【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第48讲 椭圆及其性质（讲） Word版含解析.docx，共(13)页，195.443 KB，由小赞的店铺上传

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第48讲椭圆及其性质（讲）思维导图知识梳理1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞

b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．3．椭圆的几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称顶点

坐标(a,0)，(－a,0)，(0，b)，(0，－b)(b,0)，(－b,0)，(0，a)，(0，－a)焦点坐标(c,0)，(－c,0)(0，c)，(0，－c)半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b离心率e＝caa，b，c的关系a2＝b2＋c2题型归纳题型1椭圆的定义及

其应用【例1-1】（2019秋•盐田区校级期中）已知F1（﹣3，0），F2（3，0）动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则动点M的轨迹方程．【分析】依据动点M满足的条件及椭圆的定义可得：动点M的轨迹是：以F1，F2为焦点的椭圆，即可得出结论．【解答】解：根据椭圆

的定义知，到两定点F1，F2的距离之和为10＞|F1F2|＝6，动点M的轨迹是：以F1，F2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，b＝4，∴动点M的轨迹方程是＝1．故答案为＝1．【例1-2】（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF

1F2为等腰三角形，则M的坐标为．【分析】设M（m，n），m，n＞0，求得椭圆的a，b，c，e，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c

，运用椭圆的焦半径公式，可得所求点的坐标．【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：+＝1的a＝6，b＝2，c＝4，e＝＝，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等

腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6+m＝8，即m＝3，n＝；6﹣m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．可得M（3，）．故答案为：（3，）．【跟踪训练1-1】（2019秋•龙岗区期末）已知△ABC的周长为2

0，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，

椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B（0，﹣4），C（0，4），∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹

是椭圆，∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B．【跟踪训练1-2】（2019秋•广东期末）已知椭圆+＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即

可得到P到另一个焦点的距离．【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3＝7故答案为：7【名师指导】椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有

关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．题型2椭圆的标准方程【例2-1】（

2020春•黄浦区校级期末）如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为．【分析】设椭圆的方程为（a＞b＞0），由题可知，c＝，根据|OP|＝|OF|且|PF|＝4

可求出点P的坐标，将其代入椭圆方程，并结合a2＝b2+c2解出a2和b2的值即可．【解答】解：由题可知，c＝，过点P作PM垂直x轴于M，设|OM|＝t，则|FM|＝﹣t，由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝|PF|2﹣|FM|2，即

，解得，∴，∴点P的坐标为（﹣，），设椭圆的方程为（a＞b＞0），则，化简得，又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，∴椭圆的标准方程为．故答案为：．【例2-2】（2019秋•伊春区校级期中）过点（，﹣），且与椭圆+＝1有相同的焦点的椭圆

的标准方程．【分析】求出椭圆+＝1的焦点，即c＝4，可设所求椭圆方程，由a，b，c的关系，和点在椭圆上得到a，b的方程组，解出a，b，进而得到所求椭圆方程．【解答】解：椭圆+＝1的焦点为（0，±4），则所

求椭圆的c＝4，可设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），则有a2﹣b2＝16，①再代入点（，﹣），得，＝1，②由①②解得，a2＝20，b2＝4．则所求椭圆方程为＝1．故答案为：＝1．【例2-3】（2019秋•南通期末）椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0），且

长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．或D．或【分析】根据题意，按椭圆的焦点位置分2种情况讨论，求出对应的椭圆方程，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，要求椭圆经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，分2种情况讨论：①，椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝，此时椭圆的

方程为+＝1，②，椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，则a＝6，此时椭圆的方程为+＝1；故椭圆的方程为+＝1或+＝1；故选：C．【跟踪训练2-1】（2019秋•广东期末）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交

于A，B两点．若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a，再由隐含条件求得b，则椭圆的方程可求．【解答】解：∵|BF1|＝5|BF2|，且|BF1|+|BF

2|＝2a，∴|BF2|＝，|BF1|＝，∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AF2|＝a，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，则A在y轴上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝＝，根据cos∠A

F2O+cos∠BF2F1＝0，可得，解得a2＝2，∴b2＝a2﹣c2＝1．∴椭圆C的方程为：．故选：A．【跟踪训练2-2】（2019秋•天心区校级期末）若直线x﹣2y+2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．

+y2＝1或+＝1D．以上答案都不对【分析】利用椭圆的简单性质求解，题中没有明确焦点在x轴还是在y轴上，所以分情况讨论．【解答】解：设焦点在x轴上，椭圆的标准方程为∴焦点坐标为（﹣c，0），（c，0），顶点坐标为（0，b），

（0，﹣b）；椭圆的a，b，c关系：；a2﹣b2＝c2∵直线x﹣2y+2＝0恒过定点（0，1）∴直线x﹣2y+2＝0必经过椭圆的焦点（﹣c，0），和顶点（0，b）带入直线方程：解得：c＝2，b＝1，a＝∴焦点在x轴上，椭圆的标准方程为；当设焦点在y轴，椭圆的标

