【文档说明】江苏省盐城市阜宁中学2022-2023学年高一下学期第一次综合测试数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.309 MB，由小赞的店铺上传

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2023年春学期高一年级综合测试数学试题命题人：时间：120分钟分值：150分一、单选题(共40分)1.在ABC中，a，b是A，B所对的边，已知acosBbcosA=，则ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰

三角形或直角三角形【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得sinsinAcosBBcosA=，化简得in0()sAB−=,即得解.【详解】由正弦定理得sinsinAcosBBcosA=，所以sinsin0AcosBcosAB−=，所以

in0()sAB−=,因为,(0,)AB,所以0,ABAB−==.所以三角形是等腰三角形.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.已知a

，b均为单位向量，它们的夹角为120，则|3|ab+=（）A.7B.7C.13D.13【答案】A【解析】【分析】先由题意，求出ab，再由向量模的计算公式，即可求出结果.【详解】因为a，b均为单位向量，它们的夹角为60，所以1cos1202abab==−，因此223969

317abaabb+=++=−+=.故选：A.3.复数1i1i+−（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】先对复数1i1i+−化简，再求其共轭复数，从而可求得

答案【详解】因为()()()221i1i12iii1i1i1i2++++===−−+，所以其共轭复数为i−，则其虚部为1−，故选：B4.已知()sin,14cos2a=−，()1,3sin2b=−，π0,2，

若ab∥，则2sin22cos=+（）A.211B.411C.611D.811【答案】B【解析】分析】先利用ab∥以及倍角公式求出sin，进而根据π0,2可得cos，再代入2sin22cos

+计算即可.【详解】()sin,14cos2a=−，()1,3sin2b=−，ab∥，()()23sin214cos214isinn12s−=−=−−,解得3sin5=或sin1=

−，又π0,2，则3sin5=，24cos1sin5=−=，222342sin24552cos2cos11s422incos5===+++故选：B【.5.在ABC中，“ABC是钝角三角形”是“tantan1AB”的（

）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】注意三角形内角和是π，然后讨论哪个角是钝角即可.【详解】若ABC是钝角三角形，A或B为钝角时，tantan01AB，满

足条件，C为钝角时，()tantantantantantan01tantantantan1ABABCABABAB++=−+=−=−−，由于tan0,tan0,AB则tantan1AB，满足条件，所以是充分条件.tantan1AB时，当tantan0AB时，A或

B为钝角，ABC为钝角三角形.当tantan0AB=时，tan0A=或tan0B=，,AB无解，当0tantan1AB时，tantantan0,tantan1ABCCAB+=−为钝角，ABC为钝角三角形，所以是必要条件.故选：A.6.在

ABC中，有()()2ACABBCCBCAAB−=−，则tanC的最大值是（）A.27B.23C.147D.142【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边a，b，c的关系，利用基本不等式求出c

osC的最小值，显然C为锐角，要使tanC取最大值，则cosC取最小值，从而得出sinC的最大值，即可求出tanC的最大值．【详解】因为()()2ACABBCCBCAAB−=−，所以22ACABACBCCBCACBA

B−=−，又ACBCCACB=，CBABBCBA=，所以23ACABBCBACBCA+=又222cos2bcaABACbcA+−==，222cos2acbBABCabB+−==，222co

s2abcCACBabC+−==，所以2222222223()()22bcaabcacb+−+−++−=，即22223abc+=，22222221(2)23cos22236363abababcababCa

babbaba+−++−===+=，当且仅当36abba=即2ba=时取等号，显然C为锐角，要使tanC取最大值，则cosC取最小值23，此时27sin1cos3CC=−=，所以7sin143tancos223CCC===，即tanC的最大值是142．故选：D．7.圣·索菲亚教堂

是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为35m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是45和

60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为15，则犇犇估算索菲亚教堂的高度CD约为（结果保留整数）（）A.44mB.47mC.50mD.53m【答案】D【解析】【分析】在RtABM，由边角关系得出2AMAB=，再由正弦定理计算出ACM△中的3CMAB=，最后根据直角三角形DCM算出CD即可.【详解】解

