【文档说明】湖南省新高考教学教研联盟2023届高三下学期4月第二次联考数学试卷含答案.docx，共(15)页，1.119 MB，由小赞的店铺上传

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2023届湖南新高考教学教研联盟高三第二次联考数学试题卷由长郡中学；衡阳市八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；石门县一中；澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际；郴州市一中；岳阳市一中；娄底市一中；怀化市三中；邵东市一中；洞口县一中联合命题

命题学校：澧县一中审题学校：攸县一中注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合27100Axxx=−+，35Bxx

=N，则AB=（）A．2,5B．3,5C．3,4,5D．2,3,4,52．已知i为虚数单位，3iz=+，则复数izz−在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三

象限D．第四象限3．已知向量a，b满足()2abb+=，且1b=，则向量a在向量b上的投影向量为（）A．1B．1−C．bD．b−4．已知函数()2lnfxaxx=+在1x=处的切线与直线10xy+−=垂直，则a的值为（）A．2−B．1−C．1D．25．已知各项为正的等比数列na的公

比为q，前n项的积为nT，且768TTT，若lgnnba=，数列nb的前n项的和为nS，则当nS取得最大值时，n等于（）A．6B．7C．8D．96．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、

蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球。因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体ABCD的体积为

26，BD经过该鞠的中心，且1ABBC==，ABBC⊥，则该鞠的表面积为（）A．2πB．16πC．8πD．4π7．已知247a=，e7ln7bb=，173ec−=（e为自然对数的底数），则（）A．abcB．acb

C．cbaD．cab8．已知()2,0A，点P为直线50xy−+=上的一点，点Q为圆221xy+=上的一点，则12PQAQ+的最小值为（）A．5222+B．5222−C．1122D．1124二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．以下说法正确的是（）A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88B．相关系数r的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性C．621xx+的展开式中常数

项为15D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立10．已知直三棱柱111ABCABC−中，90ACB=，12222AAACBC===，M，N，Q分别为棱11AB，11AC，AC的中点，P是线段11BC上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（）A．QP∥平面M

NAB．三棱锥PMNA−的体积为定值223C．11APCB的最大值为4D．若P为11BC的中点，则过A，M，P三点的平面截三棱柱所得截面的周长为13101++11．已知双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点分别

为1F，2F，过2F作斜率为7的直线与双曲线的右支交于A，B两点（A在第一象限），1ABBF=，P为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．122AFAF=B．双曲线C的离心率为2C．

12AFF△的面积为272aD．直线OP的斜率为7712．已知函数()fx满足：①()fax+为偶函数；②()()2fcxfcxd++−=，ac．()fx是()fx的导函数，则下列结论正确的是（）A．()fx

关于xc=对称B．()2fx的一个周期为2ca−C．()()ffx不关于(),cd对称D．()()ffx关于xa=对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有15%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺

癌的概率是________．（用分数表示）14．已知函数()()()()23sinsin202fxxx=+，xR，若π1242f=，且()fx在π0,8上单调递增，则的值为_____

___．15．已知抛物线C：22ypx=，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且6AF=，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为________．16．函数()()sinesin1axfxaxa=−

−．若0xR，使得()3013lnfxaa+成立，则整数a的最大值为________．（参考数据：ln20.7=，ln31.1=，ln51.6=）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC中，内角A，B

，C所对的边长分别为a，b，c，且满足236sin02ABabb+−+=．（1）求证：3cos0abC+=；（2）求tanA的最大值．18．（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为nS，且nnSna=−．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列n

b的前n项和为nT，且()()221nnbna=−−，若nnTb对于*nN恒成立，求的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，60BAD=，2PAAB==，P

AAC⊥，平面PAC⊥平面PBD，M为线段PB上的一点．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）当AM与平面PBD所成的角的正弦值最大时，求平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）一个

不透明的盒子中有质地、大小相同的球5个，其中红球3个，黄球2个，每次不放回的随机从盒中取一个球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．（1）求盒子中恰剩2个红球的概率；（2）停止取球时，记盒子中所剩球的个数为X，求X的分布列与数学期望．21．（本

小题满分12分）已知椭圆E：()222210xyabab+=经过点()0,2，且离心率为63．F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：3x=上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF．

