【文档说明】四川省内江市第六中学2021届高三下学期第五次月考数学（文）试题 含答案.docx，共(19)页，991.637 KB，由小赞的店铺上传

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内江六中2020—2021学年（下）高2021届第五次月考文科数学试题考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合(1)(4)0Axxx=+−，2log2Bxx=，则AB=（）A．[2,4]−B．)1,+C

．(0,4D．)2,−+2．已知i为虚数单位，复数z的共轭复数为z，且满足232zzi+=−，则z=（）A．12i−B．12i+C．2i−D．2i+3．已知一组数据3，5，7，x，10的平均数为6，则这组数据的方差为（）A．335B．6C．285D．54．已知等差数列na的

前n项和为nS，25a=，若3S是3a与6a的等差中项，则10a=（）A．35B．37C．39D．415．已知a，b均为单位向量，3ab+=，则()()2abab+−=（）A．12−B．12C．32−D．326．某几何

体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．36B．33C．312D．37．过圆2216xy+=上一点P作圆()222:0Oxymm+=的两条切线，切

点分别为A、B，若2π3AOB=，则实数m=（）A．2B．3C．4D．98．已知对数函数()fx的图象经过点1(,2)9A−与点(27,)Bt，0.10.1log,0.2,tatbct===，则（）A．cabB．cbaC．bacD．abc9．函数()232fx

sinxcosx=+的图象向右平移6个单位长度得到()ygx=的图象．命题()1:pygx=的图象关于直线2x=对称;命题2:,04p−是()ygx=的一个单调增区间．则在命题()()()112212312:,:,:qppqppqpp

和()412:qpp中，真命题是（）A．13,qqB．14,qqC．23,qqD．24,qq10．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的渐近线与抛物线22(0)ypxp=的准线分别交于,AB两点，若抛物

线的焦点为F，且0FAFB=，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．2D．511．在三棱锥SABC−中，SA⊥底面ABC，且22ABAC==，30C=，2SA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．20B．12C．8D．412．已

知函数1,0(),0xxmfxex−==，若方程23()(23)()20mfxmfx−++=有5个解，则m的取值范围是（）A．(1,)+B．(0,1)(1,)+C．31,2D．331,,22+第Ⅱ卷（非选择题）二

、填空题（每题5分，共20分）13．已知x，y满足02020xyxyy−+−+，则3zxy=+的最小值为_________．14．已知曲线lnyxx=+在点()1,1处的切线为l，若l与曲线2(2)1yaxax=+++相切，则a=_____．15．已知F是抛

物线2:8Cyx=的焦点，点A的坐标为()2,6，点P是C上的任意一点，当P在点1P时，PFPA−取得最大值；当P在点2P时，PFPA−取得最小值，则1P，2P两点间的距离为__________．16．已知在锐角ABC的面积为233，且212tantansinABA+=，其内角,,

ABC所对边分别为,,abc，则边c的最小值为_____________．三、解答题:（共70分，解答应写出必要的步骤和过程）17．（本小题12分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知向量()cos,mBb=，()cos,3nCac=−，且满足：

//mn．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若22b=，求ABC面积的最大值．18．（本小题12分）从2017年1月18日开始，支付宝用户可以通过“AR扫‘福’字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福），除

夕夜22:18，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包．某高校一个社团在年后开学后随机调查了80位该校在读大学生，就除夕夜22:18之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：是否集齐五福性

别是否合计男301040女35540合计651580（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？（2）计算这80位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校10000名在读大学生中

集齐五福的人数；（3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐五福的学生中，选取2位男生和3位女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官网上，求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率．参考公式：()()()()

()22nadbcKabcdacbd−=++++()20PKk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（本小题12分）在

三棱柱111ABCABC−中，M，1M分别为AB，11AB中点．（1）求证：11//CM面1AMC；（2）若面ABC⊥面11ABBA，1ABB为正三角形，2AB=，1BC=，3AC=，求四棱锥111BAACC−的体积．20．（本小题12分）

