【文档说明】福建省南安市侨光中学2020-2021学年高二下学期第一次阶段考试数学试题含答案.docx，共(10)页，428.587 KB，由管理员店铺上传

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2021年春季南安侨光中学高二年第4次阶段考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线l经过原点和()1,1−，则它的倾斜角是（）A.45°B.60°C.1

20°D.135°2.已知椭圆223412xy+=的左顶点为A，上顶点为B，则AB＝（）A.3B.2C.7D.43.等比数列{}na满足114a=,()35441aaa=−,则2a=（）A．12B．1C．2D．184.函数,sin21)(xxxf−=),0(x，则)(xf的

最小值为（）A.6B.633+C.633−D.235.已知3)31(5ba+=+(ba,为有理数)，则ba−＝（）A．120B．46C．110D．326.已知抛物线C：)0(22=ppxy的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，

若PFPT332=，则PTF＝（）A．015B．030C．045D．0607.过三点)7,1(),2,4(),3,1(−CBA的圆截直线02=++ayx所得弦长的最小值等于（）A．13B．32C．34D．132

8.数列na满足：11a=，*,()mnmnaaamnmnN+=++，若数列1na的前n项和74nS，则n最小为（）A．5B．6C．7D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分．共20分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得5分．有选错的得

0分，部分选对的得3分．9.设，都是单调函数，其导函数分别为、，)()()(xgxfxh+=，下列命题中，正确的是（）A．若，，则单调递增；B．若，，则单调递增；C．若，，则单调递减；D．若，，则单调递减.10.已知曲线的方程为，则下列结

论正确的是（）．A．若曲线为圆，则的值为2;B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为xy33=;C．“”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件;D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为.11.已知圆C：2220xyx

+−=，点A是直线3ykx=−上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为（）A．1B．0C．1−D．2−12.设nS为数列{}na的前n项和，若2nnSS(n+N)等于一个非零常数，则称数列{}na为“和等比数列”,下列命题正确的是（）A．等差数列可能为

“和等比数列”；B．等比数列可能为“和等比数列”；C．非等差等比数列不可能为“和等比数列”；D．若正项数列{}na是公比为q的等比数列，且数列{ln}na是“和等比数列”，则21qa=.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()1,0,2a→=+，()

6,21,2b→=−，若//ab→→，且a→与b→反向，则+=________．14.已知点),0,2(),0,2(BA−如果直线)0(043=+−mmyx上有且只有一个点P使得PA⊥PB,那么实数m的

值为________．15.已知双曲线1222=−yx上存在两点NM,关于直线bxy+−=对称，且MN的中点在抛物线xy32=上，则实数b的值为________．16.现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球

，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数𝑓(𝑥

)=𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥，(𝑏,𝑐∈𝑅)(1)当1,1−==cb时，求函数)(xf的单调区间；(2)设𝑥1，𝑥2是函数𝑓(𝑥)的两个极值点，当|𝑥1−𝑥2|=2时，求𝑓(1)的最小值．18．(本小题满分12分)甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一

道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列na的前n项和为nS，已知_____，（1）判断321,,SSS的关系；（2）若133aa−=，设12nnnba=，记nb的前n项和为nT，证明：43nT.甲同学记得缺少的条件是

首项1a的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,,SSS成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.19．(本小题满分12分)已知圆心在y轴上的圆C经过点)3

,3(S，截直线5=y所得弦长为32，直线02=++ayaxl：.（1）求圆C的方程；（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，当a为何值时，ABC的面积最大.20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABCABC−中，点D在棱

11AB上，E，F分别是1CC，BC的中点，11AEAB⊥，12AAABAC===．（1）证明：DFAE⊥；（2）当D为11AB的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．21．(本小题满分12分

)已知椭圆()222210xyCabab+=:的焦距为22，且过点()21,.（1）求C的方程；（2）若直线l与C有且只有一个公共点，l与圆226xy+=交于BA,两点，直线OBOA,的斜率分别记为1k，2k.试判

断12kk是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由.22．(本小题满分12分)已知函数21()eln(,)axfxxbxaxabR+=−−．（1）若0b=，曲线()fx在点(1,(1))f处的切线与直

线2yx=平行，求a的值；（2）若2b=，且函数()fx的值域为)2,+，求a的最小值．2021年春季南安侨光中学高二年第4次阶段考数学试卷参考答案一、单项选择题：1-5.DCACD6-8.BCC二、多项选择题：9.AD10.AC11.BCD12.ABD三、填空题：13.52

−14.1015.0或16.336四、解答题：17.解：(1)因为xxxxf−+=23)(，,123)(2−+=xxxf函数的单调递增区间为)1,(−−和),31(+，单调递减区间为)31,1(−…………………………4分(2)由f′(x)=3x2+2bx+c，知x1+x2=−2b3，x1x

