【文档说明】《精准解析》河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期1月阶段性检测理科数学试题（解析版）.docx，共(24)页，1.125 MB，由小赞的店铺上传

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2022年高三阶段性检测理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合401xAxx−=+，54Bxx=−，则()RAB=ð（）A.((),14,−−+B.()(

),14,−−+C.()5,1−−D.(5,1−−【答案】D【解析】【分析】解不等式得到集合A，然后利用补集和交集的定义计算即可.【详解】由题意得集合14Axx=−，R1Axx=−ð或4x，

所以()R51ABxx=−−ð.故选：D.2.若2zizi+=−=，则z=（）A1B.2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】设izxy=+，,Rxy，由条件列方程求,xy，再由复数的模的公式求z.【详解】设izxy=+，,Rxy，因为2zizi+=−

=，所以()2212xy++=，()2212xy+−=，所以0y=，23x=，所以223zxy=+=，故选：C.3.若,xy满足3020xxyxy+−+,则2xy−的最小值是（）A.1−B.3−C.5−D.7−【答案】D【解

析】【分析】根据题意画出可行域,令2zxy=−,即1122yxz=−,所以平移斜率为12的直线,12z−相当于在y轴.上的截距,,找到使y轴上的截距最值时的点代入即可.【详解】解:由题知,画出满足题意的可行域如下所示,令2zxy=−,即1122yxz=−,12z−相当于直线1

122yxz=−在y轴上的截距,平移直线12yx=,当直线过A点时,截距最大,z最小,联立203xyx−+==可得(3,5)A,故在A点时取得最优解,代入2zxy=−,可得7z=−.故选:D4.已知数列na前n项和211nSnn=−.若710ka

，则k=（）A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】先求得na，然后根据710ka求得k的值.【详解】依题意211nSnn=−，当1n=时，110a=−；当2n时，211nSnn=−，()()22111

111312nSnnnn−=−−−=−+，两式相减得()2122nann=−，1a也符合上式，所以212nan=−，的*Nk，由721210k−解得911k，所以10k=.故选：B5.已知π3sin142x−=，则πcos26x

−=（）A.58−B.58C.134−D.134【答案】B【解析】分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.【详解】πcos26x−=22πππ35cos2cos212sin126

121248xxx−=−=−−=−=.故选：B6.在ABC中，30C=，2b=，cx=．若满足条件的ABC有且只有一个，则x的可能取值是（）A.12B.22C.1D.3【答案】B

D【解析】【分析】利用余弦定理可得关于a的一元二次方程；根据三角形有唯一解可知Δ0=或在0时，方程两根一正一负或一根为零、一根为正，由此可构造不等式求得x的范围，进而确定结果.【详解】由题意知：0x；由余弦定理得：222222cos26cababCaax=+−

=+−=，即()22620aax−+−=，则()2264242xx=−−=−；当Δ0=，即22x=时，62a=，满足题意；当0，即22x时，方程()22620aax−+−=两根需一正一负或一根为零、一根为正，220x−，解得：2x.【综上所述：x的可能取值为22或3.故选：BD.7.

在ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，()2coscbAa−=，32b=则ABC的外接圆面积为（）A.4B.6C.8D.9【答案】D【解析】【分析】首先利用三角恒等变形化简，并利用同角三角函数公式求得2sin2B=，并利用正弦定理求外接圆半径，即可求得三

角形的面积.【详解】由正弦定理可知,()2sinsincossinCBAA−=,即()2sinsincossinABBAA+−=2sincossinABA=，因为sin0A,2cos2B=，22sin1cos2BB

=−=，根据正弦定理可知26sinbRB==，得3R=，则ABC的外接圆面积29sR==.故选：D8.函数()sin()(0,0)2fxx=+在区间5,66−上的图像如图所示，

将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)个单位长度后，所得到的图像关于点7,024对称，则的最小值为（）A76B.6C.8D.724【答案】C【解析】【分析】由周期求出，代点求出的

值，可得函数的()fx的解析式，再根据函数的对称性求出的值，进而可得结论．【详解】由函数()sin()(0,0)2fxx=+的图象可得2566Tw==−−=，2w=

又函数过点,06−，得sin03−+=，又02，可知3=．故函数()fx的解析式为()sin23fxx=+．把()sin23fxx=+的图象各点的横坐

标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)个单位长度后，得到()sin443gxx=−+的图象，∵所得图象关于点7,024对称，7sin440243−+=，即sin402−=

