【文档说明】八年级数学辅导讲义（人教版）专题09 一次函数动点及实际应用知识讲义（解析版）.docx，共(36)页，1.232 MB，由管理员店铺上传

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1专题09一次函数动点及实际应用知识讲义典例解析【动点及其图象】【例1】（2021·山东枣庄期中）如图①，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，ABP△的面积为y，如果y与x之间的

图象如图②所示，则长方形ABCD的面积是（）A．10B．16C．20D．36【答案】C.【解析】解：由题意知，当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，x=4时，y开始不变，即BC=4，x=9时

，y接着变化，即CD=9-4=5，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=5，BC=4，∴长方形ABCD的面积是：4×5=20．2故答案为：C．【例2】（2021·江苏南通市）如图，点P是边长为2cm的正方形ABCD的边上一动点，O是对角线的交点，当点P由A→D→C运动时，设P点运动

的路程为xcm，则VPOD的面积y（cm2）随x（cm）变化的关系图象为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】解：由题意知，点O到AD、CD的距离为1cm，当P由点A移动到D时，y=11(2)11(02)22xxx

−=−„；当P由点D移动到C时，y=11(2)11(24)22xxx−=−„；故答案为：C．【例3】（2021·山西晋中市期末）如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿ABBC→的路径运动，到点C止，过点P作//

PQBD，PO与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度()cmy与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动2.5秒时，PQ的长度是（）cm．A．2B．3C．2D．323【答案】D.【解析】解：由题意可得：点

P运动2.5秒时，P点运动了5cm，此时，点P在BC上，如图，∴CP=8-5=3cm，Rt△PCQ中，由勾股定理，得223332PQ=+=cm，故答案为：D．【例4】（2021·浙江月考）如图1，在平面直角坐标系中，ABCDY在第

一象限，且//BCx轴，直线yx=从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被ABCDY截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图像如图2所示，那么ABCDY的面积为（）A．3B．6C．32D．62【答案】C.【解析】解：存在两种情况：

如图，过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y=x的平行线，交AD于E，由图象和题意可得，AE=6-4=2，DE=7-6=1，BE=2，∴AD=2+1=3，∵直线BE平行直线y=x，4∴BM=EM=2，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM=3232

=故答案为：C．【例5】（2021·江西模拟）如图1，A，C是平面内的两个定点，30BAC=，P为射线AB上一动点，过点P作PC的垂线交直线AC于点D．设APC的度数为x，PDC的度数为y．小贤对x与y之间满足的等量关系进行了探究．下面是小贤的探究过程，请补充完整：（1）如图

2，当x35=时，依题意补全图形；（2）按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；x…30408090…y……（3）如图3所示的是平面直角坐标系xOy；①通过描出表中各组数值所对应的点(,)xy，画出y与x的函数图象；②结合①中的图象填空，当50y=时

，x的值为；（4）y关于x的函数表达式为（需写出自变量x的取值范围）．【答案】（1）见解析；（2）30，20，20，30；（3）①见解析；②10或110；（4）y＝60(060)60(60150)xxxx−+−＜＜＜＜．【解析

】解：（1）依题意补全的图形如图：5（2）设∠APC=x°，∠PDC=y°，当x＝30时，即∠APC＝30°，∵∠BAC=30°，∴∠PCD＝∠PAD＋∠APC＝60°，则∠PDC＝90°−60°＝30°＝y，同理可得：x＝40时，y＝20；如图，x＝80时，∠PCD=70°∵∠

DPC=90°∴y=∠PDC＝90°−70°=20°同理x＝90时，y＝30，故答案为：30，20，20，30；（3）①描点连线绘出函数图象如下：6②当y=50时，x＝10或110，故答案为：10或110；（4）当x＞60时，设函数的表达式为y＝kx＋b，将（70，10）、（80，2

0）代入得：10702080kbkb=+=+解得：160kb==−，函数的表达式为y＝x−60；当x＜60时，同理可得：函数的表达式为y＝−x＋60，故答案为：y＝60(060)60(60150)xxxx−+−＜＜＜＜．【动

点与最值】【例6】（2021·西安铁一中模拟）如图，四边形OABC是边长为6的正方形，D点坐标为（4，－1），16BEOB=，直线l过A、C两点，P是l上一动点，当EPDP−的值最大时，P点的坐标为______．【答案】（13，-7）.【解析】解：∵四边形OABC是边长为6的正方形，∴A