准方程为∴焦点坐标为（0，﹣c），（0，c），顶点坐标为（﹣b，0），（b，0）；椭圆的a，b，c关系：a2﹣b2＝c2∵直线x﹣2y+2＝0恒过定点（0，1）∴直线x﹣2y+2＝0必经过椭圆的焦点（0，c），和顶点（﹣b，0）带入直线方程解得：c＝1，b＝2，

a＝∴焦点在y轴上，椭圆的标准方程为．故选：C．【跟踪训练2-3】（2019秋•阳泉期末）经过两点A（0，2）、B（，）的椭圆的标准方程为．【分析】本题先设椭圆的方程为+＝1，然后将两点A（0，2）、B（，）代入椭圆的方程，解关于m、n的二元一次方程组，即可得到椭圆的标准方程．

【解答】解：由题意，设椭圆的方程为+＝1，则，解得．∴椭圆的标准方程为x2+＝1．故答案为：x2+＝1．【名师指导】根据条件求椭圆方程的2种方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程待定系数法待

定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可题型3椭圆的

几何性质【例3-1】（2020•邵阳三模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|MF2|＝m，根据等差数列的性质和椭圆的

定义可得|MN|＝a，再根据向量的垂直可得a＝m，即可求出离心率．【解答】解：设|MF2|＝m，∵|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，∴2|MN|＝|MF1|+|NF1|，∴|MN|＝|MF2|+|

NF2|＝2a﹣|MF1|+2a﹣|NF1|＝4a﹣2|MN|，∴|MN|＝a，∴|NF2|＝a﹣m，∴|NF1|＝2a﹣（a﹣m）＝a+m，∵，∴MF1⊥MF2，∴Rt△F1MN中，|NF1|2＝|MN|2+|MF1|2，∴（2a﹣m）2+（a）2＝（a+m）2，整理可得m＝

a，∴|MF2|＝a，|MF1|＝a，∴|F2F1|2＝|MF2|2+|MF1|2，∴4c2＝2a2，∴e＝＝，故选：A．【例3-2】（2020•襄州区校级四模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左

、右顶点），若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件列出三角形的面积，推出不等式，然后推出椭圆的离心率的范围．【解答】解：F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一

点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，可得：，∴，∴，∴（a+c）2≤2b2，则0≤a2﹣2ac﹣3c2，∵（a+c）（a﹣3c）≥0，∴a≥3c，∴．故选：D．【例3-3】（2019秋•和平区校级期末）已知F1，F2椭圆的左右焦点，|F1F2|

＝4，点在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的最大值为（）A．4B．C．5D．【分析】由题意求出椭圆的方程，可得左焦点F1的坐标，求出数量积的表达式，再由P的纵坐标的范围及二次函数的性质可得所求的结果．【解答】解：由题意可得：c＝2，＝1，a2＝b2+c2，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆

的方程为：＝1，可得F1（﹣2，0），设P（x，y）则：＝1，所以可得：x2＝8﹣2y2，则＝（2﹣x，﹣y）（﹣2﹣x，﹣y）＝x2﹣4+y2﹣＝﹣y2﹣+4＝﹣（y）+，当且仅当y＝∈[﹣2，2]，时，则的最大值为：，故选：B．【跟踪训练3-1】（2020•丹东二模）已知

O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，点M在C外，＝3，经过M的直线l与C的一个交点为N，△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则C的离心率为（）A．B．C．﹣1D．【分析】不妨设F（c，0），计算M的坐标

，根据等腰三角形得到N点坐标，代入椭圆方程化简即可求出离心率．【解答】解：不妨设F（c，0），，则M（﹣3c，0），易知△MNF中只能∠MNF＝120°，△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则N（﹣c，c），将N代入椭圆方程得到，即，解得或e2＝3（舍去），故e

＝，故选：B．【跟踪训练3-2】（2020春•湖北期末）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，则椭圆C离心率

的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】当点M在上顶点A时，∠F1MF2最大，要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞，即tan，即可求解．【解答】解：如图，当点M在上顶点A时，∠F1MF2最大，要使在

x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞，即∠AF2F1＜∴tan，⇒3b2＜c2⇒3（a2﹣c2）＜c2，⇒3a2＜4c2，e，则椭圆C离心率的取值范围是：（，1），故选：C．【跟踪训练3-3】（2020•武侯区校级模拟）已知P是椭

圆上一动点，A（﹣2，1），B（2，1），则的最大值是（）A．B．C．D．【分析】过点P作PH⊥AB，垂足为H，设P（x，y），可得，由正切的和角公式可得，通过换元令t＝1﹣y∈[0，2]，结合基本不等式可得当时cos∠APB最大，由此得解．【解答】解：过点P作PH⊥AB，垂足为H，设P（x，y

），则，∴＝，令t＝1﹣y∈[0，2]，当t＝0时，tan∠APB＝0，∠APB＝π，cos∠APB＝﹣1；当t∈（0，2]时，，当且仅当，即时取等号，此时cos∠APB最大，且．故选：A．【名师指导】一、求椭圆离心率的三种方法1．直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，

c的值．2．构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．3．通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．二、与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．2．利用函数，尤其是

二次函数求最值或取值范围．3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．4．利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围．