【文档说明】浙江省湖州市三贤联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(18)页，989.342 KB，由小赞的店铺上传

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2021学年第二学期湖州市三贤联盟期中联考高二年级数学学科试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若2C15nn−=，则n=（）A.4B.5C.6D.

7【答案】C【解析】【分析】根据组合数公式直接求解即可【详解】由2C15nn−=，得!15(2)!2!nn=−，(1)30nn−=，解得6n=或5n=−（舍去），故选：C2.函数()1fxx=的导函数记为()fx，则()2f=（）A.4−B.14−C.4D.14【答案】B【解析】【分析】根

据求导公式求出导函数即可得解.【详解】解：由()1fxx=，得()21fxx=−，所以()124f=−.故选：B.3.甲乙丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，

则不同的选法种数为（）A.35AB.153CC.53D.35【答案】D【解析】【分析】甲乙丙三人各自有5种选法，根据分步乘法计算原理，可得答案.【详解】甲乙丙三名学生每人都从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科，即可看作甲乙丙依次选择一科，分三步完成，每一步都有5种选法，故共有35555

=种选法，故选：D4.已知随机变量X的分布列如下表，若1()3EX=，则()DX=（）X1−01Pab12A.13B.23C.59D.79【答案】C【解析】【分析】由期望公式可得16a=，结合分布列的性

质有13b=，再应用方差公式求()DX.【详解】由题设，11()23EXa=−+=，即16a=，则11123ba=−−=，而2222111()(1)0162323EX=−++=，所以322211215()[()]()[()]3399i

iDXXEXEXEX==−=−=−=.故选：C5.袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件:A甲和乙至少一人摸到红球，事件:B甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率()

PBA=（）A.925B.25C.45D.89【答案】D【解析】【分析】求出()PAB和()PA的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，事件:AB甲、乙只有一人摸到红球，则()1242CA85525PAB==，()2491525PA=−=，

因此，()()()82582599PABPBAPA===.故选：D.6.已知函数()()yfxxR=的图象如图所示，则不等式()0xfx的解集为（）A1(,0)(,2)3−B.11,,233−C.()1,2,3−+D.()()1

,01,3−【答案】A【解析】【分析】先由图像判断出()fx的单调性，得到()fx的正负，解不等式即可.【详解】由图像可得：()fx在1,3−上单增，在1,23上单减，在()2,+上单增，所以在1,3−上()0fx，在1,23

上()0fx，在()2,+上()0fx.不等式()0xfx可化为：()00xfx或()00xfx，解得：123x或0x.故原不等式的解集为1(,0)(,2)3−

.故选：A7.已知函数()sinfxxx=+，若存在0,x，使不等式(sin)(cos)fxxfmx−成立，则实数m的最小值为（）A.1−B.0C.1D.2【答案】A【解析】.【分析】由定义知()fx为奇函数，应用导数研究单调性，将问题转化为0,上min(cossi

n)mxxx+求m的取值范围.【详解】由题设，()()sin()(sin)()fxxxxxfx−=−+−=−+=−，即()fx在R上为奇函数；在(0,)+上()1cos0fxx=+，故()fx在(0,)+

上递增，易知：()fx在R上递增，又(sin)(cos)fxxfmx−，则sincosxxmx−，即0,上min(cossin)mxxx+；令cossinyxxx=+，则cosyxx=，故π[0,)2上0y，y递增；(,]2上

0y，y递减，而0|1xy==，|1xy==−，此时1m−；综上，m的最小值为1−.故选：A8.若函数()()e1ln2xfxax=−−+在区间(0，1)上不单调，则实数a的取值范围为（）A.

