【文档说明】江苏省扬州市邗江区2023-2024学年高二上学期期中调研测试+数学+含解析.docx，共(28)页，1.582 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-92522f117b782881fe2c7ee06c12eb0e.html

以下为本文档部分文字说明：

邗江区2023—2024学年度第一学期期中调研试题高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过点(1,0)P−且倾斜角为60

的直线的方程是（）A.310xy−−=B.330xy−+=C.330xy−−=D.310xy−+=2.已知点()00,Pxy在直线34100xy−−=上，则2200xy+的最小值为（）A.1B.2C.3D.43.如果方程22216xyaa+=+表示焦点在y轴上的椭圆，则实数

a的取值范围是（）A.3aB.2a−C.3a或2a−D.23a−且0a4.已知F是抛物线C：22ypx=的焦点，点()2,Pt在C上且4PF=，则F的坐标为（）A.()2,0B.()2,0−C.()4,0D.()4,0−5.过直线1yx=+上的点P作圆()()22:162Cx

y−+−=的两条切线1l，2l，当直线1l，2l关于直线1yx=+对称时，两切点间的距离为（）A.1B.2C.3D.66.为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA

的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（）A.2mB.3mC.2.5mD.1.

5m7.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知ABC的顶点()30A−,，()3,0B，()3,3C，若直线l：()2390axay+−−=与ABC的欧拉

线平行，则实数a的值为（）A.－2B.－1C.－1或3D.38.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别是12,FF，点P是椭圆C上位于第一象限的一点，且2PF与y轴平行，直线1PF与C的另一个交点为Q，若1125PFFQ=，则C的离心率为（）A.21

7B.3311C.77D.2111二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（多选）过定点（2，3）且在两坐标轴

上截距的绝对值相等的直线为（）A.320xy−=B.50xy+−=C10xy−+=D.50xy−+=10.已知m，n为两个不相等非零实数，则方程0mxyn−+=，与22nxmymn+=所表示的曲线不可能是（）A.B.C.D.

11.已知经过点()2,4P的圆C的圆心坐标为()0,t(t为整数)，且与直线l：30xy−=相切，直线m：20axya++=与圆C相交于A、B两点，下列说法正确的是（）A.圆C的标准方程为()2249

xy+−=B.若PAPB⊥，则实数a的值为2−C.若22AB=，则直线m的方程为20xy−+=或7140xy−+=D.弦AB中点M的轨迹方程为()()22125xy++−=12.已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp=焦点F的直线与C交于A，B两点，

其中A在第一象.的限，点(,0)Mp，若||||AFAM=，则（）A.直线AB的斜率为26B.||||OBOF=C.||4||ABOFD.180OAMOBM+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若直线l斜率为k，倾斜角为且3π[,]4π4，则

k的取值范围是_____.14.已知双曲线2222xyab−＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±3x，则它的离心率为________．15.由曲线2244xyxy+=+围成的图形的面积为______.16.动点M分别与两定点(5,0

)A−，(5,0)B连线斜率的乘积为1625−，设点M的轨迹为曲线C，已知(2,3)N，(3,0)F−，则MFMN+的取值范围为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤．17.已知ABC的三个顶点是()1,2A，()2,1B−−，()3,2C−.求：（1）边AC上的中线BD所在直线方程；（2）边AC上的高BE所在直线方程.18.求适合下列条件圆锥曲线的标准方程：（1）求椭圆的标准方程：以点()11,

0F−，()21,0F为焦点，经过点252,5P.（2）已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，点()00,Pxy在抛物线C上，且02PFx=+，求抛物线C的标准方程.（3）求双曲线的标准方程：经过点()3,

42−，9,54.19.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，（1）当8AB=时，求直线l的方程；（2）求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．20

.已知圆2221:24590Cxymxmym+−−+−=，圆222:1Cxy+=（1）若圆1C、2C相切，求实数m的值；的的的（2）若圆1C与直线:240lxy+−=相交于M、N两点，且4MN=，求m的值.21.已知双

曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的焦点到渐近线的距离为1，且点(2,1)A在该双曲线上.直线l交C于P，Q两点，直线,APAQ的斜率之和为0.（1）求该双曲线方程；（2）求l的斜率；22.已知椭圆()222210

xyabab+=的长轴长为4，离心率为32.（1）求椭圆的方程；（2）若过点(0,2)P的直线l与椭圆C相交于,AB两点，O为原点，求OAB面积的最大值.邗江区2023—2024学年度第一学期期中调研试题高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一、选择

题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过点(1,0)P−且倾斜角为60的直线的方程是（）A.310xy−−=B.330xy−+=C.330xy−−=D.310xy−+=【答案】B【解析】【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出

直线方程；【详解】由倾斜角为60知，直线的斜率3k=，因此，其直线方程为03(1)yx−=+，即330xy−+=故选：B2.已知点()00,Pxy在直线34100xy−−=上，则2200xy+的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析

】2200xy+就是()00,Pxy到原点距离，只需求出原点到直线的距离即可.【详解】2200xy+就是()00,Pxy到原点距离，()00,Pxy到原点距离的最小值为1025d−==则2200xy+的最小值为2，故选：B3.如果方程

22216xyaa+=+表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）A.3aB.2a−C.3a或2a−D.23a−且0a.【答案】D【解析】【分析】根据焦点在y轴上的椭圆方程满足的条件建立不等关系，进而求解结论．【详解】因为方程2

2216xyaa+=+表示焦点在y轴上的椭圆，则260aaa+，解得23a−且0a.故选：D.4.已知F是抛物线C：22ypx=的焦点，点()2,Pt在C上且4PF=，则F的坐标为（）A.()2,0B.()2,0−C.()4,0D.()4,0−【答案】

A【解析】【分析】由4PF=结合抛物线的定义可求出p的值，进而可求F的坐标.【详解】因为F是抛物线C：22ypx=的焦点，所以,02pF，又4PF=，由抛物线的定义可知242pPF=+=，解得4p=，所以()2,0F.故选：A5.过直线1yx=+上的点P作圆()()22:162

Cxy−+−=的两条切线1l，2l，当直线1l，2l关于直线1yx=+对称时，两切点间的距离为（）A.1B.2C.3D.6【答案】D【解析】【分析】由两条切线关于直线1yx=+对称，可确定PC与直线1yx=+互相垂直，即可求得PC得长，再结合直角三角函数和垂径定理，即可求解.【详解】依题意，设

两切点分别为A、B，并连接AB交PC于点D，作出示意图：当直线1l，2l关于直线1yx=+对称时，则两条直线1l，2l与直线1yx=+的夹角相等，且PC与直线1yx=+互相垂直，PC的长为圆心()1,6C到直线1yx=+的距离，即161222PC−+==，又圆

的半径2rBC==，在RtBCP△中，1cos2BCBCPPC==，故π3BCP=，结合垂径定理得32sin2262ABBCBCP===，即两切点间的距离为6，故选：D.6.为落实“二十大”不

断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径

的圆内，则管柱OA的高度为（）A.2mB.3mC.2.5mD.1.5m【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为22(0)xpyp=−，求出点C的坐标，代入抛物线方程，即可求得p，再将点()02,Ay−代入抛物线方程中，求出0y，即可求得O

A的高度．【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为22(0)xpyp=−，因为点(4,4)C−，所以162(4)p=−−，解得2p=，所以抛

物线方程为24xy=−，点0(2,)Ay−在抛物线上，所以044y=−，解得01y=−，所以043OAy=−=，所以管柱OA的高度为3m．故选：B．7.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．

这条直线被称为欧拉线．已知ABC的顶点()30A−,，()3,0B，()3,3C，若直线l：()2390axay+−−=与ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（）A.－2B.－1C.－1或3D.3【答案】B【解析】【分析】根据三角形顶点坐标得出重心

与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解.【详解】由ABC的顶点()30A−,，()3,0B，()3,3C知，ABC重心为333003,33−++++，即()1,1，又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点3303,22−++，即30,2，所

