【文档说明】（新教材）2021-2022学年高二上学期第一次月考备考A卷 数学 含解析.docx，共(21)页，893.393 KB，由小赞的店铺上传

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（新教材）2021-2022学年上学期高二第一次月考备考金卷数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选

择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知空间向量()3,2,5=−a，()1,,1x=−b，且a与b垂直，则x等于（）A．4B．1C．3D．2【答案】A【解析】由于a与b垂直，所以32504xx−+−==，故选A．2．设点()4,2,

1A−，()0,0,0O，()1,1,2M−，若OMAB=，则点B的坐标为（）A．()1,3,3−−B．()1,3,3−C．()5,1,1D．()5,1,1−−−【答案】C【解析】设点B的坐标为(,,)xyz，则(1,1,2)OM=

−，(4,2,1)ABxyz=−−+，∵OMAB=，∴412112xyz−=−=−+=，解得511xyz===，故选C．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号3．如图，在长方体1111ABCDAB

CD−中，下列各式运算结果为1AC的有（）①()1ABBCCC++；②()1ABBCDD++；③()1ABADCC++；④()1ABADDD++；⑤()111ABAAAD++；⑥()1ABADAA++．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【解析】①()

111ABBCCCACCCAC++=+=；②()111ABBCDDACCCAC++=+=；③()()111ABADCCABBCCCAC++=++=；④()()111ABADDDABBCCCAC++=++=；⑤()()1111111ABAAADABBBBC

AC++=++=；⑥()111ABADAAACCCAC++=+=，所以①②③④⑤⑥都正确，故选D．4．如图，ABCDEFGH−是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足34APAB=+1223ADAE+，则P到AB的距离为（）A．34B．45C．56D．35【答案】C【解析】如图，以A为坐标原点

，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0AB=，()0,1,0AD=，()0,0,1AE=，因为312423APABADAE=++，所以312,,423AP=，34APABAB=，222312181423144AP=++

=，所以点P到AB的距离2218195144166APABdAPAB==−=−，故选C．5．如图，在直三棱柱111ABCABC−中，90ACB=，12CACCCB==，则直线1BC与1AB直线夹角的余弦值为（）A．55B．55−C．255−D．3

5【答案】A【解析】以C为原点，CA，CB，1CC分别为x，y，z轴建系，如图所示：设122CACCCB===，则()2,0,0A，()0,1,0B，()10,1,2B，()10,0,2C，所以()12,1,2AB

=−，()10,1,2BC=−，设直线1BC与1AB直线夹角为，则111135cos541414ABBCABBC===+++，故选A．6．已知平面内两向量()1,1,1=a，()0,2,1=−

b，若c为平面的法向量且()4,4,1mn=++−cab，则m，n的值分别为（）A．1−，2B．1，2−C．1，2D．1−，2−【答案】A【解析】因为()1,1,1=a，()0,2,1=−b，所以()()()()4,4,1,,0,2,4,4,1mnmmmnn=++−=+−+−cab()4,2

4,1mmnmn=++−−+，因为c为平面的法向量，所以()()4241022410mmnmnmnmn=+++−+−+==+−−−+=cacb，即310590mnmn++=+−=，解得12mn=−=，所以m，n的

值分别为1−，2，故选A．7．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的定比为2，现用基向量OA，OB，OC表示向量OG，设OGxOAyOBzOC=++，则x，y，z的值分别为（）A．13x=，1

3y=，13z=B．13x=，13y=，16z=C．13x=，16y=，13z=D．16x=，13y=，13z=【答案】D【解析】M，N分别是对边OA，BC的中点，12OMOA=，()12ONOBOC=+，点G在线段MN上

，且分MN所成的定比为2，23MGMN=，()2233OGOMOMOMGMNONOMM+==++−=1116331211123222OAOOAOBOCOABOC=++−=++，即16x=，13y=，13z=，故选D．8．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥

平面ABCD，Q为AP的中点，3AB=，4BC=，2PA=，则点P到平面BQD的距离为（）A．513B．1213C．135D．1312【答案】B【解析】如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(3,0,0)B，(0,4,0)D，(0

,0,2)P，(0,0,1)Q，(3,0,1)QB=−，(3,4,0)BD=−，(0,0,1)QP=．设平面BQD的法向量为(,,)xyz=n，则00BDQB==nn，即34030xyxz−+=−=，令4x=，则3y=，12z=，∴(4,3,12

)=n，∴点P到平面BQD的距离||12||13QPd==nn，故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体1111ABCDABCD−中，设AB=a，AD=b，

1AA=c，,,abc构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A．a，+ab，cB．a，+ab，−abC．c，+ab，−abD．c，++abc，+ab【答案】AC【解析】根据向量的线性运算法则，根据正方体性质，结合图象，分析可得：对于A：ABADAC+=+=ab，由图象可得1

