【文档说明】四川省兴文第二中学校2023-2024学年高三上学期10月月考数学（文）试题 含解析.docx，共(19)页，1.055 MB，由小赞的店铺上传

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兴文二中高2021级高三10月考试数学（文史类）本试卷共23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合N={x|x2-x-2≤0}，M=

{-2,0,1}，则M∩N=（）A.[-1，2]B.[-2，1]C.{}2,0,1-D.0,1【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合N，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由()()21012Nxxxxx=−+=−，M={-2，0，1}，

则M∩N=0,1.故选：D【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，考查了基本运算能力，属于基础题.2.已知i是虚数单位，则复数1iz=−在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D

.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的代数形式的几何意义得到对应点的坐标，进而判定.【详解】复数1iz=−对应的点的坐标为()1,1−,为第四象限的点，故选:D.3.某学校共有学生2000人，其中高一年级800人，高二年级与

高三年级人数相等，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，则应从高二年级抽取的人数为（）A10B.30C.50D.60【答案】B.【解析】【分析】设高二年级应抽取x人，根据分层抽样的含义列出方程，解出x即可.【详解】由题意知，高二年级有600人，设高二

年级应抽取x人，则1002000600x=，得30x=，故选：B.4.已知,ab→→均为单位向量，若23ab→→−=，则a→与b→的夹角为（）A.6B.3C.2D.23【答案】B【解析】【分析】先根据题意得12ab→→=，

再根据向量夹角公式即可得答案.【详解】解：由23ab→→−=，,ab→→均为单位向量，得12ab→→=，所以1cos,2ababab→→→→→→==，故a→与b→的夹角为3.故选：B.【点睛】本题考查向量夹

角的计算公式，向量模的计算，考查运算能力，是基础题.5.已知312a=，20.3b−=，12log2c=，则a，b，c的大小关系（）A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c【答案】D【解析】【分析】利用指数、对数的运算和指数函数的单调性判断.【详解】因为311

28a==，200.30.31b−==，12log21c==−，所以b>a>c故选：D【点睛】本题主要考查指数、对数和幂的大小比较，属于基础题.6.已知a和b是两个互相垂直的单位向量，()Rcab=+，则3=是c和a夹角为π3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条

件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】计算出21c=+，利用向量夹角公式求出3=，根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【详解】()21acaabaab=+=+

=，1a=，()221cab=+=+，21cos,1acacac==+，令21πcos31=+，解得3=，则c和a夹角为π3，3=，则3=可得到c和a夹角为π3，故3=是c和a夹角为π3

的充分不必要条件.故选：A.7.已知函数()elgxfxx=−，则()fx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定的函数，由0x时的单调性排除两个选项，当0x时，利用导数探讨函数的单调性、极值判

断作答.【详解】函数()elgxfxx=−的定义域为(,0)(0,)−+，当0x时，()elg()xfxx=−−，因为函数exy=在(,0)−上递增，函数lg()yx=−在(,0)−上递减，因此函数()el

g()xfxx=−−在(,0)−上递增，BD错误；当0x时，()elgxfxx=−，求导得：1()eln10xfxx=−在(0,)+上递增，1(1)e0ln10f=−，2e22e(e)eln10f−−=−，而2e20eln813,210,7e−，即有

2(e)0f−，则存在20(e,1)x−，使得0()0fx=，当00xx时，()0fx，当0xx时，()0fx，即函数()fx在0(0,)x上单调递减，在0(,)x+上单调递增，C选项不满

足，A选项符合要求.故选：A8.设函数()()2gxfxx=+是定义在R上的奇函数，且()()3xFxfx=+，若()11f=，则()1F−=（）A.43−B.73−C.83−D.13【答案】C【解析】【分析】根据()gx是奇函

数，可得()()22fxfxx−+=−，即可求出()13f−=−，进而可求()1F−.【详解】()gx奇函数，()()gxgx−=−，即()()22fxxfxx−+=−−，即()()22fxfxx−+=−，()11f=，()13f−=−，()()118113333Ff−−−=−+

=−+=−.故选：C.9.已知eemm+=，5enn+=，则下列选项正确的是（）A.01mnB.01nmC1emnD.1enm【答案】B【解析】【分析】构造函数()exfxx=+，()5xgxx=+，由其单调性结合图象得出大小关系.是.【详解】构造函数()exfxx=