以可得ABC的欧拉线方程3112110yx−−=−−，即230xy+−=，因为()2390axay+−−=与230xy+−=平行，所以239123aa−−=−，解得1a=−，故选：B8.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别是12,FF，点P

是椭圆C上位于第一象限的一点，且2PF与y轴平行，直线1PF与C的另一个交点为Q，若1125PFFQ=，则C的离心率为（）A.217B.3311C.77D.2111【答案】B【解析】【分析】由P点坐标求得Q点坐标，然后代入椭圆C的

方程，化简求得椭圆C的离心率.【详解】由22221xyab+=令xc=，得24222221,cbbybyaaa=−==，由于2PF与y轴平行，且P在第一象限，所以2,bPca.由于()111112,,5502,PFFQFQPFFc==−，所以()2211292,0

2,,555bbOQOFFQcccaa=+=−+−−=−−，即292,55bQca−−，将Q点坐标代入椭圆C的方程得2222229551bcaab−−+=，()222222222

22814814774125252525caccbcaaaaa+−++===，222222221377425,7721,7711ccaacaa+====，所以离心率3331111cea===.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（多选）过定点（2，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（）A.320xy−=B.50xy+−=C.10xy−+=D.50xy−+=【答案】ABC【解析】【分析】设所求的直线方程为(2)3ykx=−+

，求出横截距，纵截距，再由过点(2,3)的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，求出k，即得解.【详解】由题意，直线不与坐标轴垂直，设所求的直线方程为(2)3ykx=−+，当0y=时，得横截距32xk=−，当0x=

时，得纵截距32=−yk，因为过点(2,3)的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，所以3232kk−=−，所以3232kk−=−或3223kk−=−，所以1k=−，或32k=或1k=，所以直线的方程为50xy+−=或320xy−=或10xy−+=.故选：ABC.10.已知m，

n为两个不相等非零实数，则方程0mxyn−+=，与22nxmymn+=所表示的曲线不可能是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】先变形得到221xymn+=，对四个选项一一分析，得到答案.【详解】22nxmymn+=变

形得到221xymn+=，A选项，双曲线交点在y轴上，故0,0nm，此时0mxyn−+=应该经过第一，二，四象限，A不可能；B选项，椭圆焦点在y轴上，故0nm，此时0mxyn−+=经过第一，二，三象限，B不可能；C选项，双曲线交点在x轴上，故0,0mn，此时0mxyn−+=应该经

过第一，三，四象限，C可能；D选项，椭圆焦点在x轴上，故0mn，此时0mxyn−+=经过第一，二，三象限，D不可能；故选：ABD11.已知经过点()2,4P的圆C的圆心坐标为()0,t(t为整数)，且与直线l：30xy−=相切，直线m：20axya++

=与圆C相交于A、B两点，下列说法正确的是（）A.圆C的标准方程为()2249xy+−=B.若PAPB⊥，则实数a的值为2−C.若22AB=，则直线m的方程为20xy−+=或7140xy−+=D.弦AB的中点M的轨迹方程为()

()22125xy++−=【答案】BC【解析】【分析】对于A，设圆C的半径为r，由题意得出圆C的方程，即可根据已知点()2,4P是圆C上的点，且圆C与直线l：30xy−=相切，列方程组解出t，r的值，即可得出圆C的标准方程；对于B，根据已知与PAPB⊥得出线段AB为圆C的直径，即可

根据直线m与圆C相交于A、B两点，得出圆心C在直线m上，代入求解即可得出a的值；对于C，利用点到直线距离公式得出圆心C到直线m的距离d的式子，根据弦长结合勾股定理得出d的值，即可列式得出a，即可得出直线m的方程；对于D，转化直线m的方程得出直线

m过定点()2,0N−，根据圆的性质可得CMMN⊥，即可根据圆的性质得出点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，即可得出该圆的方程，注意此方程是有范围的，根据两圆的交点坐标得出范围，即可判断.【详解】对于A，设圆C的半径为r，由题意可得圆C的方程为()22

