【文档说明】2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册同步练习 5-4三角函数的图像与性质 Word版缺答案.docx，共(19)页，1.028 MB，由小赞的店铺上传

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5.4三角函数的图像与性质同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设函数πsin()(05)6yx=+图像的一条对称轴方程为π12x=，若12,xx是该函数的两个不同的零点，则12xx

−不可能取下述选项中的（）.A．π4B．π3C．π2D．π2．已知函数()sin()fxx=+在区间π2π(,)63单调递增，直线π6x=和2π3x=为函数()yfx=的图象的两条对称轴，则(0)f=（）A．32−B．12−C．12D．323．函数()111sinsin2sin3s

in4234fxxxxx=+++在区间2π,2π−的图象大致为（）A．B．C．D．4．函数ππ2sin(09)63xyx=−的最大值与最小值之差为（）A．23−B．0C．2D．23+5．已知()()πsin3fx

x=−N的图象与直线ya=在区间0,π上存在两个交点，则当最大时，曲线()yfx=的对称轴为（）A．ππ244kx=+，kZB．ππ305kx=+，kZC．5ππ244kx=+，kZD．ππ65kx=+

，kZ6．已知函数()()2sinfxx=+，其中0，0π，且()π3fxf恒成立，若()fx在区间π0,2上恰有3个零点，则的取值范围是（）A．915,22B．915,22

C．9,92D．9,927．已知函数2sin()(0()fxx=+，π)2的部分图象如图所示，则π()6f−=（）A．3B．3−C．1D．1−8．若直线12π3π,42xx==是函数()cos(0)fxx=图象的两条相邻的对称轴，则=（

）A．12B．32C．54D．45二、多选题9．设函数π()2sin23fxx=+，则下列结论错误的是（）A．()fx的最小正周期为πB．()fx的图象关于直线π6x=对称C．()fx的一个零点为π6x=−D．()fx的最大值为110．已知函数()2sinsinfxxx=+

，则（）A．()fx为奇函数B．()fx的值域为()2,222,−−+C．()fx的最小正周期为2πD．()fx的图象关于直线π2x=对称11．已知定义域为R的函数()fx满足：()()12fxfx+=−，()()22fxfx+=−−，则（）A．()fx是偶函数B．(

)fx是周期为2的函数C．()21f=D．122f=12．已知()ππsin0,32fxx=++为偶函数，()()singxx=+，则下列结论正确的是（）A．π6=B．若()gx的最小正周期为3π，则23=C．若()gx在区间()0,

π上有且仅有3个最值点，则的取值范围为710,33D．若π342g=，则的最小值为2三、填空题13．已知函数()sin(0)3fxx=+在,33−上单调递增，则取值范围是.14．已知函

数()()π2sin0,02fxx=+的部分图象如图，()()1223fxfx==−，则()21πcos6xx−=．15．写出一个同时满足下列条件的函数()fx的解析式：.①

()()fxfx−=−；②()(4)0fxfx+−=.16．已知函数()()πsin0,2fxx=+.如图，直线32y=与曲线()yfx=交于A，B两点，π6AB=，则==.()yfx=

在区间()π,4ttt+R上的最大值与最小值的差的范围是.四、解答题17．已知()sin()fxAx=+，其中0A，0，π02，()fx的部分图像如图所示：(1)求()fx的解析式；(2)当5

π0,4x时，求()3fx的解集；(3)若()()()11π,1211π2π,12fxxgxgxx=−写出函数()()hxgxm=−在2π3π,32上的零点个数.18．已知函数()2ππ3sinsin3cos2

34fxxxx=++−+，xR.(1)求()fx的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；(2)求()fx在闭区间ππ,44−上的最大值和最小值，19．已知函数()(

