【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题34 平面向量的数量积及其应用 Word版无答案.docx，共(9)页，813.527 KB，由小赞的店铺上传

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专题34平面向量的数量积及其应用知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：平面向量数量积的基本运算题型二：平面向量数量积的简单应用题型三：两平面向量垂直问题题型四：向量数量积的综合应用题型五：平面向量的实际应用培优训练训

练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量

积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【考点预测】1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个

非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，

即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)投影向量如图，在平面内任取一点O，作OM→＝a，ON→＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1→就

是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1→与e，a，θ之间的关系为OM1→＝|a|cosθe.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(

x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b

＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(

a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算

结果“翻译”成几何关系.【常用结论】1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论已知向量a，b.(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0

；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.【方法技巧】1.计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x

2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．2.求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则

作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．3.求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝a·b|a||b|，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a

·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．4.用向量方法解决实际问题的步骤二、【题型归类】【题型一】平面向量数量积的基本运算【典例1】(2021·北京)a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝_________；a·b＝_______

_.【典例2】在平面四边形ABCD中，已知AB→＝DC→，P为CD上一点，CP→＝3PD→，|AB→|＝4，|AD→|＝3，AB→与AD→的夹角为θ，且cosθ＝23，则AP→·PB→＝________.【典例3】在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线

段AM的中点．①若BD→＝xBA→＋yBC→，则x＋y＝________；②BD→·BM→＝________.【题型二】平面向量数量积的简单应用【典例1】(2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.【典例2】(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|

a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于()A．－3135B．－1935C.1735D.1935【典例3】(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝_______

_.【题型三】两平面向量垂直问题【典例1】已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．【典例2】已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)，则|a＋2b|＝(

)A．22B．25C.17D．15【典例3】(多选)设a，b是两个非零向量，则下列命题为假命题的是()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a

|－|b|【题型四】向量数量积的综合应用【典例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－35.(1)求sinA

的值；(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA→在BC→方向上的投影．【典例2】已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，且m·n＝sin2

C．(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA→·(AB→－AC→)＝18，求边c的长．【题型五】平面向量的实际应用【典例1】已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．【典例2】若

平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1N，|F2|＝6＋22N，F1与F2的夹角为45°，求：(1)F3的大小；(2)F3与F1夹角的大小．三、【培优训练】【训练一

】在Rt△ABC中，∠C是直角，CA＝4，CB＝3，△ABC的内切圆与CA，CB分别切于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若CP→＝xCD→＋yCE→，则x＋y的值可以是()A．1B．2C．4D．8【训练二】已知f(x)＝32|sinπx|，A1，A2

，A3为图象的顶点，O，B，C，D为f(x)与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5.记ni＝OA2—→·OQi—→(i＝1,2，…，5)，则n1＋…＋n5的值为()A.1523B．

45C.452D.1543【训练三】定义两个平面向量的一种运算a⊗b＝|a|·|b|sina，b，则关于平面向量上述运算的以下结论中，①a⊗b＝b⊗a；②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b；③若a＝λb，则a⊗b＝0；④若a＝λb且λ>0，则(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)．正确的

序号是________．【训练四】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，|OC→|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.(1)若θ＝3π4，设点D为线段OA上的动点，求|OC→＋OD→|的最小值；(2)若θ∈0，π2，向量m＝BC

→，n＝(1－cosθ，sinθ－2cosθ)，求m·n的最小值及对应的θ值.【训练五】已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C.(1)求角C的大小；(

2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA→·(AB→－AC→)＝18，求c.【训练六】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosB，2cos2C2－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求∠C的大小；(2)若点D为边AB上一

点，且满足AD→＝DB→，|CD→|＝7，c＝23，求△ABC的面积．四、【强化测试】【单选题】1.已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A.－92B.0C.3D.

1522.已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a·c＝b·c＝2，则c的模为()A.1B.2C.2D.223.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则a－b与b的夹角为

()A.π6B.π3C.2π3D.5π64.已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为()A.255，－55或－255，55B.－255，－55或255，55C.25

5，55D.－255，555.在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若AB→＝(1,2)，CD→＝(2，t)，则|CD→|等于()A.5B．5C．25D．206.a，b为平面向量，已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a

，b夹角的余弦值等于()A．－45B．－35C.35D.457.若向量OF1→＝(1，1)，OF2→＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A.10B．25C.5D．158.已知a，b，c均为单位向量，a与b的夹角为60°，则(c＋a)·(c－2b)的最大

值为()A.32B．3C．2D．3【多选题】9.(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是()A.(a＋b)·c＝a·c＋b·cB.(a·b)·c＝a·(b·c)C.a·b≤|a|·|b|D.|a－b|≤|a|＋|b|10.如图，点A，B在圆C上，则AB→·AC→的值()A.与圆C的

半径有关B.与圆C的半径无关C.与弦AB的长度有关D.与点A，B的位置有关11.设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是()A．(a·b)c－(c·a)b＝0B．|a|－|b|<|a－b|C．(b·c)a－(a

·c)b不与c垂直D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|212.已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为32，则|e1＋e2|等于()A．1B.3C．3D．2【填空

题】13.设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．14.已知点M，N满足|MC→|＝|NC→|＝3，且|CM→＋CN→|＝25，则M，N两点间的距离为________．

15.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．16.已知向量a，b，其中|a|＝3，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．【解答题】17.已知向量a＝(2，－1)，b＝(

1，x)．(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．18.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线

的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．19.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．20.已

知向量m＝(3sinx，cosx－1)，n＝(cosx，cosx＋1)，若f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在Rt△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A＝90°，f(

C)＝0，c＝3，CD为∠BCA的角平分线，E为CD的中点，求BE的长．21.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(

2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)BA→·BC→＝cCB→·CA→.(1)求角B的大小；(2)若|BA→

－BC→|＝6，求△ABC面积的最大值.