【文档说明】山东省菏泽市鄄城县第一中学2022-2023学年高一6月月考数学试题 word版含解析.docx，共(20)页，1.093 MB，由小赞的店铺上传

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高一数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1.已知复数2i12iaz−=−（其中i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值是（）A.1−B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z，根据复数的概念可得出关

于a的等式与不等式，解之即可.【详解】因为()()()()2i12i2i224i12i12i12i55aaaaz−+−+−===+−−+为纯虚数，则2205405aa+=−，解得1a=−，所以实数a的值是1−.故选：A2.已知向量,ab不共线，若2ABab=+，4BCab=−

−，53CDab=−−，则四边形ABCD是A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形【答案】A【解析】【分析】根据线性运算可求得2ADBC=，得到平行关系和模长关系，从而得到四边形形状.【详解】()()()2453822ADABBCCDababababBC=++=+−+−+=−

−=//ADBC且ADBC四边形ABCD为梯形本题正确选项：A【点睛】本题考查根据向量线性运算结果判断四边形形状问题，关键是能够通过向量加法运算得到向量平行和模长的关系.3.某中学高一年级共有学生1200人

，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个的容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生A.630B.615C.600D.570【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的方法，结合比例的性质计算即可.【详解】高一年级共有学生1200人，按性别用分层抽样的方法从

中抽取一个容量为80的样本，样本中共有男生42人，则高一年级的女生人数约为：8042120057080−=.故选：D.【点睛】本题主要考查了分层抽样的运用，属于基础题.4.下列说法中，正确的是（）A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆

锥B.用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面C.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D.以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥【答案】B【解析】【分析】根据圆锥、球体、正方体以及正四棱锥的结构特征逐一判断各选项.【

详解】对于A，以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥正确；故A错误；对于B，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面正确，故B正确；对于C，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故C错误；对于D，正四棱锥的顶点在底面的投影为正方形的中心，正

方体的顶点中没有这样的点，故D错误.故选：B.5.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（）A.

23B.13C.12D.56【答案】A【解析】【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”

，∴P(A)2163==，P(B)2163==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)11

2333=+=，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．6.现对,AB有如下观测数据A34567B1615131417记本次测试中，,AB两组数据的平均成绩分别为,ABxx

，,AB两班学生成绩的方差分别为2As，2Bs，则（）A.ABxx，22ABssB.ABxx，22ABssC.ABxx，22ABss=D.ABxx，22ABss=【答案】C【解析】【分析】利用平均数以及方差的计算公式即可求解.【详解】3456755Ax++++==，16151314

17155Bx++++==，()()()()()222222354555657525As−+−+−+−+−==，()()()()()2222221615151513151415171525Bs−+−+−+−+−==，故ABxx，22ABss=故选：C【点睛】本题考查了

平均数与方差，需熟记公式，属于基础题.7.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）A.142+B.122+C.12+D.142+【答案】B【解析】【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，

然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．【详解】设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，圆柱的侧面展开图是一个正方形，2rh=，圆柱的侧面积为2224rhr=，圆柱的两个底面积为22r，圆柱的表面积为22222224r

rhrr+=+，圆柱的表面积与侧面积的比为：22222241242rrr++=，故选：B．8.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个刍甍，其

中BCFAED,都是正三角形，22ABBCEF==，则以下两个结论：①//ABEF；②BFED⊥，说法正确的是（）A.①和②都不成立B.①成立，但②不成立C.①不成立，但②成立D.①和②都成立【答案】D【解析】【

分析】利用线面平行的判定定理和性质定理和勾股定理进行求解即可.【详解】因为底面为矩形，所以有//ABCD，CD平面CDEF，AB平面CDEF，所以//AB平面CDEF，而平面ABEF平面CDEFEF=，所以//ABEF，故结论①是正确的；取CD的中点G，连接,GBFG如下

图所示：因为22ABBCEF==，所以有//,DGEFDGEF=，因此四边形DGFE是平行四边形，所以有//,DEGFDEGF=，不妨设1EF=，因此2,1ABBC==，222BGBCEF===，因为BCFAED,都是正三角形，所以1DEBF==，因此有1FGDE==，因

为222FGBFBG+=，所以BFFG⊥，因此BFED⊥，故结论②是正确的.故选：D【点睛】本题考查了线面平行的判定定理和性质定理，考查了勾股定理，考查了数学阅读能力二、多选题（每题5分，共20分）9.已知复数3i1iz+=−，则下列结论中正确的是（）A.z对应的点位于第一

