【文档说明】广东省汕头市金山中学2020-2021学年高二下学期期中考试 数学答案.pdf，共(5)页，363.872 KB，由小赞的店铺上传

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高二期中考试数学试题参考答案第1页（共5页）高二期中考试数学科试题参考答案BBABADBDACACDBCDBC13．(1,1)14．2−15．[4,4]−16．129617.解:若选①：因为πsinsin3aCcA=+，在ABC中，由正弦定理得πsinsinsinsin3AC

CA=+，……2分∵0πC，∴sin0C，∴π13sinsinsincos322AAAA=+=+，即13sincos22AA=，∴tan3A=，∵0πA，∴π3A=，……6分∵ABC外接圆面积为4π3，∴半径233r=，由2sinarA=得

2332232a==，……9分又sin2sinBC=，∴2bc=，由余弦定理2222cosabcbcA=+−得222442ccc+−=，解得243c=，即233c=，433b=，……12分∴114

323323sin223323ABCSbcA===△．……14分若选②：由正弦定理得3sinsincossinsin3BACCA=+，()3sinsincossinsin3ACACCA+=+，3sincoscossinsincossinsin3AC

ACACCA+=+，……4分化简得：3cossinsinsin3ACCA=，∵0πC，∴sin0C，∴tan3A=，∵0πA，∴π3A=．……6分其余步骤同①．若选③：由正弦定理得：sincossincos2sincosABBACA+=，所以()sin2sincosABC

A+=，所以sin2sincosCCA=，……4分高二期中考试数学试题参考答案第2页（共5页）∵0πC，∴sin0C，∴1cos2A=，∵0πA，∴π3A=．……6分其余步骤同①．18.解:（1）∵当*nN时

，1(1)(21)(1)2nnnnanannanan+−+−+−+==−−，……2分又∵112a−=，∴数列{}nan−是首项为2，公比为2的等比数列，∴11(1)22nnnana−−=−=，∴2nnan=+(*nN)；……5分（2）∵122nnnnnnnbbanbnnb+=+−=++

−=+，∴12nnnbb+−=，……6分当1n=时12b=，……7分当2n时112nnnbb−−−=，∴111121121()()22222221nnnnnnbbbbbb−−−−=−++−+=+++=+

=−，当1n=时符合，∴2nnb=，……10分∴111211(1)(1)(21)(21)2121nnnnnnnnnancbb+++−===−++++++，……12分∴121nnnTcccc−=++++2231111111111()()()()21212121212121

21nnnn−+=−+−++−+−++++++++111321n+=−+．又11021n++，∴13nT．……14分19.（1）证明：过点E作⊥EOAD交AD于点O，连接OB，OC，BD∵平面ADE⊥平面ABCD平面ADE

平面ABCDAD=EO平面ADE∴EO⊥平面ABCD……2分又ADE是正三角形，2AD=所以3EO=∵CF⊥平面ABCD，3CF=∴//CFOE，CFOE=∴四边形OCFE为平行四边形∴//OCEF……5分又∵OC平面ABCD，EF平面ABCD∴//EF平面ABCD……6分（2）解：∵四

边形ABCD是菱形，2AB=，π3BAD=，OBAD⊥故以O为坐标原点，分别以OA，OB，OE的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．高二期中考试数学试题参考答案第3页（共5页）∴()1,0,0A，()0,3,0B，()2,3,0

C−，()1,0,0D−，()0,0,3E，()2,3,3F−．…7分∴()1,0,3AE=−，()2,3,0EF=−，()1,3,0DB=设平面AEF的一个法向量为(),,nxyz=由00nAEnEF==得30230xzxy−+=−+=

，令3x=，得21yz==∴()3,2,1n=……9分∵CF⊥平面ABCD∴CFBD⊥在菱形ABCD中，BDAC⊥又CFACC=∴BD⊥平面ACF∴DB是平面ACF的一个法向量……11分设二面角EAFC−−的大小为则32336coscos,8222DBn

nDBDBn+====……13分∴210sin1cos8=−=，即二面角EAFC−−的正弦值为108……14分20．（1）由已知得1NFNM=，∴122124NFNFMNNFFF+=+=………

2分∴点N的轨迹是以12,FF为焦点，长轴长等于4的椭圆,………3分设椭圆方程为22221(0)xyabab+=∴2,2,ac==22b=………4分∴点N的轨迹方程是22142xy+=………5分（2）

设直线()10ABykxk=+的方程为，由2224{1xyykx+==+，消去y整理得()2212420kxkx++−=，………6分∵直线AB与椭圆交于两点，∴()28140k=+．设()11,Axy，()22,Bxy，则()22,Bxy−，∴12122242

,1212kxxxxkk−−+==++，………8分由题意得1212AByykxx−=+，………9分∴直线()121112yyAByyxxxx−−=−+的方程为，高二期中考试数学试题参考答案第4页（共5页）令0x=，则得()()122112211212121211212xkxxkxxyxykxx

yxxxxxx++++===+=+++，∴直线AB过定点()0,2Q，………11分∴PAB的面积12221212PQBPQAkSSSxxk=−=+=+22122kk=+，当且仅当22k=

时等号成立．∴PAB面积的最大值是22．………14分21.解：（1）()22131()ln222fxxaxxaxx=−+−，∴()()1(ln)2fxxax=−−，当1a=时，()()11(ln)2fxxx=−−，………1分由()0fx

得01x或xe，由()0fx得1xe，………3分∴函数()fx增区间为(,)e+和(0)1，，减区间为(1)e，；……4分（2）①由（1）得当04ea时，当0xa或xe时，()0fx，当axe时()0fx，函数(

)fx增区间为(,)e+和(0)a，，减区间为()ae，；……5分又()22ln0,()()024aefaaafeea=−+=−，()0,2aefe=∴当()xae，时，函数()fx有且仅有一个零点，当()

xee，时，函数()fx有且仅有一个零点，即当(,)xe+时，函数()fx有且仅有一个零点，……7分()22131()ln[(2)ln3]2222xfxxaxxaxxxaxax=−+−=−+−令()()g2ln3xxax

ax=−+−，∴()()2xfxgx=高二期中考试数学试题参考答案第5页（共5页）当0xa时，()()()g2ln32ln3(2ln)0xxaxaxaaxaaax=−+−−+−=−∴当0xa时，()0fx，即当(0,)xa时，函数()fx无

零点，……9分综上，函数()fx有两个零点1x，2x②由①得1(0,)xe，2(,)xee，令lntx=，则()()g23()ttxeataeht=−+−=∴11221211ln(0,),ln(,1),()(

)0,22txtxhtht====……10分∵()2thttea=−，∴当112t时111()()2202224ehtheae=−−=，即()ht在1(,1)2上单调递增；……11分令1

()()(1),(0)2sththtt=−−，则1()()+(1)(1)4ttsththttetea−=−=+−−∵21(1)(2)[()](1)(2)ttttteetsttetee−++−=++−=当12t时，231(1)(2)202

2tteeteee++−+−=，∴[()]0st∴()st在1(0,)2上单调递减，∴111()()4402224estseeae=+−−=∴()st在1(0)2，上单调递增，∴1()()02sts=；∵11(0,)2t，∴111()0()(1)0st

htht−−，∴11()(1)htht−∵12()()htht=，∴21()(1)htht−……13分∵2111(,1)1(,1)22tt−，，()ht在1(,1)2上单调递增；∴211tt−∴121tt+∴12ln

ln1xx+∴12xxe………14分