【文档说明】四川省广安第二中学校2023-2024学年高三上学期第一次月考理科数学试题 含解析 .docx，共(21)页，1.439 MB，由管理员店铺上传

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广安二中高2021级2023年秋季第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.1.已知集合(,)1Axyx==，(,)2Bxyy==，则AB=（）A.B.{1,2}C.{(

1,2)}D.［1，2]【答案】C【解析】【分析】根据交集运算律求解即可.【详解】()()1,1,22xABxyy====.故选:C.2.复数1(zii=−为虚数单位）的

虚部为（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】由虚数的定义求解．【详解】复数1zi=−的虚部是－1．故选：B．【点睛】本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础．3.在等差数列na中，263,11aa==，直线l过点(

)()()*,,,,,mnMmaNnamnmnN，则直线l的斜率为（）A.2B.2−C.4D.4−【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项的性质求出公差，即可求出通项公式，表示出,MN，即可求出结

果.【详解】因为na是等差数列，263,11aa==，令数列na的公差为d，所以6248aad−==，2d=，则()2221naandn=+−=−，所以()(),21,,21MmmNnn−−，则直线l的斜率为222nmnm−=−.故选：A4.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的

否定是A.任意一个有理数，它平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】【详解】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它

的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．考点：命题的否定．5.苂光定量PCR是一种通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，苂光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足(

)0lglg1lgnXnpX=++，其中0X为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率p约为（）（参考数据：1413102.154,101.778）A.56.2%B.77.8%C.115.4%D.118.4%【答案】C【解析】【分析】根

据题意，得出方程()()00lg1006lg1lgXpX=++，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，可得()()00lg1006lg1lgXpX=++，即()200lg10lg6lg1lgXpX+=++，所以()002lg6lg1lgXpX+=++，可得131102.154p+=，解

得1.154115.4%p=.故选：C.的6.,,,,ABCDE五名学生按任意次序站成一排，则A和B站两端的概率为（）A.120B.110C.15D.25【答案】B【解析】【分析】首先A和B排两端，再将其余三人全排列，共有2323AA种情况，将五名学生按任

意次序站成一排，共有55A种情况，再利用古典概型公式求解即可.【详解】首先将A和B排两端，共有22A种情况，再将其余三人全排列，共有33A种情况，所以共有2323AA23212==种情况.因为五名学生按任意次序站成一排，共有55A54321120==种情

况，故A和B站两端的概率为12112010=.故选：B7.化简1cos1601sin1602−+−的结果是（）A.cos10B.sin10C.2sin10cos10+D.2cos10sin10−【答案】D【解析】【分析】

利用正余弦的二倍角公式化简即可.【详解】原式化简为()212cos1011cos201sin2012sin10cos1022+−++−=+−cos10cos10sin102cos10sin10=+−=−.故选：D.8.已

知函数()fx是定义在R上的奇函数，且()13f=，()()51fxfx−=−−，则()()20242023ff+=（）A.3−B.0C.3D.6【答案】A【解析】【分析】由函数为奇函数可得()0fx=，()()fxfx−

=−，再根据()()51fxfx−=−−求出函数的周期，再根据函数的周期即可得解.【详解】因为()fx是定义在R上的奇函数，所以()0fx=，()()fxfx−=−，因为()()51fxfx−=−−，所以()()51fxfx+

=−+，则()()4fxfx+=−，所以()()()84fxfxfx+=−+=，所以()fx是以8为周期的一个周期函数，所以()()20242023ff+()()253825381ff=+−()()01ff=+−()()01ff=−()()013ff=−=−

.故选：A．9.函数222sinlnxyxx+=的图象可能是（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.【详解】因为()222sinlnxyfxxx+==定义域为0xx，且()()()()()222222si

nnilsnxxxxfxxxxf++=−−=−=−−−，所以222sinlnxyxx+=为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；对于C，()0,πx时，sin0x，2222211xxx+=+，所以222ln0xx+，所以222si

nln0xyxx+=，故C不正确；对于选项A，符合函数图象关于原点对称，也符合()0,πx时，222sinln0xyxx+=，故A正确．故选：A.10.已知函数()()()sin20fxx=+的图像关于点2π(,0)3中心对称，则（）A.()fx在

