【文档说明】北京市丰台区2022-2023学年高二下学期期中练习数学试题（B卷） 含解析.docx，共(15)页，943.272 KB，由小赞的店铺上传

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丰台区2022-2023学年度第二学期期中练习高二数学（B卷）练习时间：120分钟第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.πsin6=（）A.0B.πcos6C.πsin6−D.π

cos6−【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式可得结果.【详解】π1sin062==.故选：A.2.已知数列{}na的首项11a=，且满足12nnaa+−=，则3a=（）A.1B.3C.5

D.7【答案】C【解析】【分析】由题可得数列{}na为等差数列，即可得答案.【详解】由12nnaa+−=可知{}na是以11a=为首项，公差为2的等差数列，则233,5aa==.故选：C3.设某质点的位移S（单位：m）与时间

t（单位：s）的关系是()2Stt=−，则质点在第1s时的瞬时速度等于（）A.2m/sB.1m/sC.1m/s−D.2m/s−【答案】D【解析】【分析】利用导数的定义可求得质点在第1s时的瞬时速度.【详解】质点在第1s时的瞬时速度为()

()()()20001111limlimlim22m/stttStStttt→→→+−−+==−−=−.故选：D.4.已知函数()exfxkx=+在0x=处有极值，则k=（）A.1−B.0C.1D.e【答案】A【解析】【分析】函数()fx在

0x=处有极值，则导函数()fx在0x=处的函数值等于0.【详解】()exfxk=+,因为函数()exfxkx=+在0x=处有极值,所以()00e0fk=+=,解得1k=−.代入检验满足题意，故选：A5.已知{}na是公差不为0的等差数列，且124,,aaa成等比数列，则该等比数列的公

比为（）A.4B.2C.1D.12【答案】B【解析】【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到1a与d的关系，从而得到结果.【详解】由题意可得2214aaa=，所以()()21113adaad+=+，且0d则1ad=，所

以等比数列124,,aaa的公比为21122aaddadd+===故选：B.6.用数学归纳法证明“对任意的*Nn，2222123(2)n++++=(21)(41)3nnn++”，第一步应该验证的等式是（）A.211

313=B.22135123+=C.2222371233++=D.222225912343+++=【答案】B【解析】【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案.【详解】因*Nn，则第一步应验证当1n=时，22135123+=是否成立.故选：B7.已知函数

()yfx=，其导函数()yfx=的部分图象如图，则对于函数()yfx=的描述错误．．的是（）A.在(3,1)−−上单调递减B.在(1,3)上单调递增C.=1x−为极值点D.1x=为极值点【答案】D【

解析】【分析】由导数图象正负性，零点情况可判断选项正误.【详解】A，因(3,1)x−−时，()0fx，则()yfx=在(3,1)−−上单调递减，故A正确；B，因(1,3)x时，()0fx¢>，则()yfx=在(1,3)上

单调递增，故B正确；C，由图可得()yfx=在(3,1)−−上单调递减，在(1,3)−上单调递增，故=1x−为()yfx=极小值点，故C正确；D，由图可得()yfx=在(1,3)−上单调递增，则1x=不为()yfx=极值点，故D错误

.故选：D8.若等差数列{}na满足5790aaa++，4110aa+，则当{}na的前n项和最小时，n=（）A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可得70a，80a

，所以等差数列{}na为递增数列，前7项都为负数，从第8项开始为正数，即可求出{}na的前n项和最小时n的值.【详解】设等差数列{}na的公差为d，因5790aaa++，4110aa+，所以579730aaaa++=，411780aaaa+=+

，所以70a，80a，所以0d，因为等差数列{}na为递增数列，前7项都为负数，从第8项开始为正数，所以当7n=时，{}na的前n项和最小.故选：B.9.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个

幻方：如图，将1、2、3、L、9填入33的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1、2、3、L、2n填入nn个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个

正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方的对角线上的数字之和为nN，如图三阶幻方的315N=，那么9N的值为（）A.41B.45C.369D.405【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的求和公式可求出9N的值.【详解