即cos40=，解得：84k=+，Zk，由0，可得当0k=时，的最小值为8．故选：C9.如图，在体积为43的三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AD＝BD，PD⊥底面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球体积的最

小值为（）.A.92B.6C.8D.724【答案】A【解析】【分析】根据已知条件作出图形，利用棱锥的体积公式及勾股定理，结合基本不等式即可求解．【详解】如图所示，由题意ABC是直角三角形，AB的中点为D，连结PD，很明显球心在PD上，设球心为O，PD＝h，AC＝x

，BCy=，OC＝R，则114323xyh=，解得8hxy=，在RtOCD△中，222OCCDOD=+，22122xyCDAB+==，则()22224xyRhR+=+−，解得()222222424826464xyxyxyhxyRhxyxy++=+=++

，当且仅当xy=时等号成立，即444332222242222133332323282xxxRxxxxx+=++==，当且仅当42232xx=，即2x=时等号成立，即R的最小值是在2xyh===时取得32，经检验正确，即满足题意时三棱锥的高为2，32R=，故外接球体积的最小值为：349

32R=，故选：A.10.已知定义在R上的函数()fx满足：()()33fxfx+=−，()()66fxfx+=−−，且当0,3x时，()()21Rxfxaa=−，则()()()()1232023ffff++++=（）

A.14B.16C.18D.20【答案】A【解析】【分析】依题意可得()()6fxfx+=−，即可得到()()6fxfx−=−−，从而得到()()12fxfx+=，即可得到函数的周期为12，再根据0,3

上的函数解析式，求出函数()0f，()1f，()2f，()3f，再计算出()60f=，又()()60ff=，即可求出a的值，最后根据周期性计算可得.【详解】解：因为()()33fxfx+=−，所以()()6fxfx+=−，又()()66fxfx+=−−，所以()()6fxfx

−=−−，即()()6fxfx=−+，所以()()()126fxfxfx+=−+=，所以()fx是以12为周期的周期函数，又当0,3x时，()()21Rxfxaa=−，所以()01fa=−，()121fa=−，()241fa

=−，()381fa=−，()()4241ffa==−，()()5121ffa==−，()()66ff=−，即()60f=，又()()60ff=，即10a−=，解得1a=，所以()00f=，又()()75ff=−，()()84ff=−，()()93ff=−，()()102ff=−，()()1

11ff=−，所以()()()12120fff+++=，又2023168127=+，所以()()()()1232023ffff++++()()()()()()()()()()()168123121234567fffffffffff=+++++++++++

()()()()()()()1234567fffffff=++++++()()()()1234137314ffff=+++=+++=；故选：A11.已知：221tan81tan8a−=+，32b=，2log32c=则（）A.abcB.

acbC.c<a<bD.cba【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的公式求出22a=，然后借助指数函数的单调性得到2log321.5222232==，即可得到ac，构造函数()22xfxx=−，利用函数的单调性得到

32230−，整理后即可得到bc.【详解】22221tancossin2888cos1421tan8a−−====+，∵2log321.5222232==，∴22log3，则2log32

22ac==，设函数()22xfxx=−，则()2ln22xfx=−，∵()22412ln22ln4lnln0f=−=−=ee，()21624ln22ln0f=−=e，且函数()fx单调递增，∴()fx只存在一个0x使()0fx=，且()01,2x，()f

x在()0,x−单调递减，∴()3102ff=，即3222log333230log3222−，所以acb故选：B.12.已知正数a，b满足()221ln2ln1aabb+−+，则22ab+=（）A.52B.5

22C.32D.322【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式得到2212aabb+当且仅当1ab=时取等号，再构造函数()ln1fxxx=−+，利用导数说明函数的单调性，即可得到ln1xx+，即可说明22ln1aabb

+当且仅当21ab=时取等号，从而得到21ab=且1ab=时()221ln2ln1aabb+−+成立，即可得解..【详解】解：因为0a，0b，所以22221122aaabbb+=，当且仅当221ab=，即1ab=时取等号，又()2ln2ln1ln1aabb

