【文档说明】四川省兴文第二中学校2023-2024学年高三上学期10月月考数学（理）试题 含解析.docx，共(20)页，1.449 MB，由管理员店铺上传

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兴文二中高2021级高三10月考试数学（理工类）本试卷共23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合

N={x|x2-x-2≤0}，M={-2,0,1}，则M∩N=（）A.[-1，2]B.[-2，1]C.{}2,0,1-D.0,1【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合N，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由()()21012Nxxx

xx=−+=−，M={-2，0，1}，则M∩N=0,1.故选：D【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，考查了基本运算能力，属于基础题.2.已知i是虚数单位，则复数1iz=−在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分

析】根据复数的代数形式的几何意义得到对应点的坐标，进而判定.【详解】复数1iz=−对应的点的坐标为()1,1−,为第四象限的点，故选:D.3.某学校共有学生2000人，其中高一年级800人，高二年级与高三年级人数相

等，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，则应从高二年级抽取的人数为（）A.10B.30C.50D.60【答案】B【解析】【分析】设高二年级应抽取x人，根据分层抽样的含义列出方程，解出x即可.【详解】由题意知，高

二年级有600人，设高二年级应抽取x人，则1002000600x=，得30x=，故选：B.4.已知,ab→→均为单位向量，若23ab→→−=，则a→与b→的夹角为（）A.6B.3C.2D.23【答案】B【解析】【分析】先根据题意

得12ab→→=，再根据向量夹角公式即可得答案.【详解】解：由23ab→→−=，,ab→→均为单位向量，得12ab→→=，所以1cos,2ababab→→→→→→==，故a→与b→的夹角为3.故选：B.【点睛】本题考查向量夹角的计

算公式，向量模的计算，考查运算能力，是基础题.5.已知312a=，20.3b−=，12log2c=，则a，b，c的大小关系（）A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c【答案】D【解析】【分析】利用指数、对数的运算和指数函数的单调性判断.【详解】因为31128a

==，200.30.31b−==，12log21c==−，所以b>a>c故选：D【点睛】本题主要考查指数、对数和幂的大小比较，属于基础题.6.已知a和b是两个互相垂直的单位向量，()Rcab=+，则3=是c和a夹角为π3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要

条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】计算出21c=+，利用向量夹角公式求出3=，根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【详解】()21acaabaab=+=+=，1a=，()221cab=+=+，21co

s,1acacac==+，令21πcos31=+，解得3=，则c和a夹角为π3，3=，则3=可得到c和a夹角为π3，故3=是c和a夹角为π3的充分不必要条件.故选：A.7.已知函数()elgxfxx=−，则()fx的图象大致为（）AB.C.D.【答案】A

【解析】【分析】根据给定的函数，由0x时的单调性排除两个选项，当0x时，利用导数探讨函数的单调性、极值判断作答.【详解】函数()elgxfxx=−的定义域为(,0)(0,)−+，当0x时，()elg()xfxx=−−，因为

函数exy=在(,0)−上递增，函数lg()yx=−在(,0)−上递减，.因此函数()elg()xfxx=−−在(,0)−上递增，BD错误；当0x时，()elgxfxx=−，求导得：1()eln10xfxx=−

在(0,)+上递增，1(1)e0ln10f=−，2e22e(e)eln10f−−=−，而2e20eln813,210,7e−，即有2(e)0f−，则存在20(e,1)x−，使得0()0fx=，当00xx时，()0fx，当0xx时，()0fx，即

函数()fx在0(0,)x上单调递减，在0(,)x+上单调递增，C选项不满足，A选项符合要求.故选：A8.设函数()()2gxfxx=+是定义在R上的奇函数，且()()3xFxfx=+，若()11f=，则()1F−=（）A.43−B.73−C.83−D.1