)sin0,0,2πfxAxA=+的部分图象如图所示.(1)求函数()fx的解析式及单调递减区间；(2)当ππ,63x−时，求函数()fx的最小值及此时x的值.20．已知函数()sinfx

x=，()xR，将()fx图象向右平移π2个单位，得到函数()gx的图象.(1)求函数()gx的解析式；(2)求g(x)在2π,0−上的单调递增区间.21．已知函数()π2sin24fxx=−()0图像的对称中心到对称轴的最小距离为π4.(1)求函数()

fx的单调递减区间；(2)求函数()fx在区间π3π,84上的值域.22．如图为小球在做单摆运动时，离开平衡位置时的位移()cmy随时间()st变化所满足的函数图象，已知该图象满足()sinyAωxφ=+（)0,x+，π0,02）的形式．试根据

函数图象求出这个单摆运动的函数解析式．参考答案：1．B【分析】利用给定函数及其对称轴求出，进而求出函数的周期，再利用正弦函数的性质列式求解即得.【详解】依题意，ππππ,Z1262kk+=+，解得

124,Zkk=+，而05，则0,4k==，于是原函数的周期2ππ42T==，因为12,xx是该函数的两个不同的零点，因此12π,N24Tnxxnn−==，显然选项ACD分别是π4的1，2，4倍，而π3不是π4的整数倍.故选：B2．B【分析】由单调性及对称性得出函数的最小正周期，

从而求得，然后求得，最后计算(0)f即可．【详解】由已知，最小正周期为2ππ2()π36T=−=，2π2π==，πsin(2)16+=−，2πsin(2)13+=，ππ2π,Z32kk+=−，5π2π,Z6kk=−，5π5π

1(0)sinsin(2π)sin662fk==−=−=−，故选：B．3．A【分析】判断函数的奇偶性可说明C错误；判断函数的单调性结合选项中图象可判断D错误；判断函数的周期性可判断A，B。【详解】由于

()111sinsin2sin3sin4234fxxxxx=+++，2π,2πx−，故()111sinsin2sin3sin4()234fxxxxxfx−=−−−−=−，即()fx为奇函数，图像关于原点对称，故C中图象错误；令ππππ4,2288xx−−，由于

sinyx=在ππ[,]22−上单调递增，故1sin44yx=在ππ[,]88−上单调递增，同理推得11sin2,sin323yxyx==在ππ[,]88−上单调递增，故()111sinsin2sin3sin4234fxxxxx=+++在ππ[,]88−上单调递增，D错误；由于111sin.

sin2,sin3,sin4234yxyxyxyx====的最小正周期依次为2ππ2π,π,,32，故()111sinsin2sin3sin4234fxxxxx=+++的最小正周期为2π，故()fx在2π,0−上的图象和在0,2π上的图像平移后应该重合，B中图象不满足

，故B错误，只有A中图象符合函数()fx满足的上述性质，A正确，故选：A4．D【分析】由09x≤≤，可得πππ7π3636x−−，然后利用正弦函数的性质可求得函数的最值.【详解】因为09x≤≤，所以π9π066x，所以πππ7π3636x−−

，由sinyx=的图像与性质知，当πππ633x−=−时，有最小值为π2sin33−=−，当πππ632x−=时，有最大值为π2sin22=，所以最大值与最小值之差为23+，故选：D．5．D【分析】先根据条件求出的取值范围，再求出对称轴.【

详解】当0,πx时πππ,π333x−−−，要使得()fx的图象与直线ya=存在两个交点，则ππ11ππ232−，解得53566，又因为N，所以1,2,3,4,5，所以max5=，此时曲线()yfx=的对称轴为ππ5π3

2xk−=+，kZ，解得ππ65kx=+，kZ，故选：D6．A【分析】分析可得π23f=，可得出()ππ2π23kk=+−Z，再结合题意可得出关于的不等式，结合k的取值可求得的取值

范围.【详解】因为()π3fxf恒成立，则ππ2sin233f=+=，所以，()ππ2π32kk+=+Z，则()ππ2π23kk=+−Z，当π02x时，π2x++，因为0π，则()0sin0f=，因为()fx

