【文档说明】四川省眉山市彭山区第一中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学（理）试题 含答案.docx，共(8)页，551.182 KB，由小赞的店铺上传

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彭山一中高2022届高二（下）4月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1.下列反映两个变量的相关关系中，不同于其他三个的是()A．月明星稀B．水涨船高C．登高望远D．名师出高徒2.甲、乙、

丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:甲乙丙丁平均环数x8.68.98.98.2方差2s3.53.52.15.6从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是()A.甲B.乙C.丙D.丁3.利用系统抽样法从编号分

别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽的产品的最大编号为()A．73B．76C．77D．784.下列求导运算正确的是()A.(cos)

'sinxx=B.21(log)'ln2xx=C.2(2)'2logxxe=D.211()'1(1)xx=−−−5.德国数学家莱布尼茨发现,他发明的二进制数与中国易卦具有同构关系,即如果把易卦中的阳爻与1对应,阴爻与0对应,则每个卦都对应一个6位的二进

制数,而一个二进制数又对应一个十进制数如图1的(火山旅)卦所示,自下而上对应的二进制数可记作00101。图2的(泽天夬)卦对应的十进制数为()A.31B.32C.62D.636.现采用随机模拟的方法估计一位射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概

率:先由计算机随机产生0到9之间取整数的随机数,指定1,2,3,4,5表示命中,6,7,8,9,0表示不命中,再以三个随机数为一组,代表三次射箭的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:8079661919252719328124585

69683489257394027552488730113537741根据以上数据,估计该运动员三次射箭至少有两次命中的概率为()A.0.30B.0.35C.0.50D.0.607.如图,在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆,它落在圆的内接正三角形(阴影部分)

内的概率是().A.34B.334C.334D.348.为了更好的支持“中小微企业”发展，某市决定对部分企业的税收进行适当减免．某机构调查了当地的中小微企业的年收入情况，根据所得的数据画出了样本频率分布直方

图，下面有三个结论：①样本数据落在区间)300,500的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业,才能享受税收减免政策，则估计当地有55%的中小微企业能享受到这一政策；③样本的中位数为480万元,其中正确结论的个数

有()A.3B.2C.1D.09.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（）A．45B.35C．25D．15上，为曲线在点P处的切线的倾斜

角，则的取值范10.已知点P在曲线围是()A.3,4B.3,24C.,42D.0,411.某校举办“中华魂”《爱我中华》主题演讲比赛聘请7名评委为选手评分,评分规则是去掉一个最高分和一个最低分,再求平均分为选手的

最终得分.现评委为选手李红的评分从低到高依次为127,,,xxx,具体分数如图1的茎叶图所示,图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图,则图中空白处及输出的S分别为()A.5?,87iB.5?,87iC.5?,86iD.5?,86i12.抛物线的弦与过弦的端点的两条

切线限所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上。设抛物线)0(22=ppyx的弦AB过焦点，ABQ△为阿基米德三角形，则ABQ△的面积的最小值为()A.22pB.2pC.

22pD.24p4e1xy=+0.00150.0020.00050.001a二、填空题（每题5分，共20分）13.数据8，9，10，11，12的方差为_____________。14.已知函数1)2ln4)+−=x

fxxf（（，则()1f=______________。15.已知正方体ABCDABCD−1111的棱长为1，则在该正方体内任取一点M，则其到顶点A的距离小于1的概率为。16.设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C

2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直，a＋b=。三、解答题.（共70分，写出必要的解题步骤和文字说明）17.(10分）已知函数()316fxxx=+−.(1).求曲线()yfx=在点()2,6−处的切线的方程;(2).直线l为曲线()yfx=的切

线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.18.（12分）某市工会组织了一次工人综合技能比赛,一共有1000名工人参加,他们的成绩都分布在52,100内,数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图,规定成绩在76分及76分以上的为优秀.()

I求图中t的值；()Ⅱ估计这次比赛成绩的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)；()Ⅲ某工厂车间有25名工人参加这次比赛,他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致,若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人,求这两人成绩均低于92分的概率.19.（12分）由于往届

高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题－讲题－再刷题”的模式效果不理想，某市一中的数学课堂教改采用了“记题型－刷题－检测效果”的模式，并记录了某学生的记题型时间t(单位：h)与检测效果y的数据如表所示：记题型时间t/h1234567检测效果y2

.93.33.64.44.85.25.9(1)据统计表明，y与t之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明(若|r|≥0.75，则认为y与t有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系)；(2)建立y关

于t的回归方程，并预测该学生记题型8h的检测效果；参考公式：回归直线y^＝b^x＋a^中斜率和截距的最小二乘估计分别为，niiinniiii(xx)(yy)r(xx)(yy)===−−=−−12211相关系数20.