−+=+，因为正数a，b满足()221ln2ln1aabb+−+，即2212ln1aabb++，令()ln1fxxx=−+，则()111xfxxx−=−=，当01x时()0fx¢>，当1

x时()0fx，所以()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，所以()()max10fxf==，即ln10xx−+恒成立当且仅当1x=时取等号，即ln1xx+恒成立当且仅当1x=时取等号

，所以22ln1aabb+当且仅当21ab=时取等号，所以当且仅当21ab=且1ab=，即22a=，2b=时不等式()221ln2ln1aabb+−+成立，所以2252ab+=；故选：A【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是构造函数证明ln1xx+，再利用基本不等式得到两不

等式取等的条件，即可求出参数的值.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()()()2lg5lg10lgfxxx=+，则()2f=_____.【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.【详解】由题意可知，()()()()222lg5lg

102lg2lg5lg20lg2f==++()()()()()()2222lg5lg52lg5lg4lg2lg5lg2lg2lg5lg2++=++==+()2lg101==.故答案为：114.在ABC中，3AC=，4BC=，8CACB=，则AB边上中线

CD的长为_____.【答案】412【解析】【分析】作出图象，由图可知()12CDCACB=+，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可【详解】因为()12CDCACB=+，所以()()222211244CDCACBCACAC

BCB=+=++()()221141291616444CACACBCB=++=++=所以2414CD=，所以412CD=，故答案为：41215.已知函数()sin,sincoscos,sincosxxxfxxxx=，则()1

2fx的解集是_____.【答案】132,236kk++（Zk）【解析】【分析】利用辅助角公式得到sincos2sin4xxx−=−，再根据正弦函数的性质求出sincosxx的解集，同理得到sincosxx时x的取值，即可将()f

x的解析式改写成另一种形式，最后再分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解.【详解】解：由sincos2sin4xxx−=−，令022,Z4kxkk+−+，解得522,Z44kxkk++，即当522,Z44kx

kk++时sincos0xx−，即sincosxx，同理可得5922,Z44kxkk++时sincosxx，又()sin,sincoscos,sincosxxxfxxxx=

，所以()59sin,22,Z445cos,22,Z44xkxkkfxxkxkk++=++，对于不等式()12fx，当522,Z44kxkk++时1cos2x，解得522,Z34kxkk++，当5922,Z44kxkk

++时1sin2x<，解得51322,Z46kxkk++，综上可得不等式的解集为132,236kk++，()kZ.故答案为：132,236kk++，()kZ16.若方程2len1xxaxx−=−−存在唯一实根，则实数

a的取值范围是_____.【答案】(1,01e−+【解析】【分析】方程2len1xxaxx−=−−存在唯一实根，则2ln1exxaxx−++=存在唯一实根，则函数ya=与函数()()2ln1ln10e,exxfxxxxxxxx−+++=

=+有唯一的交点，利用导数分析()fx的单调性，并在同一坐标系中做出ya=与函数()eln1xfxxxx+=+的图象，即可求解【详解】方程2len1xxaxx−=−−存在唯一实根，则2ln1exxaxx−++=存在唯一实根，令()()2ln10e,xxxxxfx−++=，则()()

2221enee2l1xxxxxxxxxxfx−−−−+−++=()222231lelenenxxxxxxxxxxx−−−−+==−−−令()()()2211lneelnxxxxhxxxxx−−

=−++=，注意到()10h=，则()10f=，且当()0,1x时，210,ln0,0,e0xxxx−，所以()()22110,neel0xxxxxxx−−+，即()0hx；当()1,x+时，210,ln0,0,e0xxxx−，

所以()()22110,neel0xxxxxxx−−+，即()0hx；所以当()0,1x时，()0fx¢>，()fx单调递增；当()1,x+时，()0fx，()fx单调递减；又()()2ln1ln10e,exxfxxxxxxxx−+++==+，当()

1,x+时，()0fx恒成立；当0x→时，()fx→−；所以()()2ln1ln10e,exxfxxxxxxxx−+++==+的大致图象为：由2ln1exxaxx−++=存在唯一实根，则函数ya=与函数()(

)2ln1ln10e,exxfxxxxxxxx−+++==+有唯一的交点，由图象可知0a或11ea=+时满足条件，所以方程2len1xxaxx−=−−存在唯一实根时，实数a的取值范围是(1,01ea−+故答案为：(1,01e−

+三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数()222cossin3fxxx=−+−.（1）求函数()yfx=的单调递增区间；

