【文档说明】《2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）》[29224751]专题3.7 整式的加减（去括号与添括号）（知识讲解）2学年.docx，共(11)页，287.087 KB，由envi的店铺上传

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专题3.7整式的加减（去括号与添括号）（知识讲解）【学习目标】1．掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；2.会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．【知识点梳理】要点一、去括号法则如果括号外的因数是正数

，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．特别说明：(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内

的各项相乘．（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒

等变形．要点二、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．特别说明：(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新

添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：如：，要点三、整式的加减运算法则一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．特别说明：（1）整式加减的一般步骤是：①先

去括号；②再合并同类项．（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．【典型例题】类型一、去括号1．去掉下列各式中的括号：（1）8m–(

3n+5)；（2）n–4(3–2m)；（3）2(a–2b)–3(2m–n)．【答案】（1）8m–3n–5；（2）n–12+8m；（3）2a–4b–6m+3n【分析】根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各

项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，()abcabc+−+−添括号去括号()abcabc−+−−添括号去括号对各式进行处理即可．解：（1）8m–

(3n+5)=8m–3n–5.（2）n–4(3–2m)=n–(12–8m)=n–12+8m.（3）2(a–2b)–3(2m–n)=2a–4b–(6m–3n)=2a–4b–6m+3n.【点拨】考查去括号法则，去括

号时,当括号前面为“-”时常出现错误,常常是括号内前面的项符号改变了,后面就忘记了，是易错点.举一反三：【变式1】先去括号，再合并同类项：（1）2（2b-3a）+3（2a-3b）；（2）4a2+2（3ab-2a2）-（7ab-1）．【答案】（1）-5b；（2）-ab+1【分析】（1）根据括号

前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案；（2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案；解：（1）2（2b-3a）+3（2a-3b）=4b-6a+6a-

9b=-5b；（2）4a2+2（3ab-2a2）-（7ab-1）=4a2+6ab-4a2-7ab+1=-ab+1.【点拨】本题考查了去括号与添括号，合并同类项，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号．【变式2】有

理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等．（1）用“>”“=”或“<”填空：b________0，+ab________0，ac−________0，bc−________0；（2）化简abacb++−−．【答案

】（1）；=；；；（2）c−．【分析】（1）根据数轴判断a、b、c的符号和绝对值，进而即可判断各式的符号；（2）先脱去绝对值，在去括号计算即可．解：（1）由数轴得a＞0＞c＞b，abc=＞，∴b0；a+b=0；a-c0；b-c0；故答案为：；=；；

；（2）解：∵0ab+=，0ac−，0b，∴原式()()0acbacbc=+−−−=−+=−．【点拨】本题考查了根据数轴判断代数式的符号，绝对值的化简，有理数的运算法则，整式的计算等知识，根据数轴判断各式的符号是解题关键．类型二

、添括号2．把多项式x4y﹣4xy3+2x2﹣xy﹣1按下列要求添括号：（1）把四次项结合，放在带“+”号的括号里；（2）把二次项相结合，放在带“﹣”号的括号里．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）根据添括号法则，把四次项-4xy3，放在前面带有“﹢”

号的括号里；（2）根据添括号法则，把二次项2x2放在前面带有“-”号的括号里．解：（1）∵把四次项结合，放在带“+”号的括号里，∴x4y﹣4xy3+2x2﹣xy﹣1=x4y+（﹣4xy3）+2x2﹣xy﹣1；（2）∵把二次项相结合，放在带“﹣”号的括号里，∴x4y﹣4xy3+2x2﹣xy﹣1=

x4y﹣4xy3﹣（﹣2x2+xy）﹣1．【点拨】本题考查了去括号与添括号，解题的关键是掌握本题考查了去括号与添括号的概念和步骤.举一反三：【变式1】按下列要求给多项式3221xxx−+−+添括号．（1）使次数最高项的系

数变为正数；（2）把奇次项放在前面是“-”的括号里，其余的项放在前面是“+”的括号里．【答案】（1）()3221xxx−−+−；（2）()()3221xxx−+++【分析】（1）根据题意，次数最高项是3x−，要把它的系数变为正数，就要提出一个负号，

其余整体加上括号并变号；（2）根据题意，奇次项3x−和x−提取负号变成()3xx−+，其余两项加上括号不用变号．解：（1）()32322121xxxxxx−+−+=−−+−．（2）()()323232212121xxxx

xxxxx−+−+=−−++=−+++．【点拨】本题考查整式加括号的法则，需要注意整式前面是负号的时候加上括号，括号里面的式子需要变号．【变式2】已知369Axx=+−，32246Bxxx=−−+−，试计算23AB−，并

把结果放在括号前带“−”的括号内.【答案】32(56)xx−−−【分析】此题可将A，B的值代入2A-3B，化简，然后进行适当变形即可得出答案解：依题意得2A−3B=2(x3+6x−9)−3(−x3−2x2+4x−6)=5x3