C垂直平分OB，直线l解析式为y=-x+6∴E关于直线l的对称点E’在OB上，由题意知，B（6,6），E’（1,1）连接DE’，与直线l的交点即为P点，此时EPDP−的值最大，7由待定系数法，得直线PD解析式为：2533y

x=−+，联立，62533yxyx=−+=−+，得137xy==−，∴P（13，-7），故答案为：（13，-7）．【例7】（2021·江苏苏州期末）在ABC中，,ABAC=点P为ABC边上的动点，速度为1/cms．（1）如图1，点D为AB边上一点，1ADcm=，动

点Р从点D出发，在ABC的边上沿DBC→→的路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设APC的面积为()21,ScmBPC的面积为()22Scm，点P运动的时间为()12.,tsSS与t之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：①在图1中，AB=,cmBC=cm；②在

图2中，求EF和MN的交点H的坐标；8（2）在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在ABC的边上沿ABC→→的路径匀速运动，点Q运动的速度为0.5/cms，当点Р到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，BPBQ

−最大？最大值为多少？【答案】（1）①5、6，②3,62；（2）t=11，5.5cm.【解析】解：（1）①根据图象可知当t=4时，△BPC的面积为0，此时点P与点B重合，∴AB=4cm，当t=10时△A

PC的面积为0，此时点P与点C重合，∴BC=6cm，故答案为：5、6；②过点A作AI⊥BC于I，∵AB=AC，根据三线合一可得BI=CI=3,，由勾股定理得：AI=4，9∴S△ABC=12cm2，根据图象可知，△BPC与△APC的面积相等，∴AP=BP，即t+1=2.5

，解得t=1.5，此时点H的纵坐标为：6，∴3,62H；（2）①当0≤t＜5时，P、Q均在AB上∴当t=5时，BPBQ−最大=2.5cm②当5≤t≤10时，P在AB上，Q在BC上()550.51.510BPBQttt−=−−−=−∴当t=10时，最大值

为5cm③当10＜t≤11时，P、Q在BC上()50.550.5BPBQttt−=−−−=当t=11时，最大值为5.5cm故，当t=11时，BPBQ−最大=5.5cm．【例8】（2021·北京月考）已知点(1,1)A，(3,5)B，在x轴上的点C，使得

ACBC+最小，则点C的横坐标为（）A．43B．53C．2D．73【答案】A.【解析】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点A’，连接A’B，与x轴的交点即为点C，连接AC，此时AC+BC的最小值等于A’B的长，10由对称性知，A’

（1，-1），得直线A’B解析式为y=3x-4当0y=时，43x=，点C的横坐标为43，故答案为：A．【例9】（2021·福建省惠安月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（m，m－4），则AB＋OB的最小值是（）A．45B．8C．43D．4

【答案】A.【解析】解：由B（m，m-4）知，点B在直线y=x-4上，作点O关于直线y=x-4的对称点O’（4，-4），连接O’A交直线y=x-4于B，此时AB＋OB有最小值，最小值为O’A的长由勾股定理得：O’A=224(44)=45+−−故答案为：A．【例10】（2020

·浙江期中）如图所示，直线:24AByx=−+交y轴于点A，交x轴于点,Bx轴上有一点(1,0),CD−为y轴上一动点，把线段BD绕B点按逆时针方向旋转90得到线段BE，连结,CECD，则当CE长度最小时，线段CD的长为（）11A．10B．17C．5D．27【答案】A.【解析】

解：过点E作EH⊥x轴于H，如图所示：∵∠DBE=90°，∴∠DBC+∠CBE=90°.∵∠BHE=90°，∴∠BEH+∠CBE=90°，∴∠DBC=∠BEH，∵∠BOD=∠BHE=90°，BD=BE，∴△DBO≌△BEH（AAS），∴H

E=OB，HB=OD，12当y=0时，x=2，∴HE=OB=2，∴点E的运动轨迹是直线m：y=-2，B(2，0)，∴当CE’⊥m时，CE最短，如图所示，此时点C与点H重合，点E’的坐标为(-1，-2)

，∵C(-1，0)，B(2，0)，∴BC=3，∴OD=3，∴CD=2213=10+，故答案为：A．【动点与面积】【例11】（2021·陕西模拟）平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（1，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点B，且S△AOB＝4，则k的值是