ABACAA、、三个向量不共面，所以a，+ab，c不共面，故A正确；对于B：ABADDB−=−=ab，由图象可得ABACDB、、三个向量共面，所以a，+ab，−ab共面，故B错误；对于C：由图象可得1AAACDB、、三个向量不共面，所

以c，+ab，−ab不共面，故C正确；对于D：11ABADAAAC++=++=abc，由图象可得11AAACAC、、共面，所以c，++abc，+ab共面，故D错误，故选AC．10．直线l的方向向量为a，两个平面，的

法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是（）A．若⊥an，则直线//l平面B．若∥an，则直线l⊥平面C．若1cos,2=an，则直线l与平面所成角的大小为π6D．若3cos,2=mn，则平面，所成角的大小为π6【答案】BC【解析】对于A：若⊥an，则直线//l平面或在平面内，

故选项A不正确；对于B：若∥an，则a也是平面的一个法向量，所以直线l⊥平面，故选项B正确；对于C：直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若1cos,2=an，则直线l与平面所成角的大小为π6，故选项C正确；对于

D：两个平面所成角与他们法向量所成的角相等或互补，若3cos,2=mn，则平面，所成角的大小为π6或5π6，故选项D不正确，故选BC．11．以下命题正确的是（）A．若p是平面的一个法向量，直线b上有不同的两点A，B，则//b的充要

条件是0AB=pB．已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若212555OPOAOBOC=++，则P，A，B，C四点共面C．已知()1,1,2=−a，()0,2,3=b，若25416−=−与2−ab垂直，则34k=

−D．已知ABC△的顶点坐标分别为()1,1,2A−，()4,1,4B，()3,2,2C−，则AC边上的高BD的长为13【答案】BCD【解析】对于A，若直线b，则0AB=p成立，故//b不是0AB=p的必要条件，故A错误；对于B，若212555OPO

AOBOC=++，则()()()212555OPOAOBOPOCOP−=−+−，所以12APPBPC=+，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；对于C，由题意可得(),2,23kkkk+=−++ab，()22,0,1−=

−ab，若25416−=−与2−ab垂直，则()()22230kkk+−=++=abab，解得34k=−，故C正确；对于D，由题意()5,0,2AB=，()4,3,0AC−=，则25429AB+

==，9c9os20429252ACABAACAB===，所以29sin1co3s12AA==−，所以AC边上的高n13291329siBDABA===，故D正确，故选BCD．12．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E、F、G分别为BC、1CC、1BB的中

点，则（）A．1DDAF⊥B．1//AG平面AEFC．()11110ACABAA−=D．向量1AB与向量1AD的夹角是60【答案】BC【解析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCDAB

CD−的棱长为2，则()2,0,0A、()2,2,0B、()0,2,0C、()0,0,0D、()1,2,0E、()0,2,1F、()2,2,1G、()12,0,2A、()12,2,2B、()10,2,2C、()10,0,2D．对于A选项，()10,0,2DD=，()2,2,1AF=−，则1

20DDAF=，故A选项错误；对于B选项，设平面AEF的法向量为(),,xyz=m，()1,2,0AE=−，()1,0,1EF=−，由200AExyEFxz=−+==−+=mm，可得2xyzx

==，取2x=，可得()2,1,2=m，()10,2,1AG=−，1220AG=−=m，1AG⊥m，1AG平面AEF，1//AG平面AEF，故B选项正确；对于C选项，()10,2,2AB=，()12,2,2

AC=−−，()111111440ABCABAACAA=−=−=，故C选项正确；对于D选项，()10,2,2AB=−，()12,0,2AD=−，11111141cos,22222ABADABADABAD−===−，所以，向量1AB与向量1AD的夹角是120，故D选项错误，

故选BC．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知空间直角坐标系中，点()1,1,2A−，()3,0,4B−，若6=c，//ABc，则=c________．【答案】()4,2,4−−或()4,2,4−【解析】∵()1,1,2A−，()3,0,4B−，∴()2,1,2AB=−−，∵

//ABc，∴存在，使得()()2,,2AB==−−Rc，∴()()()2222236=−+−+==c，解得2=，∴()4,2,4=−−c或()4,2,4−，故答案为()4,2,

4−−或()4,2,4−．14．在△ABC中，()1,2,1A−−，()0,3,1B−，()2,2,1C−．若向量n与平面ABC垂直，且21=n，则n的坐标为___________．【答案】()2,4,1−或2,41(,)−−【解析】据题意，得1,1,2()AB=−−，(1),0,2AC=．设,,

()xyz=n，∵n与平面ABC垂直，00ABAC==nn，即2020xyzxz−−+=+=，可得24yxyz=−=，21=n，22221xyz++=，解得4y=或4y=−．当4y=时，2x=−，1z=；当4y=−时，2x=，1z=−

