【文档说明】吉林省长春市2021届高三下学期4月质量监测（三模）数学（理）试题答案.pdf，共(7)页，268.066 KB，由小赞的店铺上传

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数学（理科）试题参考答案及评分标准第1页（共7页）长春市普通高中2021届高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.D2.A3.D4.C5.B6.C7.A8.D9.D10.C11.B12.B

简答与提示：1.【试题解析】D{|2,}=1,2,4,161,2,4nBxxnAAB2.【试题解析】A解法1.22(12)2215ziiiz解法2.(12)12515ziiii3.【试题解析】D

由于函数3()fxx在R上单调递增，33abab4.【试题解析】C由初等函数图像及其变换得C正确.5.【试题解析】B225220CA6.【试题解析】C.2222=142=5abababab，则=

0ab.又2222448ababab，因此222ab.7.【试题解析】A111293966116()11424311442aaaaaaaaSa8.【试题解析】D//,//,,,,aabababb

过直线做平面与交于直线，又又9.【试题解析】D要点数出现6，根据方差公式知，方差大于2.4.10.【试题解析】C原式可化为11cos211cos2113sin2sin2sin44tan422228263xxxxxxx

11.【试题解析】B图1图2数学（理科）试题参考答案及评分标准第2页（共7页）原题等价于求方程(())2ffx的根的个数，令()tfx，根据图1，[0,3]t，方程()2ft，如图

2，方程()2ft有两个不等实数根，12log3t，252t，如图1，方程12log3t，252t各有两个不等实数根，故原函数共有4个零点.12.【试题解析】B设内层椭圆方程为22221xyab，因

为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆可设成，22221xymamb（1m），设切线的方程为1()ykxma，与22221xyab联立得，22223224222111)20bakxmakxmakab（，由=0，则221221(

1)bkam，同理22222(1)bkma，所以42221249=()16bkka，因此74e.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.614.2,13521nnnN15.516.23，3213.【试题解析】6(1)nx的展开式中，2

x的系数为15，2156nCn14.【试题解析】2,13521nnnN答案不唯一，合情合理即可.15.【试题解析】5设12PFF，过点P向x轴做垂线，垂足为E，可得POE△与2FOP△相似，则2,abaPEOEcc，则2111ta

n=,53且abPEPEcabeaFEFOOEcc.数学（理科）试题参考答案及评分标准第3页（共7页）16.【试题解析】23，32(1cos)3sinsinsin2sinsin2BACBCA3sin1cos

BB即1sin()62B，解得23B延长中线BE到点D，使得=BEED不妨设中线长为y，由平几知识易得四边形ABCD是平行四边形，3DCB在BCD△中，由余弦定理得，22222(2)2cos()2363363

()932acyacacacacacac32y≥，当且仅当ac时“”成立.三、解答题17.(本小题满分12分)【试题解析】解：（Ⅰ）////POCEFPOAPBPOEFCEFAPBEF平面平面平面平面即F为AB的四等分点，

即1AF.（6分）（Ⅱ）连接OC,中点，为的等边三角形，且为边长为和因为ABOABPABC4ABOCABOP,所以,OCOPABCOCABCOPPABOPABOPABABCPABABCPAB平面平面平面平面

平面平面平面因此以O为原点，以OA方向为x轴，以OC方向为y轴，以OP方向为z轴，建立空间坐标系.(0,23,0)C，(1,0,3)E，(2,0,0)B，(0,0,23)P(2,0,23)BP，(2,23,0)BC，(3,1,1)n；(1,

23,3)CE设直线CE与平面PBC所成的角为，||2315sin10||||516CEnCEn即直线CE与平面PBC所成角的正弦值为1510.（12分）数学（理科）试题

参考答案及评分标准第4页（共7页）18.(本小题满分12分)【试题解析】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的22列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计1505020022

200(80104070)11.11110.8281505012080K，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关.（6分）（Ⅱ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5.其中53(

0)()5PX；14523(1)()()55PXC；223523(2)()()55PXC；332523(3)()()55PXC；441523(4)()()55PXC；52(5)()5PX.X的分布列为：X012345P53()514523()()55C223

523()()55C332523()()55C441523()()55C52()5由于2~(5,)5XB，则2525EX；2265(1)555DX.（12分）19.(本小题满分12分)【试题解析】解：（Ⅰ）由1(1)nnakS可得，1(1)nnnSSkS

，则1(1)+nnSkSk，11(1)(1)nnSkS，由110Sak，则110S，即11101nnSkS.因此{1}nS为以1k为首项，以1k为公比的等比数列.（6分）（2）由11111Sak，因此1(1)nnSk，则(1)1nnSk