+，()5xgxx=+，()eemfmm=+=，()5engnn=+=，易知函数()fx，()gx为增函数.函数()fx，()gx与函数ey=的图象，如下图所示：由图可知，0nm.又(1)1e()ffm=+，(1)15>()ggn=+，所以1

,1mn.综上，01nm.故选：B10.若函数()sincosfxxx=−(0)在ππ,22−上单调递增，则的取值不可能为（）A.14B.15C.12D.34【答案】D【解析】【分析】根据两角差正

弦公式可得()π2sin(0)4fxx=−，根据正弦函数的单调性可得ππ42−−且3ππ42，求解即可.【详解】∵()πsincos2sin(0)4fxxxx=−=−，∴令πππ2

π2π,242kxkk−+−+Z，即π2π3π2π,44kkxk−++Z.∵()sincos(0)fxxx=−在ππ,22−上单调递增，∴ππ42−−且3ππ42，解得102≤.

故选:D.的11.已知函数32()5gxxx=−−，若对[0,2]x，都有()gxa成立，则a的取值范围是（）A.[0,)+B.[1,)+C.[1,)−+D.[5,)−+【答案】C【解析】【分析】根据题意，只需max()gxa，进而利用

导数研究单调性，求最值即可.【详解】解：由题可知2()32(32)gxxxxx=−=−，函数()gx在20,3上单调通减，在2,23上单调递增，又∵(0)5g=−，(2)8451g=−−=−，max()(2)1gxg==−，1a−．故选：C.

【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关键在于将问题转化为max()gxa，进而求函数最值即可，考查化归转化思想，运算求解能力，是中档题.12.已知三棱柱111ABCABC-的所有顶点

都在球O的表面上，侧棱1AA⊥底面111ABC，底面111ABC△是正三角形，1AB与底面111ABC所成的角是45°.若正三棱柱111ABCABC-的体积是23，则球O的表面积是（）A.28π3B.14π3C.56π3D.7π3【答案】A【解析】【分析】首先得到11ABA是1AB

与底面111ABC所成的角，再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面等边三角形的边长，最后通过球的半径，球心到底面距离，底面外接圆半径的关系计算．【详解】因为侧棱1AA⊥底面111ABC，则11ABA是1AB与

底面111ABC所成的角，则1145ABA=．故由11111tantan451AAABAAB===，得111AAAB=．设111AAABa==，则111313323224ABCABCaVaaa−===三棱柱，解得2a=．所以球O的半径2223

2722233R+==，所以球O的表面积22728π4π4π33SR===．故选：A．【点睛】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何

体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知x，y满足02010xyxyxy−++−，则目标函数21zxy=−++的最大值是________.【答案】5【解析】【分析】作出不等式

组所表示的区域，转化为直线在y轴上的截距最大值问题即可.【详解】根据题意，作出02010xyxyxy−++−所表示的可行域，如图：由21zxy=−++，得21yxz=+−，作出2yx=的平行直线簇21yxz=+−，结

合图像可知当21yxz=+−经过点A时，截距1z−取得最大值，即21zxy=−++取得最大值，联立2010xyxy+=+−=，解得12xy=−=，即()1,2A−，所以()()21215z=−−++=.故

答案为：5.14.若周期为2的函数()yfx=，在其定义域内是偶函数，则函数()yfx=的一个解析式为()fx=________．【答案】cosπx（答案不唯一）【解析】【分析】根据奇偶性和周期性直接构造即可.【详解】()cos0yx=为偶函数，若其最小正周期为

2，则π=，一个满足题意的解析式为()cosπfxx=.故答案为：cosπx（答案不唯一）.15.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点()1,2A−在角的终边上，则sin2=_____

_.【答案】45−##0.8−【解析】【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.【详解】根据三角函数的定义可知()222222sin512yxy===+−+，()222211cos512xxy

−−===+−+，由二倍角公式得4sin22sincos5==−.故答案为：45−.16.e1e()ln(22)e1exxxfxxx−−=+−++，其最大值和最小值的和为____________．【答案】0【解析】【分析】证明函数是奇函数即得解.【详解

】由题得函数的定义域为[2,2]−，关于原点对称.e1ee1e()lnln()e1ee1exxxxxxfxfxxx−−−+−−−=+=−−=−+−++所以()fx是奇函数，故其最大值和最小值的和为0．故答案为：0三、解答

题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数32()fxxaxbxc=+++在23x=−与1x=处都取得极值.（1）求a，b的值；（2）