区间5π(0,)12上单调递增B.()fx在区间π11π(,)1212−有两个极值点C.直线7π6x=是曲线()yfx=的对称轴D.直线32yx=−是曲线()yfx=切线【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出函数

()fx的解析式，再逐项分析判断作答.【详解】因为函数()()()sin20fxx=+的图象关于点2π(,0)3中心对称，即2π4π()sin()033f=+=，则4ππ,Z3kk+=，而0π，有2π3=，则2π()sin(2)3fxx=+，对于A，当5π(

0,)12x时，2π2π3π2(,)332x+，而正弦函数sinyx=在2π3π(,)32上单调递减，因此函数()fx在5π(0,)12上单调递减，A不正确；对于B，当π11π(,)1212x−时，2ππ5π2(,)322x+，而正弦函数sinyx=在π5π(,)22上只有1个极

值点3π2，因此函数()fx在π11π(,)1212−有唯一极值点，B错误；对于C，因为7π()sin3π06f==，因此直线7π6x=不是函数()fx图象的对称轴，C错误；对于D，直线32yx=−过点3(0,)2，并且2π3(0)sin32f==，即点3(0,)2在曲线()yfx=上，的由2π

()sin(2)3fxx=+，求导得2π()2cos(2)3fxx=+，显然(0)1f=−，因此曲线()yfx=在3(0,)2处的切线方程为3(0)2yx−=−−，即32yx=−，D正确.故选：D11.已知函数()231,21024,

2xxfxxxx−=−+，函数()()()()233gxfxmfxm=−++有6个零点，则非零实数m的取值范围是（）A.()3,024−，B.()3,24C.)2,16D.)3,24【答案】B【解析】【分析】作出函数()fx的图像，原问题转化为函数()yf

x=与,13myy==共有6个交点，等价于()yfx=与3my=有三个交点，结合图像得出其范围.【详解】作出函数()fx的图像如下：数()()()()233gxfxmfxm=−++，且函数()Fx有6个零点等价于(3())(()1)0fxmfx−−=有6个解，等价于()1f

x=或3()mfx=共有6个解等价于函数()yfx=与,13myy==共有6个交点，由图可得()yfx=与1y=有三个交点，所以()yfx=与3my=有三个交点则直线3my=应位于1,8yy==之间，所以183243mm故选：B.【点睛】方法点睛：数形结合

法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解.12.若直线()00xkyk+=与函数()()()22112sin21xxxfx−−=+图象交于不同的两点,AB，且点()9,3C，若点(),Dmn满足DAD

BCD+=，则mn+=A.kB.2C.4D.6【答案】C【解析】【分析】先判断()fx是奇函数，再根据直线0xky+=过原点，得到点A，B关于原点对称，将DADBCD+=，转化为2DOCD=求解.【详解】∵22(21)(1sin(

))(12)(1sin)()()2112xxxxxxfxfx−−−−−−−−===−++，∴()fx是奇函数，又直线0xky+=过原点，∴点A，B关于原点对称，∵DADBCD+=，∴2DOCD=，∴2(,)

(9,3)mnmn−−=−−，∴9232mmnn−=−−=−，解得31mn==，∴4mn+=，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.计算：()()1234232516lo

g3log44−+=______．【答案】152【解析】【分析】根据指数幂和对数运算公式，化简求值.【详解】原式()1232434255152log422222=−+=−+=.故答案为：15214.若直线21yxa=++是函数()lnfxxx=+的图象在

某点处的切线，则实数=a_________．【答案】2−【解析】【分析】利用()2fx=求得切点坐标，代入切线方程，从而求得a.【详解】令()112fxx=+=，解得=1x，所以切点为()1,1，将()1,1代入切线21yxa=++得12+1,2aa=+=−.故答案为：2−15.由

曲线2244xyxy+=+围成的图形的面积为______.【答案】3216π+【解析】【分析】曲线2244xyxy+=+围成的图形关于x轴，y轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可，结合圆的方程运算求

解.【详解】将x−或y−代入方程，方程不发生改变，故曲线2244xyxy+=+关于x轴，y轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可，当0x，0y时，曲线2244xyxy+=+可化为：22(2)(2)8xy−+−=，表示的图形为以()2,2为圆心，半径为22的一

