【文档说明】内蒙古通辽实验中学2020-2021学年高二第一学期自主检测数学（理）试卷 含答案.doc，共(10)页，594.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021-1学期自主检测试题理科试题（普班）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数311ii++等于()A.1B.1−C.iD.i−2.若p是q的充分不必要条件，则p是q的（）A.允分不必要条件B.必要不允分条

件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.定积分dxexx−10)2(的值为（）A.e−2B.e−C.eD.e+24.等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“S2nSn∈Z”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不

必要条件5.已知直线l交椭圆22142xy+=于,AB两点，且线段AB的中点为()1,1−−，则l的斜率为（）A.2−B.12−C.2D.126.已知()fx在R上连续可导，()fx为其导函数，且()(0)xxfxefe−=+，则()1f=（）

A.2eB.12ee+C.3D.1037.已知a＝(－2,1,3)，b＝(3，－4,2)，c＝(7，λ，5)，若a，b，c共面，则实数λ等于()A.12113B．－12113C.12313D．－123138.已知O为坐标原点，F为抛物线C：242yx=的焦点，P为C上一

点，若42PF=，则OPFP=（）A.6B.12C.36D.429.若曲线212yxe=与曲线lnyax=在它们的公共点(,)Pst处具有公共切线，则实数a=（）A.-2B.12C.1D.210.已知函数()2fxxlnx=−，则函数()yfx=的大

致图象是（）A．B．C．D．11.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为()A．23B.2C.223D.25512.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，

则实数a的取值范围是()A.(－∞，0)B.C.(0,1)D.(0，＋∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数33)(3+−=xxxf的极大值点为14.命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣m≥0“为真命题，则实数m的最大值为15.侧面为等腰

直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为________．16.设F是双曲线C：22xa－22yb＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．三、解答

题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知a∈R，复数z＝(a2+3a-4)－(a2－4a＋3)i（1）a为何值时，z为纯虚数？（2）a为何值时，复数z对应点位于第四象限？18.(12分)已知椭圆22

2:1(0)9xyMbb+=的一个焦点为()2,0，设椭圆N的焦点为椭圆M短轴的顶点，且椭圆N过点2,32.（1）求N的方程；（2）若直线2yx=−与椭圆N交于,AB两点，求AB.19.（12分）已知函数3211()(2)(1)(0).32fxxaxaxa=+−+−

（I）求()fx的单调区间；（II）若()fx在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。20.（12分）如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2.(1)证明：

DE⊥平面PCD；(2)求二面角A－PD－C的余弦值．21.（12分）已知()2,2E是抛物线2:2Cypx=上一点，经过点()2,0的直线l与抛物线C交于A、B两点（不同于点E），直线EA、EB分别交直线2x=−于点M、N.（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求

证：以MN为直径的圆恰好经过原点.22.（12分）已知()ln1xfxexxax=−+−(e为目然对数的底数).(1)设函数()()fxgxx=，求函数()gx的最小值；(2)若函数()fx在)1,+上为增函数，求实数a的取值范围.2020-2021学年高二（上）数学试卷（普通

班）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数311ii++等于()A.1B.1−C.iD.i−【答案】C2.若p是q的充分不必要条件，则p是q的（）A.允分不必要条件B.必要不允分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B3

.定积分dxexx−10)2(的值为（）答案AA.e−2B.e−C.eD.e+24.等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“S2nSn∈Z”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分

也不必要条件答案A5.已知直线l交椭圆22142xy+=于,AB两点，且线段AB的中点为()1,1−−，则l的斜率为（）A.2−B.12−C.2D.12答案B6.已知()fx在R上连续可导，()fx为其导函数，且()(0)xxfxefe−=+，则()1f=（）A.2

eB.12ee+C.3D.103【答案】B【详解】由题意，()(0)−=−xxfxefe，所以00(0)(0)1(0)=−=−fefef，因此1(0)2=f，所以1()2−=+xxfxee，故()112=+fee.故选：B7.已知a＝(－2,

1,3)，b＝(3，－4,2)，c＝(7，λ，5)，若a，b，c共面，则实数λ等于()A.12113B．－12113C.12313D．－12313答案D8.已知O为坐标原点，F为抛物线C：242yx=的焦点，P为C上一点，若42PF=，则OPFP=（）A.6B.12C.36D.42【答案

】C根据抛物线的性质求出P点的横坐标，代入抛物线方程得出抛物线的纵坐标，从而解出向量的数量积.【详解】抛物线的焦点为(2,0)F，准线方程为2x=−.∵||242PPFx=+=，∴32Px=.不妨设P在第一象限，则2423224Py==，∴26py=.∴(32,2

6)(22,26)122436OPFP==+=故选：C.9.若曲线212yxe=与曲线lnyax=在它们的公共点(,)Pst处具有公共切线，则实数a=（）A.-2B.12C.1D.2【答案】C试题分析：根据题意

可知：1,ayxyex==，两曲线在点(),Pst处由公共的切线，所以1ases=即：sae=，代入2ln2sase=解得：1a=，所以答案为C．10.已知函数()2fxxlnx=−，则函数()yfx=的大致图象是（A）A．B．C．D．11.在棱长为2的正方体ABC

D－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为()A．23B.2C.223D.255答案D12.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范

围是()A.(－∞，0)B.C.(0,1)D.(0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，

函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相

切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数33)(3+−=xxxf的极大值点为-114.命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣m≥0“为真命题，则实数m的最大值为1−1

