【文档说明】河南省平顶山市第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(21)页，1.521 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2019~2020学年下学期高二质量检测（四）高二理科数学第Ⅰ卷一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1.已知复数(tan3)1izi−−=，则“3=”是“z是纯虚数”的（）A.充要条件B.

必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】考查“(tan3)1izi−−=是纯虚数”与“3=”能否互相推出【详解】解：3=时，(tan3)1izii−−==是纯虚数，即3=z是纯虚数(tan3)1(tan3)1tan3iiiziii

i−−−−===−+是纯虚数时，,3kkZ=+，不一定有3=，故选：C【点睛】考查成分条件必要条件的判断，基础题.2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、

丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙

寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D.丁未年【答案】C【解析】-

2-【分析】按照题中规则依次从2019年列举到2026年，可得出答案．【详解】根据规则，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2

026年是丙午年，故选C．【点睛】本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题．3.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量(单位：kg)服从正态分布()210,0.1N，现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉

质量在区间()10,10.2内的袋数，则X的数学期望约为（）注：若()2~,ZN，则()0.6826PZ−+=，(22)0.9544PZ−+=.A.171B.239C.341D.477【答案】B【解析】【分析】先根据正态分布求得质量在(10,10

.2)kg的袋数的概率，再根据袋数服从二项分布可得【详解】解：(22)0.9544,10PZ−+=„0.1=(9.810.2)0.9544PX0.9544(1010.2)0.47722PX==则面粉质量在(10,10.2)kg内的袋数服从二项分布，即~(

500,0.4772)XB，则()5000.4772239EX=故选：B【点睛】本题考查正态分布的应用以及求二项分布的期望，基础题.4.若不等式14xxm−++的解集非空，则实数m的取值范围是（）A.

5,3−−B.3,5−C.5,3−D.3,5【答案】C-3-【解析】【分析】根据绝对值三角不等式求得|1|||xxm−++的最小值为|1|m+，根据题意可得|1|4m+即可.【详解】解：不等式14xxm−++的解集

非空，因为|1||||1|xxmm−+++…|1|4414mm+−+剟?，53m−剟故选：C【点睛】考查不等式能成立求参数的范围，基础题.5.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72B.120C.1

44D.168【答案】B【解析】分两类，一类是歌舞类用两个隔开共3333(2)AA种，第二类是歌舞类用三个隔开共31223222()ACAA种，所以N=3333(2)AA+31223222()ACAA=120.种．选B.6.由曲线yx=,直线2yx=−及y轴所围成的平面图形

的面积为()A.6B.4C.103D.163【答案】D【解析】【分析】先求可积区间，再根据定积分求面积.【详解】由yx=,2yx=−得交点为(4,2)，所以所求面积为322440016(2)(2)3232xxxxdxx−+=−+=，选D.-4

-【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.7.等比数列na中，12a=，84a=，函数128()()()()fxxxaxaxa=−−−，则(0)f=A.62B.92C.122D.152【答案

】C【解析】【分析】将函数看做x与()()()128xaxaxa−−−的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x=可求得()1280faaa=；根据等比数列性质可求得结果.【详解】()()()()128fxxaxxaxa−−=−()()()()()()12

8128xaxaxaxaxaxaxx=+−−−−−−()()()()()()128128xxaxaxaxaxaxa−−−−−=+−()1280faaa=

又18273645aaaaaaaa===()()441218082faa===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构

造出数列各项之间的关系.8.已知函数2()sin2cosfxxxxx=+，(2,2)x−，则其导函数'()fx的图象大致是（）A.B.C.D.-5-【答案】C【解析】试题分析：()()222sincos2cos2sin2cosfxxxxxxxxxx=++−=+，

()fx为偶函数，当()0fx=且()2,2x−时，2x=或32x=，所以选择C．考点：1.导数运算；2.函数图象．9.已知51(1)(2)axxx+−的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A.

