【文档说明】四川省兴文第二中学校2023-2024学年高三上学期10月月考数学(理)试题 含解析.docx,共(20)页,1.449 MB,由管理员店铺上传
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兴文二中高2021级高三10月考试数学(理工类)本试卷共23小题,满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题(60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.1.已知集合N={x|x2-x-2≤0},M={-2,0,1},则M∩N=()A.[-1,2]B.[-2,1]C.{}2,0,1-D.0,1【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合N,再利用集合的交运算即可求解.【详解】由()()21
012Nxxxxx=−+=−,M={-2,0,1},则M∩N=0,1.故选:D【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法,考查了基本运算能力,属于基础题.2.已知i是虚数单位,则复数1iz=−在复平面内对
应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的代数形式的几何意义得到对应点的坐标,进而判定.【详解】复数1iz=−对应的点的坐标为()1,1−,为第四象限的点,故选:D
.3.某学校共有学生2000人,其中高一年级800人,高二年级与高三年级人数相等,学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间,按照分层抽样的方法从全校学生中抽取100人,则应从高二年级抽取的人数为()A.1
0B.30C.50D.60【答案】B【解析】【分析】设高二年级应抽取x人,根据分层抽样的含义列出方程,解出x即可.【详解】由题意知,高二年级有600人,设高二年级应抽取x人,则1002000600x=,得30x=,故选:B.4.
已知,ab→→均为单位向量,若23ab→→−=,则a→与b→的夹角为()A.6B.3C.2D.23【答案】B【解析】【分析】先根据题意得12ab→→=,再根据向量夹角公式即可得答案.【详解】解:由23ab→→−=
,,ab→→均为单位向量,得12ab→→=,所以1cos,2ababab→→→→→→==,故a→与b→的夹角为3.故选:B.【点睛】本题考查向量夹角的计算公式,向量模的计算,考查运算能力,是基础题.5.已知312a=,20.
3b−=,12log2c=,则a,b,c的大小关系()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c【答案】D【解析】【分析】利用指数、对数的运算和指数函数的单调性判断.【详解】因为31128a==
,200.30.31b−==,12log21c==−,所以b>a>c故选:D【点睛】本题主要考查指数、对数和幂的大小比较,属于基础题.6.已知a和b是两个互相垂直的单位向量,()Rcab=+,则3=是c和a夹角为π3的()A.充分不必要条件B.必要
不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】计算出21c=+,利用向量夹角公式求出3=,根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【详解】()21acaabaab=+=+=,1a=,()221cab=+=+,21cos,1acacac
==+,令21πcos31=+,解得3=,则c和a夹角为π3,3=,则3=可得到c和a夹角为π3,故3=是c和a夹角为π3的充分不必要条件.故选:A.7.已知函数()elgxfxx=−,则()fx的图象大致为()AB.C.D.【答案
】A【解析】【分析】根据给定的函数,由0x时的单调性排除两个选项,当0x时,利用导数探讨函数的单调性、极值判断作答.【详解】函数()elgxfxx=−的定义域为(,0)(0,)−+,当0x时,
()elg()xfxx=−−,因为函数exy=在(,0)−上递增,函数lg()yx=−在(,0)−上递减,.因此函数()elg()xfxx=−−在(,0)−上递增,BD错误;当0x时,()elg
xfxx=−,求导得:1()eln10xfxx=−在(0,)+上递增,1(1)e0ln10f=−,2e22e(e)eln10f−−=−,而2e20eln813,210,7e−,即有2(e)0f−,则存在20(e,1)x−
,使得0()0fx=,当00xx时,()0fx,当0xx时,()0fx,即函数()fx在0(0,)x上单调递减,在0(,)x+上单调递增,C选项不满足,A选项符合要求.故选:A8.设函数()()2gxfxx=+是定义在R上的奇函数,且()()3xFxfx=+,若()11f
=,则()1F−=()A.43−B.73−C.83−D.13【答案】C【解析】【分析】根据()gx是奇函数,可得()()22fxfxx−+=−,即可求出()13f−=−,进而可求()1F−.【详解】(
)gx是奇函数,()()gxgx−=−,即()()22fxxfxx−+=−−,即()()22fxfxx−+=−,()11f=,()13f−=−,()()118113333Ff−−−=−+=−+=−.故选:C.9.已知eemm+=,5enn+=,则下列选项正确的是()A.01mnB.