1,e1+B.()1,e1+C.(),1e1,−++D.()(),1e1,−++【答案】B【解析】【分析】对()fx求导并将问题转化为e1xyxa−=+在(0,1)上存在变号零点，再应用导数研究y的单调性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围.【详解】由题设，1

e1()exxaxafxxx−+−=−=，又()fx在(0,1)上不单调，所以e1xyxa−=+在(0,1)上存在变号零点，而(1)e0xyx=+，则y在(0,1)上递增，只需(1)(e1)0aa−+−，即1e1a+.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题

给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.对于离散型随机变量X，它的数学期望()EX和方差()VX，下列说法正确的是（）A.()EX是反映随机变量的平均取值B.()VX

越小，说明X越集中于()EXC.()()EaXbaEXb+=+D.()()2VaXbaVXb+=+【答案】ABC【解析】【分析】根据离散型随机变量的期望和方差表示的意义，以及期望与方程的性质，可直接判断出结果.【详解】离

散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即AB正确；由期望和方差的性质可得，()()EaXbaEXb+=+，()()

2VaXbaVX+=，即C正确，D错；故选：ABC.10.有4名男生、3名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是（）A.排成前后两排，女生排前排，男生排后排，共有3434AA种方法B.全体排成一排，男生互不相邻，共有3

434AA种方法C.全体排成一排，女生必须站在一起，共有553A种方法D.全体排成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边，共有7676A2A−种方法【答案】AB【解析】【分析】利用排列计数原理可判断AB选项；利用捆绑法可判断C选项；利用间接法可判断D选项.【详解】对于

A选项，排成前后两排，女生排前排，男生排后排，共有3434AA种方法，A对；对于B选项，全体排成一排，男生互不相邻，则男女的排列为“男女男女男女男”，共有3434AA种方法，B对；对于C选项，全体排成一排，女生

必须站在一起，即将女生捆绑，形成一个“大元素”，共有5335AA种方法，C错；对于D选项，全体排成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边，如下图所示，以集合A表示甲排在最左边，集合B站在最右边，全集U表示全排，所以，满足条件的排法种数为765765A2AA−+，D错.故选：AB.1

1.已知函数()21exxxfx+−=，则下列结论正确的是（）A.函数()fx既存在极大值又存在极小值B.函数()fx存在3个不同的零点C.函数()fx的最小值是e−D.若),xt+时，()2max5efx=，则t的最大值为2【答案

】ACD【解析】【分析】利用导数研究()fx的单调性判断极值情况，再结合零点存在性定理判断零点个数，进而确定最小值，应用数形结合判断参数t的最值.【详解】由题设，22(1)(2)()eexxxxxxfx−+++−==−，所以(,1)−−上

()0fx，()fx递减；(1,2)−上()0fx，()fx递增；(2,)+上()0fx，()fx递减；故()fx在1x=−上取极小值，2x=上取极大值，A正确；又2(2)e0f−=，(1)e0f−=−，25(2)0ef

=，当x趋于正无穷时()fx无限趋向于0且()0fx，故()fx存在两个不同零点，B错误；由B分析知：()fx在(,1)−−上值域为(,e)−−，在(1,2)−上值域为25(e,)e−，在(2,)+上25(0,)e，故()fx在R上的值域为(,e)−−，即最小值

是e−，C正确；由上分析可得如下函数图象：要使),xt+时()2max5efx=，只需1[,2]tx即可，故t的最大值为2，D正确.故选：ACD12.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，

1，2，3，5，8，13，L，则下列选项不正确的是（）A.在第9条斜线上，各数之和为55B.在第()5nn条斜线上，各数自左往右先增大后减小C.在第n条斜线上，共有()2114nn+−−个数D.在第11条斜线

上，最大的数是37C【答案】A【解析】【分析】根据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，得到数列规律为12nnnaaa+++=判断A选项，再根据杨辉三角得到第n条斜线上的数为：()0

12341123451,,,,,,,,kknnnnnnknkCCCCCCC−−−−−−−−+，进而判断BCD.【详解】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，L，其规律是12nnnaaa+++=，所以第9条斜线上各数之和为13+21=3

4，故A错误；第1条斜线上的数：00C，第2条斜线上的数：11C；第3条斜线上的数：0121,CC，第4条斜线上的数：0132,CC，第5条斜线上的数：012432,,CCC，第6条斜线数：012543,,CC