】根据任意，九阶幻方上所有的数字之和为()181811238141812+++++==，由于每行、每列和对角线上的数字之和相等，所以，九阶幻方对角线上的数字之和为941814193699N===.故选：C10.若函数()21(0)3mxfxxxx=−−的图

象与x轴有且仅有一个交点，则实数m的范围为（）A.2[,)3+B.2[0,]3C.(,0]−D.2(,0]{}3−【答案】D为.【解析】【分析】令()0fx=，分离参数，构造新函数，利用导数确定新函

数的单调性和值域，画出新函数大致图象，即可得答案.【详解】令()0fx=，解得31(0)3mxxx=−+．设()31(0)3gxxxx=−+()21(1)(1)gxxxx=−+=−+．当(0,1)x时，()0gx，此时()gx单调递增

；当(1,)x+时，()0gx，此时()gx单调递减．所以()gx的最大值为2(1)3g=．又()()030gg==，则新函数的大致图象如下，问题转化为新函数图象与直线ym=有一个交点.所以当23m=或

0m时，()yfx=与x轴有且仅有一个交点．故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知函数π()cos(2)6fxx=−，则()fx=________．

【答案】π2sin(2)6x−−【解析】【分析】由余弦函数导数公式结合复合函数求导法则可得答案.【详解】由题可得()πππsin222sin2666fxxxx=−−−=−−.故答案为：π2sin(2)6x−−12.设数列na的前n项和为2nSn=，则5

a=__.【答案】9【解析】【分析】由数列的前n项和公式求出45,SS的值，则554aSS=−，求出答案.【详解】在数列na中，由2nSn=得：25525S==，24416S==，∴55425169aSS=−=−=.故答案为：9.13.如图，直线l是曲线()yfx=

在点(0,2)处的切线，则0(0)(0)limxfxfx→+−=________．【答案】1【解析】【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解.【详解】根据函数切线过()()2,0,0,2−,则曲线()yfx=在()

0,2处的切线斜率为()()201002kf−===−−，根据导数的定义，可得0(0)(0)lim(0)1xfxffx→+−==.故答案为：1．14.等比数列{}na满足如下条件：对于任意*Nn，有1nnaa+

，1nnSS+．试写出满足上述条件的一个通项公式na=________．【答案】1()2n−（首项和公比分别满足10,(0,1)aq即可.）【解析】【分析】设数列{}na首项为1a，公比为q，由题可得1,aq满足条件，即可得答案.【详解】设数列{}na首项为1a，公比为q，由1n

naa+可得0q，由1nnSS+可得111100nnnnSSaaqa++−==.又()1111001nnnaaaqqq−+−.故首项和公比分别满足10,(0,1)aq即可.故答案为：1()2n−（首项和公比分

别满足10,(0,1)aq即可.）15.人的心率会因运动而变化，并且用||yx的大小评价心率变化的快慢．已知运动员甲（()yfx=）、乙（()ygx=）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示（,,abc为定义域的四等分点），给出如下结论：①在[,]ab这段时间内，甲的心率变化比乙快；

②在a时刻，甲的心率变化比乙快；③在b时刻，甲、乙的心率变化相同；④乙在[0,]a这段时间内的心率变化，比甲在[,]bc这段时间内的心率变化快．其中，所有正确结论的序号是________．【答案】①②③【解析】【分析】观察图象，割线斜率的绝对值大小表示区间的心率变化快慢，切线斜率的

绝对值大小表示某点处的心率变化快慢,对选项一一判断即可.【详解】对于①，在[,]ab这段时间内，()fx图象割线斜率的绝对值比()gx图象割线斜率的绝对值大，所以甲的心率变化比乙快，故①正确：对于②，()fx图象切线斜率的绝对值比()gx图象切线斜率的绝对值大，甲的心率变化比乙快，

故②正确；对于③，在b时刻，()fx图象切线斜率和()gx图象切线斜率相同，所以甲、乙的心率变化相同，故③正确；对于④，乙（虚线）在[0,]a这段时间的割线斜率小于甲（实线）在[,]bc这段时间的割线斜率的绝对值，故④错误