（）A．25B．23−C．25或23−D．25−或23【答案】C.【解析】解：把y=0代入直线y＝kx+b得kx+b=0，解得：bxk=−∴(,0)bBk−把A（1,2）代入y=kx+b得：k+b=2，∵S△AOB＝4，∴1242bk−=

即24kk−=解得：25k=或23k=−，经检验：22,53kk==−是原方程的根，符合题意，故答案为：C．13【例12】（2021·江苏南通市模拟）如图，直线y＝﹣12x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，Q为线段OA上的一个动点，连接CQ．（1）点C的坐标

为；（2）当S△ACQ：S四边形CQOB＝2：7时，求直线CQ对应的函数关系式．【答案】（1）（2，2）；（2）y=-x+4.【解析】解：（1）由题意得：132yxyx=−+=，解得22xy==，∴C的坐标为（2，2），（2

）在y＝﹣12x+3中，当y＝﹣12x+3＝0，解得x＝6，当x＝0，则y＝3，故点A（6，0），点B（0，3），则OA＝6，OB＝3，∴S△AOB＝9∵S△ACQ：S四边形CQOB＝2：7∴S△ACQ＝2∵点C的坐标为（2，2）∴AQ=2∴点Q（4，0）设直线CQ的解析式

为y=kx+b，将C、Q坐标代入得：2240kbkb+=+=解得：14kb=−=∴y=-x+4.【例13】（2021·南京模拟）如图，在直角坐标系中，OABCY的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（8，0），B（12，4），直线21yx=+以每秒2个单

位的速度向右平移，经过_____秒该直线可将OABCY的面积平分．14【答案】2.75.【解析】解：如图，连接OB、AC交于E，直线y=2x+1与x轴交于D，当直线过E时，将OABCY的面积平分，E（6，2）

设直线EF解析式为y=2x+b，将E（6，2）代入可得：b=-10，∴直线EF解析式为y=2x-10令y=0得x=5，∴F（5，0），∴DF=5.5．故移动所需移动时间是5.522.75()s=．故答案为：2.75．【例14】（2021

·河北唐山市模拟）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝－5与x轴交于点D，直线33988yx=−−与x轴及直线x＝－5分别交于点C，E．点B，E关于x轴对称，连接AB．15（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；（2）设面积的和S＝S△CDE＋S四边形AB

DO，求S的值；（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复验

算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．【答案】（1）C（－13，0）；E（－5，－3）；255yx=+；（2）32；（3）见解析．【解析】解：（1）把y＝0代入33988yx=−−，得x＝－13，∴C（－1

3，0）．把x＝－5代入33988yx=−−，得y＝－3，∴E（－5，－3）．∵点B，E关于x轴对称，∴B（－5，3）．设直线AB的解析式为ykxb=+，则553bkb=−+=，解得255kb==，∴直线AB的

解析式为255yx=+；（2）∵CD＝8，DE＝DB＝3，OA＝OD＝5，∴S△CDB＝12×8×3＝12，S四边形ABDO＝12×（3＋5）×5＝20，∴S＝S△CDB+S四边形ABDO=12+20=32；（3）当x＝－13时，255yx=+＝－0.2≠0，∴点C不在直线AB上，即A，B

，C三点不共线．∴他的想法错在将△CDB与四边形ABDO拼接后看成了△AOC．【例15】（2021·辽宁沈阳市模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（﹣30，0），点B的坐标为（﹣30，30），△CDE是位于y轴的左侧且边长为83的

等边三角形，边DE垂直于x轴，△CDE从点C与点O重合的位置开始，以每秒2个单位长的速度先沿点O到点A的方向向左平移，当DE边与直线AB重合时，继续以16同样的速度沿点A到点B的方向向上平移，当点D与点B重合时，△C

DE停止移动．（1）求直线OB的函数表达式；（2）当△CDE移动3秒时，请直接写出此时点C的坐标为；（3）在△CDE的平移过程中，连接AE，AC，当△ACE的面积为363时，请直接写出此时点E的坐标为．【答案】（1）y=-

x；（2）（-6,0）；（3）(24,43)−−或(30,63)−．【解析】解：（1）由题意，设直线OB的函数表达式为y=kx，将点B（-30,30）代入得：-30k=30，解得k=-1，则直线OB的函数表达式为y

=-x；（2）如图，设DE与x轴的交点为点F，∵△CDE是边长为83的等边三角形，且DE⊥x轴，∴1432DFDE==，2212OFODDF=−=，∴AF=OA-OF=18当DE边与直线AB重合时，△CDE移动的时间为9（秒），当△CDE移

