【文档说明】福建省南安市侨光中学2020-2021学年高二下学期第一次阶段考试数学试题含答案.docx，共(10)页，428.587 KB，由管理员店铺上传

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2021年春季南安侨光中学高二年第4次阶段考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线l经过原点和()1,1−，则它的倾斜角是（）A.45°

B.60°C.120°D.135°2.已知椭圆223412xy+=的左顶点为A，上顶点为B，则AB＝（）A.3B.2C.7D.43.等比数列{}na满足114a=,()35441aaa=−,则2a=（）A．12B．1C．2D．184.函数,sin21)(xxxf−=),0(

x，则)(xf的最小值为（）A.6B.633+C.633−D.235.已知3)31(5ba+=+(ba,为有理数)，则ba−＝（）A．120B．46C．110D．326.已知抛物线C：)0(22=ppxy的焦点为F，对称轴与

准线的交点为T，P为C上任意一点，若PFPT332=，则PTF＝（）A．015B．030C．045D．0607.过三点)7,1(),2,4(),3,1(−CBA的圆截直线02=++ayx所得弦长的最小值等于（）A．13B．32C．34D．132

8.数列na满足：11a=，*,()mnmnaaamnmnN+=++，若数列1na的前n项和74nS，则n最小为（）A．5B．6C．7D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分．共20分．在每小题给

出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得5分．有选错的得0分，部分选对的得3分．9.设，都是单调函数，其导函数分别为、，)()()(xgxfxh+=，下列命题中，正确的是（）A．若，，则单调递增；B．若，，则单调递增；C．若，，则单调递减；D．若，，则单调递减.10.已知曲线

的方程为，则下列结论正确的是（）．A．若曲线为圆，则的值为2;B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为xy33=;C．“”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件;D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为.11.已知圆C：2220xyx+−=，点A是直线3ykx=−上任意一点，若以点A为圆心，半

径为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为（）A．1B．0C．1−D．2−12.设nS为数列{}na的前n项和，若2nnSS(n+N)等于一个非零常数，则称数列{}na为“和等比数列”,下列命题正确的是（）A．等差数列可

能为“和等比数列”；B．等比数列可能为“和等比数列”；C．非等差等比数列不可能为“和等比数列”；D．若正项数列{}na是公比为q的等比数列，且数列{ln}na是“和等比数列”，则21qa=.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()1,0,2a→=+，()6,21,2b→

=−，若//ab→→，且a→与b→反向，则+=________．14.已知点),0,2(),0,2(BA−如果直线)0(043=+−mmyx上有且只有一个点P使得PA⊥PB,那么实数m的值为________．15.已知双曲线12

22=−yx上存在两点NM,关于直线bxy+−=对称，且MN的中点在抛物线xy32=上，则实数b的值为________．16.现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_

______种.（结果用数字表示）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥，(𝑏,𝑐∈𝑅)(1)当1,1−==cb时，求函数)(xf的单调区间；(2)设�

�1，𝑥2是函数𝑓(𝑥)的两个极值点，当|𝑥1−𝑥2|=2时，求𝑓(1)的最小值．18．(本小题满分12分)甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列na的前n项和为nS，已知_____，（1）

判断321,,SSS的关系；（2）若133aa−=，设12nnnba=，记nb的前n项和为nT，证明：43nT.甲同学记得缺少的条件是首项1a的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,,SSS成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是

正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.19．(本小题满分12分)已知圆心在y轴上的圆C经过点)3,3(S，截直线5=y所得弦长为32，直线02=++ayaxl：.（1）求圆C的方程；（2）若直线l与圆C相交

于A、B两点，当a为何值时，ABC的面积最大.20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABCABC−中，点D在棱11AB上，E，F分别是1CC，BC的中点，11AEAB⊥，12AAABAC===．（1）证明：DFAE⊥；（2）当D为11AB的中点时，求平面DEF与平面ABC所

成锐二面角的余弦值．21．(本小题满分12分)已知椭圆()222210xyCabab+=:的焦距为22，且过点()21,.（1）求C的方程；（2）若直线l与C有且只有一个公共点，l与圆226xy+=交于BA,两点，直线OBOA,的斜率分别记为1k，2k.试判断12kk是否为定值，若是，求

出该定值；否则，请说明理由.22．(本小题满分12分)已知函数21()eln(,)axfxxbxaxabR+=−−．（1）若0b=，曲线()fx在点(1,(1))f处的切线与直线2yx=平行，求a的值；（2）若2b=，且函数()fx的值域为)2,+，求a的最小值．2021年春季

南安侨光中学高二年第4次阶段考数学试卷参考答案一、单项选择题：1-5.DCACD6-8.BCC二、多项选择题：9.AD10.AC11.BCD12.ABD三、填空题：13.52−14.1015.0或16.336四、解答题：17.解：(1)因为xxxxf−+