（1）求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；（2）记△AFM、△BFM的面积分别为1S和2S，当12SS−取最大值时，求直线AB的方程．参考结论：点()00,Qxy为椭圆22221xyab+=上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为00

221xxyyab+=．22．（本小题满分12分）已知函数()cossinfxkxxx=−．（1）若1k=，求()fx在()0,+上的单调性；（2）若存在0t，对()0,xt，恒有()fxx，求实数k的取值范围．202

3届湖南新高考教学教研联盟高三第二次联考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CACBBDAD1．C【解析】∵271002,5Axxx=−+=，353,4,5Bx

x==N，∴3,4,5AB=，故选C．2．A【解析】∵3i79ii32i13zz++==−−，∴izz−的对应点为79,1313，在第一象限，故选A．3．C【解析】∵22abb+

=，1b=，∴1ab=，abbbbb=为a在b上的投影向量，故选C．4．B【解析】∵10xy+−=的斜率为1−，∴()11f=，()2afxxx=+，()121fa=+=，∴1a=−．故选B．5．B【解析】∵768TTT，∴67671TaTa

，6786781TaaTaa，78781TaTa．又lgnnba=，nb为等差数列，77lg0ba=，88lg0ba=，所有正项和使nS取得最大值，最后一个正项为7b，∴7S最大．故选B．6．D【解析】如图，取AC的中点M，连接

BM与球O交于另一点N，连接OM，DN，易知AC为圆面ABC的直径，OM⊥平面ABC，O，M分别为BD，BN的中点，所以DN⊥平面ABC，∵11211326DABCVDN−==，∴2DN=，即22OM=，在Rt△ABC中，1AB

BC==，∴22BM=，∴1BOR==，∴球O的表面积为24π4πSR==．故选D．7．A【解析】对e7ln7bb=两边取对数，()()()lneln7ln7lnln7lnln7bbbb=+=+，而()ln

fxxx=+在()0,+上单调递增，∴ln7b=．法一：令()11ln2fxxxx=−−，()0fx，∴()fx在()0,+单调递減，∴()()710ff=，即1124ln77277−=

，∴ab；法二：2242lneln77ab===；又13773log1eecc−==+，∴33777ln7log1lnlog0eeebcbc−=−+=−，∴abc．故选A．8．D【解析】令12AQMQ=，即2AQMQ=，∴M点的坐标为1,02，则12

PQAQ+的最小值为PQMQ+的最小值，即点M到直线50xy−+=的距离为15112242+=．故选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得

2分，有选错的得0分．题号9101112答案ACDACADABD9．ACD【解析】对于A，∵0.7586=，∴第75百分位数为88，正确；对于B，相关系数r的绝对值接近于0，只能说两个随机变量没有线性相关性，错误；对于C，常数项

为224621C15xx=，正确；由定义可得D项成立．故选ACD．10．AC【解析】连接1QC，1QB，易证平面AMN∥平面11QCB，QP平面11QCB，则QP∥平面MNA，故A正确；1111121

122323PMNACMNAAMNAAAMNVVVV→−−−=====，故B错误；()111111111111111APCBACCPCBACCBCPCBCPCB=+=+=，当P和1B重合时，11APCB最大为4，故C正确；由

题意，A，M，P三点所确定的截面周长为106+，故D错误．故选AC．11．AD【解析】由题意可得14AFa=，22AFa=，∴122AFAF=，A正确；∵过2F的直线斜率为7，设该直线的倾斜角为，则tan7

=，∴2cos4=，在12AFF△中，由余弦定理得2222441648acaac+−−=，即226220aacc−−=，22260ee+−=，∴2e=，B错误；∵2cos4=，∴14sin4=，∴12AFF△的面积为211422724aca=，C错误；设()11,A

xy，()22,Bxy，由2211222222221,1,xyabxyab−=−=得()()21212212127bxxyyayyxx+−==+−，121277yyxx+=+，则直线OP的斜率为77，D正确．故选AD．12．ABD【

