【文档说明】河南省许昌高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学 Word版含解析.docx，共(15)页，1.178 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高三上学期开学检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时

，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．记nS为等差数

列na的前n项和，若396714,63aaaa+==，则7S=（）A．21B．19C．12D．422．命题()()()227,12:4ln21,21xaxxpfxaxax+−−=++−−−−在(2,2x−上为减函数，命题()4:1axq

gxx+=−在()1,+为增函数，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表

面积为123，则正八面体外接球的体积为（）A．42πB．43πC．12πD．36π4．将95,96,97,98,99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1

的概率为（）A．15B．25C．35D．455．已知关于x的不等式20(,,)axbxcabc++R的解集为(4,1)−，则29cab++的取值范围为（）A．)6,−+B．(,6)−C．(6,)−+D．(,6−−6．已知12,FF是双曲线22221(0)xyaba

b−=的左､右焦点，以2F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,AB两点，若123ABFF，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．261,3B．351,5C．()1,2D．()1,37．已知正实数,xy满足1xy+=，

则（）A．2xy+的最小值为34B．14xy+的最小值为8C．xy+的最小值为2D．24loglogxy+没有最大值8．已知定义在R上的函数()fx在区间0,1上单调递减，且满足()()()221fxfxf++=−，函数()1yfx=−的对称中心

为()2,0，则（）（注：ln31.099,ln20.693）A．()20240f=B．()()0.51.60ff+C．()()21.5log48ffD．()12sin1ln3ff二．多选题（共3小题，每题

6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）9．已知1F，2F分别是椭圆C：()222210+=xyabab的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则（）A．当2ab=时，满足1290FPF=的点P有2个B．12

PFF的周长一定小于4aC．12PFF的面积可以大于22aD．若12PFb恒成立，则C的离心率的取值范围是30,510．已知a，b，cR，则下列结论正确的是（）A．若0ab，则bbcaac++B．若22acbc，则abC．若0ab，1222abaab++

D．22231aa++的最小值为2211．函数()1,03,0exxxxfxxx+=，关于x的方程()()()20fxmfxm−=R，则下列正确的是（）A．函数()fx的值域为RB．函数()fx的单调减区间为()),0,1,−+C．当12m=

时，则方程有4个不相等的实数根D．若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是3,e+三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）12．对于任意实数,ab，定义max,bababaab=，，，设函()26

,()logfxxgxx=−+=，则函数()()()max,hxfxgx=的最小值是．13．甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5,6的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，

乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为.14．过双曲线22221(0,0)yxabab−=的上焦点1F，作其中一条渐近线的垂线，垂足为H，直线1FH与双曲线的上､下两

支分别交于,MN，若3NHHM=，则双曲线的离心率e=.四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）（14分）15．已知数列na的前n项和为nS，nN，55a=，12nnaa+−=.(

1)求数列na的通项公式；(2)设数列nb满足11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT.（14分）16．如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，1AA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，ADBC∥，4BC=，12ABADDCAA====，Q为AD的中点．(1)

在11AD上是否存在点P，使直线//CQ平面1ACP，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；(2)若（1）中点P存在，求平面1ACP与平面11ABBA所成的锐二面角的余弦值．（15分）17．函数()fx的定义域为0Dxx=，且满足对于任意12,xxD

，有()()()1212fxxfxfx=+，当1xfx时，()>0.(1)证明：()fx在()0,+上是增函数；(2)证明：()fx是偶函数；(3)如果(4)1f=，解不等式(1)3fx−.（16分）1

8．2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.年级名次是否近视1~100101~1000近视4030不近视1

020（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在1~100名和101~1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中

数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的

年级名次在1~100名的概率.()2PKk0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87922()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.（18分）1

9．在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线()2222:10,0xyEabab−=的左、右焦点分别为1

2,,FFE的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点P，且与E的渐近线交于,AB两点，当2PFx⊥轴时，直线1y=为12PFF的等线.(1)求E的方程;(2)若2yx=是四边形12AFBF的等线，求四边形12AFBF的面积;(3)设13OGOP=，点G的轨迹为曲线