C，……，依此规律，第n条斜线上的数为：()012341123451,,,,,,,,kknnnnnnknkCCCCCCC−−−−−−−−+，在第11条斜线上的数为0123451098765,,,,,CCCCCC，最大的数是37

C，由上面的规律可知：n为奇数时，第n条斜线上共有12224nn++=个数；n为偶数时，第n条斜线上共有共有224nn=个数，所以第n条斜线上共()2114nn+−−，故C正确；由上述每条斜线的变化规律可知：在第(5)nn…条斜线上，各数自左往右先

增大后减小，故B正确.故选：A.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个质量为3kgm=的物体做直线运动，设位移y（单位：m）与时间t（单位：秒）之间的关系为2()1ytt=+，并且物体的动能212kEmv=．则物体开始运动后第5秒时的动能为_______（单

位：J）【答案】150【解析】【分析】由位移与瞬时速度的关系有()vyt=，将5t=代入求速度，结合动能公式求第5秒时的动能.【详解】由题设，()2vytt==，则第5秒时的速度10m/sv=，的所以213120150JkE==.故答案为：150.14.随着第二十四届冬奥会

在北京和张家口成功举办，冬季运动项目在我国迅速发展．调查发现,AB两市擅长滑雪的人分别占全市人口的6%,5%，这两市的人口数之比为4:6．现从这两市随机选取一个人，则此人恰好擅长滑雪的概率为______

【答案】0.054##27500【解析】【分析】利用乘法公式分别求得A、B市中选到擅长滑雪的人概率，再应用互斥事件的加法公式求从两市随机选取一个人恰好擅长滑雪的概率.【详解】由题设，选取A市的人概率为25，选取B市的人概率为3

5，所以A市中选到擅长滑雪的人概率为233550125=；B市中选到擅长滑雪的人概率为313520100=；综上，从这两市随机选取一个人，恰好擅长滑雪的概率为33270.054125100500+==.故答案为：0.05415.53(1)(1

2)xy++的展开式中，记mnxy项的系数为(,)fmn，则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)ffff+++=______【答案】138【解析】【分析】分别利用二项式定理求出5(1)x+和3(12)y+的展开通项求解即可.【详解】()3,0f表示3x的

系数，即()51x+中含3x的系数和()312y+中的常数项相乘的结果，即30053210CC=，()2,1f表示2xy的系数，即()51x+中含2x的系数和()312y+中的含y的系数相乘的结果，即2115326

0CC=，()1,2f表示2xy的系数，即()51x+中含x的系数和()312y+中的含2y的系数相乘的结果，即12253260CC=，()0,3f表示03xy的系数，即()51x+中含0x的系数和()312y+中的含3y的系数

相乘的结果，即0335328CC=，所以(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)138ffff+++=.故答案：138.16.函数()32()210fxxaxa=−+，若不等式()()1212lnlnfxfxxx−−对任意)12,,xxa+恒成立，则实数

a的取值范围是_______【答案】32,2+【解析】【分析】利用导数可证明函数()fx在),a+上递增，不妨设12xxa，则不等式()()1212lnlnfxfxxx−−恒成立，即不等式()()1122lnl

nfxxfxx−−恒成立，令()()lngxfxx=−，),xa+，则可得函数()gx在),a+上递增，故()0gx在),a+恒成立，从而可得出答案.【详解】解：()2()6223fxxaxxxa=−=−，因为)0,,axa+，所以()2(

)62230fxxaxxxa=−=−，所以函数()fx在),a+上递增，又因函数lnyx=在),a+上递增，不妨设12xxa，当12xx=时，()()1212lnln0fxfxxx−=−=，符合

题意，当12xxa时，不等式()()1212lnlnfxfxxx−−恒成立，即不等式()()1212lnlnfxfxxx−−恒成立，即不等式()()1122lnlnfxxfxx−−恒成立，令()()32ln2ln1gxfxx

xaxx=−=−−+，),xa+，为则12xxa时，()()12gxgx，所以函数()gx在),a+上递增，()2162gxxaxx=−−，则()0gx在),a+恒成立，即2126axx−在),a+恒成立，令()216hxxx=−，),xa+

