【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第48讲 椭圆及其性质（达标检测） Word版含解析.docx，共(19)页，327.675 KB，由小赞的店铺上传

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第48讲椭圆及其性质（达标检测）[A组]—应知应会1．（2019•北京）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2bD．3a＝4b【分析】由椭圆离心率及隐含条件a2＝b2+c2得答

案．【解答】解：由题意，，得，则，∴4a2﹣4b2＝a2，即3a2＝4b2．故选：B．2．（2020•松原模拟）以椭圆的长轴端点作为短轴端点，且过点（﹣4，1）的椭圆的焦距是（）A．16B．12C．8D．6【分析】求出椭圆短轴的端点坐标（0，±3），从而可

以设出所求椭圆方程，结合它经过点（﹣4，1）列出关于a2的等式，然后求解椭圆的焦距．【解答】解：以椭圆的长轴端点作为短轴端点（0，±3），因此可设所求的椭圆方程为，∵经过点（﹣4，1），∴＝1，解之得a2＝18，a＝3，b＝3，则c＝3，因此

，所求椭圆的焦距为6．故选：D．3．（2020•碑林区校级模拟）已知椭圆的离心率为，则实数m＝（）A．±2B．C．D．±3【分析】利用椭圆的离心率，列出方程求解m即可．【解答】解：椭圆的离心率为，可得＝，解得m＝．故选：B．4．（2020

春•池州期末）过点（2，），焦点在x轴上且与椭圆+＝1有相同的离心率的椭圆方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1【分析】设出椭圆方程，利用点在椭圆上，转化求解即可．【解答】解：设焦点在x轴上且与椭圆+＝1有

相同的离心率的椭圆方程+＝λ（λ＞0），把点（2，）代入椭圆方程，可得：λ＝2，所求椭圆方程为：+＝1．故选：D．5．（2020•吉林四模）已知椭圆C的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，C的长轴长为2a，过F1的直线与C交于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，4|BF2|

＝5|AB|，则|AF2|＝（）A．B．aC．D．a【分析】设出椭圆方程，利用已知条件，结合椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：由题意设椭圆方程为：（a＞b＞0），连接AF2，如图所示：∵|AF1|＝3|BF1|，则|

BA|＝4|F1B|，又4|BF2|＝5|AB|＝20|F1B|，可得|BF2|＝5|BF1|，由椭圆定义可得：|AF1|+|AF2|＝2a＝6|F1B|，所以|BF1|＝a，|AF1|＝a，可得|AF2|＝2a﹣a＝a，故选：D．

6．（2020•福州三模）已知椭圆的右焦点为F，以C上点M为圆心的圆与x轴相切于点F，并与y轴交于A，B两点．若，则C的焦距为（）A．B．2C．D．4【分析】用c表示出M点坐标，根据垂径定理得出A，B的坐标，利用向量的数量积公式，

计算c的值即可．【解答】解：设F（c，0），把x＝c代入椭圆方程可得+＝1，解得y2＝，不妨设M在第一象限，则M（c，），故圆M的半径为，∴AB＝，∴A（0，+），B（0，﹣），∴＝（﹣c，+），＝（﹣c，﹣），∴＝c2+﹣（﹣c2）＝4，解得c2＝2，c＝，∴椭圆C的焦距为2c＝2．故选：C．7

．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a＝，b＝，可得椭圆的

方程．【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|A

F2|，∴A在y轴上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为：+＝1．故选：B．8．（2020春•成都期末）

已知椭圆，焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）．过F1（﹣2，0）作倾斜角为60°的直线L交上半椭圆于点A，以F1A，F1O（O为坐标原点）为邻边作平行四边形OF1AB，点B恰好也在椭圆上，则b2＝（）A．B．C．4D．12【分析】设A（x1，y

1），B（x2，y2），四边形OF1AB为平行四边形，推出y1＝y2，推出x1＝﹣x2，又F1A∥OB，求出A的坐标，代入椭圆方程，利用c＝2，所以a2﹣b2＝c2即可求出b2，得到选项．【解答】解：依题意可知，c＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为四边形

OF1AB为平行四边形，所以y1＝y2，又，，所以x1＝﹣x2，又F1A∥OB，且直线F1A的倾斜角为60°，所以，因为y1＝y2，x2＝﹣x1，所以x1＝﹣1，x2＝1，，所以，将其代入，得➀又c＝2，所以a2﹣b2＝c2②所以联立①②解得，，故选：B．9．（多选）（2020春•桃