2xytr+−=(t为整数)，根据点()2,4P是圆C上的点，且圆C与直线l：30xy−=相切，得()222242trtr+−==，解得42tr==，或203103tr==（舍去），则圆C的标准方程为()2244xy+−=，

故A错误；对于B，由选项A知圆C的标准方程为()2244xy+−=，圆心()0,4C，点()2,4P在圆C上，且PAPB⊥，线段AB为圆C的直径，直线m：20axya++=与圆C相交于A、B两点，圆心()0,4C在直线m上，420a+=，

解得2a=−，故B正确；对于C，由选项A知圆C的半径为2，圆心()0,4C，则圆心C到直线m的距离2421ada+=+，2222ABdr+=，即2222222d+=，解得2d=，24221aa+=+，整

理得2870aa++=，解得1a=−或7a=−，则直线m的方程为20xy−+=或7140xy−+=，故C正确；对于D，直线m的方程可化为()2yax=−+，过定点()2,0N−，由圆的性质可得CMMN⊥，点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，则

此圆圆心为线段CN的中点，其坐标为()1,2-，半径为152CN=，则该圆的方程为()()22125xy++−=，由()()()222212544xyxy++−=+−=，得两圆的交点坐标为()2,4−与612,55

，故弦AB的中点M的轨迹方程为()()22125xy++−=，625x−，故D错误；故选：BC.12.已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp=焦点F直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点(,0)Mp，若||||AFAM=，则（）A.直线AB的斜率为26B.

||||OBOF=C.||4||ABOFD.180OAMOBM+【答案】ACD【解析】【分析】由AFAM=及抛物线方程求得36(,)42ppA，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得6(,)33ppB−，即可求出OB

判断B选项；由抛物线的定义求出2512pAB=即可判断C选项；由0OAOB，0MAMB求得AOB，AMB为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得(,0)2pF，由AFAM=可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为3224ppp+=，的代入抛物线可得223

3242pypp==，则36(,)42ppA，则直线AB的斜率为6226342ppp=−，A正确；对于B，由斜率为26可得直线AB的方程为1226pxy=+，联立抛物线方程得22106ypyp−−=，设11(,)Bxy，则16626pyp+=，则163py=

−，代入抛物线得21623ppx−=，解得13px=，则6(,)33ppB−，则22673332ppppOBOF=+−==，B错误；对于C，由抛物线定义知：325244312p

ppABppOF=++==，C正确；对于D，23663663(,)(,)0423343234pppppppppOAOB=−=+−=−，则AOB为钝角，又26262665(,)(,)0423343236pppppppppMAMB

=−−−=−−+−=−，则AMB为钝角，又360AOBAMBOAMOBM+++=，则180OAMOBM+，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若直线l的斜率为k，倾斜角为且3π[,]4π4，则k的取值范围

是_____.【答案】(,1][1,)−−+【解析】【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系来得答案.【详解】tank=，且3π[,]4π4，1k−或1k，即k的取值范围是(,1][1,)−−+.故答案为：(,1][1,)−−+.14.已知双曲线2222xy

ab−＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±3x，则它的离心率为________．【答案】2【解析】【详解】由题意，得e＝ca＝21()ba+＝13+＝2.15.由曲线2244xyxy+=+围成的图形的面积为____

__.【答案】3216π+【解析】【分析】曲线2244xyxy+=+围成的图形关于x轴，y轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可，结合圆的方程运算求解.【详解】将x−或y−代入方程，方程不发生改变，故曲线2244xyxy+=+关于x轴，y轴对称，因此只需求出第

一象限的面积即可，当0x，0y时，曲线2244xyxy+=+可化为：22(2)(2)8xy−+−=，表示的图形为以()2,2为圆心，半径为22的一个半圆，则第一象限围成的面积为()211144π2284π22S=+=+，故曲线2244xyxy+=+围成的图形的面积为()484π

3216πS=+=+.故答案为：3216π+.16.动点M分别与两定点(5,0)A−，(5,0)B连线的斜率的乘积为1625−，设点M的轨迹为曲线C，已知(2,3)N，(3,0)F−，则MFMN+的取值范围为____________.【答案】8,12【