象限B.z的虚部为2C.|z|5=D.5zz=【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的除法求得z.对A：根据复数的几何意义分析判断；对B：根据复数的相关概念分析判断；对C：根据复数的模长运算求解；对D：根据

共轭复数结合复数乘法运算求解.【详解】因为()()()()3i1i3i24i12i1i1i1i2z++++====+−−+，则有：z对应的点()1,2位于第一象限，故A正确；12iz=−，z的虚部为2−，故B错误；||145z=+=，故C正确；()()12i12i145zz=+−=+=，故D

正确．故选：ACD.10.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是A.至少有1件次品与至多有1件正品B.至少有1件次品与都是正品C.至少有1件次品与至少有1件正品D.恰有1件次品与恰有2件正品.【答案】BD【解

析】【分析】根据互斥事件的定义，对每个选项做出判断，从而得到结论．【详解】对于A，至少有1件次品与至多有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；对于B，至少有1件次品与都是正品是对立

事件，属于互斥事件，故满足条件；对于C，至少有1件次品与至少有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；对于D，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥事件，故满足条件．故选：BD．【

点睛】本题考查互斥事件的判断，考查逻辑思维能力和分析求解能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.11.给出下列命题，其中正确的选项有（）A.非零向量a，b，满足ab且a与b同向，则abB.若单位向量1e，2e的夹

角为60°，则当()122Retet−取最小值时，1t=C.在ABC中，若0ABACBCABAC+=，则ABC为等腰三角形D.已知()1,2a=r，()1,1b=，且a与ab+的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3

−+【答案】BC【解析】【分析】根据向量的定义，可判定A错误；根据向量数量积求得2122(1)3etet−=−+，可判定B正确；由ABACABAC+表示与A的平分线共线的向量，结合三角形的性质，可判定C正确；当0=时，得到向量a与向量ab

+的夹角为0，可判定D项错误.【详解】对于A中，向量的既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A错误；对于B中，因为单位向量1e，2e的夹角为60，可得12121cos602eeee==，则222222121212122(2)4424(1)3eteeteeteteet

tt−=−=+−=−+=−+，当且仅当1t=时，122ete−取得最小值，最小值为3，所以B正确；对于C中，因为ABACABAC+表示与A的平分线共线的向量，又因为0ABACBCABAC+=，可得A的平分线

与BC垂直，所以ABC为等腰三角形，所以C正确；对于D中，当0=时，此时向量a与向量ab+的夹角为0，所以D项错误.故选：BC12.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12OO，在轴截面ABCD中，2cmABADBC===，且2CDAB=，下列说法正确的有（）A.该圆台轴

截面ABCD面积为233cmB.该圆台的体积为314πcm3C.该圆台的侧面积为26πcmD.沿着该圆台表面，从点C到AD中点最短距离为5cm【答案】ACD【解析】【分析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选

项B；由的台体的侧面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取AD的中点为P，连接CP，可判断选项D.【详解】对于A，由2ABADBC===，且2CDAB=，可得4CD=，高21242432OO−=−=，则圆台轴截面ABCD的

面积为()2133c4m232+=，故A正确；对于B，圆台的体积为()3173π1243πcm33V=++=，故B错误；对于C，圆台的体积为()π1226πS=+=侧，故C正确；对于D，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，侧面展开图的圆心角2π2

π4==．设AD的中点为P，连接CP，可得90,4,213COPOCOP===+=，则22435CP=+=．所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确．故选：ACD．三、填空题（每题5分，共20分）

13.已知事件A，B，C两两互斥，且()0.3PA=，()0.6PB=，()0.2PC=，则()PABC=______．【答案】0.9910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4PBPB=−=，则()()()()0.9

PAPPABCBPC=++=．故答案为：0.914.如图，若斜边长为2的等腰直角ABC（B与O重合）是水平放置的ABC的直观图，则ABC的面积为________．【答案】2【解析】【分析】根据给定的直观图作出原图，再计算面积作答.【详解】在直观图中，ABC为

等腰直角三角形，斜边2AB=，得1AC=，1BC=，则原图形如图，有ABBC⊥，2221ABABBCBC====，，所以ABC的面积11221222ABCSABBC===.故答案为：215.如图所示，要在两山顶MN､间建一索道，需测量两山顶

MN､间的距离.现选择与山脚BC､在同一平面的点A为观测点，从A点测得M点的仰角60,MACN=点的仰角30NAB=以及45MAN=，若100AC=米，506AB=米，则MN等于__________米.【答案】1002【解析】【分析】在RtACM△中根据cos60ACAM=求出AM，在Rt