3【答案】C【解析】【分析】根据()gx是奇函数，可得()()22fxfxx−+=−，即可求出()13f−=−，进而可求()1F−.【详解】()gx是奇函数，()()gxgx−=−，即()()22fxxfxx−+=−−，即()()22fxfxx−+=−，()11f=，()13f−=−，()()

118113333Ff−−−=−+=−+=−.故选：C.9.已知eemm+=，5enn+=，则下列选项正确的是（）A.01mnB.01nmC.1emnD.1enm【答案】B【解析】

【分析】构造函数()exfxx=+，()5xgxx=+，由其单调性结合图象得出大小关系.【详解】构造函数()exfxx=+，()5xgxx=+，()eemfmm=+=，()5engnn=+=，易知函数()fx，()gx增函数.函数()fx，()gx与函数ey=的图象，如下图所

示：由图可知，0nm.又(1)1e()ffm=+，(1)15>()ggn=+，所以1,1mn.综上，01nm.故选：B10.锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()2caab=+，则sin

A的取值范围是（）A.20,2B.12,22C.13,22D.30,2【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得2CA=，再求出A的范围即可.【详解】由()2caab=+，得22caab=+，由余弦定理得2

222coscababC=+−，∴2222cosaabababC+=+−，即2cosbaaC=+，由正弦定理得sin2sincossinAACB+=，∵()πBAC=−+，∴sin2sincossinsincoscossinAACBACAC+==+，即()sins

inAAC=−.∵22caab=+，∴ca，∴0CA−，又ABC为锐角三角形，∴ππ0,022ACA−，∴ACA=−，解得2CA=，为又π02A，π0π32BA=−，π022CA=，∴ππ64A，∴2sn2i1

,2A.故选：B.11.在RtABC△中，2,ABBCD==为AC的中点．将ABD△沿BD翻折，得到三棱锥CABD−，当二面角ABDC−−为π3时，三棱锥CABD−的外接球的表面积为（）A.4π3B.5π3C.7π3

D.103【答案】C【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面ACD，是边长为1的正三角形，BD⊥平面ACD，将三棱锥BACD−补形成正三棱柱，三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，求出其半径可得解.【详解】由题意CDBD

⊥，ADBD⊥，二面角ABDC−−的平面角是ADC，π3ADC=，又1ADDC==，ACD是边长为1的正三角形，BD⊥平面ACD，将三棱锥BACD−补形成正三棱柱，三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，取ACD外接圆的圆心E，BGHV外接圆的圆心F

，根据对称性知正三棱柱的外接球球心O是EF的中点，()()2212212BD=+=，12EO=，又ACD是边长为1的正三角形，点E是其外心，222131323EC=−=，在RtOEC△中，22221321236OCOEEC=

+=+=，即216R=，三棱锥CABD−的外接球的表面积为2774π4ππ123SR===.故选：C.12.已知函数()e2xfxxa=+，()elnxgxx=，对任意11,2x，21,3x，都有不等式()()12fxgx成立，则

a的取值范围是（）A.)2e,−+B.1e,2−+C.e,2−+D.21e,2−+【答案】C【解析】【分析】将问题转化为()()minminfxgx，利用导数求()fx在

1,2上的最小值、()gx在1,3上的最小值，即可得结果.【详解】对任意11,2x，21,3x，都有不等式()()12fxgx成立()()minminfxgx≥，()()e1xfxx=

+，1,2x，()0fx，则()fx在区间1,2上单调递增，∴()()min1e2fxfa==+，()2e1ln()xgxx−=，1,ex，()0gx，则()gx在1,e上单调递增，(e

,3x，()0gx，则()gx在(e,3上单调递减，()10g=，()eln3303g=，故()min0gx=，综上，ee202aa+−.故选：C第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2

0分13.已知x，y满足02010xyxyxy−++−，则目标函数21zxy=−++的最大值是________.【答案】5【解析】【分析】作出不等式组所表示的区域，转化为直线在y轴上的截距最