椭圆2222:1(0)xyCabab+=，焦距为2，P为椭圆C上一点，F为焦点，且PFx⊥轴，3||2PF=．（1）求椭圆C的方程；（2）设Q为y轴正半轴上的定点，过点Q的直线l交椭圆于,AB两点，O为坐标原点，且3tan2AOBSAOB=−，求点Q的坐

标．21．（本小题12分）已知函数()()afxlnxaaRx=+−．(1)讨论函数()fx的单调性；(2)若关于x的方程()xxeaxfax=+−有唯一实数解0x，且()*0,1,xnnnN+，求n的值．22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中

，曲线C的参数方程为1cos1sinxy=+=−+（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin()13+=．（1）求曲线C的普通方程和

直线l的直角坐标方程；（2）已知点A的极坐标为(22,)4，点B为曲线C上的一动点，求线段AB的中点P到直线l的距离的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设,,abc为正数，()||||||fx

xaxbxc=++++−．（1）若1abc===，求函数()fx的最小值；（2）若(0)1f=，且,,abc不全相等，求证：333bccaababc++．内江六中高2021届高三下入学考试参考答案一、单选题1．【答案】C【分析】先利用一元二次

不等式的解法和对数函数的单调性化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解．【详解】因为集合(1)(4)014Axxxxx=+−=−，2log204Bxxxx==，所以(0,4AB=故选：C2．【答案】A【解析】设zabi=+，R

ab、，则zabi=−，由232zzi+=−，得：()232abiabii++−=−，即332abii+=−易得：12ab==−，∴12zi=−故选A3．【答案】C【解析】先根据平均数公式求出x，再利用方差公式求解．由题意得3571065x++++=，得5x=，所以这组数据的方差

2128(911116)55s=++++=．4．【答案】B【分析】设等差数列na的公差为d，根据题意得出关于d的方程，解出d，再利用等差数列的通项公式可求得10a的值．【详解】设等差数列na的公差为d，因为3S是3a与6a的等差中项，

则3632aaS+=，其中32aad=+，624aad=+，312323Saaaa=++=，所以，22256ada+=，可得2445ad==，因此，102837aad=+=，故选：B．【点睛】本题考查等差数列中相关项的计算，一般利用基本量法求解，考查计算能力，属于基础题．

5．【答案】B【解析】【分析】由已知结合向量数量积的性质可求ab，代入即可求解．【详解】解：∵ab均为单位向量，且3ab+=，∴2232aabb=++，∴12ab=，则()()221222ababaabb+−=−−=，故选：B．【点睛】本题主要考查

了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．6．（原创）A【命题意图】考查几何体的三视图和体积公式，同时考查空间想象能力．解析：该几何体是半个圆锥，底面是半径为1的半个圆，高为3，故体积21113133326VSh

===，故选A．7．【答案】A【解析】如图所示，取圆2216xy+=上一点()4,0P，过P作圆()222:0Oxymm+=的两条切线PA、PB，当2π3AOB=时，π3AOP=，且OAAP⊥，4OP=；122OAOP==，则实数2mOA==．故选A．8．答案

：D解析：设对函数()logmfxx=（0m，且1m），由已知可得1log29m=−，解得3m=，所以33()log,log273fxxt===，则300.100.10.1log3log0,00.