．故选：①②③三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.已知函数3()12fxxx=−．（1）求函数()fx的单调区间；（2）求函数()fx的极值．【答案】（1）单调增区间为(,2)−−和(2,)+，单调减区间为

(2,2)−（2）极大值16，极小值16−【解析】【分析】（1）对()fx求导，利用导数与单调性的关系即可求解；（2）根据函数的单调性，求出函数的极值即可.【小问1详解】函数()fx的定义域为R，导函数2()312fxx=−，令()0fx=，解得2x=

，则()fx，()fx随x的变化情况如下表：x(,2)−−2−(2,2)−2(2,)+()fx+0−0+()fx取极大值取极小值故函数()fx的单调增区间为(,2)−−和(2,)+，单调减区间为(2,

2)−;【小问2详解】由小问1知，当2x=−时，函数()fx取得极大值16;当2x=时，函数()fx取得极小值16−．17.已知{}na是各项均为正数的等差数列，其前n项和为nS，且11a=．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作

为已知，解答下列问题：（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列{}nb满足22nannba=+，求{}nb的前n项和nT．条件①：532aa−=；条件②：236aa=；条件③：515S=．注：如果选择多个符合

要求的条件分别解答，按第一个解答计分。【答案】（1）条件选择见解析，nan=（2）2122nnTnn+=++−【解析】【分析】（1）设数列{}na公差为d，若选①，则22d=；若选②，则(1)(12)6dd++=；若选③，则5415152d+=；（2）由分组求和法可得答案.【小问

1详解】设数列{}na公差为d.选条件①：由已知得22d=，所以1d=．选条件②：由已知得(1)(12)6dd++=，化简得22350dd+−=，所以1d=（由于{}na各项为正数，负根舍去）．选条件③：由已知得5415

152d+=，所以1d=．所以数列{}na的通项公式为1(1)naandn=+−=．【小问2详解】由（1）得2222nannnban=+=+．(2462)(2482)nnTn=+++++++++(22)122212nnn+−=+−2122nnn+=++−．18.已知函数1

()lnfxkxx=−，其中k为常数，且Rk．（1）当1k=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）求函数()fx的单调区间；（3）若函数在(2,)+上单调递减，请直接写出一个满足条件的k值．【答案】（1）23yx=−（2）答案见解析（3）1−（答案不唯一）【解析】【

分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求解切线方程；（2）对函数求导，分0k和0k两种情况讨论函数的单调性即可；（3）结合（2）的结论，要使函数在(2,)+上单调递减，则12k−，任取

一个值即可.【小问1详解】当1k=时，函数1()lnfxxx=−．令1x=，得(1)1f=−，即切点坐标(1,1)−．导函数()211fxxx=+．令1x=，得(1)2f=，即切线斜率2k=．故切线方程为12(1)yx+=−，即23yx=−．【小问2详解】函数()fx的

定义域为(0,)+．导函数()2211kkxfxxxx+=+=．讨论：①当0k时，()0fx¢>恒成立，故函数()fx的单调增区间为(0,)+．②当0k时，令'()0fx=，解得1xk=−．x1(0,)k−1k−1

(,)k−+'()fx+0−()fxy极大值所以函数()fx的单调增区间为1(0,)k−，单调减区间为1(,)k−+．综上所述，当0k时，函数()fx的单调增区间为(0,)+；当0k时，函数()fx的单调增区间为1(0,)k−，单调减区间为1(,)k

−+．【小问3详解】结合（2）的结论可知，0k，要使函数在(2,)+上单调递减，则有12(0)kk−，解得12k−，任取一个值，比如1k=−.19.已知数列{}na满足13a=，且134nnaa+=−．为（1）设数列{}nb满足2nnba=−，证明：{}nb是等比数列；（2）求数列{}

na的通项公式．【答案】（1）证明见解析（2）132nna−=+【解析】【分析】（1）根据题意，表示出1nb+与1na+的关系式，计算得13nnbb+=，根据等比数列的定义可证明数列{}nb是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式写出数列{}nb的通项，