大值问题即可.【详解】根据题意，作出02010xyxyxy−++−所表示的可行域，如图：由21zxy=−++，得21yxz=+−，作出2yx=的平行直线簇21yxz=+−，结合图像可知当21yxz=+−经过点A时

，截距1z−取得最大值，即21zxy=−++取得最大值，联立2010xyxy+=+−=，解得12xy=−=，即()1,2A−，所以()()21215z=−−++=.故答案为：5.14.若周期为2的函数()yfx=，在其定义域内是偶函数，则函数()yfx=的一个解析式为()fx=__

______．【答案】cosπx（答案不唯一）【解析】【分析】根据奇偶性和周期性直接构造即可.【详解】()cos0yx=为偶函数，若其最小正周期为2，则π=，一个满足题意的解析式为()cosπfxx=.故答案

为：cosπx（答案不唯一）.15.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点()1,2A−在角的终边上，则sin2=______.【答案】45−##0.8−【解析】【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.【详解】根据三

角函数的定义可知()222222sin512yxy===+−+，()222211cos512xxy−−===+−+，由二倍角公式得4sin22sincos5==−.故答案为：45−.16.e1e()ln(22)e1exxxfxxx−−=+−++，

其最大值和最小值的和为____________．【答案】0【解析】【分析】证明函数是奇函数即得解.【详解】由题得函数的定义域为[2,2]−，关于原点对称.e1ee1e()lnln()e1ee1exxxxxxfxfxxx−−−+−−−=+=−−=−+−++所以()fx是

奇函数，故其最大值和最小值的和为0．故答案为：0三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考

题：共60分.17.已知函数32()fxxaxbxc=+++在23x=−与1x=处都取得极值.（1）求a，b的值；（2）若方程()2fxc=有三个实数根，求实数c的取值范围.【答案】（1）1,22ab=−=−；（2）322

227c−.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，由给定的极值点列出方程，求解验证作答.（2）求出函数()()2gxfxc=−的极大值和极小值，再根据三次函数的图象特征列不等式即可求解作答.【小问1详解】由32()fxxaxbxc=+++

求导得：2()32fxxaxb=++，依题意，244()0333(1)320fabfab−=−+==++=，解得1,22ab=−=−，此时，2()32(32)(1)fxxxxx=−−=+−，当23x−或1x时，()0fx，当213x−时

，()0fx，即23x=−，1x=是函数()fx的极值点，所以1,22ab=−=−.【小问2详解】由（1）知，321()22fxxxxc=−−+，令32()()2122xgxxccxfx=−=−−−，()(32)(1)gxx

x=+−，由（1）知，()gx在2(,)3−−，(1,)+上单调递增，在2(,1)3−上单调递减，当23x=−时，()gx取极大值222()327gc−=−，当1x=时，()gx取极小值3(1)2gc=−−，因方程()2fxc=有三个实

数根，则函数32122()xxgxcx−−=−有三个零点，于是得22027302cc−−−，解得322227c−，所以实数c的取值范围是322227c−.18.已知函数()()2π2343cos4sincosR,06fxxxxx=−+−

的两个相邻的对称中心的距离为π2．（1）求()fx在0,π上的单调递增区间；（2）当π02,x时，关于x的方程()fxm=有两个不相等的实数根()1212,xxxx，求12cos2xx+的值．【答案】（1）5π11π0,,,π1212

（2）1262cos24xx+−=【解析】【分析】（1）利用二倍角正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的对称性和单调性进行求解即可；（2）根据正弦函数的对称性，结合两角和的余弦公式进行求解即可,【小问

1详解】()2ππ2343cos4sincos23cos22sin263fxxxxxx=−+−=−+−π3cos2sin22sin23xxx=−+=−，由题意知，()fx的最小正周期为π，所以2π

π2T==，解得1=，∴()π2sin23fxx=−，令2223πππππ,22kxkk−+−+Z，解得π5πππ,1212kxkk−++Z取1k=，则11π17π,1212x取0k=，则π51212πx