20.21,331abc======，所以abc9．【答案】A【解析】【分析】首先利用辅助角公式将函数()232fxsinxcosx=+化为()2sin23fxx=+，由三角函数的图像变化规律求出()

gx的解析式，根据三角函数的性质判断1p与2p真假，再由命题的否定以及真假表即可判断．【详解】解:由()132322sin2cos22sin2223fxsinxcosxxxx=+=+=+，

则()2sin[2()]2sin263gxxx=−+=，由()22xkkZ=+，解得()24kxkZ=+，显然2x=不是()gx对称轴，故1p为假命题．由()22222kxkkZ−+，解得()44kxkkZ−+，故函数()gx的单调递增

区间为,,44kkkZ−+，当0k=时，44x−，又,0,444−−Ü，故2p为真命题．故1p为真命题，2p为假命题，故112:qpp为真命题；()(

)212:qpp为假命题；()312:qpp为真命题；()412:qpp为假命题；故选：A．【点睛】本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假表，需熟记三角函数的性质以及真假表，属于基础题．10．【答案】

D【解析】∵双曲线()2222:10,0xyCabab−=，∴双曲线的渐近线方程是byxa=又抛物线()2:20Eypxp=的准线方程是2px=−，02pF，故A，B两点的纵坐标分别是2pbya=，2pbFAp

a=−，，2pbFBpa=−−，又0FAFB=，∴222204pbpa−=，即224ba=，2224caa−=，225ca=，5e=故选D11．【答案】A【分析】利用正弦定理求出ABC的外接圆直径2r，利用公式()2222RrSA=+可计算得出三棱锥SABC−的外接球直径

，然后利用球体的表面积公式可求得结果．【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为r，母线长为h，圆柱的外接球半径为R，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R，则

O为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得()()22222rhR+=．本题中，∵SA⊥平面ABC，设ABC的外接圆为圆1O，可将三棱锥SABC−内接于圆柱12OO，如下图所示：设ABC的外接圆直径为2r，2SAh==，由正弦定理可得24sinABrC==，该三

棱锥的外接球直径为2R，则()222225Rrh=+=．因此，三棱锥SABC−的外接球的表面积为()224220RR==．故选：A．【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方

体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关

系求解即可．12．【答案】D【分析】利用因式分解法，求出方程的解，结合函数()fx的性质，根据题意可以求出m的取值范围．【详解】23()(23)()20[3()2][()1]0mfxmfxfxmfx−+

+=−−=，2()3fx=，或1()fxm=，由题意可知：1(0)fm=，由题可知：当0x时，2()3fx=有2个解且1()fxm=有2个解且21332mm，当0x时，(1())xxfxee−==，因为11()))((()xxfxeef

x−===−，所以函数()fx是偶函数，当0x时，函数()fx是减函数，故有0()1fx，函数()fx是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当0x时有，0()1fx，所以0111mm，

综上所述；m的取值范围是331,,22+，故本题选D．【点睛】本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键．二、填空题13．8−14．答案：8解析：令()lnfxxx=+，则1()1fxx=+．因为(1)2f

=，所以曲线lnyxx=+在点()1,1处的切线的斜率2k=，则曲线lnyxx=+在点()1,1处的切线方程为()121yx−=−，即21yx=−．联立得方程组221,(2)1,yxyaxax=−=+++所以220axax

++=．由于切线与曲线()221yaxax=+++相切，故20,80aaa=−=，解得8a=．15．【答案】5172【解析】由抛物线的方程为28yx=，得点F的坐标为(2,0)，当PA平行于x轴，||||PFPA−取得最大值，则1P

的坐标为9,62；当P，F，A三点共线，且点F在P，A之间时，||||PFPA−取得最小值，由点A的坐标为(2,6)，得2P的坐标为(2,4)−，所以125172PP=．16．【答案】2【分析】先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得()2432cos3sinAcA−=

，构造函数()2cos0sin2xfxxx−=，再用导数求得最值．【详解】由212tantansinABA+=，得2cossincossin2sinsinsinABBAABA+=，即2cossincossin2sinABBAB+=，结合正弦定理得2

coscos2bAaBb+=，再由余弦定理可得2222222222bcaacbbabbcac+−+−+=，整理22234cbabc+−=．又由余弦定理可得2222cosbabcAc−=−，代入上式得()22coscbcA=−，又锐角ABC的面积123sin23b

cA=，所以433sinbcA=时，所以()2432cos3sinAcA−=，设函数()2cos0sin2xfxxx−=，求导可得()212cossinxfxx−=，由()212cos0sinxfxx−==，得3x=，所以在0,3