江县期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，点P（1，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．|QF1|+|QP|的最小值为2a﹣1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为D．若，则椭圆C的

长轴长为【分析】由焦距的值及P的坐标可得PF2⊥x轴，由椭圆的定义到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，当P，F2，Q三点共线时|QP|+|QF1|取到最小值，因为P在椭圆内可得b＞1，可得短轴长大于2，由P在椭圆内可得长轴长2a大于|PF1|+|PF2|，进而可得椭圆

的离心率的范围；，可得F1为PQ的中点，由P，F1的坐标求出Q的坐标，进而由两点间的距离求出长轴长2a＝|QF1|+|QF2|的值．【解答】解：由|F1F2|＝2可得：F2（1，0），所以PF2⊥x轴，A中，|QF1|+|QP|＝2a﹣|QF2|+|QP|＝2a﹣（|QF2|﹣|

QP|）≥2a﹣|PF2|＝2a﹣1，当且仅当Q，P，F2三点共线时，取到最小值为2a﹣1，所以A正确；B中，因为P在椭圆内，b＞1，所以短轴长2b＞2，故B不正确；C中，因为P在椭圆内，所以长轴长2a＞|PF1|+|PF2|＝1+，所以离心率e＝＜＝，所以e

∈（0，），所以C不正确；D中，因为，所以F1为PQ的中点，而F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，1），所以Q（﹣3，﹣1），所以长轴长2a＝|QF1|+|QF2|＝+＝+，所以D正确，故选：AD．10．（2020•青岛模拟）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的

取值范围为．【分析】利用已知条件列出不等式求解即可．【解答】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得1﹣m＞m＞0，解得m∈．故答案为：（0，）．11．（2020•桃城区校级模拟）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若C的短轴长为，且两个焦点恰好

为长轴的2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为．【分析】利用已知条件求出b，结合两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，得到ac关系式，然后求解a，即可得到椭圆方程．【解答】解：椭圆的短轴长为，即，∴，即a2﹣c2＝24（*

）．∵2个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，∴，得a＝5c，代入（*）式，解得c＝1，a＝5，故该椭圆的标准方程为．故答案为：．12．（2020•平湖市模拟）已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，若|AF1|

﹣|BF2|＝，则△AF1F2的面积为．【分析】由椭圆的焦半径公式及|AF1|﹣|BF2|＝，可得，设直线AF1的方程为y＝k（x+1），直线BF2的方程为y＝k（x﹣1），（其中k＞0），，可得xA，由，可得xB即可得k2，从而求得yA即可．【解答】解：设直线AF1的方程为y＝k（x+1），直

线BF2的方程为y＝k（x﹣1），（其中k＞0）．，可得xA＝，由，可得xB＝，由椭圆的焦半径公式及|AF1|﹣|BF2|＝，可得，故，∴，解得k2＝1，∴xA＝0，yA＝1，∴则△AF1F2的面积为s＝．故答案为：1．13．（2020

•天心区校级模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则的最小值是．【分析】利用已知条件求出a，b，结合椭圆的定义，利用基本不等式转化求解表达式的最小值即可．【解答】解：

据题意，b＝1，解得a＝2，，于是|PF1|+|PF2|＝2a＝4，所以＝，当且仅当|PF2|＝2|PF1|，即，时等号成立．故答案为：．14．（2020•黄州区校级二模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，经

过原点的直线与C交于A，B两点，总有∠AFB≥120°，则椭圆C离心率的取值范围为．【分析】设椭圆的右焦点为E，则四边形AFBE是平行四边形，于是把原问题转化为求∠FAE≤60°时，离心率的取值范围；然后在△AFE中，结合椭圆的定义、余弦定理

和基本不等式列出关于离心率e的不等式，解之即可得解．【解答】解：如图所示，设椭圆的右焦点为E，则四边形AFBE是平行四边形，∵∠AFB≥120°，∴∠FAE≤60°．设AE＝m，AF＝n，由椭圆的定义可知，m+n＝2a，由基本不等式的性质可知