动3秒时，点C的运动路程为6个单位长度，且点C在x轴的负半轴上，此时点C的坐标为(-6,0)；（3）由题意得：分以下两种情况：17①当△CDE向左平移时，如图，设DE与x轴的交点为点G，由题意知，1432DGEGDE===，2212CGCDDG=−=，1363

2EGAC=，即1433632AC=，解得AC=18，∴OG=OC+CG=24，即E(24,43)−−；②当△CDE向上平移时，如图，过点C作CH⊥AB于H，13632CHAE=，即1123632AE=，解得AE=63，此时点E位于第二象限

，即E(30,63)−；综上，点E的坐标为(24,43)−−或(30,63)−．【例16】（2020·浙江期中）如图，直线1:12AByx=+分别与x轴、y轴交于点A，点B，18直线:CDyxb=+分别与x轴，y轴交于点C，点D．直线AB与CD相交于点P，已知4ABDS=

，则点P的坐标是（）A．5(3,)2B．(8,5)C．(4,3)D．1(2，5)4【答案】B.【解析】解：∵y=12x+1分别与x轴、y轴交于点A、点B，令x=0，则y=1；令y=0，则x=-2，∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，

1），∴OA=2，OB=1，∵S△ABD=12BD•OA=12×BD×2=4，∴BD=4，∴OD=BD-OB=4-1=3，∴点D的坐标为（0，-3），∵点D在直线y=x+b上，∴b=-3，∴直线CD的解析式为：y=x-3，∵直线AB与CD相交于点P，联立可得：1123yxyx=+=−

，解得85xy==，即P的坐标是（8,5）．19故答案为：B．【图形存在性】【例17】（2021·重庆月考）如图1，已知直线1:5lyx=−+与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点(

0,1)C−，与直线l1交于点D（2，t）．（1）求直线l2的解析式；（2）如图2，若点P在直线l1上，过点P作//PQy轴交l2于点Q，交x轴于点G，使2PCGQCGSS=，求此时P点的坐标；（3）将直线1:5lyx=−+向左平移10个单位得到直线l3交x轴于点E，点F是点C关于

原点的对称点，过点F作直线4//lx轴．在直线l4上是否存在动点M，使得MCEV为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=2x-1；（2）（-4,9）；（3）见解析.【解析】解：（1）∵D（2，t）在

直线y=-x+5上∴t=3，∴D（2，3）设直线l2的解析式为y=kx+b，将点C，D代入得，123bkb=−+=解得，21kb==−所以，l2的解析式为y=2x-1.20（2）设P（a，5-a）∵PQ//x轴，∴G

(a,0)，Q(a，2a-1)∵1||2PCGSPGa=g，1||2QCGSOQa=g，2PCGQCGSS=∴PG=2QG∴5|21|aa−=−解得，a=-4，a=2（舍去）∴P（-4,9）（3）存在，理由如下：由题意知A（5,0），B（0,5），E（-5,0），N（0，-5）如图，

∵l3∥l1∴l3：y=-x-5设M（a，1）则222222222,(5)1,51MCMFFCaMEaCE=+=+=++=+当△MCE为等腰三角形，有：①ME=CM时，2222(5)12,aa++=+解得，1

15a=−，即11(,1)5M−②CE=CM时，2222251a+=+解得：22a=或22a=−21即(22,1)M，(22,1)M−③ME=CE时，2222(5)151a++=+解得，a=0或a=-10

（舍）即M（0,1）综上，点M的坐标为：11(,1)5−或(22,1)，(22,1)−或(0,1)．【例18】（2021·江苏省江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x－6经

过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）．（1）写出点B的坐标是（，）；（2）当43OABCBEGFSS=正方形四边形时，求点E的坐标；（3）在点E的整个运动过程中，①当四边形BEG

F为菱形时，求点E的坐标；②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为．（请直接写出答案）【答案】（1）（6，6）；（2）E（0，2）；（3）①E（0，32）；②4.【解析】解：（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2

x−6＝0，得x＝3，∴D的坐标分别为（3，0），∵线段OA的中点D，正方形OABC的边OA，∴A（6，0），22B（6，6），故答案为：6；6；（2）对于y＝2x−6，令x＝0，即y＝−6，∴G（0，﹣6），∵点E关于直线DG的对称点