解析】对于A，由()()2fcxfcxd++−=两边求导得()()0fcxfcx+−−=，即()fx关于xc=对称，A正确；对于B，由()fax+为偶函数，知()fx关于xa=对称，又()()2fcxfcxd++−=，则()fx关于(),c

d对称，所以()fx的一个周期为4ca−，()2fx的一个周期为2ca−，所以B正确；对于C，当cd=时，由()()2fcxfcxc++−=，得()()()()()()()()22ffcxffcxffcxfcfcxc++−=++−+=，()()ffx关于(),cd对称

，当cd时，()()ffx不关于(),cd对称，所以C不对；对于D，由()fax+为偶函数，知()fx关于xa=对称，即()()faxfax+=−，则()()()()ffaxffax+=−，即()()ffx关于xa=对称，所以D正确．故选ABD．三、填空题：本题共4小题，每

小题5分，共20分．13．13400【解析】设不吸烟者中患肺癌的概率为x，由全概率公式得：0.150.5%0.850.1%x+=，解得13400x=．14．2【解析】()()()1cos231πsin2sin22226xfxxx−=+=+−，由π1ππ1sin2

421262f=+−=，得ππsin0126−=，故πππ126k−=，122k=+，kZ，又()fx在π0,8上单调递增，∴πππ462−，∴803．故当0k=

时，2=．15．4【解析】设(),AAAxy，(),BBBxy，由AOFACB∽△△得249AOFACBSAFSAB==△△，∴9AB=，2AByy=−，又AB是焦点弦，∴2AByyp

=−，则2Ayp=，∴点(),2App，62pAFp=+=，解得4p=．16．5−【解析】()sinesinaxfxax=−，易知()fx是周期为2π的周期函数．()()sincose1axfxax=−，当0,2πx时，()fx在

π0,2单调递增，π,π2单调递減，3ππ,2单调递增，3π,2π2单调递減，又π3πee222aaffa−−=−−，且0a．构造函数()()ee20xxxxx−=−−，求得()ee2xxx−=+−，由基本不

等式可得，当0x时，()0x恒成立，所以函数()x在(),0−单调递增，且()00=，故()0x，所以有π3π022ff−，即3πe2afa−=+为函数()fx的最大值．若0xR，使得()3013lnfxaa+

成立，即()33max113lne3lnafxaaaaa−+++，亦即()()()()()3333elnelnelnaaaaaaaa−−−−−−−−−−−−，构造函数()lngxxx=−，可知()gx在()0,1x单调递减，在()1,

x+单调递增．又1a−，所以e1a−，()31a−，所以()()3e3lnaaaa−−−−，令ta=−，则1t，构造函数()()3ln1htttt=−，可知()ht在()1,3t单调递减，在()3,t+单调递增．又()333ln30h=−，()223

ln20h=−，()443ln40h=−，()553ln50h=−，所以满足条件的整数5a−，故整数5a−，所以整数a的最大值为5−．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）∵236si

n02ABabb+−+=，∴22π36sin36cos022CCabbabb−−+=−+=，……2分∴1cos3602Cabb+−+=，∴3cos0abC+=．……4分（2）由（1）可得：sin3sincos0ABC+=，且C为钝角，即4sincoscossi

n0BCBC+=，……5分即4tantan0BC+=，tan4tanCB=−，……6分()2tantan3tan3tantan11tantan4tan14tantanBCBABCBCBBB+=−+=−==−++334124tantanBB=，……9分当且仅当14

tantanBB=，即1tan2B=时取等号．故tanA的最大值为34．……10分18．【解析】（1）∵nnSna=−，∴()()1112nnSnan−−=−−，两式作差得121nnaa−=+，∴()1211nnaa−−=−，……2分当1n=

时，111Sa=−，∴1112a−=−，……3分所以1na−是首项为12−，公比为12的等比数列，……4分故112nna=−．……5分（2）∵()()221nnbna=−−，∴()1122nnbn+=−，……7分∴()()2341121

11110122222nnnTbbbn+=+++=++−++−，①()()345211111101222222nnTn+=++−++−，②两式作差得()23

41211111112222222nnnTn++=−+++−−，化简得12nnnT+=，……9分∵nnTb恒成立，∴()111222nnnn++−，()2nn−，当1n=

时，1；……10分当2n=时，R；……11分当3n时，()2221222nnnnn−+=−=−+−−−，max212n−+−，所以1−，综上所述，11−．……12分19．【解析】（1）连接PO，过点A作PO的垂线，