−，所以()fx在0,上单调递增区间为5π11π0,,,π1212．【小问2详解】的由（1）知()π2sin23fxx=−，当π02,x时，ππ2π2333x−−，由s

inyx=的对称性可知12ππ22π33xx−+−=，解得125π6xx+=，所以125πππππππ3212coscoscoscoscossinsin2126464642222xx+==+=−=−

624−=19.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tantantantanBCacBCa−−=+．（1）求B；（2）若2,2ADDCBD==，当2ac+取最大值时，求ABC外接圆的半径．【答案】（1）π3B

=；（2）3.【解析】【分析】（1）利用切化弦、和差角的正弦和正弦定理化简已知等式即得解；（2）由题得1233BDBABC=+，平方得2(2)236acac+−=，再利用基本不等式求出223ac+，由余弦定理和勾股定理求出3a=，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径.【小问1详解】sin

sintantansincossincossin()sin()coscossinsintantansincossincossin()sincoscosBCBCBCCBBCBCBCBCBCBCCBBCABC−−−−−====++++，即sin()sinsinsinsinBCacACAaA

−−−==，sin()sinsinsin()sinBCACBCC−=−=+−，即sincossincossincossincossinBCCBBCCBC−=+−，则2sincossinCBC=，又(0,π),sin0CC，1πcos,(0,π)23BBB=

=．【小问2详解】.由题得2212()3333BDBAADBAACBABCBABABC=+=+=+−=+,所以222144149992BDcaac==++，所以224236acac++=，所以2(2)236acac+−=，所以222(2)362()2acac

ac++−=（当且仅当2ac=时取等）所以243ac+.由余弦定理得222214223,32baaaaaba=+−==.所以222+=abc，所以ππ13,,2633CACDba====.所以223()4,3.3aaa+==设ABC外接圆的半径为R,所以32,3.πsin6

RR==所以ABC外接圆的半径为3.20.如图，在三棱锥ABCD−中，BCD△是等边三角形，ADBADC=，M是BC边的中点.（1）求证：BCAD⊥；（2）3MA=，23BC=，平面ABC与平面BCD所成二面角为2π

3，求直线BD与平面ACD所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）277.【解析】【分析】（1）连接MD，根据题意证得,BBCMACMD⊥⊥，结合线面垂直的判定定理，证得BC⊥平面AMD，进而证得BCAD⊥；（2）过M作MD的垂线，由BC⊥平面AMD，以M为原点建立空间直角坐标系，根据

题意求得平面ACD的一个法向量()1,3,3n=和()3,3,0BD=，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，连接MD，因为BCD△是等边三角形，所以BDCD=在ABD△和ACD中，因为ADBA

DC=，ADAD=，所以ABDACD△≌△，所以ABAC=，又因为M是BC边的中点，所以BCMA⊥，BCMD⊥.因为MAMDM=，MA平面AMD，MD平面AMD，所以BC⊥平面AMD，又因为AD平面AMD，所以BCAD⊥.【小问2详解】解：在AMD中，过M作MD的垂线，交AD与点N

，由（1）可得BC⊥平面AMD，以M为原点建立空间直角坐标系，如图所示，又由,233BMCA==，且平面ABC与平面BCD所成二面角为2π3，因为BCMA⊥，BCMD⊥，所以AMD∠为平面ABC与平面BCD所成二面角的

平面角，即2π3AMD=，所以π6AMz=，可得333,0,22A−，()0,3,0B−，()0,3,0C，()3,0,0D，()0,0,0M，设平面ACD的法向量为(),,nxyz

=，且333,3,22AC=−，()3,3,0CD=−则3333022330nACxyznCDxy=+−==−=，令1x=，则3y=，3z=，所以()1,3,3n=又因为()3,3,0BD=，设直线BD与平面ACD