，因此，当2n≥时，11(1)nnnnaSSkk，当1n时，1ak满足1(1)nnakk，因此1(1)nnakk22111(1)(1)1(1)1(1)1nnnnkkakkkSkk.（12分）数学（理科）

试题参考答案及评分标准第5页（共7页）20.(本小题满分12分)【试题解析】解：（Ⅰ）ABF△的面积211()(2)22122Sacbaa，解得2a，即椭圆C的标准方程为22142xy.（4分）（Ⅱ）已知点(2,0)A

，设直线PQ的方程为2xty，点11(,)Pxy，22(,)Qxy.直线AP的方程为11(2)2yyxx，直线AQ的方程为22(2)2yyxx，将22x代入直线AP、AQ方程，可得11(222)(22,)2yMx，22(222)(22,)2yNx设以MN为直径的圆过

定点(,)Pmn，则0PMPN，即21212(222)(222)(22)()()22yyPMPNmnnxx2212121212(222)(222)(222)(222)(22)()2222yyyymnnxxxx

2212121212(222)(222)(222)(222)(22)()22222222yyyymnntytytyty22212121212(222)[(222)(22)(22)(222)](22)(22)(22)yynyt

ytyymntyty222121212221212(222)(222)[2(22)()](22)(22)()(22)yyntyyyymntyytyy联立椭圆22142xy

和直线PQ的方程为2xty，可得22(2)240tyy，化简得22(2)2220tyty，即122222tyyt，12222yyt.代入上式化简得222222(222)(2)(222)[2(2)(22)(22)]

(22)(2)(22)(22)(22)(2)nttmntttt22(22)22=0mntn，由此可知，若上式与t无关，则0n，又0PMPN，2(22)20m

，222m，因此以MN为直径的圆恒过定点(2,0)和(32,0).（12分）数学（理科）试题参考答案及评分标准第6页（共7页）21.(本小题满分12分)【试题解析】解：（Ⅰ）证明：22111()=xf

xxxx，令()0fx，可得1x，即min(1)1ff，即()1fx≥.2()xgxex，()2xgxex，令()()pxgx，则()2xpxe，令()0px，则ln2x，即min(ln2)22ln20pp，即()0gx

，所以()gx在[0,)上是增函数，而0x，()(0)1gxg.（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当0x时，221xexx，()ln1xFxxxeax，对()Fx求导得()=ln1xFxxea，若()Fx有两个零点，令是()0Fx的根，则()0()0F

F，即ln10ln10eaea①②由①得ln1ae，代入②得(1)10aeea，即(1)(1)0e，所以1，所以ln11aee实际上，+

1ae就是我们要求的充要条件.根据上述过程，必要性一定成立.下证充分性：由于函数lnxyxe+1在[1,)上是增函数，且值域是[1,)e，所以当1ae时，方程()0Fx一定有大于1的实根，即ln10ea，ln1ae，所以()ln1=(

1)1=(1)(1)0Feaaeeae，又2()ln10aFaaaea，()ln121210aaaaeaaaeaeaaFeeeeaeeaeeee

（因为aea）即()0aFe，()0F，()0Fa，且1aea，所以()Fx在区间(,)ae和(,)a内各有一个零点，即()Fx有两个零点.因此所求的充要条件是：1ae.（12分）注：也可以利用()ln1=10aaaeaaa

eFeeeeaee来说明.22.(本小题满分10分)【试题解析】（Ⅰ）曲线1C的普通方程24yx，曲线2C的直角坐标方程2xy；（5分）数学（理科）试题参考答案及评分标准第7页（共7页）（Ⅱ）曲线2C的参数方程为212(212xttyt为参数)，将其代

入到曲线1C的普通方程24yx中，有2132302tt，设12,tt分别为,AB两点对应的参数，有121262,6tttt，由直线参数的几何意义，(1,1)M到,AB两点的距离之和为2121212||()4724(6)46tttttt

.（10分）23.(本小题满分10分)【试题解析】（Ⅰ）原不等式等价于1212324xxx≤，解得102x≤，或132221324xxx，解得1322x，或3221234xxx≥，解得322x≤，综上，

原不等式解集为{|02}Mxx.（5分）（Ⅱ）由（I）知0,,2abc，由基本不等式，0(2)1aa≤，0(2)1bb≤，0(2)1cc≤，所以0(2)(2)(2)1aabbcc≤，假设(2),(2),(2)abbcca都大于1，有(2)(2)(

2)1abbcca，这与0(2)(2)(2)1aabbcc≤矛盾，所以(2),(2),(2)abbcca不能都大于1.（10分）