个半圆，则第一象限围成的面积为()211144π2284π22S=+=+，故曲线2244xyxy+=+围成的图形的面积为()484π3216πS=+=+.故答案为：3216π+.16.已知1x和2x是函数()2lnfxxxm=−+的两个不相等的零点，则1212xxxx+

的范围是______．【答案】0,1)(【解析】【分析】根据零点确定两个方程，用比值换元法转化为单变量，从而利用求导和二次求导即可.【详解】1x和2x是函数()2lnfxxxm=−+两个不相等的零点，不妨设120xx，11222ln02ln0xxmxxm

−+=−+=，，两式相减得11222ln0xxxx−−=，令121xtx=，12xtx=，2(1)2lnxtt−=，，2122ln2ln11tttxxtxtt===−−，1221212112ln111112ln2lnxxttttxxtxxttt===+−−−++，令2

()12ln1gttttt=−−，，，所以()22ln2gttt−=−，令()22ln2ttt=−−，2()21ttt=−，，()0t恒成立，()t在(1,)+是单调递增，()(1)0,t=()0gt恒成立，()gt在(1,

)+是单调递增，()(1)01gtgt=，恒成立，2222ln12ln012ln011ttttttttt−−−−，，，121201xxxx+，故答案为：0,1)(．【点睛】本题考察

导数双变量和构造函数证明不等式的方法.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算过程．17.如图所示，角的终边与单位圆O交于点13,22P，将OP绕原点O按逆时针方向旋转2后与圆O交

于点Q.（1）求Qy；（2）若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a=，2b=，sinQAy=，求ABCS.【答案】（1）12Qy=（2）312ABCS+=△或312ABCS−=△.【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式直接得解；（2）由

已知可得A，再利用余弦定理可得c，进而可得面积.【小问1详解】由题知1cos2=，3sin2=，所以1sincos22Qy=+==；【小问2详解】由题知2a=，2b=，1sin2A=，(),0,AB，且ab，所以AB，而1sin2A=

，则6A=，故3cos2A=，由正弦定理可知2222cosabcbcA=+−，整理得22320cc−+=，解得31c=，故131sin22ABCSbcA+==△，或312ABCS−=△.18.“双减”

政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间)7,9，)9,11，

)11,13，)13,15，)15,17，17,19，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.（1）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间)13,17的概率；（2）从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参

加课后活动的时间在区间)15,17的人数，求的分布列和数学期望()E.【答案】（1）0.65（2）分布列见解析，()1.2E=【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算对应频率即为所求概率；

的（2）用频率估计概率，可知()B3,0.4，利用二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据二项分布数学期望公式可求得()E.【小问1详解】由频率分布直方图知：100人中，一周参加课后活动的事件位于区间)13,17的频率为()0.125

0.20020.65+=，用频率估计概率，全校学生一周参加课后活动的时间位于区间)13,17的概率为0.65.【小问2详解】用频率估计概率，从全校学生中随机抽取1人，则该人一周参加课后活动的事件在区间)15,17的概率0.20020.4p

==，()~3,0.4B，则所有可能的取值为0,1,2,3，()300.60.216P===；()1231C0.40.60.432P===；()2232C0.40.60.288P===；()330.40.064P===；

的分布列为：0123P0.2160.4320.2880.064数学期望()30.41.2E==.19.如图，四棱锥PABCD−中，2PAPBABAD====，4BC=，//ADBC，ADAB⊥，AC与BD交于点O，过

点O作平行于平面PAB平面.（1）若平面分别交PC，BC于点E，F，求OEF的周长；（2）当22PD=时，求平面与平面PCD夹角的正弦值.的【答案】（1）4（2）255.【解析】【分析】（1）依题意可得12AOOC=，再根据面面平行的性质得到//OEPA，//OFAB，//

EFPB，根据三角形相似的性质计算可得；（2）首先证明平面PAB⊥平面ABCD，取AB的中点G，即可得到PG⊥平面ABCD，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】由题意可知，四边形ABCD是直角梯形，∴AOD△与COB△相似，又12ADBC=，∴12AOOC=