解析】【分析】根据已知可求得点M的轨迹方程为2212516xy+=（5x），即椭圆.根据椭圆的定义转化为求110MNMF−+的最值，结合图象，即可得出答案.【详解】设(),Mxy，5x，则5MAykx=+，5MBykx=−，由已知可得，1

625MAMBkk=−，即165525yyxx=−+−，整理可得，2212516xy+=.所以，点M的轨迹方程为2212516xy+=（5x）.所以，225a=，216b=，2229cab=−=，所以3

c=.则(3,0)F−为椭圆的左焦点，设右焦点为()13,0F，根据椭圆的定义有1210MFMFa+==，所以110MFMF=−，所以，110MFMNMNMF+=−+.①当1MNMF时，根据三边关系可知有11MFMNN

F−，当且仅当1,,MFN三点共线时，等号成立，即M位于图中点1M时，1MFMN−有最大值为12NF=，所以，1111021012MFMNMFMN+−+=+=；②当1MNMF时，根据三边关系可知有11MFMNNF−，所以11MNMFNF−−，当且仅当1,,MFN三点共线时，等号

成立，即M位于图中点2M时，1MNMF−有最小值为()()22130322NF−=−−+−=−，所以，221102108MFMNMNMF+−+=−+=.综上所述，281MFMN+.故答案为：8,12.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC的三个顶点是()1,2A，()2,1B−−，()3,2C−.求：（1）边AC上的中线BD所在直线方程；（2）边AC上的高BE所在直线方程.【答案】（1）420xy−−=（2

）20xy−=【解析】【分析】（1）求出点D的坐标为()2,0，由两点式斜率公式求出BD的斜率，代入点斜式即可求解.（2）由两点式斜率公式求出AC斜率，利用垂直关系得BE的斜率，代入点斜式即可求解.【小问1详解】由题知AC的中点()2,0D，所以直线BD的斜率101422BDk−−−−

==，则边AC上的中线BD所在直线的方程为()124yx=−，化简得420xy−−=.【小问2详解】由题意得直线AC的斜率22231ACk−−==−−，且1BEACkk=−，所以12BEk=.则边AC

上的高BE所在直线的方程为()1122yx+=+，化简得20xy−=.18.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）求椭圆的标准方程：以点()11,0F−，()21,0F为焦点，经过点252,5P.（2）已知抛物

线()2:20Cypxp=的焦点为F，点()00,Pxy在抛物线C上，且02PFx=+，求抛物线C的标准方程.（3）求双曲线的标准方程：经过点()3,42−，9,54.【答案】（1）22154xy+=（2）28yx=（3）22

1169yx−=【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义可求2a，再求出b后可求椭圆的标准方程.（2）根据抛物线的定义和性质，选择合适的条件进行求解即可；（3）设所求方程为221mxny−=，代入点求解.【小问1详解】设椭圆的标准方程为()

222210xyabab+=，焦距为02c.由题意有01c=，1475955PF=+=，2435155PF=+=，所以12753555522PFPFa++===，512b=−=，故椭圆的标准方程为22154xy+=.小问2详解】由抛物线的定义可得02pPFx=+，∴22p=，解得4p=，故抛物

线C的标准方程为28yx=.【小问3详解】设所求双曲线方程为221mxny−=，则93218125116mnmn−=−=，解得19116mn=−=−，所以双曲线方程为221169yx−=.19.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于

A，B两点，（1）当8AB=时，求直线l的方程；（2）求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．【答案】（1）10xy+−=或10xy−−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）解法1：分l斜率不存在和存在两种情况讨论，根据8AB=即可求出l的方程；解法2：根据题意可知l斜率存

在时，斜率不为0，由此可设:1lxmy=+，根据8AB=即可求出l的方程；（2）几何法：取AB的中点M，则M为以AB为直径的圆的圆心，过M作MN⊥准线于N，过A作1AA⊥准线于1A，过B作1BB⊥准线于1B，根