：由题意知：60CAM=，75AMC=，所以45ACM=，在RtABM中，2sinsin45ABABAMABAMB===，在ACM△中，由正弦定理得MMsin45sin60AC=，所以sin602sin603sin4

5sin45AMABCMAB===，在RtDCM中，3sin601.53552.5532CDCMAB====，故选：D.8.自平面上一点O引两条射线OA，OB，点P在OA上运动，点Q在OB上运动且保持PQ为定值a（点P，Q不与点O重合），已知3AOB=，

7a=，则3PQPOQPQOPOQO+的取值范围为A.1,72B.7,72C.1,72−D.7,72−【答案】D【解析】【分析】设OPQ=，则23PQO=−，将所求式子通过公式

整理为()7sin−，则根据正弦函数的最值可求得所求式子的取值范围.【详解】设OPQ=，则23PQO=−322cos3cos7cos3cos33PQPOQPQOPQQPPOQO+=+−=+−()3331337c

oscossin7cossin7sin2222=−+=−+=−其中3tan9=，则7sin14=20,3当()sin1−=时，原式取最大值：7()()7sinsin0sin14−

−=−=−()77sin2−−37,72PQPOQPQOPOQO+−本题正确选项：D【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，关键是能够将向量的数量积和模长运算转化为三角函数的形式，从而根据三角函数的值域求解方法求得结果.二、多选题(共20分)9.

已知向量(2,1)a=，(3,1)b=−，则（）A.()aba+⊥B.向量a在向量b上的投影向量是102b−C.|2|5ab+=D.与向量a共线的单位向量是25(5，5)5【答案】AC【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示，数量积的定义

，模的坐标表示，共线向量的坐标表示及单位向量的定义计算后判断．【详解】解：因为向量(2,1)a=，(3,1)b=−，故5ab=−，对于A，(1,2)ab+=−，所以()2(1)210aba+=−+=，所以()aba+⊥，故A正确；对于B，向量a在向量b

上的投影向量是2251||cos||(3)12||||||||||babbabaabbbbabbb−====−−+，（注:是向量,ab的夹角），故B错误；对于C，2(4,3)ab+=−，所以2

2|2|(4)35ab+=−+=，故C正确；对于D，a共线的单位向量是||aa，即25(5，5)5或25(5−，5)5−，故D错误.故选：AC.10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（）A.若coscoscosabcABC==，

则△ABC一定是等边三角形B.若22tantanaBbA=，则△ABC一定是等腰三角形C.AB是sinsinAB成立的充要条件D.若2220abc+−，则△ABC一定是锐角三角形【答案】AC【解析】【

分析】根据正选定理和余弦定理在三角形中的应用对四个选项进行判断即可.【详解】根据正弦定理可知，sinsinsincoscoscoscoscoscosabcABCABCABC====，即tantantanABC==，所以在三角形中ABC==，△ABC

一定是等边三角形，A正确；2222sinsintantansinsinsin2sin2coscosBAaBbAABABBA===，故222π,ZABkk=+或2π22π,ZABkk=−+，在三角形中(),,0,πABAB+故22ABAB==，或π2π22ABAB=−+=，故

三角形是等腰三角形或者直角三角形，B错误；三角形中AB等价于ab，根据正弦定理可知sinsinabAB，充分性成立，sinsinAB根据正弦定理可知sinsinABab，故AB，必要性成立，故C正确；2222220cos02abcabcCab+−+−=，可得角C为锐角，但

不可证明A、B两角大小，不可判断△ABC一定是锐角三角形，D错误.故选：AC.11.设z为复数，则下列命题中正确的是（）A.2||zzz=B.z2＝|z|2C.若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2D.若|z﹣1|＝1，则