80−B.40−C.40D.80【答案】D【解析】【分析】51(1)(2)axxx+−中，给x赋值1求出各项系数和,列出方程求出a，展开式中常数项为512xx−的常数项与x的系数和，利用二项展开式的通项

公式求出通项,进而可得结果【详解】令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1a+，12a+=1a\=551111212axxxxxx+−=+−5511122xxxxx=−+−

，展开式中常数项为512xx−的常数项与x的系数和512xx−展开式的通项为55215(1)2rrrrrTCx−−+=−，令521r−=得2r=;令520r−=，无整数解，

展开式中常数项为25880C=，故选D.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题.二项展开式定理-6-的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二

项展开式的通项公式1CrnrrrnTab−+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10.甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也

不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是（）A.若甲与戊相邻，则丁与己正面相对B.甲与丁相邻C.戊与己相邻D.若丙与戊不相邻，则丙与己相邻【答案】D【解析】【分析】先安排甲和乙，再安排丙和丁，此时排除B、C，余下依次讨论A和D即可.【详解】解：由题意可知，甲、乙位置的示意图如图（1

），因此丙和丁的座位只可能是1和2，3和4，4和3，2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4，4和3，如图（2）和（3），由此可排除B、C.对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D

项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确.故选：D【点睛】考查逻辑推理能力，基础题.11.若关于x的不等式0xxeaxa−+的解集为(,)mn（0n），且(,)mn中只有一个整数

，则实数a的取值范围是（）A.221(,)3eeB.221[,)3eeC.221(,)32eeD.-7-221[,)32ee【答案】D【解析】试题分析：0xxeaxa−+可化为()1xxeax−，令()()(),1xfxxegxax==−

，显然0a，函数()()1gxax=−过定点()1,0C，令()()10,0xfxxex==+=，所以在(),1−，()fx单调递减，在()1,+?，()fx单调递增，()fx在1x=处取得极小值，画图象下图所示，由图可知，当直线()()1gxax=−介于,ACBC之

间时，符合题意()1xxeax−的解集为()(),0mnn，且(),mn中只有一个整数解.2121,,2,ABee−−−−，所以212,23ACBCkkee==，所以221,

32aee.考点：导数.【思路点晴】本题主要考查化归与转化的数学思想方法，考查函数导数与单调性、极值和最值的关系，考查函数数形结合的数学思想方法.先将圆不等式转化为两个函数()()(),1xfxxegxax==−，()gx图象是直线，过定点，利用导数求出()fx的单调区

间和极值，画出图象，旋转直线，结合题目要求“一个整数点”，就可以求得a的取值范围.12.定义在R上的函数()fx的导函数为'()fx，若()0fx，且()'()2112fxfx+，则（）-8-A.()()22213ffeB.()

()21ffeC.()()2212ffeD.()()231fef【答案】C【解析】【分析】由()'()2112fxfx+得()2'()0fxfx+，构造函数：2()()xgxefx=，求导判单调性得(2)(

1)gg，进而得22(2)(1)eff则可求【详解】因为()'()0211122fxfx+=，所以()2'()0fxfx+.构造函数：2()()xgxefx=，所以2'()()2()'()xxgxefxefxfx=+()[()2'()]0xefxfxfx=

+.所以函数()gx在R上单调递增，所以(2)(1)gg，即222(2)(1)efef，即()()2212ffe故选C【点睛】本题考查导数与函数的单调性，考查构造函数的思想，考查逻辑推理能力，是中档题二、

填空题13.抛掷一个骰子，若掷出5点或6点就说试验成功，则在3次试验中恰有2次成功的概率为______.【答案】29【解析】【分析】先求出每次试验成功的概率为2163=，在根据n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式即可.-9-【详解】解：每次试验

成功的概率为2163=，3次试验中成功2次的概率为：2231121339C−=故答案为：29【点睛】考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式的应用，基础题.14.观察下列等式11=2349++=3456725++++=4567891049+

+++++=照此规律，第n个等式为__________．【答案】()221n−【解析】【分析】根据式子的开始项和中间一项及右边结果的特点得出.【详解】根据题意，由于观察下列等式11=2349++=3456725++++=4567891049++++++=照此规律，等式左边的第一个数就是第几行的行数

，且相加的连续自然数的个数是中间数字，右边是最中间数字的平方，故第n个等式为()()()()2123221nnnnn++++++−=−.【点睛】本题考查了归纳推理，属于中档题．15.随机变量的取值为0，1，2，若(015)P==，()1E=，则(21)D+=

______.【答案】85【解析】-10-【分析】由(015)P==，()1E=求出(135)P==和(215)P==，再根据公式求(21)E+，最后求(21)D+【详解】解：设(1),(2)PpPq==

==，所以45101215pqpq+=++=3515pq==()()()131(21)201211221555191355E+=+++++=++=()()()222131(21)2013211

32213555448555D+=+−++−++−=+=故答案为：85【点睛】考查离散型随机变量的期望和方差的求法，基础题.16.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入

乙罐，分别以12,AA和3A表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．①()25PB=；②()15|11PBA=；③事件B与事件1A相互独立；④123,,AA