据梯形的性质即可证明；代数法：设:1lxmy=+，求出AB和AB中点M到准线的距离d，根据d和AB关系即可证明．【小问1详解】解法1：由题意，可得(1,0)F，2p=，当l斜率不存在时，l为1x=，由214xyx==得12xy==，故48AB=，与题

意不符．当直线l斜率存在时，设:(1)lykx=−，【∴()()2222242401yxkxkxkykx=−++==−，设1122(,),(,),AxyBxy则221222(24)24kkxxkk−+++=−=，根据抛物线的定义可得1212122822

ppABxxxxpxx=+++=++=++=，126xx+=，则22246kk+=，解得1k=．∴直线l的方程为10xy+−=或10xy−−=．解法2：由题意，可得(1,0)F，∵直线l与抛物线相交于A，B，∴l斜率存在时，斜率不为0，故可设:1lxmy=+，则2244401y

xymyxmy=−−==+，设1122(,),(,),AxyBxy则12124,4,yymyy+==−∴2222212121211()41(4)4(4)8ABmyymyyyymm=+−=++−=+

−−=，解得1m=．则直线l的方程为10xy+−=或10xy−−=．【小问2详解】几何法：取AB的中点M，则M为以AB为直径的圆的圆心，设2ABr=，过M作MN⊥准线a于N，过A作1AA⊥准线a于1A，

过B作1BB⊥准线a于1B，根据梯形的性质和抛物线的定义可得11+==222AABBAFBFABMNr+==，即得证．代数法：设1122(,),(,)AxyBxy，弦AB的中点为M，则M为以AB为直径的圆的圆心，其横坐标为122xx+，∵直线l与抛物线相交于A，B，∴l斜率存

在时，斜率不为0，故可设:1lxmy=+，则2244401yxymyxmy=−−==+，则12124,4,yymyy+==−21212114121222xxmymymmm++++==+=+，则M到准线

的距离为()2122122xxpdm+=+=+．又()222212121211()441ABmyymyyyym=+−=++−=+，故2ABd=，即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．20.已知圆2221:24590Cxymxmym+−−+−=，圆222:1Cxy+=（1）若圆1C、

2C相切，求实数m的值；（2）若圆1C与直线:240lxy+−=相交于M、N两点，且4MN=，求m的值.【答案】（1）255或455；（2）95m=或15m=−【解析】【分析】（1）求出圆1C和圆2C的圆心和半径

，求出圆心距，分外切和内切两种情况，得到方程，求出m的取值；（2）求出圆心距，利用垂径定理得到方程，求出m的值.【小问1详解】已知圆2221:24590Cxymxmym+−−+−=变形为()()2229xmym−+−=，圆1C的圆心为()

1,2Cmm，半径13r=，圆2C的圆心()20,0C，半径为2=1r，圆心距2212(2)CCmm=+，当两圆外切时，有1212CCrr=+，即22(2)4mm+=，解得455m=，当两圆内切时，有1212CCrr=−，即22(2)2mm+=，解得255m=，故m的取值为255

或455【小问2详解】因为圆1C与直线:240lxy+−=相交于M、N两点，且4MN=，而圆心()1,2Cmm到直线:240lxy+−=的距离545md−=，有22212MNdr+=，即

2(54)495m−+=，解得：95m=或15m=−.21.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的焦点到渐近线的距离为1，且点(2,1)A在该双曲线上.直线l交C于P，Q两点，直线,APAQ的斜率之和为0.（1）求该双曲线方程；（2）求l的斜率；【答案】（1）221

2xy−=（2）1−【解析】【分析】（1）根据已知列出关系式，求出1b=，然后将点(2,1)A的坐标代入方程，即可得出答案；（2）解法一：设:lykxm=+，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标之间的关系.由已知斜率之和为0，列出方程，化简得出1k=−或210mk+−=.检验即

可得出答案；解法二：设直线PA方程：1(2)ykx−=−，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得出点P的坐标.同理得出点Q的坐标，进而代入斜率公式，化简即可得出答案.【小问1详解】双曲线2222:1(0,0)xyCa

bab−=的渐近线是byxa=，即0bxay=，根据对称性，不妨取右焦点2(,0)Fc，则焦点2(,0)Fc到渐近线0bxay−=的距离为：22bcbcbcba==+，所以1b=，双曲线C的方程为222:1xya−=.将点A代入双曲线方程得2411a−=，得：22a=，故双曲线方程为221