垂足为H，∵平面PAC⊥平面PBD，且交线为PO，∴AH⊥平面PBD，……1分又∵BD平面PBD，∴BDAH⊥，……2分又∵四边形ABCD为菱形，∴BDAC⊥，又∵ACAHA=，∴BD⊥平面PAC，……3分又∵PA平

面PAC，∴BDPA⊥，……4分又∵PAAC⊥，ACBDO=，∴PA⊥平面ABCD．……5分（2）连接MH，由（1）知∠AMH为AM与平面PBD所成的角，……6分∴sinAHAMHAM=，当点M为PB的中点时，sinAMH最大为427，……7分如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建

立空间直角坐标系，则()3,0,0A，()0,1,0B，()3,0,0C−，()3,0,2P，31,,122M，31,,122AM=−，()23,0,0AC=−，易知平面ABCD的一个法向量为()0,0,1m=．设平面AMC的法向量(),,nxyz=，

则310,22230,xyzx−++=−=令2y=得1z=−，即()0,2,1n=−，……9分设平面MAC与平面ABCD的夹角为，则15cos55mnmn===，……11分所以当AM与平面PBD所成的角的正弦值最大时，平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值为55．……12分20

．【解析】（1）恰剩2红球，第3次必是黄球，112232135CCA1A5P==．……5分（2）X的所有可能取值为1，2，3，……6分()2131323245CCAC31A5PX===，……7分()31123

2323355ACCA32AA10PX==+=，……8分()2225A13A10PX===，……9分∴X的分布列为X123P35310110……10分()3313123510102EX=++=．……12分21．【解析】（1）由题意可得22222,6,3,bcaabc===+

即26a=，22b=，……2分故椭圆E的方程为22162xy+=．……3分设()11,Axy，()22,Bxy，()03,Py，由参考结论知过点P在A处的椭圆E的切线方程为11162xxyy+=，……4分同理，过点P在B处的椭圆E的切线方程为22162x

xyy+=．∵点P在直线PA，PB上，∴1102201,221,22xyyxyy+=+=……5分∴直线AB的方程为0122xyy+=，则直线AB过定点()2,0M．……6分（2）设直线A

B的方程为2xty=+，联立222,36,xtyxy=++=得()223420tyty++−=，……7分故12243tyyt+=−+，12223yyt=−+，……8分∴1212122888432233323tSSyyyyttt−=−=+===++，……10分当且仪当3

tt=，即3t=时取等号，……11分此时直线AB的方程为32xy=+．……12分阅卷说明：第一问用极点极线直接得结果的扣2分．22．【解析】（1）1k=时，()cossinfxxxx=−，()sinfxxx=−，……1分()2π,2ππxkk+，kN，()0

fx，()fx单调递减；……2分()2ππ,2π2πxkk++，kN，()0fx，()fx单调递增．……3分综上所述，()fx在()2π,2ππxkk+，kN上单调递减；在()2ππ,

2π2πxkk++，kN上单调递增．……4分（2）()()cossin0,cossin0,xkxxxfxxxfxxxkxxx−+−+−今()cossinpxxkxxx=−+，()cossinqxxkxxx=+−

，则()()11cossinpxkxkxx=+−+，()()1cossin1qxkxkxx=−−+．……5分①若0k，π0,2x，()()12sincos0qxkxkxx=−−，∴()qx在π0,2单调递增，()00qk=，ππ1022kq=−

，∴1π0,2x，()10qx=，()10,xx，()0qx，()qx单调递减，∴()10,xx，()()00qxq=，不合题意；……7分②若2k，π0,2x，()()21

sincos0pxkxkxx=−+，∴()px在π0,2单调递增，()020pk=−，ππ1022kp=+，∴2π0,2x，()20px=，()20,xx，

()0px，()px单调递减，∴()20,xx，()()00pxp=，不合题意；……9分（③若02k，π0,2x，()1cossin0pxxkxx−+，∴()px在π0,2单调递增，∴()()00pxp=成立

；∴()cossinsin0qxkxxxxxx=−+−在π0,2x恒成立，故02k时，符合题意．……11分综上，k的取值范围是02k．……12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.

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