，证明:在点G处的切线n为12AFF△的等线数学答案1．A【详解】na是等差数列，396214aaa+==，即67a=，所以67769,aaaa==故公差76162,53daaaad=−==−=−，()767732212S=−+=，2．A【详解】()fx要在(2,2x

−上单调递减，则222401127aaaa−+−−−−，解得54a−−，()()1444:111axaaxaqgxaxxx−++++===+−−−在(1,+∞)为增函数，则40a+，解得4a

−，因为54a−−是4a−的真子集，故命题p是命题q的充分不必要条件.3．B【详解】如图正八面体，连接AC和BD交于点O，因为EAEC=，EDEB=，所以EOAC⊥，EOBD⊥，又AC和BD为平面ABCD内相交直线，所以EO⊥平面ABCD，所以O为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径

为R，因为正八面体的表面积为8×√34𝐴𝐵2=12√3，所以正八面体的棱长为6，所以𝐸𝐵=𝐸𝐶=𝐵𝐶=√6,𝑂𝐵=𝑂𝐶=√3,𝐸𝑂=√𝐸𝐵2−𝑂𝐵2=√3，则𝑅=√3,𝑉=43π𝑅3=43π×3√3=4√3π．4．D【详解】依题意

可知，总体平均数为97，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，情况如下：选到95,96，则样本平均数为95.5，所以95.5971.5−=，选到95,97，则样本平均数为96，所以96971−=，选到95,98，则样本平均数为96.5，所以96.5

970.5−=，选到95,99，则样本平均数为97，所以97970−=，选到96,97，则样本平均数为96.5，所以96.5970.5−=，选到96,98，则样本平均数为97，所以97970−=，选到96,99，则样本

平均数为97.5，所以97.5970.5−=，选到97,98，则样本平均数为97.5，所以97.5970.5−=，选到97,99，则样本平均数为98，所以98971−=，选到98,99，则样本平均数为98.5，所以98.5971.5−=，所以该样本的平均数与总体

平均数之差的绝对值不超过1的概率为84105=.5．D【详解】由不等式20(,,)axbxcabc++R的解集为(4,1)−，可知1和4−是方程20axbxc++=的两个实数根，且0a，由韦达定理可得4141

baca−+=−−=，即可得3,4baca==−，所以()2224991699994424634444acaaaaabaaaaaa−+++===+=−−+−−=−++−−.当且仅当944aa−=−时，即34a=−时等号成立；

即可得(29,6cab+−−+.6．B【详解】设以()2,0Fc为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bxay−=交于,AB两点，则2F到渐近线0bxay−=的距离22bcdbab==+，所以222ABab=−，因为123ABFF，所以22322abc−，可得2222299abca

b−=+，即22224555abca=−，可得2259ca，所以2295ca，所以355e，又1e，所以双曲线的离心率的取值范围是351,5.7．A【详解】对于A中，由正实数,xy满足1xy+=，可得01,01xy，且1yx=−，则

222131()24xyxxx+=−+=−+，当12x=时，2xy+取得最小值为34，所以A正确；对于B中，由4444()()552911xxxyyyyyxyyxxx++=++=++=，当且仅当4yxxy=时，即12,33xy==时，等号成立，

所以14xy+的最小值为9，所以B不正确；对于C中，由()222()2xyxyxyxy+=+++=，当且仅当12xy==时，等号成立，所以xy+的最大值为2，所以C错误；对于D中，由2224444logloglogloglogxyxyxy+=+=，因为2232(1)xyxxxx=

−=−+，设()32,01mxxxx=−+，可得()232(32)mxxxxx=−+=−−，当2(0,)3x时，()0mx，()mx在2(0,)3上单调递增；当2(,1)3x时，()0mx