，则()3260hxx=+，所以函数()hx在),a+上递增，所以()()2min16hxhaaa==−，所以2126aaa−，解得322a，所以实数a的取值范围是32,2+.故答案为：32,2+.四､解答题：本题共6小题，共7

0分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知2naxx+（nN）的展开式中前3项的二项式系数之和等于29．（1）求n的值；（2）若展开式中x的一次项的系数为56，求实数a的值．【答案】（1）7

n=；（2）8a=.【解析】【分析】（1）由题设有01229nnnCCC++=，结合组合数公式整理成关于n的一元二次方程求解即可.（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含x的项，结合其系数列方程求a的值．

【小问1详解】由题设，01229nnnCCC++=，整理得2560nn+−=，解得8n=−（舍）或7n=；【小问2详解】由（1）知：二项式展开式通项为()51472722177kkkkkkkTCaxxaCx−+−−−+=

=，当6k=时为含x的项，故756a=，解得8a=.18.已知函数212e()xfxx−=．（1）求曲线()yfx=在点1(,4)2P处的切线方程；（2）求()fx在闭区间13[,]22上的最大值和最小值．【答案】（1）

88yx=−+；（2）()minefx=，()max4fx=.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求1(,4)2P处切线的斜率，进而写出切线方程即可.（2）根据导数的符号判断()fx的符号，进而确定()fx在闭区间上的单调性，即可求最值.【小

问1详解】由212e()xfxx−=，得2132(1)e()xxfxx−−=，则1()82f=−，又切点为1(,4)2P，所求切线方程为88yx=−+；【小问2详解】令()0fx=得：1x=，又13[,]22x，所以1[,1]2x时()

0fx，()fx单调递减，3[1,]2x时()0fx，()fx单调递增，所以()()min1efxf==，()2max13max,max224e4,49ffxf===.19.从0,2,4,6中任

取3个数字，从1,3,5中任取2个数字．（1）组成无重复数字的五位数，其中能被10整除的有多少个？（2）一共可组成多少个无重复数字的五位数？（3）组成无重复数字的五位数，其中奇数排在奇数位上的共有多少个？【答案】（1）216（2）1224（3）396【解析】【分析】（1）根据能被10整

除确定个位数字为0，然后从2,4,6中任取2个，从1,3,5中任取2个，再将取出四个数字作全排列即可得解；（2）按照五位数中是否含0分两类，可求出结果；（3）按照2个奇数排的位置分三类计数，再相加可求出结果.【小问1详解】因为被10整除的数的个位必为0，所以先从2,4,6中任取2

个，有23C种，从1,3,5中任取2个，有23C种，然后将得到的4个数字在前面四个位置上作全排列，有44A种，所以满足题意的五位数共有224334CC216A=个.【小问2详解】若五位数中含0，则0不能排在首位，有14A种，然后从2,4,6中任取2个，有23C种，从1,3,5中任取2个，有

23C种，然后将得到的4个数字在剩余的四个位置上作全排列，有44A种，此时，共有12244334ACC864A=个；若五位数中不含0，则从2,4,6中任取3个有33C种，从1,3,5中任取2个有23C种，将取出的5个数字作全排，有55A

种，此时共有325335CC360A=个，综上所述：满足题意的五位数共有8643601224+=个.【小问3详解】若2个奇数排在万位和百位上，有2334AA144=个；若2个奇数排在万位和个位上，有2334AA144=个；若2个奇数排在百位和个位上，有212333AA108A=个，

所以满足题意的五位数共有144144108396++=个.20.设函数321()(1)32afxxxax=−+−．（1）若2a，求函数()fx的单调区间；的（2）若函数()fx恰有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）递增区间为(),1−，()1,a−+，递

减区间为()1,1a−；（2）443a.【解析】【分析】（1）利用导数研究()fx的符号，即可得()fx的单调区间.（2）讨论2a、2a=、2a，结合()fx的极值，要使()fx恰有一个零点，有极大值小于0或极小值大于0，即可求参数范围.【小问1详解】由题设，2