上单调递减，在,32上单调递增，所以()33fxf=．于是243(2cos)43sinAcA−=，即2c，当且仅当3A=时，等号成立．故答案为：2【点晴】结合正、余弦定理将角化边，构

造函数求最值是本题解题的关键．三、解答题17．【答案】（Ⅰ）1cos3B=（Ⅱ）22【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标关系，得到关于三角形边角关系式，运用正弦定理，化边为角，结合两角和差公式，即可求解；（2）由（1

）求出sinB，用余弦定理得出,ac关系式，运用基本不等式，可求出结论．【详解】解：（Ⅰ）由()cos,mBb=，()cos,3nCac=−，//mn得，()3coscos0acBbC−−=，在ABC中，由正弦定理得3sincossincossincos0ABCBBC−−=，

化简得3sincossin0ABA−=，因(sin0,1A，所以1cos3B=．（Ⅱ）在ABC中，由（1）得22sin3B=，由余弦定理得，2222482333acacacacac=+−−=，所以6ac，当且仅当6ac==时“=”成立．因12sin

2223ABCSacBac==，所以当且仅当ac=时，ABC面积的最大值为22．【点睛】本题考查向量平行的坐标关系，考查正余弦定理解三角形，以及基本不等式求最值，属于中档题．18．【答案】(1)见解析;(2)8125;(3)910．【解析】试题分析：(1)由表中

可知，a，b，c，d，n，代入卡方公式可求得803.84139k=，可得结论．（2）由样本频率估计概率，可知3035138016P+==，所以集齐人数为131000016n=．(3)由枚举法与古典概型可求．试题解析：（1）根据列联表中的数据，得到2K

的观测值为280(3053510)803.8414040651539k−==，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”.（2）这80位大学生集齐五福的频率为3035138016+=．据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福

的人数为1310000812516=．（3）设选取的2位男生和3位女生分别记为1A，2A，1B，2B，3B，随机选取3次采访的所有结果为()121,,AAB，()122,,AAB，()123,,AAB，()112,,ABB，()113,,ABB，()123,,ABB，()212,

,ABB，()213,,ABB，()223,,ABB，()223,,ABB共有10个基本事件，至少有一位男生的基本事件有9个，故所求概率为910．【点睛】独立性检验的关键(1)根据22列联表准确计算2K，若22列联表没有列出来，要先列

出此表．(2)2K的观测值k越大，对应假设事件0H成立(两类变量相互独立)的概率越小，0H不成立的概率越大．19．解：（1）连11,,MMMM为11,ABAB中点且在三棱柱111111111MMBBABCABCM

MCCBBCC−（3分）∴四边形11MCCM为平行四边形（4分）∴111111111//CMCMCMAMCCMAMCCMAMC平面平面平面（6分）（2）∵1ABB为正，M为AB中点，∴1BMAB⊥又

面ABC⊥面11ABBA，面ABC面11ABBAAB=∴1BM⊥面ABC（9分）∴1BM为三棱柱111ABCABC−的高，∵2,1,3ABBCAC===，∴222BCACAB+=，∴90ACB=∴111

1111333322BABCABCVSBM−===∴11111111233BACCAABCABCBABCVVVshshsh−−−=−=−=21133132==（12分）20．解：22c=，∴22

21cab=−=（1分）（1）又∵PFX⊥轴，且32PF=，∴232bPFa==（2分）解得2,3ab==，椭圆C的方程为22143xy+=（4分）（2）设()0,Qm，直线l方程为ykxm=+（5分）()()1122

,,,AxyBxy，∵13sintan22AOBsOAOBAOBAOB==−3sin2cosAOBAOB=−，∴cos3OAOBAOB=−即3OAOB=−（7分）又∵22143ykxmxy=++=，∴()2223