若方程()2fxc=有三个实数根，求实数c的取值范围.【答案】（1）1,22ab=−=−；（2）322227c−.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，由给定的极值点列出方程，求解验证作答.（2）求出函数()()2gxfxc=−的极大

值和极小值，再根据三次函数的图象特征列不等式即可求解作答.【小问1详解】由32()fxxaxbxc=+++求导得：2()32fxxaxb=++，依题意，244()0333(1)320fabfab−=−+==++=

，解得1,22ab=−=−，此时，2()32(32)(1)fxxxxx=−−=+−，当23x−或1x时，()0fx，当213x−时，()0fx，即23x=−，1x=是函数()fx的极值点，所以1,22ab=−=−.【小问2详解】由（1）知，321()22fxxxxc=−−

+，令32()()2122xgxxccxfx=−=−−−，()(32)(1)gxxx=+−，由（1）知，()gx在2(,)3−−，(1,)+上单调递增，在2(,1)3−上单调递减，当23x=−时，()gx取极大值222()327gc−=−，当1x=时，()gx取极小值3(1)2gc=−

−，因方程()2fxc=有三个实数根，则函数32122()xxgxcx−−=−有三个零点，于是得22027302cc−−−，解得322227c−，所以实数c的取值范围是322227c−.18.已知函数()()2π23

43cos4sincosR,06fxxxxx=−+−的两个相邻的对称中心的距离为π2．（1）求()fx在0,π上的单调递增区间；（2）当π02,x时，关于x的方程()fxm=有两个不相等的实数根()1212,xxxx，求12co

s2xx+的值．【答案】（1）5π11π0,,,π1212（2）1262cos24xx+−=【解析】【分析】（1）利用二倍角正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的对称性和单调性进行求解即可；（2）根据

正弦函数的对称性，结合两角和的余弦公式进行求解即可,【小问1详解】()2ππ2343cos4sincos23cos22sin263fxxxxxx=−+−=−+−π3cos2sin22sin23xxx=−+=−

，由题意知，()fx的最小正周期为π，所以2ππ2T==，解得1=，∴()π2sin23fxx=−，令2223πππππ,22kxkk−+−+Z，解得π5πππ,1212kxkk−++Z取1k=，则11π17π,1212x取0k=，则π51212πx−，所

以()fx在0,上的单调递增区间为5π11π0,,,π1212．【小问2详解】由（1）知()π2sin23fxx=−，当π02,x时，ππ2π2333x−−，由sinyx=的对称性可知1

2ππ22π33xx−+−=，解得125π6xx+=，所以125πππππππ3212coscoscoscoscossinsin2126464642222xx+==+=−=−624−=.19.在ABC中，角A，B，

C所对的边分别为a，b，c，已知tantantantanBCacBCa−−=+．（1）求B；（2）若2,2ADDCBD==，当2ac+取最大值时，求ABC外接圆的半径．【答案】（1）π3B=；（2）3.【解析】【分析】（1）利用切化

弦、和差角的正弦和正弦定理化简已知等式即得解；（2）由题得1233BDBABC=+，平方得2(2)236acac+−=，再利用基本不等式求出223ac+，由余弦定理和勾股定理求出3a=，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径.【小问1详解】sinsintanta

nsincossincossin()sin()coscossinsintantansincossincossin()sincoscosBCBCBCCBBCBCBCBCBCBCCBBCABC−−−−−====++++，即sin()sinsi

nsinsinBCacACAaA−−−==，sin()sinsinsin()sinBCACBCC−=−=+−，即sincossincossincossincossinBCCBBCCBC−=+−，则2sincossinCBC=，又(0,π),sin0CC，1πcos,

(0,π)23BBB==．【小问2详解】由题得2212()3333BDBAADBAACBABCBABABC=+=+=+−=+,所以222144149992BDcaac==++，所以224236acac++=，所以2(2)236acac+−=，所以222(2)

362()2acacac++−=（当且仅当2ac=时取等）所以243ac+.由余弦定理得222214223,32baaaaaba=+−==.所以222+=abc，所以ππ13,,2633CACDba====.所以223

()4,3.3aaa+==设ABC外接圆的半径为R,所以32,3.πsin6RR==所以ABC外接圆的半径为3.20.如图.在三棱锥−PABC中，PAB为正三角形，O为PAB的重心，PBAC⊥，60ABC=，2BCAB=.（1）求证

：平面PAB⊥平面ABC；（2）在棱BC上是否存在点D，使得直线//OD平面PAC？若存在，求出BDDC的值；若不存在.说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，2BDDC=.【解析】【分析】（1）在ABC中，易证ACAB⊥，