ABN△中根据cos30ABAN=求出AN，在AMN中由余弦定理得：2222cos45MNAMANANAM=+−求解.【详解】在RtACM△中，60,MAC=100AC=，所以1002001cos602ACAM===，在Rt

ABN△中，30NAB=，506AB=，所以5061002cos3032ABAN===，在AMN中，45MAN=，200AM=，1002AN=，由余弦定理得：2222222cos452001002220010022MNAMAN

ANAM=+−=+−22221004100210041002=+−=所以1002MN=(米)故答案为：1002.16.已知三棱锥−PABC的体积为233，各顶点均在以PC为直径的球面上，23AC=，2AB=，2BC=，则该球的表面积为______

.【答案】20π【解析】.【分析】根据已知条件及余弦定理，利用正弦定理及棱锥的体积公式，结合勾股定理及球的表面积公式即可求解.【详解】由23AC=，2AB=，2BC=及余弦定理，得2222cosACABBCABBCABC=+−，即12448cosA

BC=+−，解得1cos2ABC=−，0πABC，所以2π3ABC=，设r为ABC外接圆半径，所以242πsin3ACr==，解得2r=，所以1sin32ABCSABBCABC==△，所以1323333PABCABCVShh−===△，解得2h=，即点P到平面ABC的距离

为2，所以外接球球心O（PC的中点）到平面ABC的距离1d=，以外接球半径2225Rrd=+=，所以24π20πSR==球.故答案为：20π.四、解答题（共70分）17.已知z为复数，2iz+和2iz−均为实数，其中i是虚数单位.（1）求复数z和||z；（2）若复数()2122

5izzmmm=−+−−在第四象限，求m的取值范围.【答案】（1）42iz=−，则||25z=；（2）12m−【解析】【分析】（1）设i(,)zababR=+，依据题设建立方程求出4242iabz==−=−，，再求其模；（2）先求出()21424i

zmm=−+−，再根据题意建立不等式组242040mm−−求解即可：【详解】（1）设i(,)zababR=+，则2i(2)izab+=++，由2iz+为实数，得20b+=，则2b=−，由2i(2i)(2i)224i2i2i(2i)(2i)55zaaaa−−++−===+−−−

+为实数，得405a−=，则4a=，∴42iz=−，则||25z=；（2）由2212(25)i=42(23)izzmmmmmm=−+−−−+−−在第四象限，得2420230mmm−−−，解得12m−，故m的取值范围

为12m−．18.如图，在平行四边形ABCD中，已知60BAD=，3AB=，2AD=，12BEBC=，23CFCD=．（1）若EFmABnAD=+，求m，n的值和向量EF的模长；（2）求EF和AC夹角的余弦值．【答案】（1）21,,332mnEF=−==；（2

）35738−.【解析】【分析】（1）利用向量运算求得EF，由此求得,mn，进而求得EF（2）利用向量夹角计算公式，计算得EF和AC夹角的余弦值.【详解】（1）()EFAFAEADDFABBE=−=+−+11213232ADABABADABAD

=+−+=−+，所以21,32mn=−=.221213232EFABADABAD=−+=−+224212432cos60139343ABABADAD=−+=−+=.（2）ACABAD=+则c

os,EFACEFACEFAC=()()221323ABADABADABAD−++=+222221136232ABABACADABABADAD−−+=++1163226213923242−−+=++19435

7223831957−−−===−.【点睛】用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算了.19.从①2222(42)cosaacBcab−+=+；②cos3sinaaBbA+=，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整题目．注：如果选择多个条件分

别解答，按第一个解答计分．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．（1）求角B的大小；（2）若23b=，求ac+的取值范围．【答案】（1）π3B=；（2）(23,43].【解析】【分析】（1）选①，利用余弦定理可得()2coscosacBbC−=，再利

用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可得解；选②，利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解.（2）由（1）的结论，借助余弦定理建立关系，再利用均值不等式求解作答.的【小问1详

解】选①，由2222(42)cosaacBcab−+=+及余弦定理，得2222(42)cos2cosaacBabcabC−=+−=，即()2coscosacBbC−=，由正弦定理得：()2sinsincossincosACBBC−