在区间π0,2上恰有3个零点，则0ππ3π4π2+，即ππ02ππ23π3π4π2k+−+，kZ，解得33662215122112kkkk−+−

−，kZ，假设不存在，则3621122kk−−或3615122kk+−，解得34k或54k，因为存在，则3544k，因为kZ，则1k=.所以，9152239，可得91522，故选：A.7．D【

分析】根据函数()fx的图象，结合三角函数的性质，求得()π2sin(2)6fxx=+，进而求得π()6f−的值，得到答案.【详解】由函数()fx的图象，可得311ππ3π41264T=−=，可得πT=，则2π2T==，所以()2sin2

()fxx=+，又由π()26f=，即πsin(2)16+=，可得ππ2π,Z32kk+=+，解得πZπ2,6kk=+，因为π2，所以π6=，所以()π2sin(2)6fxx=+，则ππππ()2sin[2()]2

sin()16666f−=−+=−=−.故选：D.8．D【分析】由三角函数的对称性和周期性计算即可.【详解】依题意得函数()fx的最小正周期2π3ππ52π242T==−=，解得45=.故选：D.9．BD【分析】利用周期公式可判断A；代入验证可判断

BC；由正弦函数值域可判断D.【详解】由周期公式知2ππ2T==，A正确；因为πππ2π2sin22sin36633f=+==不是最值，所以直线π6x=不是函数()fx的对称轴，B错误；因为πππ2sin22sin00663f

−=−+==，所以π6x=−是函数()fx的零点，C正确；由正弦函数的值域可知，()fx的最大值为2，D错误.故选：BD10．ACD【分析】A.结合正弦函数的奇偶性，利用函数奇偶性的定义判断；B.令sin[1,0)(0,1]tx=−，转化为对勾函数求

解判断；C.结合诱导公式，利用周期函数的定义判断；D.结合诱导公式，利用函数的对称性判断.【详解】解：因为()fx的定义域为|R,π,Zxxxkk，关于原点对称，又()()()()22sinsinsins

infxxxfxxx−=−+=−+=−−，故()fx是奇函数，故A正确；令sin[1,0)(0,1]tx=−，由对勾函数的性质得()(),233,gttt−−=++，故B错误；因为()()()()222πsin2πsins

in2πsinfxxxfxxx+=++=+=+，所以()fx的最小正周期为2π，故C正确；因为()()()()22πsinπsinsinπsinfxxxfxxx−=−+=+=−，所以()fx的图象关于点直线π2x=对称，故D正确；故选：AC

D11．BC【分析】根据函数的奇偶性、周期性、诱导公式等知识求得正确答案.【详解】题解析：由()()12fxfx+=−，得()()221fxfx+=−+，所以()()2fxfx+=，()fx是周期为2的周期函数，所以选项B正确．由()()22fxfx

+=−−知()()220ff=−，又因为()()02ff=，所以()()201ff==，选项C正确．取()sinπ1fxx=−+，满足：()()()()1sinπ11sinππ1sinπ12fxxxxfx+=−++=−++=+=−，

()()()2sinπ21sinπ2π1sinπ1fxxxx+=−++=−++=−+()()2sinπ12xfx=−−−+=−−，故()sinπ1fxx=−+符合题意，此时()fx不是偶函数，且102f=，所以A，D

错误．故选：BC【点睛】对于抽象函数有关的问题，可以考虑的方向有奇偶性、周期性和单调性等等，考虑函数的周期性，即()()fxTfx+=，此时()fx是周期为T的周期函数.奇偶性主要是判断()()fxfx−=或()()fxfx−=−.12．AB【分析】先根据()fx是

偶函数求判断A选项；根据最小正周期公式计算可以判断B选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D选项.【详解】()ππsin0,32fxx=++