，()mx在2(,1)3上单调递减，所以，当23x=时，函数()mx取得最大值，最大值为427，则24loglogxy+的最大值为44log27，所以D不正确.8．C【详解】()()()221fxfxf++=−，故()()()4221

fxfxf+++=−，所以()()4fxfx=+，函数()1yfx=−的对称中心为()2,0，函数()1yfx=−往左平移1个单位得到函数()yfx=，故函数()yfx=的对称中心为()1,0，()()()221fxfxf++=−，令1x=−得，()()()1121fff+−=−，

故()()110ff−==，即()()20,fxfx++=且()fx的对称中心为()1,0，故()()20,fxfx++−=故()(),fxfx−=即()fx的对称轴为0x=.对于A,()fx在区间0,1上单调递减，故()()010ff=，且()()4fxfx=+，所以(

)()202400ff=，故A错误；对于B,()fx在区间0,1上单调递减，对称中心为()1,0，故()()0.51.50ff+=，且()fx在区间1,2上单调递减，则()()1.51.6ff，()()0.51.6

0ff+，故B错误；对于C，22225<log486,1log484lo3g−=，且21.099log1.5n0.9l33l6n32=，结合()fx在区间1,2上单调递减，故()()()

()222log48log484log1.53ffff=−=，故C正确；对于D，1lnln31.0993=−−，故()()()9ln31ln1.0991.093ffff=−−=，且ππ2sin2sin12sin,22sin1343，即11.0

992sin12，结合()fx在区间1,2上单调递减，故()12sin1ln3ff，故D错误.9．ABD【详解】对于选项A：当点P的坐标为()0,b或()0,b−时，12FPF最大，此时，若2ab=，则bc=，所以1290FPF=

，A正确；对于选项B：12PFF的周长为224aca+，故B正确；对于选项C：12PFF的面积为222121222PbcaFFybc+=，故C错误；故于选项D：因为1acPFac−+，所以2acb+

，可得225230caca+−，得25230ee+−，得315e−，又()0,1e，所以30,5e，故D正确．10．BC【详解】对于A，当0c=时bbcaac+=+，故A错误；对于B，若22acbc，则20c，即20c，所以ab，故B正确

；对于C，因为0ab，所以222abab+，当且仅当2ab=时取等号，所以2222abaab++，显然220aab+，所以1222abaab++，当且仅当2ab=时取等号，故C正确；对于D，因为()222222221123121111aaaaaa+++==++++

+，令21ta=+，则1t，令()()121ftttt=+，由对勾函数的性质可知，函数()11222fttttt=+=+在)1,+上单调递增，所以()()min13ftf==，所以2212131aa

+++，当且仅当0a=时取等号，故D错误.11．BD【详解】①当0x时，()111xfxxx+==+，则()fx在(),0−单调递减，且渐近线为y轴和1y=，恒有()1fx.②当0x时，()3exxfx=，()()23e3e

3(1)eexxxxxxfx−−==，当01x，()0,()fxfx在(0,1)单调递增；当1x，()0,()fxfx在(1,+∞)单调递减，故()3()1efxf=，且恒有()0fx，综上①②可知，()max3efx=，综上，作出函数()fx大致图象，如下图：对于A，

由上可知函数()fx的值域为3,e−，故A错误；对于B，函数()fx的单调减区间为(),0,(1,)−+，故B正确；对于C，当12m=时，则方程()()()210R2fxfxm−=，解得()0fx=或()12f

x=，由()0fx=，得0x=或=1x−，有两个实数根；由图象可知，由()12fx=得此时有4不相等的实数根，且均不为0，也不为1−，所以当12m=时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误；对于D，若关于x的方程

()()()20Rfxmfxm−=有3个不相等的实数根，即方程()0fx=与方程()fxm=共有3个不相等的实数根，又因为()0fx=已有两个不等的实数根0,1−，则方程()fxm=有且仅有1个根，且不为0,1−.所以()yfx=与ym=有且仅有1个公共点，由图象可知3em，满足题意，即m