，∴n的坐标为()2,4,1−或2,41(,)−−，故答案为()2,4,1−或2,41(,)−−．15．已知空间向量,,abc满足++=0abc，3,1,4===abc，则++abbcca的值为________．【答案】13−【解析】因为++=

0abc，所以()20++=abc，则()22220+++++=abcabbcca，因此222314132++++=−=−abbcca，故答案为13−．16．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，Q是棱1BB的中点，点P在侧面11BCCB（包含边界）．（1）若点P与点Q

重合，则点P到平面11ACCA的距离是________；（2）若1APDQ⊥，则线段CP长度的取值范围是________．【答案】2，25,25【解析】在正方体1111ABCDABCD−中，11//BBCC，1BB面11ACC

A，1CC面11ACCA，所以1//BB面11ACCA，连接11BD交11AC于点E，所以1111BDAC⊥，又1CC⊥面1111DCBA，1BE面1111DCBA，所以11CCEB⊥，因为1111CCACC

=，所以1BE⊥面11ACCA，因为正方体的棱长为2，所以12BE=，即点1B到平面11ACCA的距离为2，若点P与点Q重合，则点P到平面11ACCA的距离即为点1B到平面11ACCA的距离为2；如图建立空间直角坐标系，则()0,2,0C，()12,0,2A，()0,0,0D，()2,2,

1Q，设(),2,Pxz，则()12,2,2APxz=−−，()2,2,1DQ=，(),0,CPxz=，因为1APDQ⊥，所以10APDQ=，所以()22420xz−++−=，即22zx=−，所以()222224422555C

Pxzxxx=+=+−=−+，因为020222xzx=−，解得01x，所以2525CP，即25,25CP，故答案为2；25,25．四、解答题

：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知()1,4,2=−a，()2,2,4=−b．（1）若12=cb，求cos,ac的值；（2）若()()3k+−∥abab，求实数k的值；（3）若()()3k+⊥−abab，求实数

k的值．【答案】（1）1442−；（2）13−；（3）7427．【解析】（1）由已知可得()1212,1,−==cb，()1,4,2=−a，()()114122114cos,====421164114216−++−−−++++acacac．（2）(2

,42,24)kkkk+=−+−+ab，3(7,2,14)−=−−ab，()()3k+−∥abab，存在实数m使得(3)km+=−abab，27km−=，422km+=−，2414km−+=−，联立解得13k=−．（3）()()3k+⊥−ab

ab，()()30k+=−abab，即7(2)2(42)14(24)0kkk−−+−−+=，解得7427k=．18．（12分）如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，点D到平面ABC的距离为2，ABC△是正三角形，5BDCD==，2AEAB==．（1）证明：BCDE⊥；（

2）求直线CE与平面BED所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）105．【解析】（1）证明：如图，取BC的中点O，连接AO，DO．5BDCD==，DOBC⊥，且222DOCDOC=−=，DO就是点D到平面ABC的距离，即DO⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，//

AEOD，又AEDO=，四边形AODE是平行四边形，//EDAO，ABC△是正三角形，AOBC⊥，BCDE⊥．（2）解：由（1）得AO⊥平面BCD，以OB为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则()1,0,0B，()1,0,0C−，()0,3,2E，()0,

0,2D，设平面BED的法向量为(),,xyz=n，()1,0,2BD=−，()1,3,2BE=−，()1,3,2CE=，则由00BDBE==nn，得20320xzxyz−+=−−+=，令2x=，得

()2,0,1=n，设直线CE与平面BED所成角为，则410sincos,5225CECECE====nnn，故直线CE与平面BED所成角的正弦值105．19．（12分）如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是菱形，120BCD=，PA⊥底

面ABCD，2PAAD==，E是AD的中点，F为PD上一点，且PB∥平面CEF．（1）求PF；（2）求平面PAB与平面CEF所成角的正弦值．【答案】（1）423PF=；（2）105．【解析】（1）连接BD交CE于M，连接MF，因为PB∥平面CEF，PB

平面PBD，平面PBD平面CEFMF=，所以PBMF∥．由BCMDEM△△，得12DMDEMBBC==，又DFDMFPMB=，所以12DFFP=，即23PFPD=，因为PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAD⊥

，从而2222PDPAAD=+=，故423PF=．（2）以A为原点，AD，AP所在的直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则(0,0,0)A，(3,1,0)B−，(0,0,2)P，(3,1,0)C，(0,1,0)E，420,,33F，(3,

1,0)AB=−，(0,0,2)AP=，(3,0,0)CE=−，123,,33CF=−，设平面PAB的一个法向量为()111,,xyz=m，由00ABAP==mm，即1113020xyz−==，取11x=，则(1,

