【文档说明】广东省华南师范大学附属中学2024届高三下学期三模试题 数学 Word版含答案.docx，共(11)页，620.960 KB，由小赞的店铺上传

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华南师范大学附属中学2024届高三综合测试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若()2iiz+=，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.

第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知R，则“cos0”是“角为第一或第四象限角”的（）A.既不充分又不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件3.一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.

若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（）A.25B.30C.35D.404.等边ABC△的边长为3，若2ADDC=，BFFD=，则AF=（）A.132B.152C.172D.1925.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/

L）与时间t（单位：h）之间的关系为：0ektMM−=（其中0M，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg20.3010=）A.3hB

.4hC.5hD.6h6.将一副三角板拼接成平面四边形ABCD（如图），1BC=，将BCD△其沿BD折起，使得面ABD⊥面BCD，若三棱锥ABCD−的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A.2πB.7

π3C.8π3D.3π7.函数()2cos0πyxx=和函数3tanyx=的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB△的面积为（）A.2π3B.3π3C.2π2D.3π28.为样本空间，随机事件A、B满足()()12PAPB==，()1PA

B=，则有（）A.AB=B.()1PAB=C.AB=D.()1PAB=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分

，有选错的得0分.9.设a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论不．正确的是（）A.若ab∥，b∥，则a∥B.若ab∥，a∥，b∥，则a∥C.若ab⊥，a⊥，b∥，则⊥D.若a⊥，b∥，则ab⊥10.已知函数exyx=+的零点为1x，lnyxx

=+的零点为2x，则（）A.120xx+B.120xxC.12eln0xx+=D.12121xxxx−+11.已知定圆M：()22116xy−+=，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线三、

填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第n个图中阴影部分的面积为______.13.已知322nxx+的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______.14.设实数x、

y、z、t满足不等式1100xyzt，则xzyt+的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()()213sincossin02fxxxx=−+.（Ⅰ）若2=，求π6f

的值；（Ⅱ）若()fx在区间ππ,62上单调递减，π012f−=，求的值.16.（15分）如图，边长为4的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，2AGGD=，直线AB

与平面EFG相交于点H.（1）证明：BDGH∥；（2）求直线BD与平面EFG的距离.17.（15分）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为()01pp.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验

，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为()0aa元.（1）①写出X的分布列；②证明：()1EXp；（2）某公司有意向投资该产品.若0.25p=，且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理由.18.（17分）已知函数()esinxf

xaxx−=+−.（1）若()fx在()0,2π单调递减，求实数a的取值范围；（2）证明：对任意整数a，()fx至多有1个零点.19.（17分）已知抛物线：()220xpyp=，过点()0,4的直线l交C于P，Q两点，

当PQ与x轴平行时，OPQ△的面积为16，其中O为坐标原点.（1）求的方程；（2）已知点()11,Axy，()22,Bxy，()33,Cxy（123xxx）为抛物线上任意三点，记ABC△面积为1S，分别在点A、B、C处作抛物线的切线1l、2l、3l，1l与2l的交点为D，1l与3

l的交点为E，2l与3l的交点为F，记DEF△面积为2S，是否存在实数，使得12SS=？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.华南师范大学附属中学2024届高三综合测试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.1.A2.C3.B4.D5.A6.C7.D8.B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ABC10.BC11.A

BC三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.1334n−13.8014.15四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.解：因为()213sincossin

2fxxxx=−+31cos21sin2222xx−=−+……2分（每用对一个公式给1分）31sin2cos222xx=+……3分πsin26x=+……4分（Ⅰ）当2=时，

()πsin46fxx=+，……5分所以π5π1sin662f==；……6分（Ⅱ）若()fx在区间ππ,62上单调递减，则1πππ2263T−=，……8分所以1ππ23，……9分因为

0，所以302，……10分因为π012f−=，所以πππ66k−+=，kZ，……11分所以61k=−+，kZ，……12分故1=.经检验，1=满足题意……13分16.（1）证明：因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EF

BD∥，……1分又EF平面EFGH，……2分BD平面EFGH，……3分所以BD∥平面EFGH，……4分因为BD平面ABD，平面ABD平面EFGHGH=，……5分所以BDGH∥.……6分（2）解：由（1）知，BD∥平面EFGH，知点B到平面EFG的距离即为直线B

D与平面EFG的距离，……7分连接EA，ED，因为ABC△与BCD△均为正三角形，且E是BC的中点，所以EABC⊥，EDBC⊥，……8分又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC平面BCDBC=，EABC⊥，EA平面ABC，所以EA⊥平面BCD，……9分因为ED平面BCD，所以EAED⊥，

故以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0B，()1,3,0F−，43230,,33G，……10分所以()2,0,0EB=，()1,3,0EF=−，43230,,33EG=

，……11分设平面EFG的法向量为(),,nxyz=，则304323033nEFxynEGyz=−+==+=，……12分令1y=，则3x=，2z=−，所以()3,1,2n=−，……13分所以点B到平面EFG的

距离为236222nEBn==，……14分故直线BD与平面EFG的距离为62.……15分17.解：（1）①由题意可得，1,2,3,,10X=，故()()11kPXkpp−==−，1,2,,9k=，()()9101PXp==−，故X的分布列如下：

X12345Pp()1pp−()21pp−()31pp−()41pp−X678910P()51pp−()61pp−()71pp−()81pp−()91pp−……6分（第一问共6分，分布列表格1分，即求解了所

有概率，但是没有画表格，则扣1分，分布列表格内有错误这一分也扣掉；写对随机变量可能的取值给1分；写错10X=概率扣1分，其余的概率值每写对两个给1分）②证明：()()()()()()012891213191101EXppppppppp=−+−+−++−+−，……7分记()()()(