+6x2=32(56)xx−−−.【点拨】本题考查整式的加减，整式的加减即去括号、合并同类项，在本题中添括号时还需注意，如果括号前面是加号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号.类型三、整式的加减3、化简下列各式：（1）32476

xyy−+−−+；（2）4(32)3(52)xyyx−−−−．【答案】（1）352xy−−+；（2）67xy−−【分析】（1）根据合并同类项的法则解答即可；（2）先去括号，再合并同类项．解：（1）原式3(27)(46)352xyxy=−+−+−+=−−+；（2）原式12815667x

yyxxy=−+−+=−−．【点拨】本题考查了整式的加减运算，属于基础题型，熟练掌握整式加减运算的法则是关键．举一反三：【变式1】计算题（1）()()22223yx2xyx3y−+−−+()()()32322xyxy2xy2xy+−−【答案】（1）22x2xy−+−；（2）235x

yxy−；【解析】【分析】（1）去括号后合并同类项即可求解；（2）去括号后合并同类项即可求解.解：()1原式22223yx2xyx3y=−+−−−22223y3yxx2xy=−−−+−22x2xy=−+−；()2原式3232xyxy2xy4xy

=+−+3322xy2xyxy4xy=−++235xyxy=−．【点拨】本题考查了整式的加减运算，熟练运用去括号法则及合并同类项法则是解决问题的关键.【变式2】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下：+

3（x﹣1）=x2﹣5x+1．（1）求所挡的二次三项式；（2）若x=﹣2，求所挡的二次三项式的值．【答案】（1）x2﹣8x+4；（2）24【分析】（1）根据“已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数用减法”，列出代数式并合并即可；（2）把x=-

2代入（1）的结果，计算即可．解：（1）x2﹣5x+1﹣3（x﹣1）=x2﹣5x+1﹣3x+3=x2﹣8x+4；∴所挡的二次三项式为x2﹣8x+4．（2）当x=﹣2时，x2﹣8x+4=（﹣2）2﹣8×（﹣2）+4=4+

16+4=24．【点拨】本题考查了整式的加减．根据加数与和的关系，列出求挡住的二次三项式的式子是解决本题的关键．类型四、整式加减的应用4、（1）已知22231AxxyyBxxy=++−=−，，若()2230xy++−=，求2AB−的值；（2）已知多项式2212xmy+

−与多项式236nxy−+的差中不含有2,xy，求mnmn++的值．【答案】（1）10−；（2）7−【分析】（1）根据题意求得x和y的值，然后将2AB−化简，化简后代入x、y的值运算即可；（2）先求出两个多项式的差，不含有2x，y代表含有2x，y项的系数为0，求出m和n的值代入原式即可求解．解：

（1）∵()2230xy++−=∴2x=−，3y=2AB−=()222312xxyyxxy++−−−=2223122xxyyxxy++−−+=331xyy+-当2x=−，3y=时，原式=()32333

1−+−=10−（2）()2221236xmynxy+−−−+=()()22318nxmy−++−∵两多项式的差中不含有2x，y∴20n−=，30m+=∴2n=，3m=−当2n=，3m=−时，原式=()3232−++−=7

−故答案为（1）10−；（2）7−．【点拨】本题考查了整数的加减混合运算，绝对值的非负性，偶次方的非负性，整式的意义，多项式中不含有某项，令该项的系数为0即可．举一反三：【变式1】已知：A=2x2+ax﹣5y+b，B=bx2﹣32x﹣52y

﹣3．（1）求3A﹣（4A﹣2B）的值；（2）当x取任意数值，A﹣2B的值是一个定值时，求（a+314A）﹣（2b+37B）的值．【答案】（1）（2b﹣2）x2﹣（a+3）x﹣（b+6）；（2）﹣312．【分析】（1）先化简原式，再分别代入A和B的表达式，去括号并合并类项即可；

（2）先代入A和B的表达式并去括号并合并类项，由题意可令x和x2项的系数为零，求解出a和b的数值，再化简原式后代入相关数值即可求解.解：解：（1）∵A=2x2+ax﹣5y+b，B=bx2﹣32x﹣52y﹣3，∴原式=3A﹣4A+2B=﹣A+

2B=﹣2x2﹣ax+5y﹣b+2bx2﹣3x﹣5y﹣6=（2b﹣2）x2﹣（a+3）x﹣（b+6）；（2）∵A=2x2+ax﹣5y+b，B=bx2﹣32x﹣52y﹣3，∴A﹣2B=2x2+ax﹣5y+b﹣2bx2+3x+5y+6=（2﹣2b）x2+（a

+3）x+（b+6），由x取任意数值时，A﹣2B的值是一个定值，得到2﹣2b=0，a+3=0，解得：a=﹣3，b=1，则原式=a﹣2b+314（A﹣2B）=﹣3﹣2+32=﹣312．【点拨】理解本题中x取任意数值时A﹣2B的值均是一个定值的意思是整式化简后的x和x2项的系数均为零是解题关键.【变式

2】学习了整式的加减运算后，张老师给同学们布置了一道课堂练习题“当2a=−，2018b=，求222221(324)2(23)2()12ababaabaabab−+−−++−的值”.小明做完后对同桌说：

