【文档说明】2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册同步练习 5-7三角函数的应用.docx，共(16)页，1.380 MB，由小赞的店铺上传

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5.7三角函数的应用一、单选题1．一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点0P）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记

()hft=，则(0)(1)(2)fff++=（）A．0B．1C．3D．42．如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．内部表盘为圆形，外部环形装

饰部分宽度为5cm，此表挂在墙上，最高点距离地面的高度为2.35m，最低点距离地面的高度为1.95m，以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边沿），若4个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的高度约为（）πcos

0.9712A．220.45cmB．198.03cmC．200.45cmD．229.55cm3．健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg和60~89mmhg，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别

为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)Ptt=+，其中()Pt为血压（mmhg），t为时间（min）．给

出以下结论：①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值④此人的心跳为80次/分其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．44．时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地

区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温y（℃）随时间x（时）的变化趋势近似满足函数π5π10sin2584yx=−+，

则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（）A．7.3时～11.3时B．8.7时～11.3时C．7.3时～12.7时D．8.7时～12.7时5．已知函数()()()2sin0,πfxx=+，()()244ff−=，且()fx在2,4上单调.设函

数()()32gxfx=−，且()gx的定义域为()5,8−，则函数()gx的所有零点之和等于（）A．7B．9C．10D．126．车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F()t（单位：辆/分钟）与时间t（单

位：分钟）的函数关系式为()504sin(020)2tFtt=+，则车流量增加的时间段是（）A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20]7．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地

图学提供了数学基础，现根据刘徽的《重差》测景一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°，且100mBC=，则该球体建筑物的高度约为（）A

．100mB．()502m3+C．()502m3−D．503m8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，

将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为4m，圆心O距离水面2m，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点0P）开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，当15t=时，点P到水

面的距离为（）A．4mB．3mC．2mD．1m二、多选题9．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻t（单位：s）时过山车（看作质点）离地平面的高度h（单位：m）为()()sin,(0,0htAtBA=++，π2）．已知当4t=时，过山车到达第一个最高点

，最高点距面50m，当10t=时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面10m．则（）A．30A=B．π6=C．过山车启动时距地面20米D．一个周期内过山车距离地平面高于40m的时间是4s10．关于函数()sinsinfxxx=+，下列选项正确的是（）A．()fx的最小正周期是2πB．(

)fx在区间π,π2单调递减C．()fx在π,π−有4个零点D．()fx的最大值为211．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如武汉东湖的“东湖之眼”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度55米，转盘直径为50米，设置若干个座舱，游

客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转t分钟，当10t=时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为（）A．摩天轮离地面最近的距离为5米B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则π25

cos3010ht=−+C．存在1t，2[0,15]t，使得游客在该时刻距离地面的高度均为20米D．若在1t，2t时刻游客距离地面的高度相等，则12tt+的最小值为2012．动点,()Axy在圆221xy+=上绕坐标原点沿逆时针方

向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0=t时，点A的坐标是13,22，则当012t时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A．[0,1]B．[1]7,C．[8]10,D．[7]12,三、填空题13．简谐运动1

πsin228yx=−的频率f=_________14．若以函数()()()sin0fxAxA=+图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则A=___________15．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路

OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，PQ，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，PQ所对的圆心角为π

6.记∠PCA＝2（道路宽度均忽略不计）.求新路总长度的最小值___________16．已知O为坐标原点，对于函数()sincosfxaxbx=+，称向量(,)OMab=为函数()fx的伴随向量，同时称函

数()fx为向量OM的伴随函数．若函数()fx的伴随向量为(3，1)，()()1hxfx=+，若实数m，n，p使得()()1mhxnhxp+−=对任意实数x恒成立，则cospmn的值为__________四、

解答题17．如图是半径为2m的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时针方向以角速度πrad/s3（每秒绕圆心转动πrad3）作圆周运动，已知点P的初始位置为0P，且0P的纵坐标为1，设点P的纵坐标y是转动时间t

（单位：s）的函数记为()yft=(1)求函数()yft=的解析式；(2)用五点作图法作出函数()ft，06t的简图；(3)当水车上点P的纵坐标大于等于1时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？18．如图，钟摆从最高处A的位置开始

摆动，每经过1.8s又回到点A．那么，在图中钟摆达到最高位置点A时开始计时，经过1min后，请你估计钟摆在铅垂线的左边还是右边．1．C【详解】由题意设()sin()hftAtk==++，则2,1Ak==，3T=，则2π2π3T==，当0=t时，(0)2sin10f=+=，取π6=−，故

2ππ()2sin()136ftt=−+，(0)0,(1)3,(2)0fff===，(0)(1)(2)3fff++=，故选：C2．C【详解】解：如图所示：由题意得：外圆的半径为235195202R−==cm，内圆的半径为515rR=−=cm，π15,1