01nmC.1emnD.1enm【答案】B【解析】【分析】构造函数()exfxx=+,()5xgxx=+,由其单调性结合图象得出大小关系.【详解】构造函数()exfxx=+,()5xgxx=+,()eemfmm
=+=,()5engnn=+=,易知函数()fx,()gx增函数.函数()fx,()gx与函数ey=的图象,如下图所示:由图可知,0nm.又(1)1e()ffm=+,(1)15>()ggn=+,所以1,1mn.综上,01nm.故选:B10.锐角ABC中,
角A,B,C的对边分别为a,b,c,若()2caab=+,则sinA的取值范围是()A.20,2B.12,22C.13,22D.30,2【答案】B【解析
】【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得2CA=,再求出A的范围即可.【详解】由()2caab=+,得22caab=+,由余弦定理得2222coscababC=+−,∴2222cosaabababC+=+−,即2cosba
aC=+,由正弦定理得sin2sincossinAACB+=,∵()πBAC=−+,∴sin2sincossinsincoscossinAACBACAC+==+,即()sinsinAAC=−.∵22caab=+,∴ca,∴0CA−,又A
BC为锐角三角形,∴ππ0,022ACA−,∴ACA=−,解得2CA=,为又π02A,π0π32BA=−,π022CA=,∴ππ64A,∴2sn2i1,2A.故选:B.11.在RtABC△中,2,ABBCD==为AC的中点.将A
BD△沿BD翻折,得到三棱锥CABD−,当二面角ABDC−−为π3时,三棱锥CABD−的外接球的表面积为()A.4π3B.5π3C.7π3D.103【答案】C【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面ACD,是边长为1的正三角形,BD⊥平面ACD,将三棱锥BACD−补形成正三棱柱,三棱锥的外接球
球心就是正三棱柱的外接球球心,求出其半径可得解.【详解】由题意CDBD⊥,ADBD⊥,二面角ABDC−−的平面角是ADC,π3ADC=,又1ADDC==,ACD是边长为1的正三角形,BD⊥平面ACD,将三棱锥BACD−补形成正三棱柱,三棱锥
的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心,取ACD外接圆的圆心E,BGHV外接圆的圆心F,根据对称性知正三棱柱的外接球球心O是EF的中点,()()2212212BD=+=,12EO=,又ACD是边长为1的正三角形,点E是其外心,222131323E
C=−=,在RtOEC△中,22221321236OCOEEC=+=+=,即216R=,三棱锥CABD−的外接球的表面积为2774π4ππ123SR===.故选:C.12.已知函数()e2xfx
xa=+,()elnxgxx=,对任意11,2x,21,3x,都有不等式()()12fxgx成立,则a的取值范围是()A.)2e,−+B.1e,2−+C.e,2−+D.21e,2−+【答案】C【解析】【分
析】将问题转化为()()minminfxgx,利用导数求()fx在1,2上的最小值、()gx在1,3上的最小值,即可得结果.【详解】对任意11,2x,21,3x,都有不等式()()12fxgx成立()()minminfxgx≥,()()e1xfxx=+
,1,2x,()0fx,则()fx在区间1,2上单调递增,∴()()min1e2fxfa==+,()2e1ln()xgxx−=,1,ex,()0gx,则()gx在1,e上单调递增,(e,3x,()0gx,则()
gx在(e,3上单调递减,()10g=,()eln3303g=,故()min0gx=,综上,ee202aa+−.故选:C第II卷非选择题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知x,y满足02010xyxyxy−+
+−,则目标函数21zxy=−++的最大值是________.【答案】5【解析】【分析】作出不等式组所表示的区域,转化为直线在y轴上的截距最大值问题即可.【详解】根据题意,作出02010xyxyxy−+
+−所表示的可行域,如图:由21zxy=−++,得21yxz=+−,作出2yx=的平行直线簇21yxz=+−,结合图像可知当21yxz=+−经过点A时,截距1z−取得最大值,即21zxy=−++取得最大值,联立2010xyxy+=+−=,解得12xy=−=