()1(1)[(1)]fxxaxaxxa=−+−=−−−，而2a，则11a−，由于(),(),xfxfx的关系为：x(),1−1()1,1a−1a−()1,a−+()fx+极大值−极小值+()fx递增递减递增所以()fx

的递增区间为(),1−，()1,a−+，递减区间为()1,1a−；【小问2详解】当2a时，由（1），极大值34(1)6af−=，极小值2(4)(1)(1)6aafa−−−=，要使()fx有且仅有一个零点，所以34(1)

06af−=或2(4)(1)(1)06aafa−−−=，解得4a，所以24a；当2a=时321()3fxxxx=−+单调递增，显然有且只有一个零点，符合题意；当2a时，()fx递增区间为(),1a−−，()1,+，递减区间为()1,1a−；极大值2(4)

(1)(1)6aafa−−−=，极小值34(1)6af−=，要使()fx有且仅有一个零点，所以2(4)(1)(1)06aafa−−−=或34(1)06af−=，解得43a，所以423a；综上：443a.21.猜歌名游戏是根

据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金1000元，2000元，3000元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结

束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是34，23，12，该嘉宾选择继续闯第二关、第三关的概率分别为31,52.（1）求该嘉宾获得公益基金1000元的概率；（2）求该嘉宾第一关闯关

成功且获得公益基金为零的概率；（3）求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及数学期望．【答案】（1）310；（2）940；（3）分布列见解析，()1200EX=元.【解析】【分析】（1）由嘉宾获得公益基金1000元的事件为第一关成功并放弃第二关，应用独立事件乘法公式求概率即可.

（2）由题设确定基本事件，进而应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率.（3）由嘉宾获得的公益基金总金额X可能值为{0,1000,3000,6000}，并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望.【小问

1详解】由题设，嘉宾获得公益基金1000元的事件为第一关成功并放弃第二关，所以333(1000)(1)4510PX==−=；【小问2详解】记A=“第一关成功且获得公益基金零”，1A=“第一关成功第二关失败”，2A=“前两关成功第三关失为败”，则12,AA互斥，且12A

AA=+.又13313()45320PA==，2332113()4532240PA==，所以339()204040PA=+=；【小问3详解】由题设知：嘉宾获得的公益基金总金额X可能值为{0,1000,3000,6000}，1919(0)4

4040PX==+=，3(1000)10PX==，33213(X3000)453220P===，332113(X6000)4532240P===.随机变量X的分布列为：X01000300

06000P1940310320340所以19333()0100030006000120040102040EX=+++=元.22.已知函数()ln(1)fxxax=++有两个极值点．（1）求实数a

的取值范围；（2）设函数()fx的两个极值点分别为12,xx，且12xx，证明：2()1ln2fx−.【答案】（1）1a−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得210xax++=有2个不同的根，令0tx=，则221=0tat++有2个不同的正根12,t

t，利用根的判别式及韦达定理得到不等式，解得即可；（2）依题意可得22120xax++=，即可得到2212xax+=−，即可得到222221()ln(1)2xfxxxx+=−+，设22(1)ln(1)()(1)2ttgtttt++=−，利用导数说明函数的单调性，即可得到1ln2()gt

−，从而得证；【小问1详解】解：因为()ln(1)fxxax=++定义域为)0,+，所以121()122(1)axaxfxxxxx++=+=++，因为函数()fx的两个极值点，210xax++=有2个不同的根，令0tx=，则221=0tat++有2个不同的正根12,tt，所以2=4

40a−且1220tta+=−，解得1a−；【小问2详解】解：由（1）知，当且仅当1a−时()fx有两个极值12,xx且12xx，因为22120xax++=，所以2212xax+=−，所以2222

2221()ln(1)ln(1)2xfxxaxxxx+=++=−+，又121=xx，120xx，21x，则21x，设22(1)ln(1)()(1)2ttgtttt++=−，则2222222(2ln(1)2)(1)ln(1)(1)ln(1)()

102ttttttttgttt++−++−+=−=.函数()gt在()1,+上单调递减，()11ln2()gtg=−，()221ln2()fxgx=−.