2OCCOD==，所以π15cos150.9714.5512OD==，则此时指针尖到地面的高度约为：2352352352014.55200.45ADAOOD−=−−=−−=cm，故选：C3．C【详解】因为某人的血压满

足函数式()11525sin(160π)Ptt=+，又因为1sin(160π)1t−，所以11525()11525Pt−+，即90()140Pt，即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg，故①正确；因为收缩压为140mmhg，舒张压为90mmhg，均超过健康范围，即此人的

血压不在健康范围内，故②错误，③正确；对于函数()11525sin(160π)Ptt=+，其最小正周期2π1160π80T==（min），则此人的心跳为180T=次/分，故④正确；故选：C4．B【详解】当6,16x时，π5ππ3π,8424x

−−，由π5π10sin252084yx=−+=，得π5π1sin842x−=−，所以π5ππ26,8.78463xx−=−=(时)；由π5π10sin253084yx

=−+=，得π5π1sin842x−=，所以π5ππ34,11.38463xx−==(时).故在6时16时中，观花的最佳时段约为8.7时11.3时.故选：B5．D【详解】由题设知：()[2,2]fx−，而()()244ff−=，且()fx在2,4上单调

.所以必有(2)2,(4)2ff==−，且4222T=−=，所以2π4T==，则π2=，所以有sin(2π)sin1+==−，又||π，所以π2=−，所以π()2sin(1)2fxx=−，则()()3π32sin(1)

222gxfxx=−=−−，所以令()0gx=有π32sin(1)22x−=，故判断πsin(1)2yx=−与34y=在()5,8x−有几个交点及对应对称轴有哪几条即可，如下图示：所以共有6个零点且3456122,2,6222xxxxxx+++=−==，即12345612xxxxx

x+++++=.故选：D.6．C【详解】令ππ2π2π(Z)222tkkk−+，得4ππ4ππ,(Z)ktkk−+，因为020t，所以当0k=时，函数()yFt=的单调递增区间为[0,π]；当1k=时，函数()yFt=的单调递增区间为[3π,

5π]．因为[10,15][3π,5π]，所以车流量在时间段[10,15]内是增加的，故选：C.7．A【详解】解：设球的截面圆心为O，连接OB，OC，设球的截面圆的半径为R，由圆的切线的性质可得：15OCA=，30OBA=，则tan15OAAC=，tan30OAAB=

，所以100tan15tan30OAOABCACAB==−=−，可得11100tan15tan30OA−=，即10011tan15tan30OA=−，又因为3tan303=，()31tan45tan30333t

an15tan45301tan45tan3033313−−−=−===+++，所以113332tan15tan3033+−=−=−，所以100502OA==，所以球的直径2100OA=.故选：A.8．A【详解】设(,)Pxy，则点P到

水面的距离2hy=+，由题可知，0OP与Ox的夹角为π6，OP在时间t转过的角度为62ππ605tt=，由图可知，点P的纵坐标ππ4sin65yt=−+，因此则点P到水面的距离ππ24si

n256hyt=+=−+，当15t=时，πππ4sin1524sin24566h=−+=+=，所以点P到水面的距离为4m．故选：A9．BCD【详解】由题意知，周期T满足10462T=−=，解得12T=

，所以2ππ126==，又因为5010ABAB+=−+=，解得2030AB==，所以()20sin()306πhtt=++，由(4)50h=，得220sin()30503π++=，2πsin()13+=，π2π

,Z6kk=−+，因为π2，所以π6=−，所以()20sin()3066ππhtt=−+，对于A，20A=，故A错误；对于B，π6=，故B正确；对于C，(0)20sin()30206πh=−+=，

故C正确；对于D，()40ht，20sin()304066ππt−+，则5226666ππππkπtkπ+−+，即212612ktk++，Zk，所以一个周期内过山车距离地平面高于40m的时间是4s，故D正确，故选：BCD

．10．BD【详解】选项A：令π6x=−，()ππ11sinsin1;6622fx=−+−=+=()ππ112πsin2πsin2π0,6622fx+=−++−+=−+=()()2πfxfx+，选项错误；选项B：π,π2x，sin0x＞，所以()si

nsin2sinfxxxx=+=，()fx在区间π,π2单调递减，选项正确；选项C：())2sin,π,0sinsin,2sin,0,πxxfxxxxx−−=+=当)π,0x−，令()

0,fx=得2sin0,x−=解得：π,x=−当0,πx，令()0,fx=得2sin0,x=解得：0x=或π,x=所以函数()fx在π,π−有3个零点，选项错误；选项D：因为sin1,sin1,xx所以()sinsin2,fxxx=+又πππ

sinsin2,222f=+=所以()fx的最大值为2,选项正确；故选：BD.11．ABD【详解】对于A，由题意知，摩天轮离地面最近的距离为55505−=米，故A正确；对于B，设()sinhAtb=++，当0=t时，游客从离地面最近的位置进舱，当10t=时，游