,即()1,2A−,所以()()21215z=−−++=.故答案为:5.14.若周期为2的函数()yfx=,在其定义域内是偶函数,则函数()yfx=的一个解析式为()fx=________.【答案】cosπx(答案不唯一)【解析】【分析】根据奇偶性和周期性直接构造即可.【详解】()cos0yx
=为偶函数,若其最小正周期为2,则π=,一个满足题意的解析式为()cosπfxx=.故答案为:cosπx(答案不唯一).15.已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,点()1,2A−在角的终边上,则sin2=______.【答案】45−##0.8−【解析】
【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.【详解】根据三角函数的定义可知()222222sin512yxy===+−+,()222211cos512xxy−−===+−+,由二倍角公式得4sin22
sincos5==−.故答案为:45−.16.e1e()ln(22)e1exxxfxxx−−=+−++,其最大值和最小值的和为____________.【答案】0【解析】【分析】证明函数是奇函数即得解.【详解】由题得函数的定义域为[2,2]−,
关于原点对称.e1ee1e()lnln()e1ee1exxxxxxfxfxxx−−−+−−−=+=−−=−+−++所以()fx是奇函数,故其最大值和最小值的和为0.故答案为:0三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生
都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.已知函数32()fxxaxbxc=+++在23x=−与1x=处都取得极值.(1)求a,b的值;(2)若方程()2fxc=有三个实数根,求实数c的取值范
围.【答案】(1)1,22ab=−=−;(2)322227c−.【解析】【分析】(1)求出函数()fx的导数,由给定的极值点列出方程,求解验证作答.(2)求出函数()()2gxfxc=−的极大值和极小值,再根据三次函数的图象特征列不等式即可求解作答.【小问1详解】由32(
)fxxaxbxc=+++求导得:2()32fxxaxb=++,依题意,244()0333(1)320fabfab−=−+==++=,解得1,22ab=−=−,此时,2()32(32)(1)fxxxxx=−−=+−,当23x−或1x时,(
)0fx,当213x−时,()0fx,即23x=−,1x=是函数()fx的极值点,所以1,22ab=−=−.【小问2详解】由(1)知,321()22fxxxxc=−−+,令32()()2122xgxxccxfx=−=−−−,()(32
)(1)gxxx=+−,由(1)知,()gx在2(,)3−−,(1,)+上单调递增,在2(,1)3−上单调递减,当23x=−时,()gx取极大值222()327gc−=−,当1x=时,()gx取极小值3(1)2gc=−−,因方程(
)2fxc=有三个实数根,则函数32122()xxgxcx−−=−有三个零点,于是得22027302cc−−−,解得322227c−,所以实数c的取值范围是322227c−.18.已知函数()()2π2343c
os4sincosR,06fxxxxx=−+−的两个相邻的对称中心的距离为π2.(1)求()fx在0,π上的单调递增区间;(2)当π02,x时,关于x的方程(
)fxm=有两个不相等的实数根()1212,xxxx,求12cos2xx+的值.【答案】(1)5π11π0,,,π1212(2)1262cos24xx+−=【解析】【分析】(1)利用二倍
角正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式,结合正弦型函数的对称性和单调性进行求解即可;(2)根据正弦函数的对称性,结合两角和的余弦公式进行求解即可,【小问1详解】()2ππ2343cos4sincos23cos22sin263fxxxxxx
=−+−=−+−π3cos2sin22sin23xxx=−+=−,由题意知,()fx的最小正周期为π,所以2ππ2T==,解得1=,∴()π2sin23f
xx=−,令2223πππππ,22kxkk−+−+Z,解得π5πππ,1212kxkk−++Z取1k=,则11π17π,1212x取0k=,则π51212πx−,所以()fx在0,