，12ODOB=，因为过点O作平行于平面PAB的面分别交PC，BC于点E，F，即平面//OEF平面PAB，平面OEF平面PBCEF=，平面PBC平面PABPB=，平面OEF平面PACOE=，平面PAC平面PABPA=，平面OEF平面ABCOF=，平面ABC平面PABAB=，由面面

平行的性质定理得//OEPA，//OFAB，//EFPB，所以PAB与OEF相似，相似比为3:2，即32ABAPPBOFOEEF===，因为PAB的周长为6，所以OEF的周长为4.【小问2详解】∵平面//平面PAB，∴平面与平面PCD的夹角与平面PAB与平面PCD的夹角相等，

∵2AD=，2PA=，22PD=，∴222PDADPA=+，∴ADPA⊥，又ADAB⊥，ABPAA=，,ABPA平面PAB，∴AD⊥平面PAB，AD平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，取AB的中点G，因为ABC为等

边三角形，∴PGAB⊥，平面PAB平面ABCDAB=，PG平面PAB，∴PG⊥平面ABCD，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，过点A与PG平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,2,0D，()1,0,3P，()2,4,0C，()0,

2,0AD=，()2,2,0DC=，()1,2,3DP=−，设平面PCD的法向量(),,nxyz=，则00DCnDPn==，即220230xyxyz+=−+=，取1x=，则()1,1

,3n=−−，∵AD⊥平面PAB，∴AD是平面PAB的一个法向量，设平面与平面PCD夹角为，则15cos55ADnADn===，所以25sin5=，所以平面与平面PCD夹角的正弦值为255.20.

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为2(21)−，且椭圆的离心率为22.（1）求椭圆C的方程；（2）过点(1,0)作直线l交C于P､Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MPMQ为定值？若存在，求出这个定点M的

坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212xy+=；（2）存在，定点5,04M.【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组，即可求得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得b的值，即可求得答案；（2）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：1xky=+，与椭圆联

立，根据韦达定理，可得1212,yyyy+的表达式，代入所求MPMQ，化简整理，即可得结果；当直线l与x轴重合时，可求得P，Q坐标，可得MPMQ的表达式，经检验符合题意，综合即可得答案.【详解】（1）由题意得：222

(21)22accea−=−==，解得21ac==，又222211bac=−=−=，所以椭圆C的方程为：2212xy+=.（2）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：1xky=+，1122(,),(,)PxyQxy，联立直线与曲线方程2222

1xyxky+==+，整理得：()222210kyky++−=，则222(2)4(2)(1)880kkk=−+−=+，1221222212kyykyyk+=−+=−+，假设存在定点(,0)Mm，使得MPMQ为定值，则()()()()11221212,,MPM

Qxmyxmyxmxmyy=−−=−−+()()1211kymkym=+−+−()()2212121(1)(1)kyykmyym=++−++−()2222212(1)(1)22kkmmkk+−=−−+−++222(23)1(1)2mkmk−−=+−+()222(23)2(54)(1)2mkm

mk−++−=+−+=2222545423(1)2+2+2mmmmmkk−−−+−+=−+.当且仅当540m−=，即54m=时，716MPMQ=−(为定值)，这时5,04M，当直线l与x轴重合时，此时(2,0)P−，(2,0)Q，()2,0MPm=−−，(2,0)MQm=−，22

MPMQm=−，当54m=时，716MPMQ=−(为定值)，满足题意.所以存在定点5,04M使得对于经过(1,0)点的任意一条直线l均有716MPMQ=−(恒为定值).【点睛】解题的步骤为（1）设直线，（2）与曲线联立，得到关于x（y）的一元二次方程，（3）根据韦达定理，求得12

12,xxxx+（1212,yyyy+）的表达式，（4）代入所求，化简整理，即可得答案，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.21.已知函数()ln1fxxxa=+−，()()sin2gxaxaa=+−R.（1）求函数()()fxhxx=的极小值；（2）证明：当1,1a−时，()()fx

gx.【答案】（1）当1a时，()hx无极小值；当1a时，()hx取极小值为()1ln1a+−.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意得到()1lnahxxx−=+，再利用导数分类讨论求解极限值即可.（2）首先将题意转化为证明lnsin1x

xax−，再分类讨论对01a，0a=和10a−的情况进行证明即可.【小问1详解】∵()()fxhxx=，()ln1fxxxa=+−，∴()1lnahxxx−=+，所以()()22111xaahxxxx−−−=−=，()0,x+.当10a−时，即1a

