【文档说明】高中数学人教版必修1教案：3.1.2用二分法求方程的近似解 （系列三）含答案【高考】.doc，共(11)页，294.000 KB，由小赞的店铺上传

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13．1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解●三维目标1．知识与技能(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系；(2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解；(3)培养学生探究问题的能力

与合作交流的精神，以及辨证思维的能力．2．过程与方法(1)通过对生产、生活实例的介绍，使学生体验逼近的思想和二分法的思想；(2)通过具体实例和具体的操作步骤，体验算法的程序化思想．3．情感、态度与价值观(1)通过二分法的生活实例，使学生体会到

数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣；(2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．●重点难点重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：对二分法

概念的理解，精确度的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解．重难点的突破：以李咏主持的幸运52猜商品价格创设情境，导入二分法，激发学生情趣的同时初步体会二分法的含义，并尝试总结二分法解决实际问题的步骤及隐含的思想——逼近思想，难点之一得以突破．在此基础上，提出问题：如何探寻方

程在某一区间上的零点，引导学生借助零点存在性定理，类比案例分组协作，交流意见，归纳、总结利用“二分法”求方程的近似解的过程，基于二分法求解步骤的重复性，学生存在运算无限的茫然性，此时引出精确度的概念，化

难为易，难点之二精确度的作用得以破解．课前自主导学课标解读1.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤．(重点)2．会用二分法求方程的近似解，并能用计算器辅助求解．(重点)3．会用二分法思想解决其他的实际问题．(难点)2知识1二分法的定义【问题导思】在一档娱乐节目中，主持人让选手在规

定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在800元～1200元之间的一款手机，选手开始报价：选手：1000.主持人：低了．选手：1100.主持人：高了．选手：1050.主持人：

祝贺你，答对了．1．主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？【提示】[1000,1200]．2．选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系？【提示】报价值为竞猜前手机价格所在范围的中间值．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f

(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【问题导思】在上述猜物品价格的实例中，竞猜的过程是否有规律可循？【提示】竞猜过程归结为：设原价为x，则(1)给定价格区间[a，b]；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)若c>x，则在区间(

a，c)内竞猜；若c<x，则在区间(c，b)内竞猜；(4)依次类推，直到猜出原价x.给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2

)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)，若f(c)＝0，则c就是零点；若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b

))．3(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)～(4).课堂互动探究类型1二分法的定义下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()【思路

探究】图象在零点附近连续――→逐项判断该零点左右函数值异号【自主解答】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.【答案】B判断一个函数

能否用二分法求零点的依据是：函数图象在零点附近是连续不断的，且该零点是变号零点．下列函数中不能用二分法求零点的是()A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x|D．f(x)＝lnx【解析

】结合函数f(x)＝|x|的图象可知，该函数在x＝0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．【答案】C类型2用二分法求函数的零点用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)．

【思路探究】确定f(1)与f(1.5)的符号→按二分法求零点的步骤求解4【自主解答】经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.取区间(1,1.5)的中点x1＝1.2

5，经计算f(1.25)<0，因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：，b)(a，b)的中点f(a)f(b)fa＋b25)1.25f(1)<0f(1.5)>0f(1.25)<0

5,1.5)1.375f(1.25)<0f(1.5)>0f(1.375)>05,1.375)1.3125f(1.25)<0f(1.375)>0f(1.3125)<0125，1．375)1.34375f(1.3125)<

0f(1.375)>0f(1.34375)>0125，1．34375)1.328125f(1.3125)<0f(1.34375)>0f(1.328125)>0125，1．328125)1.3203125f(1.3125)<0f(

1.328125)>0f(1.3203125)<0因为|1.328125－1.3203125|＝0.0078125<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328125.1．用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间

[m，n](一般采用估计值的方法完成)．(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似

值．2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点，中值计算两边看．同号丢，异号算，零点落在异号间．重复做，何时止，精确度来把关口．已知f(x)＝1x－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二

分法求x0的近似值(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次数为()A．3B．4C．5D．6【解析】由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次f32>0，区间长度2－32＝0.5>0.2，分二次，f74>0，区间长度2－74＝0.25>0.2，

5分三次f158<0，区间长度74－158＝18<0.2，所以最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2.【答案】A用二分法求方程的近似解用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．【思路探究】构造函数f(x)＝

2x3＋3x－3→确定初始区间(a，b)→二分法求方程的近似解→验证|a－b|<0.1是否成立→下结论【自主解答】令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0

,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f(

a＋b2)(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0

.625)<0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.6875)<0由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近

似解可取为0.6875.根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤求解．用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精

确度为0.2)．参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67【解】令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.6区间区间中点值xnf(xn)的值

及符号(1,2)x1＝1.5f(x1)＝0.33>0(1,1.5)x2＝1.25f(x2)＝－0.37<0(1.25,1.5)x3＝1.375f(x3)＝－0.035<0(1.375,1.5)∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375

.思想方法技巧巧用二分法求根式的近似值(12分)求32的近似值(精确到0.01)．【思路点拨】设x＝32→32就是方程x3－2＝0的根→32就是函数y＝x3－2的零点【规范解答】设x＝32，则x3－2＝0，令f(x)＝x3－

2，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值.2分以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.4分用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值[1