0≤|z|≤2【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的运算法则，以及其几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】设()ix,yRzxy=+，则izxy=−，对A：()()222iizxyxy

xyzz=+=+−=，故A正确；对B：()2222222i2izxyxyxyxyz=+=−++=，故B错误；对C：若1z=，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，而iz+表示复数z对应点到()0,1−的距离，故当且仅当z对应点为()0,1时，取得最大值2

，故C正确；对D：若11z−=，其表示复数z对应的点是以()1,0为圆心，1为半径的圆上的点，又z表示复数z对应点到原点的距离，显然0,2z，故D正确.故选：ACD.12.已知,均为第二象限角，且sintan2sintan22=，则

可能存在（）A.=B.C.2=D.2ab>【答案】BD【解析】【分析】利用二倍角公式进行化简变形，得到,的关系，然后分类讨论即可.【详解】sintan2sintan22=2sincost

an4sincostan222222=sinsin222sincos4sincos2222coscos22=因为,均为第二象限角，所以παππβπππ,ππ,422422kkk

kk++++Z，所以，sin0,sin022，化简得：222cos4cos22=，即cos2cos1=+.若=，则cos2cos1=+，得cos1=−第二象限，故A错；在若2=，则2cos22cos

1coscos10=+−−=，因为为第二象限角，所以15cos02−=，cos250=−,但是由为第二象限角，可得()2π4π,2π4π,kkk=++Z，为第三、四象限角或终边在y

轴负半轴，显然角的位置不同，不可能相等，所以C错误；由终边相同的角的概念结合上面的计算易知，可以出现，2ab>的情况，故B，D正确.故选：BD.三、填空题(共20分)13.已知非零实数a，b满足关系式sincos855tan15cossin55abab=+−，则ba的值是

______．【答案】3【解析】【详解】由题可得2222sinsincos8555tantantan51553cossincos555abababab+++==+==+−++，其中sin=22

bab+，，22cosaab=+，所以3k=+，，kZ，所以tanba==tantan333k+==．14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一

个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在ABC中，若1,2AFFD==，则AB=___________.【答案】13【解析】【分

析】由条件可得3,1ADBD==，23BDA=，由余弦定理可得答案.【详解】由题意EFD△为等边三角形，则3EDA=,所以23BDA=根据条件AFC△与BDA△全等，所以1AFBD==在ABD△

中，3,1ADBD==2222cosABADBDADBDBDA=+−22131213132=+−−=所以13AB=故答案为：1315.在复平面内，已知复数z满足|1||i|zz−=+（i为虚数单位），记02iz=+对应的点为点0Z，z

对应的点为点Z，则点0Z与点Z之间距离的最小值_________________【答案】322【解析】【分析】根据已知条件，集合复数模公式，求出点Z的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】设

i(,R)zxyxy=+，|1||i|zz−=+，|1i||(1)i|xyxy−+=++,即2222(1)(1)xyxy−+=++，化简整理可得0xy+=，复数z的对应点Z的轨迹0xy+=，02i

z=+对应的点为点0(2,1)Z，点0Z与点Z之间距离的最小值为22|21|32211+=+，故答案为：32216.已知直角梯形ABCD中，//ADBC，90ADC=，2AD=，1BC=，P是腰DC上的动点，则3PAPB+的最小值为______.【答案

】5【解析】【分析】以,DADC为,xy轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.【详解】由题：以,DADC为,xy轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：设()()()()0,,0,,1,,2,0,0CaPbBaAba，则()()()32,31,5,34PAPBbabab+=

−+−=−()2325345PAPBab+=+−，当34ab=取得最小值.故答案为：5【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题.四、解答题(共70分)17.平面内给定三

个向量(3,2)a=，(1,2)b=−，(4,1)c=.（1）求cos,ab；（2）求|2|ab−；（3）若()(2)akcba+⊥−，求实数k.【答案】（1）6565（2）53（3）1118−【解析】【分析】