所成角为，则21sincos,7BDnBDnBDn===，可得27cos7=，即直线BD与平面ACD所成角的余弦值为277.21.已知函数21()sincos2fxxxxax=++，[,]x−.（1）当0a=

时，求()fx的单调区间；（2）当0a，讨论()fx的零点个数；【答案】（1）()fx单调递减区间,02−，,2；单调递增区间为,2−−，0,2；（2）答案见解析.【解

析】【分析】（1）根据函数奇偶性，只研究()fx在0,上单调性，利用导数根据其函数值的正负，即可求得函数的单调区间；（2）对参数a进行分类讨论，根据函数的单调性以及最值，即可求得函数的零点个数.【详

解】∵()()fxfx−=∴()fx为偶函数，只需先研究[0,]x,()sincosfxxxx=+,()sincossincosfxxxxxxx=+−=,当0,2x，()0fx，当,2x，()0fx，所以

()fx在0,2x单调递增，在,2x，单调递减,为所以根据偶函数图象关于y轴对称，得()fx在,2x−−单调递增，在,02x−单调递减，故()fx单调递减区间为：,02−，,2

；单调递增区间为：,2−−，0,2.（2）()cos(cos)fxxxaxxxa=+=+,①1a时，()(cos)0fxxxa=+在[0,]x恒成立,∴()fx在[0,]x单调递增又(0)1f=，所以()fx在[,]x

−上无零点②01a时，0(0,)x，使得()00cos0xxa+=，即0cosxa=−.又cosx在(0,)单调递减，所以()00,xx，()0fx，()0,xx，()0fx所以()00,xx，()f

x单调递增，()0,xx，()fx单调递减，又(0)1f=，21()12fa=−（i）21102a−，即221a时()fx在[0,]上无零点，又()fx为偶函数，所以()fx在[,]−上无零点，（ii）2

1102a−，即220a.()fx在[0,]上有1个零点，又()fx为偶函数，所以()fx在[,]−上有2个零点，综上所述，当220a时，()fx在[,]−上有2个零点，当22a时，()fx在[,]−上无零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点个数，

属综合中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cossinxy==（为参数），曲线2C的参数方程为2cos3sinxy==（为参数）

射线1l：()00xy=与曲线1C交于点A，射线2l：()30yxx=与曲线2C交于点B．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；（1）直接写出曲线1C、射线1l的极坐标方程．（2）求△AOB的面积．【答案】（1）曲线1C的极坐标方程为1=，射线1l

的极坐标方程为()02=≥（2）217【解析】【分析】（1）曲线1C表示单位圆，直接写出极坐标方程，射线1C表示y轴非负半轴，即可求极坐标方程；（2）首先求点,AB的极坐标，再求ABC的面积.【小问1详解】曲线1C的

极坐标方程为1=，射线1l的极坐标方程为()02=≥；注：没有注明0也是正确的．【小问2详解】2C的极坐标方程为2222cossin149+=，射线2l的极坐标方程3=．由12==得点A的一个极坐标为1,2．由2222c

ossin1493+==，得点B的一个极坐标为421,73．∴1sin2AOHSOAOBAOB=1421211sin27237=−=．选修4-5：不等式选讲23.

已知函数()|1|2|2|(R)fxxxx=−+−，记()fx的最小值为m.（1）求m；（2）若2abm+=，求22ab+的最小值.【答案】（1）1;（2）15.【解析】【分析】（1）将()fx写成分段函数的形

式，求出分段函数的最小值，即可得到结果；（2）由（1）可知21ab+=，再利柯西不等式求出最小值.【小问1详解】53,1,()1223,12,35,2,xxfxxxxxxx−=−+−=−−当1x时，(

)2fx；当12x时，1()2fx；当2x时，()1fx；综上，min()1fx=，故1m=．【小问2详解】21ab+=，22222)(12)(2)1(bbaa+++=，即2215ab+当且仅当2112abab+==时，即12,55

ab==时等号成立，22ab+的最小值为15．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com