再根据ACPB⊥，利用线面垂直的判定定理证得AC⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理证明即可.（2）取PA的中点E，连接BE，CE，在平面BCE内过点O作//ODCE，易得//OD平面PAC，然后再根据O为P

AB的重心，由::BDDCBOOE=求解.【详解】（1）设ABm=，则2BCm=，在ABC中，由余弦定理，得222423ACmmmm=+−=.因为22224ABACmBC+==，所以ACAB⊥.因为ACPB⊥，ABPBB=，所以AC⊥平面PAB.因为AC平面A

BC，所以平面PAB⊥平面ABC.（2）如图所示：取PA的中点E，连接BE，CE，则点O在BE上，在平面BCE内过点O作CE的平行线交BC于点D.因为//ODCE，OD平面PAC，CE平面PAC，所以//OD平面PAC.因为O为PAB的重心，所以

:2:1BOOE=，又::BDDCBOOE=，所以2BDDC=，所以在棱BC上存在点D，使得直线//OD平面PAC，此时2BDDC=.【点睛】方法点睛：（1）证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的

传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑤面面垂直的性质．（2）证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．21.已知函数()()21ln12fxaxxax=+−

+.（1）当4a=−时，求()fx的单调区间与极值；（2）当1a时，证明：()fx只有一个零点.【答案】（1）在()0,1上单调递增，()1,+上单调递减；极大值1，无极小值（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数

的导数,解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间,求出函数的最小值,结合函数的零点个数求出a的范围即可.【小问1详解】当4a=−时，()22ln3fxxxx=−++，()0,x+()()(

)()2431411143xxxxfxxxxx−++−+−=−++==由()0fx¢>得，114x−，由()0fx得，14x−或1x∴()fx在()0,1上单调递增，()1,+上单调递减，∴()fx在1x=处取得

极大值()11f=，无极小值.【小问2详解】∵()()21ln12fxaxxax=+−+，()0,x+∴()()()()()2111111axaxaxxfxaxaxxx−++−−=+−+==由()0fx=，0a得，1xa

=或1x=①当1a=时，()0fx，()fx在()0,上单调递增∵()3102f=−，()4ln40f=∴()()140ff，故()fx在()1,4上有唯一零点②当1a时，()0fx¢>得1xa或1x∴()fx在10,a上单调递增，在1,1a

上单调递减，在()1,+上单调递增∵11ln102faaa=−−−，()444ln40fa=−+∴()140ffa，故()fx在1,4a上有唯一零点综上：当1a时，()fx只有一个零点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选

一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cossinxy==（为参数），曲线2C的参数方程为2cos3sinxy==（为参数）射线1l：()00xy=与曲线

1C交于点A，射线2l：()30yxx=与曲线2C交于点B．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；（1）直接写出曲线1C、射线1l的极坐标方程．（2）求△AOB的面积．【答案】（1）曲线1C极坐标方程为1=，射线1l的极坐标方

程为()02=≥（2）217【解析】【分析】（1）曲线1C表示单位圆，直接写出极坐标方程，射线1C表示y轴非负半轴，即可求极坐标方程；（2）首先求点,AB的极坐标，再求ABC的面积.【小问1详解】曲线1C的极坐标方程为1=，射线1l的极坐标方程为()02

=≥；注：没有注明0也是正确的．【小问2详解】2C的极坐标方程为2222cossin149+=，射线2l的极坐标方程3=．由12==得点A的一个极坐标为1,2．的由2222cossin1493+=

=，得点B的一个极坐标为421,73．∴1sin2AOHSOAOBAOB=1421211sin27237=−=．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|1|2|2|(R)fxxxx=−+−，记()fx的最小值为

m.（1）求m；（2）若2abm+=，求22ab+的最小值.【答案】（1）1;（2）15.【解析】【分析】（1）将()fx写成分段函数的形式，求出分段函数的最小值，即可得到结果；（2）由（1）可知21ab+=，再利柯西不等式求出最小值.【小问1详解】53,1,()1223,12,35,2,xx

fxxxxxxx−=−+−=−−当1x时，()2fx；当12x时，1()2fx；当2x时，()1fx；综上，min()1fx=，故1m=．【小问2详解】21ab+=，22222)(12)(2)1(bbaa+++=，即2215ab+当且仅当2112abab+=

=时，即12,55ab==时等号成立，22ab+的最小值为15．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com