（1）根据平面向量夹角的坐标公式即可求解；（2）根据平面向量模长公式的坐标表示即可求解；（3）根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.【小问1详解】解：因为(3,2)a=，(1,2)b=−，所以()31221ab=−+=，223213a=+=，()22125b=−+=，所以165co

s,65135ababab===；【小问2详解】解：因(3,2)a=，(1,2)b=−，所以()()()223,21,27,2ab−=−−=，所以22|2|7253ab−=+=；【小问3详解】解：因为(4,1)c=，(43,2)akckk+=++，2(5,2)ba−=−

，又()(2)akcba+⊥−，所以()()()435220kk+−++=，解得1118k=−.18.已知22sin2sin12=−（1）求1sin2cos22αα+的值；（2）已知()0,，0,2

，2tan6tan1−=，求2+的值.为【答案】（1）15；（2）74.【解析】【分析】（1）先化简22sin2sin12=−，算出tan，即可齐次化1sin2cos22αα+求解.

（2）先求出tan，进而求出tan2，再通过()tantan2tan21tantan2++=−即可求解.【详解】（1）由已知得2sincos=−，所以1tan2=−1sin2cos22αα+=2222sincoscossinsin

coscos2sincos+−+=+22tan1tan1tan15+−==+（2）由2tan6tan1−=，可得22tan1tan21tan3==−−，则()11tantan223tan21111tantan2123−

−++===−−−因为0,2，所以()20,，又13tan233=−−，则52,6因为()0,，13tan23=−−，则5,6，则52,23+，所以724+=.【点睛】关键点点睛：

本题的关键是缩小角的范围，要注意和一些特殊角的三角函数值比较大小，从而缩小角的范围.19.已知ABC的顶点坐标分别为(,4),(0,),(,0)AaBbCc.若虚数2i(0)xaa=+是实系数一元二次方程250xcx−+=的根，（1）求点A､C的坐标；（2

）若A是钝角，求b的取值范围.【答案】（1）()()1,4,4,0AC（2）141616,,333+【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系列方程即可求得；（2）利用向量的夹角公式可以

求得.【小问1详解】因为虚数2ixa=+是实系数一元二次方程250xcx−+=的根，所以虚数2ixa=−也是实系数一元二次方程250xcx−+=的根.所以由根与系数的关系得：()()2i2iaac++−=，()()2i2i5aa+−=，解得：1,4

ac==.故()()1,4,4,0AC.【小问2详解】由（1）可知：()()()1,4,0,,4,0ABbC，所以()()1,4,3,4ABbAC=−−=−.所以()()223416134cos,145145A

BACbbABACABACbb−−+−===+−+−.要使A是钝角，只需()()22134cos,0145134cos,1145bABACbbABACb−=+−−=−+−，解得：141633b或163b.故b的取值范围为141

616,,333+.20.在ABC中，记角,,ABC的对边分别为,,abc，已知π2sin6bAac+=+，且2c=，点D在线段BC上.（1）若3π4ADC=，求AD的长；（2）若2,BDDC

ABC=的面积为33，求sinsinBADCAD的值.【答案】（1）6AD=（2）27【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角、两角和的正弦公式和辅助角公式化简给定等式，再由正弦定理即可求出答案.（2）设CDt=

，则2BDt=，由三角形的面积公式可求出2t=，再由余弦定理求出AC，在ABD△中，由正弦定理可得sin2sinBADADB=，同理在ACD中，可得7sinsin7CADADC=，两式相出即可求出sinsinBADCAD的值.【小问1

详解】依题意有()π2sinsinsinsinsinsinsinsincoscossin6BAACAABAABAB+=+=++=++.sinsincoscoss312sinsi2noincs2AABABAAB+=

++,3sinsinsincossinsincoscossinABBAAABAB+=++.3sinsinsincossinABABA−=,()sin3sincossinABBA−=因为sin0A，所以π3sincos2sin16BBB−=−=，又()πππ0

,π,,663BBB−==.34πADC=，则π4ADB=，在ABD△中，由正弦定理得2,sinsin3222ADABADBADB==，解得6AD=.【小问2详解】设CDt=，则2BDt=，又33ABCS=，即13233322t=，可得2t=，故36BC

t==，由余弦定理可得2212cos436226272ACABBCABBCB=+−=+−=，在ABD△中，由正弦定理可得sinsinBDABBADADB=，故sin2sinBADADB=，在ACD中，由正弦定理可得sinsinCD