（2）若函数()()02gxfx=+的图像关于点,12中心对称，求()ygx=在,63上的值域.【答案】（1）5,1212kk−++，Zk（2）311,24−【解析】【

分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先表示出()gx，根据对称性求出，即可得到()gx的解析式，再根据x的取值范围求出2x的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：()222cossin3fxxx

=−+−cos211cos23222xx++−=−−22cos2cossin2sin11cos233222xxx−+−=−−13cos2sin211cos222222xxx−−+−=

−−13cos2sin211cos222222xxx−−+−=−−33cos2sin2144xx=++331cos2sin21222xx=++3sin2123x=++，即()3sin212

3fxx=++，令222,Z232kxkk−++，解得5,Z1212kxkk−+，所以函数的单调递增区间为5,,Z1212−+kkk.【小问2详解】解：因为()()()33sin21sin2212323gxf

xxx=+=+++=+++，又()gx的图像关于点,12中心对称，所以2,Z3kk++=，解得21,Z32kk=−+，因为02，所以3=，所以()()33sin21sin2

122gxxx=++=−+，当,63x时22,33x，所以3sin2,12x，所以()311,24gx−.18.已知函数()lnfxxx=，()()1gxkx=−.（1）求()fx的极值；（2）若()()fxgx

在)2,+上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）()fx的极小值为1e−，无极大值（2）(,2ln2−【解析】【分析】（1）利用导数求得()fx的极值.（2）由()()fxgx分离常数k，通过构造函数法，结合多次求导来求得k的取值范围.【小问1

详解】()fx的定义域为()0,+，()ln1fxx=+，由()0fx=解得1ex=，所以在区间()()10,,0,efxfx递减；在区间()()1,,0,efxfx+

递增.所以()fx在1ex=时取得极小值1111lneeeef==−，无极大值.【小问2详解】依题意()()fxgx在)2,+上恒成立，即()ln1xxkx−在)2,+上恒成立，即ln1xxkx−在)2,+

上恒成立，令()()ln21xxhxxx=−，()()2ln11xxhxx−−=−，令()()ln12mxxxx=−−，()1110xmxxx=−=−，所以()mx在)2,+上递增，()22ln211ln20m=−−=−，故()0mx，所以()()2ln101xx

hxx−−=−，所以()hx在)2,+上递增，当2x=时，()hx取得最小值为()2ln222ln221h==−，所以2ln2k，即k的取值范围是(,2ln2−.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，然后结合导数来解决.当一次求

导无法求解问题时，可通过多次求导来解决，解题过程中，要注意导函数和原函数间的关系.19.数列na中，nS为na的前n项和，24a=，()()*21NnnSnan=+.（1）求证:数列na是等差数列，并求出其通项公式；（2）求数列12nSn

+的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析，32nan=−（2）()231nnTn=+【解析】【分析】（1）根据11,1,2nnnSnaSSn−==−，作差得到1(2)(1)1(2)nnn

anan−−=−−，从而得到12(3)(2)1(3)nnnanan−−−=−−，即可得到122(3)nnnaaan−−=+，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；（2）由（1）可得()3122nnnSn++=

，从而得到1211231nSnnn=−++，利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】解：数列{}na中，nS为{}na的前n项和，24a=，*2(1)(N)nnSnan=+①，当1n=时，1121aa=+，解得11a=；当2n时，11

2(1)(1)nnSna−−=−+②，①−②得1(2)(1)1(2)nnnanan−−=−−③，所以12(3)(2)1(3)nnnanan−−−=−−④，由③④得122(3)nnnaaan−−=+，所以数列{}na为等差数列，所以公

差21413daa=−=−=，所以13(1)32nann=+−=−．【小问2详解】解：由（1）可得()3212nnnS−+=，所以()()321312222nnnnnSnn−+++=+=，所以()1221123131nSnnnnn==−+++，所以()211211211211

111123123233131223131nTnnnnnn−+−++−=−+−++−=+++=.20.如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A

A1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26，求线段AM的长．【答案】（1）见解析（2）217

（3）2【解析】【详解】解：本题可通过建立空间坐标系求解．如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．(1)

证明：易得11BC＝(1,0，－1)，CE＝(－1,1，－1)，于是11BC·CE＝0，∴B1C1⊥CE.(2)1BC＝(1，－2，－1)．设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，则10{0BCmCEm==,即20{0x

yzxyz−−=−+−=消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故11BC＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向

量．于是cos〈m，11BC〉＝1111mBCmBC＝4142−＝－277，从而sin〈m，11BC〉＝217，故二面角B1－CE－C1的正弦值为217.(3)AE＝(0,1,0)，1EC＝(1,1,1)．设EM＝λ1EC＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM＝AE＋EM＝(λ，λ＋1

，λ)．可取AB＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sinθ＝|cos〈AM，AB〉|＝AMABAMAB＝()222212+++＝2321++.