2=c3，又|x1−x2|=2，所以(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=4b29−4c3=4，即c=b23−3，所以f(1)=b+c+1=b23+b−2=13(b+32)2−114≥−114，所以当b=−32时，c=−94，△=4b2−12c

=4(b2−3c)>0，f(1)=−114，故当b=−32，c=−94时，f(1)的最小值为−114．…………………………10分18.（1）题干应补充条件：21−=q.由题意可得11Sa=，2121111122Saaaaa=+=−=，31231111

113244Saaaaaaa=++=−+=，可得1232SSS+=，即1S，3S，2S成等差数列；…………………………5分（2）证明：由133aa−=，可得11134aa−=，解得14a=，112141212232nnnnnnban−==−=

，则2111112332482nnTn=++++，11211111232348162nnTn+=++++，上面两式相减可得112111111232481622nnnTn+=+++++−1111212213212nnn+−

=−−，化简可得142132nnnT++=−，由12112nn++−，可得43nT.…………………………12分19.（1）设圆的方程为：,把代入得,①又∵圆截直线所得弦长为∴②,联立①②解得,∴圆方程为：

…………………………6分（2）圆心到直线的距离,由,此时即时等号成立解得或,则当或时的面积最大.………………………12分20.（1）证明：在直三棱柱111ABCABC−中，有111AAAB⊥，又11AEAB⊥，1AEAAA=，11AB⊥平面11AACC，又11AC平面11AACC，1

111ABAC⊥．ABAC⊥，1ABAA⊥，1ACAA⊥如图，分别以AC，1AA，AB所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系Axyz−，则(2,0,0)C，(0,0,2)B，(0,0,0)A，1(0,2,0)A，(1,

0,1)F，(2,1,0)E．设()0,2(,02)Dtt，则1,2,(1)FDt−=−uuur，(2,1,0)AE=，1,2,12,1(,)(0)0FDAEt−==−uuuruuur，DFAE⊥．…………………………6分（2）当D为11AB的中点时，(0,2,1)D，1,1,1()E

F−=−uuur，(1),2,0FD−=uuur，设平面DEF的法向量为(,,)nxyz=，则00nEFnDF==，即020xyzxy+−=−=令1y=得，(2,1,3)n=，易知平面ABC的法向量为(0,1,0)m=，所以222114cos,14213nmmnn

m===++rururrrur，即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为1414．………………………12分21.（1）由题意，得22222222211cabcab=+==−，解得2a=，2b=.椭圆C的

方程为22142xy+=.…………………………………………5分（2）12kk为定值12−.理由如下：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x=；当2x=时，(2,2),(2,2)AB−，则12221222kk=−=−;当2x=−时，,(2

,2),(2,2)AB−−−，12221222kk=−=−；……………………………………6分②当直线l的斜率存在时，设其方程为()()1122,,,,ykxmAxyBxy=+联立22142ykxmxy=++=，得()222

124240kxkmxm+++−=由题意得：()()222216412240kmkm=−+−=，得2242mk=+则212122226,11kmmxxxxkk−+=−=++.…………………………………………………8分()()()22121212

1212121212kxmkxmkxxkmxxmyykkxxxxxx+++++===22222222222262642611162642601mkmkkmmnkkkkkmkk−+−+−+−++====−−

−+−+综上，12kk为定值12−.……………………………………………………12分22.（1）当0b=时，21()axfxxeax+=−，1()(2)axfxxeaxa+=+−，由1(1)(2)2

afeaa+=+−=，得1(2)(2)0aeaa++−+=，即1(1)(2)0aea+−+=，解得1a=−或2a=−，当1a=−时，0(1)12fe=+=，此时直线2yx=恰为切线，故舍去，所以2a=−.…………………………4分（2）当2b=时，21

()2lnaxfxxexax+=−−，设21axtxe+=，设21axtxe+=，则ln2ln1txax=++，故函数()fx可化为()ln1gttt=−+.由11()1tgttt−=−=,得()gt的单调递减区间为(0,1)，单调递增

区间为(1,)+，所以()gt的最小值为(1)1ln112g=−+=，此时1t=，函数的()fx的值域为[2,)+,问题转化为当1t=时，ln2ln1txax=++有解，即ln12ln10xax=++=，得12lnxax+=−.设12ln(

)xhxx+=−，则22ln1()xhxx−=，故()hx的单调递减区间为(0,)e，单调递增区间为(,)e+，所以()hx的最小值为2(e)eh=−，故a的最小值为2e−．…………………………12分