从而可得数列{}na的通项公式.【小问1详解】1121ba=−=，2nnba=−，134nnaa+=−，112(34)23(2)3nnnnnbaaab++=−=−−=−=，因为10b，故0nb，13nnbb+=．{}nb是首项11b=，公比3q=的等比数列．【小问2详解】由（1

）知，13nnb−=，又2nnba=−，所以123nna−−=，所以132nna−=+．故数列{}na的通项公式为132nna−=+．20.已知,AB两地的距离是100km．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在[50,100]km/h，油价为8元/L．假设

汽车以xkm/h的速度行驶时，耗油率为2(4)400x+L/h，司机的人工费为40元/h．（1）请将总费用W表示为车速x的函数；（2）试确定x的值，使总费用W最小．【答案】（1）7200()2=+Wxxx（[50,100]x）（2）60x=【解析】【分析】（

1）根据题中给出的车速和油耗之间的关系式，结合已知条件，即可表示出汽车的总费用()Wx；（2）对()Wx求导，讨论()Wx与0的大小，即可得出()Wx的单调性，进而得出答案.【小问1详解】汽车的运行时间为100xh．汽车的油耗费用为210032008(4)2400xxxx+=+元．汽车的总费用

为32001007200()2402Wxxxxxx=++=+元（[50,100]x）．小问2详解】函数()Wx的导函数为27200()2Wxx=−，令0()Wx=，解得60x=．当[50,60)x时，()0Wx，函数()Wx单调递减；当(60,100]x时，()0

Wx，函数()Wx单调递增．故当60x=时，总费用()Wx最小．21.定义“三角形数”：对于给定的正整数n，若存在正整数k，使得123nk=++++，则称n是“三角形数”；否则，n不是“三角形数”．已知数列{}na满足

11a=，且11,?”2,?”nnnaan+−=若是三角形数若不是三角形数．（1）写出23456,,,,aaaaa的值；（2）证明：当且仅当n是“三角形数”时，18(1)72n++−是正整数；（3）证明：数列{}na的通项公式为1872[]2nnan+−=−，其中

[]x表示不超过x的最大整数，如[3]3=，[0.4]0=，[1.7]1=．【答案】（1）234562,4,5,7,9aaaaa=====（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】分析】（1）分别代入计算即可；（2）根据三角形数界定范围

求解计算可得；【【（3）分类讨论是否是三角形数分别证明即可.【小问1详解】234562,4,5,7,9aaaaa=====．【小问2详解】若n是“三角形数”，则存在*Nk，使得(1)1232kknk+=++++=，故18(1)714(1)11211222nkkkk++−+++++===+是

正整数．若n不是“三角形数”，则n介于两个相邻“三角形数”之间，即存在*Nk，使得(1)(1)(2)22kkkkn+++，由之前的计算可知，18(1)7122nkk++−++，即18(1)72n++−不是正整数．综上，

命题得证．【小问3详解】只要做验证性证明即可，即若通项公式可推导出递推公式，则通项公式正确．当1n=时，1112[]12a+=−=，满足初值条件．又118(1)7187{2(1)[]}{2[]}22nnnnaann+++−+−−

=+−−−18(1)71872{[][]}22nn++−+−=−−．而18(1)718710(8187)222nnnn++−+−−=+−−181(87)4412818781878187nnnnnn+−−===++−++−++−≤．设18(1)72nx++−=，1872nxr+−=−

，其中01r．当n是“三角形数”时，18(1)7[][]2nxx++−==，187[][]12nxrx+−=−=−．当n不是“三角形数”时，由（2）知存在*Nk，使得(1)(1)(2)22kkkkn

+++，且18(1)7122nkk++−++，故18(1)7[][]12nxk++−==+．又(1)12kkn++≥，(1)18(1)71872122kknk+++−+−=+≥，故187[][]12nxrk+−=−=+．因此，当n是“

三角形数”时，1211nnaa+−=−=；当n不是“三角形数”时，1202nnaa+−=−=．综上所述，数列{}na的通项公式为1872[]2nnan+−=−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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