，mn≤，在△AFE中，由余弦定理知，cos∠FAE＝＝＝，∵∠FAE≤60°，∴cos∠FAE∈[，1），∴1﹣2e2，解得，∵0＜e＜1，∴离心率e∈（0，]．故答案为：（0，]．15．（2020•浙江模拟）如图，过原点O的直线AB交椭圆于

A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP．AQ交椭圆C于点P．Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是．【分析】设A，Q的坐标，由题意可得B，P的坐标，由AB⊥AQ及B，M，N三点共线可得，将A

，Q的坐标代入椭圆的方程可得+＝0，进而可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），Q（x2，y2）），则B（﹣x1，﹣y1），P（x1，﹣y1），由AB

⊥AQ，则，再由B，M，Q三点共线，则，故，即，又因为，，即+＝0，所以，故椭圆C的离心率是．故答案为：．16．（2019•浙江）已知椭圆+＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是．【分

析】求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值．【解答】解：椭圆＝1的a＝3，b＝，c＝2，e＝，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，线段PF的中点A在以原点O

为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF'|＝2|AO|＝4，设P的坐标为（m，n），可得3﹣m＝4，可得m＝﹣，n＝，由F（﹣2，0），可得直线PF的斜率为＝．另解：由|PF'|＝2|AO|＝4，|PF|＝6﹣4＝

2，|FF'|＝2c＝4，可得cos∠PFF'＝＝，sin∠PFF'＝＝，可得直线PF的斜率为＝．故答案为：．17．（2019秋•兴庆区校级期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）已知某椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点；（2）椭圆经过点，．【分析】（1）设

出椭圆标准方程，再由已知结合定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设出椭圆标准方程，再由已知结求得a，b的值，则椭圆标准方程可求．【解答】解：（1）设椭圆方程：（a＞b＞0），则2a＝|PF1|+|PF2

|＝，∴a＝．∵b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆方程：；（2）设椭圆：（a＞b＞0），由题可知：a＝，b＝，∴椭圆方程：．18．（2019秋•新乡期末）已知椭圆的短轴长为2．（1）若椭圆C经过点，求椭圆C的方程；（2）A为椭圆C的上顶点，B（0，3），椭圆C上存在点P，使得．求椭圆C的离心率的取

值范围．【分析】（1）先求出b的值，将点的坐标代入建立方程进行求解即可．（2）设出P的坐标，根据长度关系，联立方程组求出P的横坐标，结合椭圆x的范围以及离心率关系进行求解即可．【解答】解：（1）由题意

可得2b＝2，即b＝1．因为椭圆C经过点，所以，所以，解得a2＝4．故椭圆C的方程为．（2）由（1）可知A（0，1），设P（x，y），则①因为，所以|PB|2＝3|PA|2，所以x2+（y﹣3）2＝3[x2+（y﹣1）2]，即x2+y2＝3．②联

立①②，解得．因为﹣a≤x≤a，所以0≤x2≤a2，所以，解得a2≥3，于是，即，则，即，即．故椭圆C的离心率的取值范围是．19．（2020•4月份模拟）已知椭圆，C的中心为O，左、右焦点分别为F1，F2．上顶点为A，右顶点为B，且|OB

|、|OA|、|OF2|成等比数列．（1）求椭圆C的离心率；（2）判断△F1AB的形状，并说明理由．【分析】（1）由题意可得A，B，F2的坐标，再由|OB|、|OA|、|OF2|成等比数列．可得，ab，c之间的关系，再由椭圆中a，b，c之间的

关系求出离心率；（2）由题意知A，B，F1的坐标，和题意b2＝ac，可得向量以＝0，即可得向量的垂直，即三角形为直角三角形．【解答】解（1）设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，则|OB|＝a，|OA|＝b，|OF2|＝c，由题设可

得b2＝ac及b2＝a2﹣c2可得c2+ac﹣a2＝0，即e2+e﹣1＝0，解得e＝，而e∈（0，1），所以椭圆的离心率为e＝；（2）设椭圆的方程为：+＝1（a＞b＞0），则A（0，b），B（a，0），F1（﹣c，0），因为b2＝ac，＝（﹣c，﹣b），＝（a

，﹣b），所以＝﹣ac+b2＝0，所以AF1⊥AB，即△ABF1为直角三角形．20．（2019•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的

面积等于16，求b的值和a的取值范围．【分析】（1）根据△POF2为等边三角形，可得在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，在根据直角形和椭圆定义可得；（2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得b＝4，根据x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，从而a