3,0)=m；设平面CEF的一个法向量为()222,,xyz=n，由00CECF==nn，即222230123033xxyz−=−++=，取22y=−，则(0,2,1)=−n，所以2315cos,||||525−===−m

nmnmn，所以10sin,5=mn，故平面PAB与平面CEF所成角的正弦值为105．20．（12分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，ABCD∥，60DAB=，AECF∥，AECF=，CF⊥平面ABCD，1DCBCADC

F====．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）若M为线段EF上一点，且FMEF=，是否存在实数，使平面MAB与平面ABC所成锐二面角为3？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，13=．【解析】（1）因为AECF∥，AE

CF=，所以四边形ACFE为平行四边形，所以ACEF∥．在等腰梯形ABCD中，60DAB=，1DCBCCFAD====，所以2ABBC=，所以ACBC⊥．又CF⊥平面ABCD，所以ACCF⊥，BCCFC=，BC，CF平面BCF，所以AC⊥平面B

CF．因为//ACEF，所以EF⊥平面BCF．（2）依题意，以C为坐标原点，分别以直线,,CACBCF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以(0,0,0)C，()3,0,0A，()0,1,0B，设(3,0,1)M，所以(3,1,0)AB=−，(3,1,1)BM

=−，设()1,,xyz=n为平面MAB的法向量，由1100ABBM==nn，得3030xyxyz−+=−+=，取1x=，所以1(1,3,33)=−n，因为()20,0,1=n是平面ABC

的一个法向量，设平面MAB与平面ABC所成的锐二面角为，所以()12212331cos21333−===++−nnnn．因为01，所以13=，所以33FM=，所以存在13FMEF==使平面MAB与平面ABC所成锐二面角为3．21．（12分）如图，在四棱锥

PABCD−中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，4PAAD==，2AB=，M是PD中点．（1）求直线AD与平面ACM的夹角余弦值；（2）求平面ACD和平面ACM的夹角的余弦值；（3）求点P到平面ACM的距离．

【答案】（1）306；（2）66；（3）263．【解析】因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，所以,,ABADAP两两垂直，所以分别以,,ABADAP所在的直线为,,xyz轴建立如图所示空间直角坐标系，（1

）()0,0,0A，(0,4,0)D，(2,4,0)C，()0,0,4P，()0,2,2M，所以(0,4,0)AD=，(2,4,0)AC=，(0,2,2)AM=，设平面ACM的法向量为(),,xyz=m，由00ACAM==mm，可得240220xyyz+=

+=，取1y=，则1z=−，2x=−，所以()2,1,1=−−m，记直线AD和平面ACM的夹角为，则46sincos,646ADADAD====mmm，所以230cos1sin6=−=．（2）由图可知

，平面ACD即xoy平面，所以平面xoy的法向量为(0,0,1)=n，记面ACD和面ACM的夹角为，则616cos,61−===−mnmnmn，由图可知面ACD和面ACM夹角为锐角，所以6cos

6=．（3）()0,0,4P，()0,0,4AP=，平面ACM的法向量为()2,1,1=−−m，设点P到平面ACM的距离为d，则26||436APd===−mm，所以点P到平面ACM的距离为263．22．（12

分）已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．（1）若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；（2）是否存在点

M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角M－EC－F的余弦值；若不存在，说明理由．【答案】（1）点O在EA的延长线上，且2AO=，证明见解析；（2）存在，1cos4=−或14．【解析】（1）证明：因为直线MF平面

ABFE，故点O在平面ABFE内也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上(如图所示)．因为AO∥BF，M为AB的中点，所以△OAM≌△FBM，所以OM=MF，AO=BF，所以点O在EA的延

长线上，且AO=2．连接DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点．连接MN，所以MN为△DOF的中位线，所以MN∥OD，又因为MN平面EMC，所以直线OD∥平面EMC．（2）存在．由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，所以EF⊥平面

ADE，所以平面ABFE⊥平面ADE．取AE的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()1,0,0E−，()0,0,3D，()0,4,3C，()1,4,0F−，所以()1,0,3ED=，()1,4

,3EC=，设()1,,0Mt(0≤t≤4)，则()2,,0EMt=，设平面EMC的法向量(),,xyz=m，则00EMEC==mm，所以20430xtyxyz+=++=，取2y=−，则xt=，83tz−=，所以8,2,3tt−=−m．因为DE与平面

EMC所成的角为60°，所以()228328243tt=−++，所以2430tt−+=，解得1t=或3t=，所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°．取ED的中点Q，则QA为平面CEF的法向量．因为点Q的坐标为13,0,22−，所以33,0,22QA=−

，8,2,3tt−=−m，设二面角MBCF−−的大小为，所以222242cos4198343QAttQAtttt−−===−+−++mm，因为当t=2时，cos0=，此时平面EMC⊥平面CDEF，所以当t=1时，为钝角

，所以1cos4=−；当t=3时，为锐角，所以1cos4=．