客随舱旋转至距离地面最远处.所以2π20T==，π10=，555302b+==，555252A−==，又当0=t时，5h=，所以π2=−，所以π25cos3010ht=−+，故B正确；对于C，因为1t，2[0,15]t，又高度

相等，函数π25cos3010ht=−+的对称轴为10t=，则12,tt关于10t=对称，则12102tt+=，则1220tt+=；令π0π10t，解得010t，令π10π2πt，解得1020t，则h在0,10t上单调递增，

在10,15t上单调递减，当10t=时，max55h=，当0=t时，5h=；当15t=时，3π25cos3030202h=−+=，所以20h=在0,15t只有一个解，故C错误；对于D，π25cos30

10ht=−+周期20T=，由余弦型函数的性质可知，令ππ10tk=，则10tk=，*kN，函数关于10tk=对称，若在1t，2t时刻游客距离地面的高度相等，则当1k=时，122tt+的最小值为1

0，12tt+的最小值为20.故D正确.故选：ABD.12．AD【详解】设动点A与x轴正方向夹角为α，则0=t时，点A的坐标是13,22，故π3=，由于12秒旋转一周，故每秒钟旋转π6，在0,1t上，ππ

[]3,2，A绕坐标原点沿逆时针方向旋转到B位置，故A点纵坐标增大；从B旋转到C位置时，1,7t，],π3π[22，A点纵坐标减小；在127,t上3π7π[]2,3，即从C逆时针旋转到A位置，动点A的纵坐标增大，故当012t时，动点A的纵坐标

y关于t的函数的单调递增区间是[0,1]和[7]12,，故选：AD.13．116【详解】由题意：π12π,816ff===；故答案为：116.14．3π2【详解】令ππ2xk+=+，kZ，则2ππkx−+=

，kZ，不妨取相邻四个最值所在的点分别为π2,AA−−−，π2,BA−，3π2,CA−−，5π2,DA−，如图所

示，因为以,,,ABCD为顶点的四边形恰好构成一个菱形，所以ABAC=，所以()22π2π2A+=，所以22222π4π4A+=，即3π2A=.故答案为：3π215．π23+6【详解】如图：连接,,CMCNBC.∵∠PCA＝2，可得∠M

CP＝，∠NCQ()111ππ2π2π222226BCQBCAACPPCQ==−−−=−−−=2π3−，在直角三角形MCP中，则tanMPCP=，所以MP＝tan，π6PQ=，NQ＝2πtantan

2πtan33tan()2π33tan11tantan3−+−==−+，设新路长为()f，其中(π6，π2)，则3tan3，∴πtan33423π()tantan63363tan13tan3f+=++=−+++

−−，3423ππ2tan23+33663tan3−++=−，当tan3=时取等号.故答案为：π23+6.16．4−【详解】由题意可得π()()13sincos12sin()16hxfxxxx=+=++=++，所以()πππ2sin2sincos2coss

in10666mxnxpxpmn+++−+++−=，所以()()ππ2cossin2sincos1066mnpxnpxmn++−+++−=，又因为上式对任意实数x恒成

立，所以cos0sin010mnpnpmn+==+−=，若0n=，由cos0mnp+=，可得0m=，不满足10mn+−=；由sin0p=，可得2πpk=或()2ππZpkk=+，当()2πZpkk=时，cos1p=，由cos0mnp+=与10mn+−=矛

盾；故()2ππZpkk=+，则cos1p=−，由cos0mnp+=与10mn+−=，可得12mn==，综上可得，原式cos4pmn=−．故答案为：4−．17．(1)()ππ2sin(),036fttt=+(2)图象见解析(3)2s【详解】（

1）由题意，点0P的纵坐标为1，可得01sin2xOP=，所以0π6xOP=，因为P沿逆时针方向以角速度πrad/s3作圆周运动，所以以OP为终边的角可以为ππ63t+，所以()ππ2sin(),036yfttt==+.（2）由函数()ππ2sin(),0636ft

tt=+，因为06t，可得πππ13π[,]3666t+，列表可得：t015241126ππ36t+π6π2π3π22π13π6y1202−01在直角坐标系中描点、连线，作出函数()ft在06t上的

简图，如图所示，（3）由()ππ2sin()36ftt=+，令()1ft，可得ππ2sin()136t+，即ππ1sin()362t+，可得πππ5π2π2π,Z6366ktkk+++，解得626,Zktkk+，可得水车旋转一周灌溉的时间为2s，即水车旋转一圈内有2s可以灌溉植物

.18．经过1min后，钟摆在铅垂线的右边．【详解】由题设，钟摆的周期1.8T=s，又1.8330.660+=，所以，经过1min后，钟摆摆动了33个周期后继续摆动0.6s，而0.642TT，故经过1min后，钟摆在铅垂线的右边．