为偶函数,则ππ=+πZ32kk+，，π2,π6=,A选项正确;若()gx的最小正周期为3π,由()()singxx=+,则2π23π,=3T==,B选项正确;()πππ0,π,,π666xx++,若()gx在区间

()0,π上有且仅有3个最值点，则5ππ7ππ262+,71033,C选项错误;()πsin6gxx=+,若πππ3=sin4462g+=，πππ=+2π463k+，或ππ2π=+2π46

3k+，则2=+83k或=2+8Zkk，,又因为0,则的最小值为23，D选项错误.故选:AB.13．10,2【分析】利用整体代入得方法得到()fx的单调递增区间，然后列不等式求解即可.【

详解】令22,232kxkk−+++πππππZ，解得52266kkx−++ππππ，所以()fx的单调递增区间为522,66kk−++ππππ，因为()fx在ππ,33−上单调递增，所以5ππ63ππ

36−−，解得12，所以102≤.故答案为：10,214．13【分析】运用代入法，结合函数的对称性和函数图象的特征进行求解即可.【详解】由函数的图象可知该函数经过()0,1、5,02两点，把()0,1代入函数解

析式中，得12sin=，因为π02，所以π6=，即()π2sin6fxx=+，把5,02代入()π2sin6fxx=+中，得()()5π5π2ππ02sinπZZ2626515kkkk=++==−，设

该函数的最小正周期为T，由图象可知52π2π550225TT，所以令1k=，得π3=，即()ππ2sin36fxx=+，该函数的对称轴为：()()ππππZ13Z362xmmxmm+=+=+，与函数的图象可知：12,xx关于2x=−对称，因

此有122144xxxx+=−=−−，且()11ππ22sin363xfx=+=−，()()112111ππππ2πππcoscos4coscos6633263xxxxxx−=−−

−=+=++1ππ121sin63233x=−+=−−=，故答案为：13【点睛】关键点睛：本题的关键是通过图象得到522T和12,xx关于2x=−对称.15．()()sinπfxx=(答案不唯一).【分析】结合函数的奇偶性和函

数的对称性作答；【详解】因为()()fxfx−=−，所以函数()fx为奇函数，()(4)0fxfx+−=，所以函数()fx关于()2,0对称，得()()sinπfxx=.故答案为：()()sinπfxx=(答案不唯一

).16．π1221,22−【分析】首先根据函数图象得到()πsin212fxx=+，从而得到π12=.再分类讨论π,4tt+是否单调，求解最大值与最小值的差的范围即可.【详解】设函数周期为T，则2πππ3362T−=，解得πT

=，2π2T==.由图可知，π24x=−是函数的一个零点，则π2π24k−+=，即ππ12k=+，kZ.又因为π2，则π12=，故()πsin212fxx=+.当()πsin212fxx=+对称

轴不在,4tt+，tR上时，函数()fx在π,4tt+，tR上单调，设函数()πsin212fxx=+在区间π,4tt+，tR上的最大值与最小值之差为()gt，则()(

)ππππsin2sin2412412gtftfttt=−+=+−++πππsin2cos22sin221212124ttt=+−+=+−.当对称轴在区间π,4

tt+，tR上时，不妨设对称轴上取得最大值1，则函数()fx的最小值为()ft或π4ft+，显然当对称轴经过区间π,4tt+，tR中点时，()gt取得最小值，不妨设πππ422π2122ttk

+++=+，kZ，则ππ12tk=+，kZ，()πππ2sin2πsin2π121242ftkk=++=+=，∴()gt的最小值为212−，当对称轴在区间π,4tt+，tR上时，不妨设对称轴上取得最小值1−，则函数()

fx的最大值为()ft或π4ft+，显然当对称轴经过区间π,4tt+，tR中点时，()gt取得最大值，不妨设πππ422π2122ttk+++=−+，kZ，则

5ππ12tk=−+，kZ，()5ππ3π2sin2πsin2π121242ftkk=−++=−+=−，∴()gt的最小值为212−，综上，函数()πsin212fx

x=+在区间π,4tt−，tR上的最大值与最小值之差的取值范围是21,22−.故答案为：π12，21,22−17．(1)π()2sin26fxx=+(2)ππ13π5π,,124124

