【文档说明】四川省内江市第六中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题（创新班）（学生答案）.docx，共(6)页，636.330 KB，由小赞的店铺上传

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内江六中高二（上）期入学考试题（创新班参考答案）1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】C【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，则2211224,4yxyx==，故22121244yyxx−=−，由于线段AB的中点坐标为(

)3,2，故由抛物线对称性可知AB斜率存在，即12xx，且12224yy+==，故2212124yyxx−=−，即12121241yyxxyy−==−+，所以直线l的斜率为1.故选：C6．【答案】B7．【答案】A【详解】连接AC，

11AC，作1AE⊥平面ABCD，由正四棱台性质可知点E在AC上，因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，所以1142,22ACAC==，易知四边形11ACCA为等腰梯形，所以111()22AEACAC=−=，所以21327AE=−=，因为上

下底面面积分别为：224,4416==，所以四棱台的体积为1287(416416)733++=.故选：A8．【答案】C【详解】如下图所示，双曲线C的右焦点()1,0Fc−，渐近线1l的方程为0bxay−=，由点到直线的距离公式可得()122bcb

cDFbcba===+−，由勾股定理得222211ODOFDFcba=−=−=，在1RtDOF△中，1π2ODF=，11cosODaDOFOFc==，在2DOF中，ODa=，222DFa=，2OFc=，()211coscosπcosaDO

FDOFDOFc=−=−=−，由余弦定理得22222222228cos22ODOFDFacaaDOFODOFacc+−+−===−，化简得，225ca=，即5ca=，因此，双曲线C的离心率为5cea==，故选：C．【点睛】

求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：①直接求出a、c，可计算出离心率；②构造a、c的齐次方程，求出离心率；③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．9．【答案】BD【详解】若l⊥，ml⊥，则//

m或m，故A错误；设m，m=，因为//m，所以//mm，又m，m，所以//m，又因为m，n为异面直线，n，//n，m，则直线n与m必相交，所以//，故B正确；若ml⊥，m=，则l⊥不一定成立，故C错误；若

l=，m=，n=I，，，两两垂直，则l，m，n必相交于同一点P，假设l与m不垂直，则存在直线l，使得lm⊥，lmP=，所以直线l与m可确定平面，且⊥，这说明过内的直线m可作两个平面与垂直，而这是不可能的，所以假设不成

立，即lm⊥，同理可证ln⊥，mn⊥，即l，m，n两两垂直，故D正确.故选：BD10．【答案】ABD11．【答案】BCD【详解】A：若AB与AC共线，存在R使ABAC=，则2120=−==

无解，故不共线，错误；B：与AB同向的单位向量是21255(,,0)(,,0)55||55ABAB==，正确；C：由555cos,11||||511ABBCABBCABBC−===−，则BC在AB方向上的投影向量是()()2,1,055cos,112,1,0115ABBCABBCAB=

−=−−，正确；D：若(,,)mxyz=是面ABC的一个法向量，则2020mABxymACxyz=+==−++=，令=2y−，则(1,2,5)m=−，正确.故选：BCD12．【答案】BCD【详解】

对A，由题意，圆O的半径为3，且点O到直线AB的距离为2，所以()()222322AB=−=，故A错误；对B，由直线AB的方程10kxyk−+−=，可得直线AB过定点()1,1，则圆心到直线AB距离的最大值为圆心到点()1,1的距离，即最大值为()()2210102−+−=，故

B正确；对C，1212xxyy+为OAOB的值，因为圆O的半径为3，可得3OAOB==，又1cos1AOB−，所以1212cos3OAxxyyOBOAOBAOB==+−，所以1212xx

yy+的最小值为3−，故C正确；对D，()1212,OAOBxxyy+=++，则()()2221212OAOBxxyy+=+++，因为π2AOB=，所以0OAOB=，所以2222336OAOBOAOAOBOB+=++=+=，所以()()221212xxy

y+++的值为6，故D正确.故选：BCD三、填空题（满分20分，每小题5分）13．【答案】230xy+=或1xy+=14．【答案】3,14【详解】直线:240lkxyk−−+=，得()240kxy−−+=，可知直线l过定点()2,4P，如图，曲线24yx=−表示以O为