于是2321++＝26，解得λ＝13(λ＝－15舍去)，∴AM＝2.21.已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，向量()sin,sinmAB=，()cos,cosnBA=r（1）若34ab=，2cos3C=，证明：ABC为

锐角三角形；（2）若ABC为锐角三角形，且sin2mnC=，求ba的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1,22【解析】【分析】（1）先求得c，然后利用余弦定理判断ABC为锐角三角形.（2）化简sin2mn

C=求得C，根据正弦定理、三角恒等变换的知识化简ba，结合三角函数值域的求法求得ba的取值范围.【小问1详解】43ab=，由余弦定理得2221629cos4323bbcCbb+−==，整理得cb=，故a是最长的边，A是最大的角，2221619cos029bbbAbb+−

==，则A为锐角，所以三角形ABC是锐角三角形.【小问2详解】()sincoscossinsinsinsin2mnABABABCC=+=+==，即sin2sincosCCC=，由于0πC，所以sin0C，所以1cos2C=，所以π3C=.因为三角形AB

C是锐角三角形，所以π02ππ32AA+，解得ππ62A，则3tan3A.由正弦定理得π13sinsincossin31322sinsinsin2tan2AAAbBaAAAA++====+，由于3tan3A，103tanA，

131222tan2A+，所以ba的取值范围是1,22.22.已知函数()21e12xfxxax=−−−，若()()()2gxhxfx+=，其中()gx为偶函数，()hx为奇函数.（1）当1a

=时，求出函数()gx的表达式并讨论函数()gx的单调性；（2）设()fx是()fx的导数.当1,1a−，1,1x−时，记函数()fx的最大值为M，函数()fx的最大值为N.求证：MN.【答案】（1）()2ee2xxgx

x−=+−−，()gx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由奇偶性可得()()()2ee2xxgxfxfxx−+−+−=−=，再利用导数法研究()gx单调性即可；（2）先用导数法研究()fx的单调性，

从而得到()()(),0,0fxxyfxfxx==−，进而结合单调性可求得()maxfx，由()exfxxa=−−得单调性可得()maxfx，再用作差法即可求解【小问1详解】当1a=时，()21e12xfxxx=−−−，由题()()()2gxhxf

x+=，其中()gx为偶函数，()hx为奇函数，则()()()()()22gxhxgxhxfx−+−−−==，所以()()()22211e1e1ee222xxxxgxfxfxxxxxx−−−−−+−+−=+−+−=

−=，所以()2ee2xxgxx−=+−−，所以()ee2xxgxx−=−−，令()ee2xxxx−=−−，则()ee22ee20xxxxx−−=+−−=，当且仅当0x=取等，所以()ee2xxxx

−=−−在R上递增，即()gx在R上递增，注意到()00g=，则(),0x−时，()0gx，()0,x+时，()0gx，所以()gx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增；【小问2详

解】由()fx的定义域是R，()exfxxa=−−，设()exhxxa=−−，则()e1xhx=−，令()0hx=得，0x=，因为()hx在R上递增，所以当(),0x−时，()0hx，()0,x+时，()0hx

，所以()hx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增；又1,1a−，于是()()010hxha=−，即()0fx，所以()fx在R上递增，注意到()00f=，所以在(),0−上()0fx，在()0,+上()0fx，所以函数()()(),0,0fxxyfx

fxx==−，()yfx=在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，所以()()()maxmax1,1fxff=−，又1,1a−，()()3313311ee,122e22efaafaa=−−=−−−=−+=

−−，()()313111e3e02e2effaa−−=−−−++=−−，因此()()max31e2fxfa==−−，又()()max31112fxfeaeaea=−−=−−−−，所以()()maxmaxfxfx，即MN【点睛】

利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com