(3)答案见解析【分析】（1）结合图象，由最高点先算出2A=，再由(0)2sin1f==算出，最后把最高点代入函数表达式算出212,Zkk=+，结合图象算出,T的范围，从而求出的值即可.（2）结合（1）中所得表达式，先解表达式()3fx

，将解集再与5π0,4取交集即可.（3）先根据()gx的定义将其函数表达式算出来，再根据其单调性以及函数图象上的关键点作出函数()gx的图象，而原问题又等价于函数图象()ygx=与ym=的交点个数，通过平移直线ym=即可求解.【详解】（1）如题图所示：由

函数图象中最高点的纵坐标可知2A=，所以()2sin()fxx=+，又()0,1在函数图象上面，所以(0)2sin1f==，解得1sin2=，结合π02可知π6=，所以π()2sin()6fxx=+，由图象最高点的坐标可知，ππ

π()2sin()2666f=+=，即ππsin()166+=，所以πππ2π,Z662kk+=+，解得212,Zkk=+，由图可知两个点ππ,2,,162−相差小于半个周期，即ππ262T−，所以2π2π3

T=，结合0，解得03，又212,Zkk=+，所以只能0,2k==，所以()fx的解析式为π()2sin(2)6fxx=+（2）由（1）可知π()2sin(2)6fxx=+，所以可将不等式()3fx转换为π3sin(2)62x+，所以ππ22π63,Z

π2π22π63xkkxk++++，解不等式组得ππππ,Z124kxkk++，又已知5π0,4x，所以只能ππ0,,124kx=或13π5π1,,124kx=，综上所述：当5π0,4x

时，()3fx的解集为ππ13π5π,,124124.（3）由()gx的定义可知当2π11π312x时，()()π2sin26gxfxx==+，当11π3π

122x时，有ππ11ππ12212x−−，此时()()()()ππ2π2π22sin2π4sin266gxgxfxxx=−=−=−+=+，因此()π11π2sin

2,612π11π4sin2,612xxgxxx+=+，当2π11π312x时，有3ππ22π26x+，根据正弦函数的单调性可知此时()2sin2π6gx

x=+在2π11π,312上单调递增，又当11π3π122x时，有π19π2π266x+，令π5π262x+=，解得7π6x=，根据正弦函数的单调性可知，()πn64si2gxx+=在7π2π,6上单调递增，()πn64si2gxx

+=在7π3π,62上单调递减，注意到2π2ππ3π2sin22sin23362g+===−，且当11π12x=时，有11ππ11ππ2sin204sin2126126+==+，且7π7ππ5

πsin24sin466642g==+=，643π3ππ19πsin24sin2226g+===−，将函数()()hxgxm=−在2π3π,32上的零点个数，转换为函数图象()ygx=与y

m=的交点个数，由以上分析画出()ygx=与ym=在2π3π,32上的函数图象如图所示：由图可知，当4m或2m−时，函数()ygx=与ym=的图象的交点的个数为0；当4m=时，函数()ygx=与ym=的图象的交点的个数为1

；当24m−时，函数()ygx=与ym=的图象的交点的个数为2；综上所述：当4m或2m−时，函数()()hxgxm=−在2π3π,32上的零点个数为0；当4m=时，函数()()hxgxm=−在2π3π,32上的零点个数为1；当24m−时，函

数()()hxgxm=−在2π3π,32上的零点个数为2.18．(1)最小正周期为π，对称轴方程为()5ππZ122kxk=+，对称中心坐标为()ππ,0Z62kk+(2)最大值为14，最小值为12−【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再