圆心，2为半径的上半圆．当直线l与半圆相切时，22421kk−+=+，解得34k=．曲线24yx=−与x轴负半轴交于点()2,0,1PAAk−=．因为直线l与曲线24yx=−有两个交点，所以3k14．故答案为：3,14

.15．【答案】6【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，由24ykxkyx=−=得2222(24)0kxkxk−++=，所以12242xxk+=+，所以12241148ABAFBFxxk=+=+++=+=，解得1k=，所以直线:1lyx=−或1yx=−+，

圆心(2,0)到直线1yx=−的距离2212211d−==+，（圆心(2,0)到直线1yx=−+的距离2212211d−+==+）由圆的弦长公式：222lrd=−，可得2222()62MN=−=.故答案为：616．【答案】50π【详解】因为3AB=，4AC=，ABAC⊥，所以5BC=，

在直三棱柱111ABCABC-中，115==BBAA，易得四边形11BBCC为正方形，又ABAC⊥，因此平面11BBCC的中心即为直三棱柱111ABCABC-的外接球O的球心，取BC中点D，连结OD，易知OD⊥BC，且11522==ODAA，所以球O的半径等于2

2252552442ROBODBD==+=+=，因此球的表面积为24π50πSR==.故答案为：50π.四、解答题（满分70分）17．（本小题满分10分）【答案】(1)证明见解析；(2)43【详解】（1）在正方体1111ABCDABCD−中，11BCBC∥且11BCBC=

，1111ADBC∥且1111,ADBC=所以11ADBC∥且11ADBC=，则11BCDA.为平行四边形，所以11BACD∥，又1BA平面11,MCDCD平面1MCD，所以1AB平面1MCD............................................

........................................................5分（2）记点D到平面1MCD的距离为1,hMCD的面积为S，则由题意可知113,22,5MCCDMD===.在1MCD中，由余弦定理得15891cos

222510MDC+−==，则13sin10MDC=，所以132253210S==，则1133DMCDVhh−==，又11114222323DMCDCMDDVV−−===，所以43h=，即点D到平面1MCD的距离为43.......

................................................................................................................10分18．（本小题满分12分）【答案】

(1)22(1)(2)16xy−++=；(2)3x=−和724450xy−+=.【详解】（1）∵(1,2)A，(5,2)B−，故AB的中点坐标为()3,0，22151ABk−−==−−，∴AB的垂直平分线为：()10331yxyx−=−−=−−，...

..............................................................................3分由320yxxy=−+=解得圆心(1,2)C−，半径4rCACB===故圆C的方程为22(1)

(2)16xy−++=；.............................................................................................................

6分（2）若直线l的斜率存在，方程可设为()13ykx−=+，即310kxyk−++=圆心(1,2)C−到直线l的距离为223141kkdrk+++===+，解得724k=，所求的一条切线为724450xy−+=；......................

...........................................................................................9分当直线l的斜率不存在时，圆心(1,2)C−到3x=−的距离为4，即3x=−与圆相切..............

........................11分所以直线l的方程为3x=−和724450xy−+=．................................................

.............................................12分19．（本小题满分12分）【答案】(1)证明见解析；(2)217【详解】（1）在ABD△中，2AD=，3AB=，30BAD=，则234322312BD=+−

=，所以1BD=，则222BDABAD+=，所以ABBD⊥，......................................................................................2分又平面PAB

⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAB，.............................................................................

..............................................................4分又BD平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAB；.................................................