的取值范围是3,e+，故D正确.12．2【详解】由题意得𝑥∈(0,+∞)，因为函数()6fxx=−+在𝑥∈(0,+∞)上单调递减，函数2()loggxx=在𝑥∈(0,+∞)上单调递增，又()()24462,4log42fg

=−+===，所以点()4,2是两个函数的交点，所以当4x时，()()fxgx，可得()()hxgx=，当04x时，()()fxgx，可得()()hxfx=，可得ℎ(𝑥)的大致图象，如下图，13．18/0.125【详解】将问题转化为：在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒

子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率.甲从三个盒子中各取一球，共有328=种取法，三个都是编号较大小球只有一种取法，所以，甲获得3分的概率为18.14．5【详解】设双曲线右焦点为2F，由题()10,Fc，双曲线的一条渐近线方程为ayxb=−即0axby+=，过该渐近线作垂线，则

由题1222bcbcFHbabc===+，1OFc=，设HMt=，则由题3NHt=，1FMbt=−，13FNbt=+，所以232FNbta=+−，22FMbta=−+，所以在1RtFOH中，111cosFHbO

FMOFc==①，在12FMF△中，()()()()()22222211221112||||22cos222FMFFFMbtcbtaOFMbtcFMFF+−−+−−+==−②，在12FNF△中，()()()()()2222

2211221112||||3232cos2322FNFFFNbtcbtaOFMbtcFNFF+−++−+−==+③，由①②得()()()()()2222222btcbtabbtcc−+−−+=−，化简解得abtab=+，由①

③得()()()()()2223232232btcbtabbtcc++−+−=+，化简解得()3abtba=−，所以()23ababbaabba==+−，故双曲线的离心率()22222225aacabeaaa++====.15．(1)()25nann=−

N(2)69nnTn=−+【详解】（1）由12nnaa+−=可知数列{𝑎𝑛}是以公差2=d的等差数列,又55a=得()5151aad=+−，解得13a=−,故()321nan=−+−，即()25Nnann=−.（2）因为()()111111252322523nnnbaannnn

+===−−−−−,所以11111111123111132523nTnn=−+−+−++−−−−−−1112323n=−−−1164669nnn=−−=−−+.16．(1)存在，P是11A

D中点，证明见解析；(2)3131．【详解】（1）存在，证明如下：在四棱柱1111ABCDABCD−中，因为平面//ABCD平面1111DCBA，所以可在平面1111DCBA内作1CPCQ∥，由平面几何知识可证11CDPCDQ△≌△，所以1DPDQ=，可知P是11AD中点，因为1CP平面1AC

P，所以//CQ平面1ACP．即存在线段11AD的中点，满足题设条件．满足条件的点只有一个，证明如下：当//CQ平面1ACP时，因为//CQ平面1111DCBA，所以过1C作平行于CQ的直线既在平面11ACP

内，也在平面1111DCBA内，而在平面1111DCBA内过1C只能作一条直线1CPCQ∥，故满足条件的点P只有唯一一个．所以，有且只有11AD的中点为满足条件的点P，使直线//CQ平面1ACP．（2）过点D作DFBC⊥，垂足为F，又因为1DD⊥平

面ABCD，所以DA，DF，1DD两两互相垂直，以D为坐标原点，分别以DA，DF，1DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz−，则𝐴(2,0,0)，()1,0,2P，()11,3,2C−，()12,0,2A，()3,3,0B，()1,0,2PA=−，()12,

3,0PC=−，()1,3,0AB=，()10,0,2AA=设平面1PAC的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则有10,0,nPAnPC==即20,230.xzxy−=−+=令23x=，

得4y=，3z=，所以()23,4,3n=．设平面11ABBA的法向量为(),,mxyz=．则有10,0,ABmAAm==即30,20.xyz+==令3x=，得1y=−，0z=，所以()3,1,0m=−．

所以64031cos,31231nmnmnm−+===．故平面1ACP与平面11ABBA所成的锐二面角的余弦值为3131．17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)()()63,11,65−【详