F，∴BGEBGFSS=VV，∴1222BGFBEGFSSEGCB==V四边形设点E的坐标为（0，m）．∴EG＝m+6，∵43OABCBEGFSS=正方形四边形，B（6，6），∴=66=36OABCS正方形

，∴()1422663623BGFBBEGFSSEGxm===+=V四边形，解得m＝2，∴E（0，2）；（3）①若四边形BEGF为菱形，则EG//BF，∴BF⊥x轴，即BF在BA的延长线上，根据菱形

的性质知：BE＝GF＝BF＝EG，∵点E的坐标为（0，m），∴BE2＝EG2，BE2＝BC2+CE2∴()()2226+66mm−=+，解得：32m=，∴E（0，32）；②当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时，∵BE＝BF，矩形为正方形，则∠

EBF为直角，过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T，23∵∠CBE＋∠EBA＝90°，∠EBA＋∠FBA＝90°，∴∠CBE＝∠FBA，∵∠BCE＝∠BTF＝90°，BE＝BF，∴△BCE≌△BTF，∴CE＝TF＝6−m，BT＝BC，点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE＝6−m，点F（1

2−m，0），∵GE＝GF，∴GE2＝GF2，GE2＝（m＋6）2，GF2＝（12−m）2＋（−6）2∴（m＋6）2＝（12−m）2＋（−6）2，解得：m＝4．故答案为：4.【例19】（2021·福建省福州期中）在平面直角坐标系中，点()2,

Aa，(),3Bb，(),Cmn，且640−+−=ab．（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；（2）将线段AB平移至EF，点A和点E为对应点，点B和点F为对应点，当点E和点F分别落在两条坐标轴上时，求点E的坐标；（3

）若点(),Cmn在第一象限，且在直线AB上，点C关于x轴的对称点为点D．若DABV的面积为8，求点D的坐标．24【答案】（1）()2,6，()4,3；（2）（0，3）或（-2，0）；（3）1043,-【解析】解：（1）∵640−+−=

ab∴6=0,40ab−−=，解得：6a=，4b=∴()2,6A，()4,3B故答案为：()2,6，()4,3（2）由平移性质可得：将线段AB平移至EF，点A和点E为对应点，点B和点F为对应点，当点E和点F分别落在两条坐标轴上时，此时点E的坐

标为（0，3）或（-2，0）（3）由题意可得：点(),Cmn且点C关于x轴的对称点为点D25∴点(),Dmn−，即CD=2n设直线AB的解析式为ykxb=+，将()2,6A，()4,3B代入可得：2643kbkb+=+=，解得：329kb=−=∴直线AB的解析式为：392

yx=−+∵点C在直线AB上，∴392nm=−+∴CD=2318nm=−+∴1231882ABDSCDm==−+=△，解得：10=3m∴3109=423n=−+∴C点坐标为10,43，即D

点坐标为1043,-【例20】（2020·浙江期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线3:64AByx=+26与,xy轴分别相交于点ABBC，，平分ABO交x轴于点C．（1）求点,AB的坐标和线段AB的长

；（2）求线段OC的长，并写出点C的坐标；（3）若过原点的直线l平行于直线AB，动点P在直线l上运动，当12OBPOBA=时，求点P的坐标．【答案】（1）10；（2）OC＝3，C(-3，0)；（3）（245−，185−）或（2411，181

1）【解析】解：（1）由直线3:64AByx=+，令y＝0得到x＝−8，即A（−8，0），令x＝0得到y＝6，即B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，根据勾股定理得：AB＝2286+＝10；（2）过C作CD⊥AB于点D，如图所示：∵

BC平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴∠CBO=∠CBD，∠COB=∠CDB，∵BC=BC，∴△CBO≌△CBD∴CD＝CO，BD=BO=6，∴AD=10-6=4，27设CO＝x，在Rt△ADC中，根据勾股定理得：x2＋42＝（

8−x）2，解得：x＝3，即OC＝3，∴C(-3，0)；（3）设BC与直线l的交点为E，①点P在OB的左侧时，点P即为BC延长线与直线l的交点，将B（0，6），C（−3，0）代入y＝kx＋b得：630bkb

−+＝＝，解得：k＝2，b＝6，即直线BC解析式为：y＝2x＋6，∵直线l平行于直线AB，∴直线l解析式为y=34x，联立得：2634yxyx+＝＝，解得：245185xy−−＝＝，即P（245−，185−）；②点P在OB右侧时，∠