A是两两互斥的事件；⑤()PB的值不能确定，因为它与123,,AAA中哪一个发生有关【答案】②④-11-【解析】【分析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出123,,AAA事件发生的条件

下B事件发生的概率，即可判断②；然后由()()()123()PBPABPABPAB=++，判断①和⑤；再比较11()()()PABPAPB，的大小即可判断③.【详解】由题意可知事件123,,AAA不可能同时发生，则

123,,AAA是两两互斥的事件，则④正确；由题意得()()()123544|,|,|111111PBAPBAPBA===，故②正确；()()()()()()()()()123133122()|||PBPABPABPABPAPBAPAPBAPAPBA=++=++552434

910111011101122=++=,①⑤错；因为11559()()()104492222PABPAPB===，，所以事件B与事件A1不独立，③错；综上选②④故答案为：②④【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算

条件概率以及事件的独立性，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在直角坐标系xOy中，直线1;2Cx=−，圆()()222:121Cxy−+−=,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C，2C的极坐标方程；（2）若直线3C的极坐

标方程为()4R=，设23,CC的交点为,MN，求2CMN的面积．【答案】(1)cos2=−,22cos4sin40−−+=；(2)12．【解析】试题分析：（1）将cos,sinxy

==代入12,CC的直角坐标方程，化简得cos2=−，22cos4sin40−−+=；（2）将4=代入22cos4sin40−−+=，得-12-23240−+=得1222,2==，所

以2MN=，进而求得面积为12.试题解析：（1）因为cos,sinxy==，所以1C的极坐标方程为cos2=−，2C的极坐标方程为22cos4sin40−−+=（2）将4=代入22cos4sin40−−+=得23240−+=得1222,2

==，所以2MN=因为2C的半径为1，则2CMN的面积为1121sin4522=考点：坐标系与参数方程.18.有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音

乐获得50分，没有出现音乐则扣除150分（即获得-150分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.（Ⅰ）玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是多少？（Ⅱ）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（Ⅲ）许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而

减少了.请运用概率统计的相关知识分析其中的道理.【答案】（1）78（2）见解析（3）见解析【解析】分析：（Ⅰ）设A表示事件“玩一盘游戏，至少出现一次音乐”，则()317128PA=−=；（Ⅱ

）X的可能取值为150,10,20,50−，利用组合知识，根据独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列；（Ⅲ）结合（Ⅱ），利用期望公式可得X的数学期，可得每盘所得分数的期望为负值，故玩的盘数越多，所得分数反而可能减少.详解：（Ⅰ）设

A表示事件“玩一盘游戏，至少出现一次音乐”，则()317128PA=−=.-13-（Ⅱ）X的可能值为-150，10，20，50，则()31115028PX=−==，()313131028PXC===，()323132028PXC===，(

)3115028PX===，所以，X的分布列为：X-150102050P18383818（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，()()131501088EX=−+3152050884++=，即每盘所得分数的期望为负值，故玩的盘数越多，所得分数反而可能减少.

点睛：求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分

布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.19.某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2014年1月—2014年12月（一年）内空气质量指数API进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API[0，50]

（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]>300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数413183091115-14-（1）若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数API（记为）的关系为：0,0100{4

400,1003001500,300tPttt=−，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成22列联表，并判断是否有95%

的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季节合计100下面临界值表供参考．2()PKk0．150．100．050．0250．0100．0050．001k2．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828参考公式

：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．【答案】（1）P（A）=；（2）95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．-15-【解析】试题分析：（1）由题意知只可能是第二段函数在此范围类，从而得到t

的范围，进而通过频数统计表得到所对应的天数，利用古典概型概率公式得其概率；（2）列联表的完成只要找到各个数据所对应的含义不难完成，然后利用独立性检验相关系数看相关性大小．试题解析：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失200600]P（，元”为事件A，由2004400600t−＜，得

150250t＜，频数为39，∴39()100PA=．（2）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计85151002K的观测值2100(638227)4.57

53.84185153070k−=＞，所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关．考点：1、分段函数；2、频率分布表；3、古典概型；4、独立性检验．【步骤点睛】判断两个分类变量关系的可靠性的一般步骤为：①根据数据列出相关表格；②根据公式计算出2K的值；③比较观测值k与2K分

布表中相应的检测水平，根据小概率原理肯定或者否定假设，判断X，Y是否相关．20.“既要金山银山，又要绿水青山”．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花圆中设-16-计一条观光线路．打算在半圆弧上任选一点C（与,AB不重合），沿AC修一条直线段小路，在路的两