时，()0hx，函数()hx在()0,x+上单调递增，无极小值；当10a−时，即1a时，令()0hx，解得01xa−，函数()hx在()0,1a−上单调递减；令()0hx，解得1xa−，函数()hx在(

)1,a−+上单调递增.∴1xa=−时，函数()hx取得极小值()()11ln1haa−=+−.综上所述，当1a时，()hx无极小值；当1a时，()hx取极小值为()1ln1a+−.【小问2详解】令()()()lnsin

1Fxfxgxxxax=−=−+，()0,x+.当11a−时，要证()()fxgx，即证()0Fx，即lnsin10xxax−+，即证lnsin1xxax−，①当01a时，令()sintxxx=−，()1cos0txx=−，所以

()tx在()0,x+上单调递增，故()()00txt=，即sinxx.∴1sin1axax−−，令()ln1uxxxx=−+，()lnuxx=，当()0,1x，()0ux，()ux在()0

,1上单调递减；()1,x+，()0ux，()ux在()1,+上单调递增.故()()10uxu=，即ln1xxx−，当且仅当1x=时取等号，又∵01a，∴ln11xxxax−−，由上面可知：ln11sin1xxxaxax−−−

，所以当01a时，lnsin1xxax−.②当0a=时，即证ln1xx−.令()lnvxxx=，()ln1vxx=+，可得()vx在10,e上单调递减，在1,e+上单调递增，()min111e

evxv==−−，故ln1xx−.③当10a−时，当(0,1x时，sin11ax−−，由②知()1lnevxxx=−，而11e−−，故lnsin1xxax−，当()1,x+

时，sin10ax−，由（2）知()()ln10vxxxv==，故lnsin1xxax−；所以，当()0,x+时，lnsin1xxax−.综上①②③可知，当11a−时，()()fxgx.选考题：共

10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为112312xy=+=−（为参数

）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）已知点(2,0)M，直线l的参数方程为2xtyt=+=(t为参数，Rt)，且直线l与曲线C交于A、B两点，求11||||MAMB+的值．【答案】（1）2213yx−=（2）223【解析】【分析】（1）根据

参数方程消参即可得出直角坐标方程；（2）转化直线的参数方程与曲线C方程联立，结合韦达定理计算即可.【小问1详解】曲线C的参数方程为112312xy=+=−(为参数），则22222211243124xy=

++=−+，即2222221424123xy−=++=+，两式相减，可得曲线C的直角坐标方程：2213yx−=小问2详解】直线l与曲线C交于A、B两点，设A，B两点对应的参数为

1t，2t，直线l的方程可转化为22222xtyt=+=，代入2213yx−=，得26290tt++=，则1212629tttt+=−=，则120tt、，所以()121212111122

3ttMAMBtttt−++=+==．23.设函数()2124fxxx=+−−.（1）解不等式()0fx，（2）若关于x的方程()242230fxxmm+−−+=没有实数根，求实数m的取值范围【答案】（1）3,4+（2）512m−.【解析】【分析】（1）分

类讨论x的取值范围，脱掉绝对值符号，即可求解；（2）将()242230fxxmm+−−+=没有实数根，转化为()24223fxxmm+−=−没有实数根，求出函数()()4|2|gxfxx=+−的最小值，结合题意可得不等式，即可求得答案.【小问1详解】当

2x时，()()212450fxxx=+−−=恒成立，.【当122x−时，()2124430fxxxx=++−=−，得324x；当12x−时，()50fx=−不成立.综上，原不等式的解集为3,4+

；【小问2详解】方程()242230fxxmm+−−+=没有实数根，即()24223fxxmm+−=−没有实数根，令()()4|2|gxfxx=+−，则()()|21242124|5gxxxxx=++−+−−=，当且仅当()()21240xx+

−时，即122x−时等号成立，即()gx值域为)5,+，若()223gxmm=−没有实数根，则2235mm−，即22350mm−−，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com