2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，【解答】解：（1）连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（+1）c，故曲线C的离心率e＝＝﹣1．（2）由题意可知，满足条件的点P（

x，y）存在当且仅当：|y|•2c＝16，•＝﹣1，+＝1，即c|y|＝16，①x2+y2＝c2，②+＝1，③由②③及a2＝b2+c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4，由②③得x2＝（c2﹣b2），所以c2≥

b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值范围为[4，+∞）．[B组]—强基必备1．（2019秋•泉州期末）圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系．如图所示，

底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【

分析】根据题意作出平面图形，当α与底面趋于平行时，τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0．当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，【解答】解：当α与底面趋于平行时，τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0．当α与底面的夹角最大时，τ

的离心率达到最大，下面求解这一最大值．如图，A，B为长轴，F为焦点时，e最大．a+c＝|BF|＝|BG|＝2，易知b＝1，所以，则e＝＝．则离心率的取值范围是．故选：B．2．（2020•湖北模拟）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左

右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心．当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为．【分析】由题意可得取特殊情况时GI存垂直于x轴，由于这些IG的倾斜角时不随P的为变化的，所以IG始终垂直于x轴，设P的坐标，由重心性质及角平分线的性质可得的比值，由△MIN与△M

PE相似可得I的坐标，再由三角形PF1F2的面积相等，内切圆的半径代入可得a，c的关系，求出离心率．【解答】解：当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，设内切圆与边的切

点分别为Q，N，A，如图所示：设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上，连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，可得重心G（，）所以I的横

坐标也为，|ON|＝，由内切圆的性质可得，PG＝PA，F1Q＝F1N，NF2＝AF2，所以PF1﹣PF2＝（PQ+QF1）﹣（PA+AF2）＝F1N﹣NF2＝（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）＝2ON＝，而PF1+PF2＝2a，所以PF1＝a+，PF2＝a﹣，由角平分线的性质可得＝

，即＝，所以可得OM＝，所以可得MN＝ON﹣OM＝﹣＝，所以ME＝OE﹣OM＝x0﹣＝，所以＝＝，即IN＝•PE＝•y0，s＝（PF1+F1F2+PF2）•IN＝，即（2a+2c）＝，所以整理为：＝，故答案为：．3．（2020•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（

a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为P，过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A，B两点．（1）当直线l平行于x轴时，P，F，A三点共线，且PA＝，求椭圆C的方程；（2）当椭圆C的离心率为何值时，对任意的动直线l，总有PA⊥PB？【分析】（1）当直线l与x轴平行时，即l：y＝b，作AD⊥x

轴交x轴于点D，则根据＝，可得A（c，b），由PA＝PF＝＝a＝，求出a＝，由此能求出椭圆C的方程．（2）当直线l平行于x轴时，由PA⊥PB，得kPA•kPB＝＝﹣1，从而求出e＝；当直线l不平行于x轴时，由e＝，把椭圆可化为x2+3y2＝3b2，设直线l的方程为y＝kx+，A（x1，y

1），B（x2，y2），由，得（1+3k2）＝0，利用韦达定理推导出PA⊥PB，由此求出当椭圆C的离心率为时，对任意的动直线l，总有PA⊥PB．【解答】解：（1）当直线l与x轴平行时，即l：y＝b，如图，作AD⊥x轴交x轴于点D，则根

据＝，可得A（c，b），且PA＝PF＝＝a＝，解得a＝，又因为A在椭圆上，所以，解得c2＝a2＝1，所以b2＝3﹣1＝2，所以椭圆C的方程为；（2）①当直线l平行于x轴时，由PA⊥PB，得kPA•kPB＝＝﹣1，∴a

2＝3b2，又a2＝b2+c2，∴2a2＝3c2，∴e2＝，∵e∈（0，1），∴e＝．②当直线l不平行于x轴时，下面证明当e＝时，总有PA⊥PB，事实上，由①知椭圆可化为＝1，∴x2+3y2＝3b2，设直线l的方程为y＝kx+，A（x

1，y1），B（x2，y2），由，得（1+3k2）＝0，∴，x1x2＝，∵，，∴＝x1x2+（y1+b）（y2+b）＝＝＝＝+＝﹣＝0．∴PA⊥PB，综上，当椭圆C的离心率为时，对任意的动直线l，总有PA⊥PB．