上单调递增区间为5π11π0,,,π1212.【小问2详解】的由(1)知()π2sin23fxx=−,当π02,x时,ππ2π2333x−−,由sinyx=的对称性可知1
2ππ22π33xx−+−=,解得125π6xx+=,所以125πππππππ3212coscoscoscoscossinsin2126464642222xx+==+=−=−624−=19.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,
b,c,已知tantantantanBCacBCa−−=+.(1)求B;(2)若2,2ADDCBD==,当2ac+取最大值时,求ABC外接圆的半径.【答案】(1)π3B=;(2)3.【解析】【分析】(1)利用切化弦、和差角的正弦和正弦定理化简已知等式即得解;(2)由题得1233BDBABC=
+,平方得2(2)236acac+−=,再利用基本不等式求出223ac+,由余弦定理和勾股定理求出3a=,再利用正弦定理求出三角形外接圆半径.【小问1详解】sinsintantansincossincossin()
sin()coscossinsintantansincossincossin()sincoscosBCBCBCCBBCBCBCBCBCBCCBBCABC−−−−−====++++,即sin()sinsinsinsinBCacACAaA−−−
==,sin()sinsinsin()sinBCACBCC−=−=+−,即sincossincossincossincossinBCCBBCCBC−=+−,则2sincossinCBC=,又(0,π),sin0CC,
1πcos,(0,π)23BBB==.【小问2详解】.由题得2212()3333BDBAADBAACBABCBABABC=+=+=+−=+,所以222144149992BDcaac==++,所以224236acac++=,所以
2(2)236acac+−=,所以222(2)362()2acacac++−=(当且仅当2ac=时取等)所以243ac+.由余弦定理得222214223,32baaaaaba=+−==.所以222+=abc,所以ππ13,,2633CACDba====.所以223()4,3.3a
aa+==设ABC外接圆的半径为R,所以32,3.πsin6RR==所以ABC外接圆的半径为3.20.如图,在三棱锥ABCD−中,BCD△是等边三角形,ADBADC=,M是BC边的中点.(1)求证:BCAD⊥;(2)3MA=,23BC=,平面ABC与平面BCD所
成二面角为2π3,求直线BD与平面ACD所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)277.【解析】【分析】(1)连接MD,根据题意证得,BBCMACMD⊥⊥,结合线面垂直的判定定理,证得BC⊥平面AMD,进而证得BCAD⊥;(2)过M作MD的垂线,由BC⊥平面AMD
,以M为原点建立空间直角坐标系,根据题意求得平面ACD的一个法向量()1,3,3n=和()3,3,0BD=,结合向量的夹角公式,即可求解.【小问1详解】证明:如图所示,连接MD,因为BCD△是等边三角形,所以BDCD=在ABD△和ACD中,因为ADBADC=,ADAD=,所
以ABDACD△≌△,所以ABAC=,又因为M是BC边的中点,所以BCMA⊥,BCMD⊥.因为MAMDM=,MA平面AMD,MD平面AMD,所以BC⊥平面AMD,又因为AD平面AMD,所以BCAD⊥.【小问2详解】解:在AMD中,过M作MD的垂
线,交AD与点N,由(1)可得BC⊥平面AMD,以M为原点建立空间直角坐标系,如图所示,又由,233BMCA==,且平面ABC与平面BCD所成二面角为2π3,因为BCMA⊥,BCMD⊥,所以AMD∠为平面ABC与平面BCD所成二面角的平面角
,即2π3AMD=,所以π6AMz=,可得333,0,22A−,()0,3,0B−,()0,3,0C,()3,0,0D,()0,0,0M,设平面ACD的法向量为(),,nxyz=,且333,3,22AC=−,()3,3,0CD=−
则3333022330nACxyznCDxy=+−==−=,令1x=,则3y=,3z=,所以()1,3,3n=又因为()3,3,0BD=,设直线BD与平面ACD所成角为,则21sincos,7B