5.侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为________．答案3316.设F是双曲线C：22xa－22yb＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_

_______．【答案】5三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知a∈R，复数z＝(a2+3a-4)－(a2－4a＋3)i（1）a为何值时，z为纯虚数？-4（2）a为何值时，复数z对应点位于第四象限？()1,318

.(12分)已知椭圆222:1(0)9xyMbb+=的一个焦点为()2,0，设椭圆N的焦点为椭圆M短轴的顶点，且椭圆N过点2,32.（1）求N的方程；（2）若直线2yx=−与椭圆N交于,AB两点，求A

B.解：（1）由椭圆222:1(0)9xyMbb+=的一个焦点为()2,0，得2954b=−=.设椭圆N的方程为22221(0)xynmmn+=，则2225nmb−==，①又221321mn+=，②由①②解得221,6mn==，所以椭圆N的方程为2216yx+=.（2）由222{16

yxyx=−+=，消去y整理得27420xx−−=，设()()1122,,,AxyBxy，则121212,77xxxx+==−，所以()22212124812142777ABkxxxx=++−=+=。19.（12分）已知函数3211()(2)(1)(0).32fxxaxaxa=

+−+−（I）求()fx的单调区间；（II）若()fx在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。【解析】（I）2()(2)1(1)(1).fxxaxaxxa=+−+−=++−20,()(1)0,afxx==+当时恒成立当且仅当1x=−时取“=”号，()(,)fx−+在单调递增。1

2120,()0,1,1,,afxxxaxx==−=−当时由得且当x变化时，()fx、()fx的变化如下表：x(,1)−−—1(1,1)a−−1a−(1,)a−+()fx+0—0+()fx极大值极小值()(,1),(1,1),(1,).

fxaa−−−−−+在单调递增在单调递减在单调递增（II）当0,()[0,1],()(0)1afxfxf==时在上单调递增恒成立。0,a当时由（I）可知01,()[0,1],afx若时则在上单调递增若1,()[0,1]afxa−则在上单调递减，()[

0,1]fx在上不单增，不符合题意；综上，a的取值范围是[0，1]20.（12分）如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A－

PD－C的余弦值．【解析】(1)证明：由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，得PC⊥DE.由CE＝2，CD＝DE＝2得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD.(2)由(1)

知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝π4，如图，过点D作DF⊥CE于点F，易知DF＝FC＝FE＝1，又已知EB＝1，故FB＝2.由∠ACB＝π2，得DF∥AC，所以DFAC＝FBBC＝23，故AC＝32DF＝32.以C为坐标原点，分别以CA→

，CB→，CP→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则P(0,0,3)，A32，0，0，E(0,2,0)，D(1,1,0)，ED→＝(1，－1,0)，DP→＝(－1，－1,3)，DA→＝12，－1，0.设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1

)，由n1·DP→＝0，n1·DA→＝0，得－x1－y1＋3z1＝0，12x1－y1＝0，故可取n1＝(2,1,1)．由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为ED→，即n2＝(1，－1,0)．所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝36，故所求

二面角A－PD－C的余弦值为36.21.（12分）已知()2,2E是抛物线2:2Cypx=上一点，经过点()2,0的直线l与抛物线C交于A、B两点（不同于点E），直线EA、EB分别交直线2x=−于点M、N.（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以MN为直径的圆恰

好经过原点.【答案】（1）抛物线方程为22yx=，焦点坐标为1,02；（2）证明见解析.（1）将()2,2E代入22ypx=，得1p=，因此，抛物线方程为22yx=，焦点坐标为1,02；（2）设211,2yAy，222,2yBy

，()2,Mm−、()2,Nn−.因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率，设直线l方程为()20xtyt=+，与抛物线方程联立得到222xtyyx=+=，消去x，得2240yty−−=，则由韦达定理得122yyt+=，124yy=−.211

2,22yEAy=−−，()4,2EMm=−−，//EAEM，()()21122422ymy−−=−−，即()()()()111222422myyy−−+=−−，显然，12y，()()1228my

−+=−，()111228222ymyy−=−=++，则点()11222,2yMy−−+，同理可求得点N的坐标为()22222,2yy−−+，所以，()()()()()()121212121212424422442224yyyyyyOMONyyyyyy−++−−

=+=++++++()442440424tt−−+=+=−++，OMON⊥，因此，以MN为直径的圆过原点.22.（12分）已知()ln1xfxexxax=−+−(e为目然对数的底数).(1)设函数()()fxg

xx=，求函数()gx的最小值；(2)若函数()fx在)1,+上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1)min()1gxea=−+；(2))1,e−+.（1）()()1xfxegxlnxax

xx==−+−，函数g（x）的定义域为（0，+∞），()()()211'xxegxx−−=，令g′（x）＞0，解得x＞1，故函数g（x）在（1，+∞）单调递增，令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，故函数g（x）在（0，1）单调递减，∴g（x）min＝g（1）＝e﹣1+a；（2）由题意

，f′（x）＝ex﹣lnx+a﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥lnx﹣ex+1在[1，+∞）上恒成立，令h（x）＝lnx﹣ex+1（x≥1），则()1'xhxex=−，显然h′（x）为[1，+∞）的减函数，∴h′（x）≤h′（1）＝1﹣e＜0，∴函

数h（x）在[1，+∞）上单调递减，∴h（x）max＝h（1）＝1﹣e，则a≥1﹣e，即实数a的取值范围为[1﹣e，+∞）．