ACCADADC=，故7sinsin7CADADC=，因为()sinsinπsinADBADCADC=−=，sin2sin27.sin7sin7BADADBCADADC==21.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计

如图所示，该工艺品由直角ABC和以BC为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点（异于B，C），点H在线段AB上，且满足CHAB⊥.已知90ACB=，1dmAB=，设ABC=.（1）为了使工艺礼品达到

最佳观赏效果，需满足ABCPCB=，且CACP+达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA=，且CHCP+达到最大.当为何值时，CHCP+取得最大值，并求该最大值.【答案】（1）π6=（2）当π12=，CHCP

+达到最大，最大值为234+【解析】【分析】（1）设ABCPCB==，则在直角ABC中，sinAC=，cosBC=，计算得到2sinsin1ACCP+=−++，计算最值得到答案.（2）计算sincosCH=，得到π3sin232CHCP+=++，得的最值.

【详解】（1）设ABCPCB==，则在直角ABC中，sinAC=，cosBC=.在直角PBC中，2coscoscoscosPCBC===，sinsincossincosPBBC===.22sincossin1sinACCP+=+=+−2sinsin

1=−++，π0,3，所以当1sin2=，即π6=，ACCP+的最大值为54.（2）在直角ABC中，由1122ABCSCACBABCH==，可得sincossincos1CH==.在直角PBC中，πs

in3PCBC=−ππcossincoscossin33=−，所以31sincoscoscossin22CHCP+=+−，π0,3，所以2131sin2cossincos222CHCP+=+−1331π3sin

2cos2sin2444243=++=++，所以当π12=，CHCP+达到最大值234+.【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.22.如图，设ABC中角,,ABC所对的边分别为,

,,abcAD为BC边上的中线，已知1c=且1212sincossinsinsin,cos47cABaAbBbCBAD=−+=.（1）求中线AD的长度；（2）设点EF､分别为边,ABAC上的动点，线段EF交AD于G，且AEF△的面积为ABC面积的一半，求AGEF的最大值.【答案】（1）212（

2）112【解析】【分析】（1）先由正弦定理与余弦定理进行边角互化，求出4b=，再由()12ADABAC=+结合数量积的运算性质即可求解；（2）设,AExAFy==，再根据AEF△的面积为ABC面积的一半，得到2xy=，然后利用,,EGF共线和基本定理，利用数量积运算求解.【

小问1详解】12sincossinsinsin4cABaAbBbC=−+，由正弦定理：2212cos4caBabbc=−+，由余弦定理：2222221124,1,4244cabcaabbccbcbccbac+−=−+

====.因为D为中点，所以()12ADABAC=+，设,ABAC的夹角为，222211178cos22cos,222ADABACABACcbbc+=++=++=又()()2211cos14cos2222ccbABADABABACABABAC++=+=+

==，2114coscos7178cosABADBADABAD+===+，即228cos8cos110+−=，解得1cos2=或11cos14=−，又14cos0+，∴1cos2=,∴212AD=；小

问2详解】设,AExAFy==，则,4yxABAFACAE==，∵AEF△的面积为ABC面积的一半，∴142AEAFxyABAC==，∴2xy=.设AGAD=，则22AGADABAC==+，又,,EGF共线，∴可设()1AGAEAF=+−，则()()114y

AGAEAFxABAC−=+−=+，【∴()2142xy=−=，解得：4yxy=+.∴2244AGABACxyxy=+++，又4yEFEAAFACxAB=+=−，∴22444yAGEFABAC

ACxABxyxy=+−++222964444yyyxACxABxACABxyxy−=−+−=++.又2xy=，化简得22296186213442422yxxAGEFxyxx

−−===−+++，又4y，则112x，则12x=时，AGEF的最大值为112.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com