DnBDnBDn===,可得27cos7=,即直线BD与平面ACD所成角的余弦值为277.21.已知函数21()sincos2fxxxxax=++,[,]x−.(1)当0a=时,求()fx的单调区间;(2)当0a,讨论()fx的零点个数;【答案】(1)()fx单调递减区
间,02−,,2;单调递增区间为,2−−,0,2;(2)答案见解析.【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性,只研究()fx在0,上单调性,利用导数根据其函数值的正负,即可求得函数的单调区间;(2)对参数a进行分类讨论,根据函数的单调性
以及最值,即可求得函数的零点个数.【详解】∵()()fxfx−=∴()fx为偶函数,只需先研究[0,]x,()sincosfxxxx=+,()sincossincosfxxxxxxx=+−=,当0,2x,()0fx,当,2x,()0
fx,所以()fx在0,2x单调递增,在,2x,单调递减,为所以根据偶函数图象关于y轴对称,得()fx在,2x−−单调递增,在,02x−单调递减,故()fx单调递减区间为:,02−,
,2;单调递增区间为:,2−−,0,2.(2)()cos(cos)fxxxaxxxa=+=+,①1a时,()(cos)0fxxxa=+在[0,]x恒成立,∴()fx在[0,]x单调递增又(0)1f=,所以()fx在[,]x
−上无零点②01a时,0(0,)x,使得()00cos0xxa+=,即0cosxa=−.又cosx在(0,)单调递减,所以()00,xx,()0fx,()0,xx,()0fx所以()00,xx,()fx单调递增,()0,xx,
()fx单调递减,又(0)1f=,21()12fa=−(i)21102a−,即221a时()fx在[0,]上无零点,又()fx为偶函数,所以()fx在[,]−上无零点,(ii)21102a
−,即220a.()fx在[0,]上有1个零点,又()fx为偶函数,所以()fx在[,]−上有2个零点,综上所述,当220a时,()fx在[,]−上有2个零点,当22a时,()fx在[
,]−上无零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点个数,属综合中档题.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.
在平面直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为cossinxy==(为参数),曲线2C的参数方程为2cos3sinxy==(为参数)射线1l:()00xy=与曲线1C交于点A,射线2l:()30yxx=与曲线2C交于点
B.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系;(1)直接写出曲线1C、射线1l的极坐标方程.(2)求△AOB的面积.【答案】(1)曲线1C的极坐标方程为1=,射线1l的极坐标方程为()02=≥(2)217【解
析】【分析】(1)曲线1C表示单位圆,直接写出极坐标方程,射线1C表示y轴非负半轴,即可求极坐标方程;(2)首先求点,AB的极坐标,再求ABC的面积.【小问1详解】曲线1C的极坐标方程为1=,射线1l的极坐标方程为()02
=≥;注:没有注明0也是正确的.【小问2详解】2C的极坐标方程为2222cossin149+=,射线2l的极坐标方程3=.由12==得点A的一个极坐标为1,2.由2222cossin1493+=
=,得点B的一个极坐标为421,73.∴1sin2AOHSOAOBAOB=1421211sin27237=−=.选修4-5:不等式选讲23.已知函数()|1|2|2|(R)
fxxxx=−+−,记()fx的最小值为m.(1)求m;(2)若2abm+=,求22ab+的最小值.【答案】(1)1;(2)15.【解析】【分析】(1)将()fx写成分段函数的形式,求出分段函数的最小值,即可得到结果;(2)由(1)可知21ab+=,再利柯西不等式求出最小
值.【小问1详解】53,1,()1223,12,35,2,xxfxxxxxxx−=−+−=−−当1x时,()2fx;当12x时,1()2fx;当2x时,()1fx;综上,min()1fx
=,故1m=.【小问2详解】21ab+=,22222)(12)(2)1(bbaa+++=,即2215ab+当且仅当2112abab+==时,即12,55ab==时等号成立,22ab+的最
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