侧（注意是两侧）种植绿化带；再沿弧BC修一条弧形小路，在小路的一侧（注意是一侧）种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计．（1）设BAC=（弧度），将绿化带的总长度表示为的函数()f；（2）求绿化带的总长度()f的最大值．【答案】（1）()20

0cos100f=+，其中(0,)2；（2）5010033+米【解析】【分析】(1)先设圆心为O，连结,OCBC，根据题意表示出AC与弧BC，即可得出()f；(2)根据(1)的结果，对函数()f求导，利用导数方法研究()f的单调性，进而可求出结果.【详解】（1）设

圆心为O，连结,OCBC．在直角ABC中，cos100cosACAB==，弧BC的长502100==；所以()200cos100f=+，其中0,2．（2）()'200sin100f=−+，0,2，令()'0f=，可得

1sin2=，所以6=．-17-当0,6时，()'0f，()f单调递增；当,62时，()'0f，()f单调递减；所以()max35020010010036263ff==+=+．所以绿

化带的总长度()f的最大值为5010033+米．【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法求函数的单调性以及最值即可，属于常考题型.21.设圆222150xyx++−=的圆心为A，直线l过点()10B,且与x轴不重合，直线l交圆A于C，D两点

，过点B作AC的平行线交AD于点E.（1）证明EAEB+为定值，并写出点E的轨迹方程；（2）设点E的轨迹为曲线1C，直线l交1C于M，N两点，过点B且与直线l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（1）证明见解

析，221(0)43xyy+=（2）)12,83【解析】【分析】（1）由||||ADAC=，//EBAC，故EBDACDADC==，所以||||EBED=，得到||||=||||||EAEBEAEDAD++=，化简得||||4EAEB+=，利用椭圆的定义，即可求解；（2）

设l的方程为(1)(0)ykxk=−，联立方程组22(1)143ykxxy=−+=，利用根与系数的关系，结合弦长公式和三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）因为||||ADAC=，//EBAC，故EBDACDADC==，所以||||EBED=，故||||=|

|||||EAEBEAEDAD++=，又圆A的标准方程为22(1)16xy++=，-18-从而||4AD=，所以||||4EAEB+=，由题设得(1,0)A−，(1,0)B，||2AB=，由椭圆定义可得点E的轨迹方程

为221(0)43xyy+=.（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为(1)(0)ykxk=−，()11,Mxy，()22,Nxy，由22(1)143ykxxy=−+=得()22224384120kxkxk+−+−=，则2122843kxxk+=+，212241243kxxk

−=+，所以()22122121||143kMNkxxk+=+−=+，过点()10B,且与l垂直的直线1:(1)myxk=−−，A到m的距离为221k+，所以22222243||24411kPQkk+=−=++，故四边形MPNQ的面积211||121243SMNP

Qk==++‖，可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为)12,83，当l与x轴垂直时，其方程为1x=，3MN=，四边形MPNQ的面积为12，综上，四边形MPNQ面积的取值范围为)12,83.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的

综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．22.已知函数()()xfxxexR−=（Ⅰ）求函数()

fx的单调区间和极值；-19-（Ⅱ）已知函数()ygx=的图象与函数()yfx=的图象关于直线1x=对称，证明当1x时，()()fxgx（Ⅲ）如果12xx，且12()()fxfx=，证明122xx+【答案】（Ⅰ）f(x)在(,1−

)内是增函数，在(1,+)内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】【详解】（Ⅰ）解：f’()(1)xxxe−=−令f’(x)=0,解得x=1当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表X(,1−)1(1,+)f’

(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在(,1−)内是增函数，在(1,+)内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2xe−令F(x)=f(x)-g(x),即2()(

2)xxFxxexe−−=+−于是22'()(1)(1)xxFxxee−−=−−当x>1时，2x-2>0,从而2x-2e10,0,Fxe−−又所以’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数．-20

-又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).（Ⅲ）证明：（1）若121212(1)(1)0,)),1.xxxxxx−−====12由（）及f(xf(x则与矛盾。（2）若121212(1)(1)0,)

),.xxxxxx−−==12由（）及f(xf(x得与矛盾。根据（1）（2）得1212(1)(1)0,1,1.xxxx−−不妨设由（Ⅱ）可知，2()fx>2()gx,则2()gx=)2f(2-x，所以2()fx>)2f(2-x,从而1()fx>)2f(2-x.因为

21x，所以221x−，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以1x>22x−,即12xx+>2.-21-