)01281213191Spppp=−+−+−++−，……8分()()()()()123911213191pSpppp−=−+−+−++−，……9分两式作差可得，()()()()()01289111191pSppppp=−+−+−++−−−()()991191ppp−−=−−，……1

0分故()()9101EXpSp=+−()()()()91099111191101pppppp−−−−=−−+−=……12分()()()()1010911111101ppEXpSppppp−−−=+−==−，即得证

.……13分（2）当0.25p=时，由（1）可知，()14EXp=，……14分故试验成本的期望小于4a，又获利5a大于成本的期望，则应该投资.……15分18.【解答】解法一：（1）()ecos1xfxax−=−+−……1分【当0a时，()0fx显然成立，……无持续求解，只写这个

结论给1分，到这一步共2分】()fx在()0,2π单调递减对()0,2πx，恒有()0fx()0,2πx，恒有()ecos1xax−，……2分令()()()ecos10,2πxgxxx=−，……3分则()()πecos1sine2sin1

4xxgxxxx=−−=−−+，……4分令()0gx=，解得3π2x=（或0x=，或2πx=）……5分则当3π0,2x时，()0gx，()gx单调递减；当3π,2π2x时，()0gx，()gx单

调递增，……6分又()()02π0gg==，所以当()0,2πx时，()max0gx=，所以0a……7分（2）令()sinxxx=−，则()cos10xx=−，所以()x单调递减，……8分又因为()00=，所以当0x时，()sin0xxx=−；当0

x时，()sin0xxx=−，……9分令()()esinxFxaxx=+−，则()Fx与()fx零点一致……10分当0x时，()()()()esincos10xFxxxx=−+−，所以()Fx在()0,+单调递

减，()()0FxFa=，……11分当0x时，有()()esine1xxaaxxax+−+−，……12分令()()()e10xGxaxx=+−，因为()e0xGxx=−，()Gx在(),0−递增，……13分所以()()()00e101GxGaa=+−=+，……14分故()1aF

xa+，……15分综上，当0a时，当0x时，()Fx有唯一的零点，当0x时，()Fx恒大于0，()Fx不存在零点；当1a−时，()10Fxa+，()Fx不存在零点；……16分即对任意整数a，()Fx至多有1个零点，所以()fx至多有1个零点……17分解法二：（1

）同解法一（2）当0a时，()()ecos10xfxax−=−+−恒成立，()fx在R上单调递减，所以()fx至多有1个零点……8分令()sinxxx=−，则()cos10xx=−，所以()x单调递减，又因为()00=，当0x时，()sin0xxx=−；当0x时，

()sin0xxx=−，……9分当1a−时，()esinesinxxfxaxxxx−−=+−−+−……10分令()esinxhxxx−=−+−，当0x时，()esinsin0xhxxxxx−=−+−−……11分当0x时，()ecos1xhxx−=+−，()e

sin1sin0xhxxx−=−−−−……12分所以()hx在(),0−单调递减，此时()()01hxh=，……13分所以()hx在(),0−单调递增，……14分所以()()01hxh=−；……15分所以

，当1a−时，()10hx−，所以()()0fxhx，故此时()fx无零点；……16分综上所述，对任意的整数a，函数()fx至多1个零点……17分19.解：（1）当PQ与x轴平行时，4PQyy==，因为P，Q

两点均在抛物线C上，所以22pQxxp==，即42PQp=，……1分因为OPQ△的面积为16，所以1424162p=，……2分解得2p=，……3分则的方程为24xy=；……4分（2）直线AC的斜率为：1313ACyykxx−=−，则ACl：()131113

yyyyxxxx−−=−−，……5分直线2xx=与ACl的交点为T，则点T为()()13212113,yyxxxyxx−−+−，……6分所以()()132112131312ABCyyxxSyyxxxx−−=+−−−△……7分()()()()13211213

12yyxxyyxx=−−+−−……（∗）()()()32121313212yyxyyxyyx=−+−+−……（∗∗）……8分所以：222222321321112312444xxxxxxSxxx−−−=++()()()22232113221318xxxxxxxxx=−+−+−……9分点A处

切线方程：12yx=，令1xx=，则1l的斜率1112kx=，……10分则有：()2111142xyxxx−=−，即1l：21124xxyx=−，……11分同理：2l：22224xxyx=−，3l：22224xxyx=−，……12分1l

与2l相交得：2112222424xxyxxxyx=−=−，得：1212,24xxxxD+；……13分同理可得：1313,24xxxxE+，2323,24xxxxF+；……14

分将点1212,24xxxxD+，1313,24xxxxE+，2323,24xxxxF+代入（∗∗）得231313232331121212212442442442xxxxxxxxxxxxxxxxxx

S+++=−+−+−……15分()()()()()()21123232131331212424242xxxxxxxxxxxxxxx−+−+−+=++()()()222222321132213116xxxxxxxxx=−+−+−……16分所以12

2SS=，所以存在2=，使得122SS=……17分注：（1）若直接用已知三点求三角形面积公式：()()()32121313212ABCSyyxyyxyyx=−+−+−△……8分点处，则5~8的步骤分没有，用这个公式代入计算，有适当的化简过程

，依照后面的步骤给分；（2）若直接用已知三点求三角形面积公式的行列式形式：11213311121ABCxySxyxy=△的绝对值.则不给推导公式的步骤分，若有展示将行列式展开，并代入相关点计算，则按照后续步骤给分；（2）若直接用已知三点求三角形面积公式，强行得到两个三角形面积关系，不管是否得到正

确结果，均不给分.