“老师给的条件2018b=是多余的，这道题不给b的值，照样可以求出结果来”.同桌不相信他的话．亲爱的同学们，你相信小明的说法吗？【答案】-21【分析】首先化简代数式，通过去括号、合并同类项，得出结论即含有b的代数式相加为0，即可说明．解()()222221324

223212ababaabaabab−+−−++−＝222223244621ababaabaabab−+−+++−＝101a−当2a=−时原式＝()1021−−＝－21.【点拨】考查整式的化简求

值，熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则是解题的关键.类型五、整式加减化简求值5、先化简，再求值：(1)3x2－[7x－(4x－3)－2x2]，其中x＝5；(2)222253[22(2)5]2xyxyxyxyxyxy−−−−+−，其中21|4|()02xy+++=．【答案】（1）5x2

－3x－3，原式＝107；（2）-xy+2xy2；原式=-4．【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值；（2）原式去括号合并得到最简结果，由214()02xy+++=得x＝－4y＝-12，把x、y的值

代入计算即可求出值.解：（1）原式＝5x2－3x－3∵x＝5，∴原式＝107（2）原式=-3xy-2xy2+2xy-5x2y+4xy2+5x2y=-xy+2xy2由214()02xy+++=得x＝－4y＝-12，∴原式=-(

-4)×（-12）+2×（-4）×（-12）2=-2-2=-4．【点拨】此题考查了整式的加减-化简求值，也考查了非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【变式1】先化简，再求值（1）2229x6x3xx3+−−，其中x2=−；（2）()()()

22222abab2ab12ab1+−−−+，其中a2=−，b2=．【答案】（1）26x8x+；20；（2）0；0；【分析】（1）把所给的整式去括号后合并同类项化为最简后，再代入求值即可；（2）把所给的整式去括号后合并同类项化为最简后，再代入求值即可.解：()1原式229x6x3x2x=+−

+26x8x=+，当x2=−时，原式()2628(2)=−+−1232=−+20=；()2解：原式22222ab2ab2ab22ab2=+−+−−()()()22222ab2ab2ab2ab22=−+−+−0=，当a2=−，b2=时，原式0=．【点拨】本

题考查了整式的化简求值，利用整式的加减运算法则把整式化为最简是解决问题的关键.【变式2】先化简，再求值：()()()()24222xxyxyxyxy−++−−−，其中2x=−，12y=-．【答案】132试

题分析：原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．解：原式222222244442xxyxyxxyyxy=−+−−+−=−，当12,2xy=−=−时,原式

174.22=−=类型六、整式加减中无关型问题5、化简求值：2222233224()(4)2ababababababab−−−++−，其中,ab使得关于x的多项式3213(1)()32xaxbx+++−−不含2x项和x项．【答案】原式=21068abab−+=−．【解析】本题

先将第一个整式按照先去小括号,再去中括号的依次顺序去掉括号,然后合并同类项化简,然后根据第二个整式中不含2x项和x项,可令式子中的2x项和x项的系数为0,从而计算出a,b的值,然后将a,b的值代入到第一个化简的式子中进行计算求

值.试题解析:原式=22222322464ababababababab−−+++−,=222223481224ababababababab−+−−+−,=2106abab−+,由题意知:10a+=,102b−=

,∴1a=−,12b=,当1a=−,12b=时,原式=()()2111016122−−+−,=()53−+−,=8−.举一反三：【变式1】已知多项式2xaxyb+−+与2363bxxy−+−差的值与字母x的取值无关，求代数式22223(2)4()aabbaabb−−

−++的值．【答案】22710abab−−−，14．【分析】已知多项式相减列出关系式，去括号合并得到最简结果，根据结果与x无关求出a与b的值，原式去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．解：∵多项式2xa

xyb+−+与2363bxxy−+−差的值与字母x的取值无关，222(363)(1)(3)73xaxybbxxybxaxyb+−+−−+−=−++−++，∴10b−=，30a+=，解得：3a=−，1b=，则原式=2222363444aa

bbaabb−−−−−=22710abab−−−，当3a=−，1b=时，()()23711031=9730=14−−−−−−−+．考点：1．整式的加减；2．整式的加减—化简求值．【变式2】如果关于x、y的代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x所取的值无关，试

求代数式3232122(3)4abab−−−的值．【答案】192−.【分析】首先去括号，然后再合并同类项，化简后，把a、b的值代入计算即可．解：（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1），＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx

2+3x﹣5y+1，＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7，∵代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x所取的值无关，∴2﹣2b＝0，a+3＝0，解得：b＝1，a＝﹣

3，a3﹣2b2﹣2（14a3﹣3b2）＝a3﹣2b2﹣12a3+6b2＝12a3+4b2．当b＝1，a＝﹣3，原式＝12×（﹣27）+4×1＝192−．【点拨】此题主要考查了整式的加减﹣﹣化简求值，给出整式中字母的值，求整式的

值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．