=，则()2sincossincossincossinsinABCBBCBCA=+=+=，因为()0,πA，即sin0A，则1cos2B=，又()0,πB，所以π3B=.选②，由cos3sinaaBbA+=及正弦定理，得3sinsinsincossinBAABA−=，而()0,πA，即si

n0A，于是π3sincos2sin()16BBB−=−=，即π1sin()62B−=，又()0,πB，则ππ5π(,)666B−−，有ππ66B−=，所以π3B=.【小问2详解】由（1）知，π3B=，由余弦定理，得2222cosbacacB=+−，则22222π112()2cos(

)3()3()()3242acacacaacacaccac+=+−=+−+−=+−，当且仅当ac=时取等号，因此43ac+，而23acb+=，所以ac+的取值范围是(23,43].20.哈尔滨市第三中学校响应教育

部门疫情期间“停课不停络授课，为检验课的效果，高三络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多

6人.（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（2）现用分层抽样的方法从分数在[130,140)，[140,150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.

【答案】（1）0.020a=，0.026b=；中位数411213；（2）815.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人列式求解a，b的值，再根据中位数左右两边的面积均为0.5计算即可.（

2）在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a，2a，3a，4a表示，在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b，2b表示，再利用枚举法求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图的面积和为1，则(0.0020.0080.0140.0

150.010.005)101ab+++++++=，得0.046ab+=，又由100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人则10010()6ba−=，解得0.02

0a=，0.026b=中位数中位数为()0.5100.0020.0080.0140.021100.026−++++411213=（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A，由题意知，在分数为[130,140)的同学

中抽取4人，分别用1a，2a，3a，4a表示，在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b，2b表示，为从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：12(,)aa，13(,)aa，14(,)aa，11(,)ab，12(,)ab

，23(,)aa，24(,)aa，21(,)ab，22(,)ab，34(,)aa，31(,)ab，32(,)ab，41(,)ab，42(,)ab，12(,)bb，共15种抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：11(

,)ab，12(,)ab，21(,)ab，22(,)ab，31(,)ab，32(,)ab，41(,)ab，42(,)ab，共8种所以8()15PA=抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为815.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.

21.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：//PB平面AEC;（2）设1AP=，3AD=，三棱锥PABD−的体积34V=，求A到平面PBC的距离．【答案】（1）证明见解析

（2）A到平面PBC的距离为31313【解析】【详解】试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面P

BD的距离试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）1366VPAABADAB=

=由，可得.作交于．由题设易知，所以故，又31313PAABAHPB==所以到平面的距离为法2：等体积法1366VPAABADAB==由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d，又因为PB

=所以又因为(或)，，所以考点：线面平行的判定及点到面的距离22.如图1，等腰梯形ABCD中，//,,60ADBCABADABC==，E是BC的中点.将ABE沿AE折起后如图2，使二面角BAEC−−成直二面角，设F是CD的中点，P是棱BC的中点.（1）求证：AEBD⊥；（2）

求证：平面PEF⊥平面AECD；（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由.【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析（3）DE与平面ABC不垂直，理由见解析【解析】【分析】（1）证明AEBD⊥，只需证明⊥AE平面BDM

，利用ABE与ADEVE是等边三角形，即可证明；（2）证明平面PEF⊥平面AECD，只需证明PN^平面AECD，只需证明BM⊥平面AECD即可；（3）DE与平面ABC不垂直.假设DE⊥平面ABC，则DEAB⊥，从而可证明DE⊥平面ABE，可得DEAE⊥，这与60AED=矛盾.【

详解】（1）证明：设AE中点为M，连接BM，∵在等腰梯形ABCD中，//ADBC，ABAD=，60ABC=，E是BC的中点，∴ABE与ADEV都是等边三角形.∴BMAE⊥，DMAE⊥.∵BMDMM=，BM､DM平面BDM，∴⊥AE平面BDM.∵BD平面BDM，∴AEBD⊥

.（2）证明：连接CM交EF于点N，∵//MEFC，MEFC=，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点.∵P是BC的中点，∴//PNBM.∵BM⊥平面AECD，∴PN^平面AECD.又∵PN平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.（3）解：D

E与平面ABC不垂直.证明：假设DE⊥平面ABC，则DEAB⊥，∵BM⊥平面AECD，∴BMDE⊥.∵=ABBMB，AB､BM平面ABE，∴DE⊥平面ABE.∵AE平面ABE，∴DEAE⊥，这与60AED=矛盾.∴DE与平面ABC不垂直.【点睛

】本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查证明面面垂直，掌握面线面、面面垂直的判定定理与性质定理是解题关键，解题时注意定理的灵活运用，即线线垂直与线面垂直、面面垂直的相互转化.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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