484120kxkmxm+++−=()()()()22222843441248430kmkmkm=−+−=−+21212228412,3434kmmxxxxkk−+=−=++（8分）∴()()12121212OAO

Bxxyyxxkxmkxm=+=+++()()22121213kxxkmxxm=++++=−（9分）∴()222224128133434mkmkkmmkk−++−+=−++()()22222222224338412390kmkm

kmkmkm−+−−++++=解得217m=（11分）∴M点的坐标为210,7（12分）21．【答案】（1）见解析（2）1n=【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）设()ln(0)xhxxeaxax=−+−，求出函数的导数，根据

函数的单调性求出n的值即可．【详解】(1)()()221axafxaRxxx−=−=当0a时，()0fx，()fx在(0,)+上单调递增；当0a时，()0,xa时，()0fx，单调递减，(,)xa+时，()0fx，单调递增．综上所

述:当0a时，函数()fx在(0,)+上单调递增；当0a时，函数()fx在()0,a上单调递减，函数()fx在()a+，上单调递增．(2)由己知可得方程ln0xxeaxa−+−=有唯一解0x，且()0,1,*xnnnN+．设()()ln0xa

hxxexax=−+−，即()0hx=有唯一解0x，()0,1,*xnnnN+．由()1xhxeax=−+，则()hx在(0,)+上单调递减．所以()gx在(0,)+上单调递减，即()hx在(0,)+单调递减．又0x→时，();hxx→+→+

时，()'hx→−故存在00(),t+使得()00010thteat=−+=，当()00,xt时，()0hx，()hx在()00,t上单调递增0(),xt+时，()()0,hxhx在0(),t

+上单调递减．又()0hx=有唯一解，则必有()0000ln0thttcata=−+−=当0x→时，()hx→−，故存在唯一的00xt=满足下式:由0000010ln0xxcaxxcaxa−+=

−+−=消去a得()000001ln1(0)xxxexex−+−−=．令()()1lnn11l12xxxxxxexxexexex−==−+−−++−故当()0,1x时，()()0,xx

在()0,1上单调递减，当(1,)x+时，()()0,xx在(1,)+上单调递增．由()()110,2ln202e=−=−+．即存在()01,2x，使得()0ox=，即()00hx=．又关于x的

方程()xxeaxfax=+−有唯一实数解0x，且()*01,,xnnnN+∴()1,2x．故1n=．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．解：（1）曲线(

)()22:111Cxy−++=；:310lxy+−=（5分）（2）A点直线坐标为()2,2，设点()1cos,1sinB+−+则点3cos1sin,22P++，313313cos1sincossin312

2222222d++++−+−==（8分）331sin3222++−=，∴max3314d+=（10分）23．解：（1）因为=1abc==，()||||||2|1||1|fxxaxbxcxx=++++−=++−1分法1:由上可得:31,1,()3,11,3

1,1.xxfxxxxx−−−=+−+3分所以，当1x=−时，函数()fx的最小值为24分法2：()|||||||1||1|+|1|fxxaxbxcxxx=++++−=+++−|1||11|2|1|2xxxx+++−+=++2分

当且仅当(1)(1)010xxx+−+=，即1x=−时取得最小值2（2）证明：因为,,abc为正数，所以要证333bccaababc++即证明2221bcaabc++就行了6分法1:因为222222bcabcaabcabcabcabc+++++=+++++2222

222()bcaabc++=++（当且仅当abc==时取等号）8分又因为(0)1f=即1abc++=且,,abc不全相等，所以2221bcaabc++即333bccaababc++10分法2:因为22222()()bcabcaabcabcabcabcabc

++++++=++当且仅当abcbca==时取等号8分又因为(0)1f=即1abc++=且,,abc不全相等，所以2221bcaabc++即333bccaababc++10分