=23)(，,123)(2−+=xxxf函数的单调递增区间为)1,(−−和),31(+，单调递减区间为)31,1(−…………………………4分(2)由f′(x)=3x2+2bx+c，知x1+x2=−2b3，x1x2=c3，又|x1−x2|

=2，所以(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=4b29−4c3=4，即c=b23−3，所以f(1)=b+c+1=b23+b−2=13(b+32)2−114≥−114，所以当b=−32时，c=−94，△=4b2−12c=4(b2−

3c)>0，f(1)=−114，故当b=−32，c=−94时，f(1)的最小值为−114．…………………………10分18.（1）题干应补充条件：21−=q.由题意可得11Sa=，2121111122Saaaaa=+=−=，31231111113

244Saaaaaaa=++=−+=，可得1232SSS+=，即1S，3S，2S成等差数列；…………………………5分（2）证明：由133aa−=，可得11134aa−=，解得14a=，112141212232nnnnnnban−==−=

，则2111112332482nnTn=++++，11211111232348162nnTn+=++++，上面两式相减可得112111111232481622nnnTn+=+

++++−1111212213212nnn+−=−−，化简可得142132nnnT++=−，由12112nn++−，可得43nT.…………………

………12分19.（1）设圆的方程为：,把代入得,①又∵圆截直线所得弦长为∴②,联立①②解得,∴圆方程为：…………………………6分（2）圆心到直线的距离,由,此时即时等号成立解得或,则当或时的面积最大.………………………12分20.（1）证明：在直三棱柱111ABCABC−中，有111AAA

B⊥，又11AEAB⊥，1AEAAA=，11AB⊥平面11AACC，又11AC平面11AACC，1111ABAC⊥．ABAC⊥，1ABAA⊥，1ACAA⊥如图，分别以AC，1AA，AB所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系Axyz−，则(2,0,0)C，(0,0,2)B

，(0,0,0)A，1(0,2,0)A，(1,0,1)F，(2,1,0)E．设()0,2(,02)Dtt，则1,2,(1)FDt−=−uuur，(2,1,0)AE=，1,2,12,1(,)(0)0

FDAEt−==−uuuruuur，DFAE⊥．…………………………6分（2）当D为11AB的中点时，(0,2,1)D，1,1,1()EF−=−uuur，(1),2,0FD−=uuur，设平面DEF的法向量为(,,)n

xyz=，则00nEFnDF==，即020xyzxy+−=−=令1y=得，(2,1,3)n=，易知平面ABC的法向量为(0,1,0)m=，所以222114cos,14213nmmnnm===++rururrrur，即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为1414．

………………………12分21.（1）由题意，得22222222211cabcab=+==−，解得2a=，2b=.椭圆C的方程为22142xy+=.…………………………………………5分（2）12kk为定值12−.理

由如下：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x=；当2x=时，(2,2),(2,2)AB−，则12221222kk=−=−;当2x=−时，,(2,2),(2,2)AB−−−，12221222kk=−=−；……………………………………6分②当直线

l的斜率存在时，设其方程为()()1122,,,,ykxmAxyBxy=+联立22142ykxmxy=++=，得()222124240kxkmxm+++−=由题意得：()()222216412240kmkm=−+−=，得2242mk=+则212122226,11kmmxxxxkk

−+=−=++.…………………………………………………8分()()()221212121212121212kxmkxmkxxkmxxmyykkxxxxxx+++++===22222222222262642611162642601mkmkkmm

nkkkkkmkk−+−+−+−++====−−−+−+综上，12kk为定值12−.……………………………………………………12分22.（1）当0b=时，21()axfxxeax+=−，1()(2)axfxxeaxa+=+−，由1(

1)(2)2afeaa+=+−=，得1(2)(2)0aeaa++−+=，即1(1)(2)0aea+−+=，解得1a=−或2a=−，当1a=−时，0(1)12fe=+=，此时直线2yx=恰为切线，故舍去，所以2a=−.…………………………4分（2）当2b=时，21()2ln

axfxxexax+=−−，设21axtxe+=，设21axtxe+=，则ln2ln1txax=++，故函数()fx可化为()ln1gttt=−+.由11()1tgttt−=−=,得()gt的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+，所以()gt的最小值为(1)1ln11

2g=−+=，此时1t=，函数的()fx的值域为[2,)+,问题转化为当1t=时，ln2ln1txax=++有解，即ln12ln10xax=++=，得12lnxax+=−.设12ln()xhxx+=−，则22ln1()xhxx−=，故()hx的单调

递减区间为(0,)e，单调递增区间为(,)e+，所以()hx的最小值为2(e)eh=−，故a的最小值为2e−．…………………………12分