2xy−=.【小问2详解】解法一：由题意可知直线l的斜率存在，设:lykxm=+，设11(,)Pxy，22(,)Qxy，则联立直线与双曲线得：222(21)4220kxkmxm−+++=，则2210k−，又

()()()()222224421228210kmkmmk=−−+=−+，所以，2221mk−.由韦达定理可得122421kmxxk+=−−，21222221mxxk+=−，所以12121122APAQyykkxx−−+=+−−121211022k

xmkxmxx+−+−=+=−−，化简得：12122(12)()4(1)0kxxmkxxm+−−−+−=，故2222(22)4(12)()4(1)02121kmkmmkmkk++−−−−−=−−，整理可得(1)(21)0kmk++−=，解得1k=−或210mk+−=.若210

mk+−=，即12mk=−时，:12lykxk=+−，即()21ykx=−+过A点，显然直线l不过A点，故l的斜率1.k=−解法二：设直线PA方程：1(2)ykx−=−，将12ykxk=+−代入双曲线，化简得：222(12)4(1

2)8840kxkkxkk−−−−+−=，且有2120−k，()2162210kk=−+.由韦达定理可得22884212APPkkxxxk−+−==−，所以有，2244212Pkkxk−+−=−，2222442241,1212kkkkPkk−+−−+−−.以

kk−代，可得2222442241,1212kkkkQkk−−−++−−所以，2222222224124181212144244281212PQkkkkkkkkkkkkkkk++−+−−−===−−−−−+−−−−−.22.已知椭圆()222210xyabab+=的长轴

长为4，离心率为32.（1）求椭圆的方程；（2）若过点(0,2)P的直线l与椭圆C相交于,AB两点，O为原点，求OAB面积的最大值.【答案】（1）2214xy+=；（2）1【解析】【分析】（1）根据长轴长和离心率求出2,3ac==

，从而得到2b，求出椭圆方程；（2）法1和法2，由题意得到直线AB的斜率存在，设出直线方程，联立椭圆方程，由根的判别式得到斜率的取值范围，并得到两根之和，两根之积，表达出2244314OABkSk−=+，换元后，利用基本不等式求出最值，得到答案.【小问1

详解】由题意得324,2caa==，解得2,3ac==，故2221bac=−=，故椭圆方程为2214xy+=；小问2详解】法1，由题意，当直线AB的斜率不存在时，此时,,AOB三点共线，不合要求，舍去，.【当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：2ykx=+，联立22214ykxx

y=++=消去y得，()221416120kxkx+++=，设()()1122,,,AxyBxy，()222412(140)644681kkk==−+−，解得234k，1212221612,1414kxx

xxkk+=−=++，()21212124xxxxxx−=+−222164121414kkk=−−++2244314kk−=+，所以2121ABkxx=+−222414314kkk+−=+，点O到直线l的距离221dk=+，所以221443214OABkS

ABdk−==+，设2430kt−=，则2243kt=+，244414442OABtSttttt===++，当且仅当4tt=，即24t=时等号成立，即274k=，解得72k=时取等号，满足234k，所以OAB的面积最大为1.法2，由题意，当直线AB的斜率不存

在时，此时,,AOB三点共线，不合要求，舍去，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：2ykx=+，联立22214ykxxy=++=消去y得，()221416120kxkx+++=，设()()1

122,,,AxyBxy，()222412(140)644681kkk==−+−，解得234k，1212221612,1414kxxxxkk+=−=++，()21212124xxxxxx−=+−222164121414kkk=−−++2244

314kk−=+，21221144322214OABkSOPxxk−=−=+2244314kk−=+，设2430kt−=，则2243kt=+，244414442OABtSttttt===++，当且仅当4tt=，即24t=时等号成立，即274k=，解得7

2k=时取等号，满足234k，所以OAB的面积最大为1.【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系

，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com