1＝∠2，∵C（−3，0），∴C点关于y轴的对称点C’（3，0），∴直线BC’解析式为y＝−2x＋6，联立：2634yxyx−+＝＝，28解得：24111811xy＝＝，即P（2411，1811）．综上，P的坐标为（245−，185−

）或（2411，1811）．【例21】（2020·浙江金华市期中）已知直线a：24yx=+分别与x、y轴交于点A，C．将直线a竖直向下平移7个单位后得到直线b，直线b交直线:2ADyx=+于点E．已知点M是第一象限直线a上的任意一

点，过点M作直线cx⊥轴，交直线b于点N，H为直线AD上任意一点，是否存在点M，使得MNH△成为等腰直角三角形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（12，14）或（172，212

）.【解析】解：存在．理由如下：∵直线y＝2x＋4竖直向下平移7个单位后得到直线b，∴直线b的解析式为y＝2x−3，由223yxyx+−＝＝，解得：57xy＝＝，∴E（5，7），当点N与E（5，7

）重合时，作MH∥x轴交直线y＝x＋2于H，此时△MNH是等腰直角三角形，取EH的中点H′，连接MH′，此时△MNH′也是等腰直角三角形，此时，M（5，14），MH∥x轴，29∴H（12，14），∵E（5，7），EH′＝HH′，∴H′（172，21

2）．综上所述，满足条件的点H的坐标为（12，14）或（172，212）．【例22】（2021·盐城市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线1,3lyx=−+、直线21,12lyx=+与x轴分别交于点,AB，与y轴分别交于点,CD

，两直线12,ll相交于点P．（1）求交点P的坐标：（2）求PAD△的面积：（3）点M在直线1l上，//MNy轴，交直线2l于点N，若12MNAB=，直接写出点M的坐标．【答案】（1）45,33P；（2）103；（3）()3,0M或110,3

3−.【解析】解：（1）联立直线l1与l2得，31y12yxx=−+=+，30解得4=35y3x=，∴45,33P；（2）当x=0时，y=3，D(0，3)，当y=

0时，-x+3=0，x=3；112x+=0，x=-2，A(-2，0)，B（3，0），AB=5，OD=3，S△ABD=1115ABOD=53=222，S△ABP=11525ABy=5=2236P，S△PAD=S△ABD-S△A

BP=152510-=263；（3）设M（x，-x+3），MN=13-31222xxx+−−=−+，∵1=252MNAB=，∴352=22x−+，31解得13x=−或3x=，1110y3333x=−=++=，，x=3时，

y=0，∴M11033−，或（3，0）．【方案选择】【例23】（2021·湖北恩施）为更好践行党史学习活动，某学校计划租用汽车送部分团员学生和党员教师共206人到革命英雄纪念馆开展党史学习教育，其中团员的人数比党员人数的13倍还多10人．现在甲、乙两种客车（不能超员），它们

的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3322租金（元/辆）300200为确保安全，学校规定：每辆车上至少要有2名教师．如果学校预算此次活动的租金总费用不超过2000元，请解答下列问题：（1）参加此次活动的团员和党员

各多少人？（2）设租用x辆甲种客车，租车总费用为y元．①学校共有哪几种租车方案？②写出y与x的函数关系式，并求租车总费用y的最小值．【答案】见解析.【解析】解：（1）设参加此次活动的党员有a人，团员有b人．得：2061310abba+==+解得：14192

ab==答：参加此次活动的党员有14人，团员有192人．（2）保证206名师生都有车坐，汽车总数不能小于7；32只有14名教师，要使每辆汽车上至少要有2名教师，汽车总数不能大于7；综上可知：共需租7辆汽车；①依题意，租乙种客车（7-x）辆，得3322(7)19

214300200(7)2000xxxx+−++−，解得52611x，∵x为正整数，∴x=5或6，即共有2种租车方案：方案一：租甲种客车5辆、乙种客车2辆；方案二：租甲种客车6辆、乙种客车1辆；②由题意，得y=300x+200（7-x）=100x+1400

，∵100>0，∴y随x的增大而增大，当x=5时，y取得最小值，最小值为1900．【例24】（2021·天津）2020年新冠肺炎疫情席卷而来，为了员工的健康安全，某公司欲购进一批口罩，在甲药店不管一次购买多少包，每包价