,2]1.51.375[1,1.5]1.25－0.0469[1.25,1.5]1.3750.5996[1.25,1.375]1.31250.2610[1.25,1.3125]1.281250.1033[1.25,1.28125]1.2656250.0273[1.25

,1.265625]1.25781－0.01[1.25781,1.265625]由于区间[1.25781,1.265625]的长度1.265625－1.25781＝0.007815<0.01，所以这个区间的7中点1.26可以作为函数f(x)零点的近似值，即32的近似值是1.26

.12分思维启迪1．求根式的近似值，实质上就是将根式转化为方程的无理根，利用函数零点的性质，通过二分法求解．2．二分法思想实质上是一种逼近思想，所求值与近似值间的差异程度取决于精确度ε.课堂小结1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使

区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)<0.上述两条的函数方可采用二分法求得零点的

近似值.当堂检测1．已知函数f(x)的图象如图3－1－1，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为()图3－1－1A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3【解析】由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往

右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)<0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．【答案】D2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间为()A．[－2,1]B．[－1,0]8C．[0,1]D．[1,2]【解析】由f(－2)·f(1)<0知初

始区间可以取[－2,1]．【答案】A3．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似解，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．【解析】∵x1＝3，且f(2)·f(3)<0，∴x0∈(2,

3)．【答案】(2,3)4．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度为0.1)．【解】设f(x)＝x2－2x－1，因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以可以确定区间(2,3)作为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点

的函数值的符号取值区间f(2)<0，f(3)>0(2,3)x1＝2＋32＝2.5f(2.5)>0(2,2.5)x2＝2＋2.52＝2.25f(2.25)<0(2.25,2.5)x3＝2.25＋2.52＝2

.375f(2.375)<0(2.375,2.5)x4＝2.375＋2.52＝2.4375f(2.4375)>0(2.375,2.4375)由上表的计算可知，|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1.因此方程

x2＝2x＋1的一个近似解为2.4375.课后智能检测一、选择题1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()9【解析】根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，

且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．【答案】C2．为了求函数f(x)＝2

x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表所示：x0.61.01.41.82.22.63.0f(x)1.161.000.680.24－0.25－0.70－1.00则函数f(x)的一个零点所在的区间是()A．(0.6,1.0)

B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2)D．(2.6,3.0)【解析】∵f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)<0，∴零点在区间(1.8,2.2)上．故选C.【答案】C3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一

次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为()A．(0,0.5)，f(0.25)B．(0,1)，f(0.25

)C．(0.5,1)，f(0.25)D．(0,0.5)，f(0.125)【解析】∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f0＋0.52＝f(0.25)．【答案】A4．下面关于二分法

的叙述，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循D．只有在求函数零点时才用二分法【解析】A不正确，二分法只能求变号零点的近似值．B正确，因为二分法的近似解取决于精确度ε.C不正确，二分法每次均是取(a，b)的中

点，并验证|a－b|<ε是否成立，故二分法有规律可10循．D不正确，二分法思想应用广泛，可以应用于生产实际中．【答案】B5．(2014·合肥高一检测)函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为()A．(－2,0)B．(0,2)C．[－2,0]D．[0,2]【解析

】由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m<0∴0<m<2【答案】B二、填空题6．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝32，则下一个含根的区间是________．【解析】令f(x)＝lnx－

2＋x，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2>0，f32＝ln32－12>0，∴下一个含根的区间是1，32.【答案】1，327．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算f(0.625)<0

，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，则可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．【解析】因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以[0.75,0.6875]内的任意一个值都可作为方程的近似解．【答案】0.75(答案不唯一)8．(2014·广

州高一检测)一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测______次．图3－1－2【解析】第1次取中点把焊点数减半为642＝32(个)，第2次取中点把焊点数减半为644＝16(个)，第3次取中点把

焊点数减半为648＝8(个)，第4次取中点把焊点数减半为6416＝4(个)，11第5次取中点把焊点数减半为6432＝2(个)，第6次取中点把焊点数减半为6464＝1(个)，所以至多需要检测的次数是6.【答案】6三、解答题9．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个近似零点，其参考数据如下：f(

1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060根据此数据，求方程3x－x－4＝0的一个近似解(精解度0.01)．【解】因为f(1.56

25)·f(1.5562)<0，所以函数的零点在区间(1.5562,15625)内，因为|1.5625－1.5562|＝0.0063<0.01，所以方程3x－x－4＝0的一个近似解可取为1.5625.10．画出函数f(x

)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的根的情况．【解】图象如图所示，因为f(0)＝－1<0，f(2)＝1>0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因

为f(1)＝－1<0，所以f(1)·f(2)<0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25<0，所以f(1.5)·f(2)<0，根x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.3125>0，所以f(1.5)·f(1.75)<

0，根x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．11．在26个钢珠中，混入了一个外表和它们完全相同的铜珠(铜珠稍重)，现只有一台天平，你能否设计一个方案，称最少的次数把铜

珠找出来．【解】把26个钢珠等分成两份，放在天平里，铜珠一定在较重的13个中，把这13个钢珠随便拿出一个，再将剩下的12个等分成两份，放在天平上，若质量相等，则拿出的那个就是铜珠；否则，在质量较重的6个中，再等分为两份放在

天平上，铜珠还是在稍重的3个中，再拿出一个，其余的两个放在天平上，若天平平衡，则拿出的一个便是铜珠，否则天平上稍重的那个便是，因而最少称4次便可把铜珠找出来.