............................................6分（2）作PQAB⊥于点Q，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，PQ平面PAB，所以PQ⊥平面ABCD，则PAB即为AP与平面ABCD所成角的平面角，所以60

PAB=，又PAPB=，所以PAB为等边三角形，故32PQ=，如图，以点B为原点建立空间直角坐标系，则()()()()3330,3,0,0,0,0,1,3,0,1,0,0,0,,,0,,0222AB

CDPQ−，则133,,244E−，.....................8分则()15331,3,0,,,244ADAE=−=−，因为PQ⊥平面ABCD，所以30,0,2QP=即为平面

ABD的一条法向量，.............................................................................................9分设

平面ADE的法向量为(),,nxyz=，则3015330244nADxynAExyz=−==−+=，令1y=，则3,3xz==，所以()31,3n=,，.....................................................

...................................................................10分则33212cos,3772QPnQPnQPn===，即锐二面角BADE−−的余弦值217.........................

....................12分20．（本小题满分12分）【答案】(1)24yx=；(2)63【详解】（1）设直线l为3xty=+，代入2:2Eypx=整理得2260yptyp−−=，设1122(,),(,)AxyBxy，所以122yypt+=，126yyp=−，所以2

2121222()(6)944yypxxpp−===，由3OAOB=−即12123xxyy+=−，得963p−=−，∴2p=，∴所求抛物线E的方程为24yx=...............................................

.....................................................5分（2）由（1）得12124,12yytyy+==−..............................

................................................................................7分22221(4)48413ABtttt=++=++，点O到

直线l的距离为231dt=+，.........................................9分则2222113136363221AOBSABdtttt==++=++，当0=t时，等号成立，..............................11分故当0=t时，三

角形AOB面积有最小值63................................................................................................

..12分21．（本小题满分12分）【答案】(1)3yx=；(2)证明见解析.【详解】（1）设双曲线的半焦距为c，由题设，1a=，2cea==，2223bca=−=双曲线的方程为2213yx−=，故渐近线方程为3yx=

．...........................................................................4分（2）当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为()2,3和()2,3

−，所以，当11k=时有23k=−；当11k=−时有23k=，此时1213kk=−，..............................................................6分当l的斜

率k存在时，设()11,Pxy，()22,Qxy，l为(2)ykx=−，将直线l代入双曲线方程得()222234430−−++=kxkxk，所以212243kxxk+=−，2122433kxxk+=−，.......................................

................8分()()1212121212322331111kxkxyykkxxxx−−+=+=++−+−()()()()()()()1212123211211−−++−=+−kxxxxxx()()()()(

)12121212123222211−−++−+−=+−kxxxxxxxxxx()()()()12121245411−++=+−kxxxxxx因为()()()22212122443204345403+−+−−++==−kkkxxxxk，所以123

0kk+=，即1213kk=−，综上，12kk为定值，得证．..............................................................................................................

....................12分22．（本小题满分12分）【答案】(1)2214xy+=；(2)是，过定点()0,3.【详解】（1）由题意可知，12MFF△面积的最大时M位于椭圆上或下顶点，即()12max12332MFFScb

bc===，...........................................................2分又因为2232cceabc===+，联立解方程，可得1,3bc==，所以2a=，故椭圆标准方程为2214xy+=.......

.......................................................................4分（2）如图所示，由题意可设()()()()()11221,2:,,,,0,,0,,0CDlxkymSxyTxyxCxDx=+，所以111122221:

111:11SNCNTDyxlyxxxyyxlyxxxy+=−=++=−=+，即()()()22121212122222011xxkyykmyymyy=−+−++−=++①，.........................

..6分将直线l方程与椭圆方程联立化简()2122222221222144240444kmyyxykkykmymmxkymyyk+=−+=++++−=−=+=+，.................8分代入①，得2

2230mkmkmk+−==或3mk=−，.......................................................................................10分当mk=时，()1xky=+，直线l

过N点，不符合题意；当3mk=−时，()3xky=−，直线l过点()0,3，符合题意.故直线l过定点()0,3.................................................

.........................................................................................12分