解】（1）设120xx，则222121111111()()()()()[()()]()xxxfxfxfxfxfxfxffxxx−=−=−+=−，由于120xx，所以211xx，所以21()0x

fx，所以12())0(fxfx−，所以12()()fxfx，所以()fx在()0,+上是增函数；（2）因对定义域内的任意12xxD，，有1212()()()fxxfxfx=+，令12,1xxx==−，则有()()(1)fxf

xf−=+−，又令121xx==−，得2(1)(1)ff−=，再令121xx==，得(1)0f=，从而(1)0f−=，于是有()()fxfx−=，所以()fx是偶函数．（3）由于(4)1f=，所以3111(4)(4)(4)(444)(64)fffff=++

=++==，于是不等式(1)3fx−可化为(1)(64)fxf−，由（2）可知函数()fx是偶函数，则不等式可化为(|1|)(64)fxf−，又由（1）可知()fx在()0,+上是增函数，所以

可得16410xx−−，解得63651xx−，所以不等式(1)3fx−的解集为(63,1)(1,65)−．18．（1）4.74；（2）能；（3）35.【详解】（1）由图可知，第三组和第六组的频

数为1000.80.216=人第五组的频数为1001.20.224=人所以前四组的频数和为()100241660−+=人而前四组的频数依次成等比数列故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数

为32人所以中位数落在第四组，设为x，因此有4.650(4816)0.232x−−++=（或1.6(4.6)0.22x−=）解得4.7375x=所以中位数是4.74（2）因为22100(40203010)50

507030K−=所以21004.76221K=所以23.841K因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系（3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在1~100名和101~1000名的分别有2人和4人从6人中任意抽取2人的基本事

件共15个至少有1人来自于1~100名的基本事件有9个所以至少有1人的年级名次在1~100名的概率为93155P==.19．(1)2213yx−=(2)12(3)证明见解析【详解】（1）由题意知()()212,,,0,,0bPcFcFca−，显然

点P在直线1y=的上方，因为直线1y=为12PFF的等线，所以222212,2,bcecabaa−====+，解得13ab==，，所以E的方程为2213yx−=（2）设𝑃(𝑥0,𝑦0)，切线()00:myykxx−=−，代入2213yx−=得:()()()2222200000032230kx

kkxyxkxykxy−+−−+−+=，故()()()22222000000243230kkxykkxykxy−+−+−+=，该式可以看作关于k的一元二次方程()22200001230xkxyky−−++=，所以000002200031113xyxyxk

xyy===−+−，即m方程为()001*3yyxx−=当m的斜率不存在时，也成立渐近线方程为3yx=，不妨设A在B上方，联立得000011,33ABxxyyxx==−+，故0000011233ABxx

xyyxx+=+=−+，所以P是线段AB的中点，因为12,FF到过O的直线距离相等，则过O点的等线必定满足:,AB到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P，即OP的方程为2yx=，由22213yxyx=−=，解得36xy==，故()3,6P.所以0000

3336333AAyxyxyx====+−−，所以00003336333BByxyxyx−=−=−==−++，所以6AByy−=，所以1212122ABCDABABSFFyyyy=−=−=（3）设(),Gxy，由13OGOP=，所以003,3xxyy=

=，故曲线的方程为()229310xyx−=由（*）知切线为n，也为0093133xyyx−=，即00133yyxx−=，即00310xxyy−−=易知A与2F在n的右侧，1F在n的左侧，分别记12,,FFA到n的距离为123,,ddd，由

（2）知0000001133333AAxyyyyxxx===−−−，，所以000000000000000032222222200000000233233331233339999yyxyxxxyyyyyxxxxdxyxyxyxy−−+−−−−−−−====++++由01x得00001

2222222220000000061616161,9999xxxxddxyxyxyxy−−−+−====++++因为0023122222200000061612999xxdddxyxyxy−++=+==+++，所

以直线n为12AFF△的等线.