（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就

坐，其中高二代表队有6人．（1）.求n的值；（2）.把在前排就坐的高二代表队6人分别记为,,,,,abcdef，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）.抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数,xy，并按如图所示的程序框图执行．

若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．（20题图）（21题图）21.（12分）如图,四棱锥PABCD−中,.PAB是边长为2的正三角形,底面ABCD为菱形,且平面PAB⊥平面ABCD,60ABC=,E为PD上一点,满足12PEED=(1)证明

：ABPC⊥;(2)求二面角PACE−−的余弦值22.（12分）已知椭圆C:22221(0)xyabab+=的离心率为32,点()2,2在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程;(2)过点()0,2P−任作椭圆C的两条相互垂直的弦ABC

D、，设MN、分别是ABCD、的中点，则直线MN是否过定点?若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由.彭山一中高2022届高二（下）4月考数学（理科）参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACDBCDCADAA

B二、填空题13.214.015.616.52三、解答题17.解：：(1).可判定点()2,6−在曲线()yfx=上.∵()()32'16'31fxxxx=+−=+.∴()fx在点()2,6−处的切线的斜率为()'213kf==.∴切线的方程为()6132yx+=−即1332yx=−(2).设切

点坐标为()00,xy,300016yxx=+−则直线l的斜率为()200'31,kfxx==+,∴直线l的方程为()()2300003116yxxxxx=+−++−.又∵直线l过坐标点(0,0),∴()()23000003116xxxx=+

−++−,整理得,308x=−∴02x=−,∴()()30221626y=−+−−=−,得切点坐标()2,26−−,()232113k=−+=.∴直线l的方程为13yx=,切点坐标为()2,26−−

.18.解：：(1)由题意得(0.0250.0350.0420.005)81t++++=,解得0.01t=.(2)由(1)可得,各分组的频率分别为0.2,0.28,0.32,0.08,0.08,0.04.平均数的估计值为560.2640.28720.328

00.08880.08960.0469.44+++++=.(3)由题意可知,该工厂车间参赛的25人中,成绩在76分及76分以上的三个分组的频率分别为0.080.080.040.2++=,所以成绩优秀的有5人,其中成绩低于92分的有4人,分别记为,,,ABCD,另一人记为E.从5

人中任选两人,所有的情况有,,,,,,,,,ABACADAEBCBDBECDCEDE,共10种情况.设“这两人成绩均低于92分”为事件M,则事件M包含的情况有6种.所以63()105PM==.19.解：(1)由题得t＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋77

＝4，＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，＝7.08，∴y与t有很强的线性相关关系．∴a^＝y－b^x＝4.3－0.5×4＝2.3.∴y关于x的线性回归方程y^＝0.5t＋2.3，当t＝8时，y^＝0.5×8＋2.3＝6.3.∴预测该学生记题型8h的

检测效果约为6.3.20.答案：（1）.由题意可得620120120120n=++，160n=；（2）.二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)abacadaeaf

bcbd，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)bebfcdcecfdedfef共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为93155=；（3）.由已知01,01xy，点(,)xy

在如图所示的正方形OABC内，由条件2100101xyxy−−得到的区域为图中的阴影部分由210xy−−=，令0y=可得12x=；令1y=可得1x=∴在[,1]0,xy时满足210xy−

−的区域的面积为113(1)1224S=+=阴∴该代表中奖的概率为33414=．21.答案：(1)设O为AB中点,连接,OPOC,,PAPBABPO=⊥ABCD又∵底面四边形为菱形,60ABC=,ABC△为等边三角形ABOC⊥又OC

POO=,,OCPO平面POC,AB⊥平面POC,而PC平面POC,ABPC⊥(2)解:∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB平面ABCDAB=,POAB⊥PO⊥平面ABCD以O为原点,,,OBOCOP分别为,,xyz轴建立空间直坐标系,则(0,

0,3),(1,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(2,3,0),(2,3,3)PABCDPD−−=−−由1123PEEDPEPD==()1,,3(2,3,3)3EEExyz−=−−2323,,333EEExyz=−==即2323,,333E−1323,,333AE

=,(1,3,0),(1,0,3)ACAP==设()1111,,nxyz=为平面ACE的法向量,则111111103230030nAExyznACxy=++==+=令13x=,得111,0yz=−=,1(3,1,0)

n=−设()2222,,nxyz=为平面ACP的法向量,则由222222030030nAPxznACxy=+==+=令23x=,得221,1,yz=−=−设二面角PACE−−的平面角为,则1212|

31|25cos21/55|||nnnn+===∣,所以二面角PACE−−的余弦值为255.2(3,1,1)n=−−22.答案：(1)由已知得2222232421caababc=+==+,解得2212,3ab==,所以椭圆C的方程为2

21123xy+=.(2)由题意知直线ABCD，的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为()()11222(0),,,,ykxkAxyBxy=−，由2221123ykxxy=−+=得()2214

1640kxkx+−+=，由0得2112k,且1221614kxxk+=+,所以122282,221414MMMxxkxykxkk+===−=−++，即2282,1414kMkk−++,同理22282,44kkNkk−−++，所以222222221144885144M

Nkkkkkkkkkk−+−++==+++，所以直线MN的方程为22221814514kkyxkkk−+=−++，由对称性可知定点必在y轴上,令0x=,得22218220514145kkykkk

−=−−=−++，所以直线MN过定点20,5−.