格为70元，在乙药店购买同样的口罩，一次购数量不超过30包时，每包售价为80元，一次购买数量超过30包时，超过部分价格打八折．设在同一家药店一次购买这种口罩的包数为x（x为非负整数）（Ⅰ）根据题意填写下表：次

性购买数量（包）2050100…甲药店付款金额元3500…乙药店付款金额元3680…（Ⅱ）设在甲药店购买这种口罩的金额为1y元，在乙药店购买这种口罩的金额为2y元，分别写出1y、2y关于x的函数关系式；（Ⅲ）根

据题意填空：①若该公司在甲药店和乙药店一次购买口罩的数量相同，且花费相同，则该公司在同一家33药店一次购买口罩的数量为__________包；②若该公司在同一家药店一次购买口罩的数量为120包，则该公司在甲、乙两家药店中的_________药店购买花费少；③若该公司

在同一家药店一次购买口罩花费了4200元，则该公司在甲、乙两家店中的_________药店购买数量多．【答案】（Ⅰ）1400；7000；1600；6880；（Ⅱ）170(0)yxx=；280(030)64480(30)xxyxx=+；（Ⅲ）①80；②乙；

③甲．【解析】解：（Ⅰ）答案为：1400；7000；1600；6880；（Ⅱ）设在同一家药店一次购买这种口罩的包数为x（x为非负整数）在甲药店购买这种口罩的金额为170yx=在乙药店购买这种口罩的金额为当30x时，280(030)yxx=当30x

时，2y=8030(30)800.864480xx+−=+综上所述，280(030)64480(30)xxyxx=+（Ⅲ）①依题意得70x=64x+480解得：x=80②若该公司在同一家药店一次购买口罩的数量为120包，在甲药店购买这种口罩的金额

为8400（元），在乙药店购买这种口罩的金额为8160（元）在乙店购买花费少；③当y=4200时，代入y1得：x=60代入y2得：x=58.125故甲药店购买数量多，故答案为：①80；②乙；③甲．【行程问题】【例25】（2021·吉林长春市）甲、乙两

地的路程为290千米，一辆汽车早上8:00从甲地出34发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后,继续按原速前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12:00准时到达乙地．设汽车离甲地的路程为y（千米），汽车出发时间为x（时）

，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数图象．（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米/时．（2）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式．（3）汽车要想12:00准时到达乙地，求汽车接到通知后需匀速行驶的速度．【答案】（1）80；（2）8040

(1.53.5)yxx=−；（3）100千米/时【解析】解：（1）80．（2）根据（1），可设线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=80x+b．将(1.5，80)代入上式，得80801.5b=+，解得b=-40．即y=80x-40，当y=240时，得x=3.5．∴线段

DE所表示的y与x之间的函数关系式为：8040(1.53.5)yxx=−．（3）由（2）可知接到通知时已经行驶了3.5h，12:00-8:00=4h，4-3.5=0.5h，290-240=50km

，50÷0.5=100km/h．∴汽车接到通知后需匀速行驶的速度为100千米/时．【例26】（2021·辽宁大连）甲、乙两车先后从A城出发前往B城，乙到达B城后立即以原速度返回A城，在整个行程中，甲、乙两车离开A城的距离y（单位：km）与甲车的行驶35时间t

（单位：h）的函数图象如图所示．（1）甲车的速度为km/h；（2）求甲出发后多长时间与乙车再次相遇．【答案】（1）60；（2）358小时.【解析】解：（1）∵甲车出发5小时行驶了300km，∴甲车速度为300÷5

=60（km/h），故答案为：60；（2）设甲车的函数关系式为：y=kx（k≠0），将（5，300）代入得：5k=300，解得：k=60，∴y=60k（0≤x≤5），将x=2.5代入得：y=60×2.5=1

50，设乙车到B城的函数关系式为：y1=k1x+b1（k1≠0），将（1，0），（2.5，150）代入得：111102.5150kbkb+=+=，解得：11100100kb==−，∴y1=100x-10

0，将y1=300代入得：100x-100=300，解得：x=4，∴乙车从A城到B城用了4-1=3（h），36∴乙车从B城回到A城的时间为1+3+3=7（h），设乙车返回A城的函数关系式为：y2=k2x+b2（k2≠0），将（4，300），（7，0）代入得：2222430070kbkb+=+

=，解得：22100700kb=−=，∴y2=-100x+700（4＜x＜7），甲、乙两车再次相遇时，60x=-100x+700，解得：x=358，故甲车出发358h时，与乙车再次相遇．