AB中点坐标为2221,2121kkk−++，所以线段AB垂直平分线的方程为221122121kyxkkk−=−+++，令0y=，可得2,021kEk−+，的对于直

线1ykx=+，令0y=，可得1,0Dk−，所以()222112121kkDEkkkk+=−−−=++，又()()2222221212222482114182212121kkABkxxxxkkkkk+=++−=+−+=++++，所以

()222228262811411ABkkkDEkk+===++−++，令251,54tk=+，则()226681148141yktkt=++−=+−+，268yt=−，当5,54t时，0y，所以6814ytt=

+−在5,54上单调递增，所以4136,55y，则454170,55.【点睛】方法点睛：弦长公式()()()222121212114ABkxxkxxxx=+−=++−获得更多资源请扫码加入享学资源网

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