利用正弦函数的周期性、图象的对称性，得出结论.（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得()fx在闭区间ππ,44−上的最大值和最小值.【详解】（1）解：因为函数()2π3cossin3cos34fxxxx=+−+22133133cos

sincos3cossin2cos224424xxxxxx=+−+=−+131cos23131πsin2sin2cos2sin242244423xxxxx+=−+=−=−所以函数()fx的最小正周期为2ππ2T==，令ππ2π,Z32xkk

−=+，可得对称轴方程为5ππ,Z122kxk=+；再令ππ,Zxkk−=23，解得ππ,Z62kxk=+，所以函数()fx对称中心坐标为ππ,0,Z62kk+.（2）解：由（1）知，函数()1πsin223fxx=−，因为ππ,44x

−，可得π5ππ2,366x−−，则π1sin21,32x−−，可得()1π11sin2,2324fxx=−−.所以函数()fx在闭区间ππ,

44−上的最大值为14，最小值为12−.19．(1)π()2sin(2)3fxx=+，()π7ππ,πZ1212kkk++(2)0,π6x=−或π3【分析】（1）由图可求得A及周期，从而可得，再利用待定系

数法求出即可，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的减区间；（2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案.【详解】（1）由图象可知，2A=，17πππ41234T=−=，即πT=，2π2T==，由图象过点7π,212−可知

，7π2sin2212+=−，7π322π,Z122kk+=+，即ππ,Zkk=+23，π2，π3=，π()2sin(2)3fxx=+，令()ππ3π2π22πZ232kxkk+++，解得()π7πππZ1212kxkk++，所

以函数的单调递减区间为()π7ππ,πZ1212kkk++.（2）由于ππ,63x−，所以π02π3x+，故0sin213x+，所以()02fx，所以当π6x=−或π3时，()fx有最小值0

.20．(1)()cosgxx=−(2)π2π,−−【分析】（1）根据图象平移，即可得出答案；（2）根据余弦函数的单调性，即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，()πsincos2gxxx=−=−.（2）由2ππ2π,

kxkk+Z，可得，函数()gx的单调递增区间为2π,π2π,kkk+Z.又2π0x−，所以2ππx−−，所以，()gx在2π,0−上的单调递增区间为π2π,−−.21．(1)37,8π8πππkk++，Zk(2)1,2−【分析】（1）根

据条件求出1=，从而得到π()2sin24fxx=−，再利用sinyx=的性质即可求出结果；（2）根据（1）中结果，易得到函数()fx在区间π3π,88上为增函数，在区间3π3π,84上为减函数，利用函数的单调性即可求出结果.【详解】（1）因为(

)fx图像的对称中心到对称轴的最小距离为π4，则π44T=，所以πT=，又0，由2π2T=，解得1=，所以，函数()fx的解析式是π()2sin24fxx=−，由ππ3π2π22π242kxk+

−+，Zk，解得3π7πππ88kxk++，Zk，所以函数()fx的减区间为37,8π8πππkk++，Zk.（2）由πππ2π22π242kxk−−+，Zk，得到π3πππ88kxk−+，Zk，所以函数()fx的增区间为π3ππ,π88kk

−+，Zk.故由（1）知，函数()fx在区间π3π,88上为增函数，在区间3π3π,84上为减函数，因为π08f=，3π28f=，3π()14f=−，故函数()fx在区间π3π,84

上的值域为1,2−.22．π2sin(2)6yx=+【分析】根据函数的图象，结合三角函数的性质，列出方程，即可求解.【详解】由图象知，函数的最小正周期11π5π2()π1212T=−=，所以2π2T==．因为点5π(,0)12在函数图象上，所

以5πsin(2)012A+=，即5πsin()06+=．又因为π02，可得5π5π4π663+，所以5ππ6+=，即π6=．因为点()0,1在函数图象上，所以πsin16A=，

可得2A=，故所求函数的解析式为π2sin(2)6yx=+．