【文档说明】北京市丰台区2022-2023学年高二下学期期中练习数学试题（A卷） 含解析.docx，共(17)页，983.293 KB，由小赞的店铺上传

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丰台区2022-2023学年度第二学期期中练习高二数学（A卷）考试时间：120分钟第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若()1fxx=，求()2=f（）A.14−B.12−C.14D.12【答案】A【解析】【

分析】先对函数求导，再代值计算即可.【详解】因为()11fxxx−==，所以()221fxxx−=−=−，所以()124f=−.故选：A.2.已知数列{}na的首项11a=，且满足12nnaa+−=，则5a=（）A.5B.7C.9D.11【答案】C【解析】【分析】根据题

意，结合等差数列的通项公式，求得21nan=−，即可求得5a的值.【详解】由数列{}na满足12nnaa+−=，可得数列{}na为等差数列，因为11a=，可得1(1)221nann=+−=−，所以59a=.故选：C.3.已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练

中滑行的位移l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为23()22lttt=+.则当5t=时，该运动员的滑雪速度为（）A.17.5m/sB.21.5m/sC.38m/sD.57.5m/s【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义，对23()2

2lttt=+求导，再将5t=代入求解即可.【详解】因为23()22lttt=+，所以3()42=+ltt，故3(5)4521.52l=+=m/s，所以该运动员的滑雪速度为21.5m/s.故选：B

.4.已知数列na是等比数列，其前n项和为nS，若11a=−，48a=，则4S的值为（）A.15−B.5−C.5D.15【答案】C【解析】【分析】设数列na的公比为q，结合题设根据等比数列的性质可求得q，进而根

据等比数列的前n项和公式求解即可.【详解】设数列na的公比为q，则33418aaqq==−=，所以2q=−，所以()()()441411215112aqSq−−−−===−−−.故选：C.5.若函数()lnfxxx=−，则()fx的单

调递增区间为（）A.(,1)−B.(0,1)C.(1,)+D.(1,1)−【答案】B【解析】【分析】根据题意求得1()xfxx−=，令()0fx，即可求解.【详解】由函数()lnfxxx=−的定义域()0,+，可得11(

)1,0xfxxxx−=−=，令()0fx，解得01x，即函数()fx的单调递增区间为(0,1).故选：B.6.用数学归纳法证明“对任意的n*N，1233n++++=3(13)2nn+”，由nk

=到1nk=+时，等式左边应当增加的项为（）A.31k+B.(31)(32)(33)kkk+++++C.33k+D.(1)(2)(3)kkk++++【答案】B【解析】【分析】分别写出nk=和1nk=+时，左边的式子，两式作差，即可得出结果.【详解】由题意可得，当nk=

时，等式左边等于1233k++++，共3k项求和；当1nk=+时，等式左边等于1233(1)k+++++，共33k+项求和；所以由nk=的假设到证明1nk=+时,等式左边应添加的式子是(31)(32)(33)kkk+++++

.故选：B7.曲线()eexfxx=−在1x=处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为（）A.eB.e2C.2e12−D.e12−【答案】A【解析】【分析】求导，得到切线方程的斜率，进而求出切线方程，求出与坐标轴围成的三角形面积.

【详解】由()eexfxx=−，可得()eexxfxx=+，又()12ef=，()10f=，故()eexfxx=−在点1x=处的切线方程为()2e1yx=−，即2e2eyx=−.令0x=得2ey=−，令0y=得1x=，所以切线与坐标轴所围成的三角形面积

为12e1e2S==.故选：A.8.已知函数()yfx=，其导函数()yfx=的部分图象如图，则对于函数()yfx=的描述错误．．的是.（）A.在区间(3,1)−−上单调递减B.在区间(1,3)上单调递增C.=1x−

为()fx极小值D.1x=为()fx极小值点【答案】D【解析】【分析】根据图象可得()fx的符号，进而可判断()fx的单调性，结合()fx的单调性逐项分析判断.【详解】由图象可得：当3x−或13x−时，()0fx¢>；当31x−−或3x时，()0fx；故()fx

的单调递增区间为()(),3,1,3−−−，单调递减区间为()()3,1,3,−−+，故A，B正确；函数()fx在=1x−处取得极小值，故C正确，1不是极值点，D错误；故选：D.9.已知等比数列{}na的前n项和为nS，

若121aaa−，则（）A.{}na为递减数列B.{}na为递增数列C.数列{}nS有最小项D.数列{}nS有最大项【答案】C【解析】【分析】由已知121aaa−，分析等比数列的公比范围，进而

可以判断{}na的单调性，判断A，B；由12(1)(1)1(1)nnnaqaqSqqq−−==−−，分(1,0)q−，(0,1)q进行讨论，判断C，D．【详解】设等比数列{}na的公比为q，则0q，

由11aa−可得10a，又21aa，所以211aa即1q，又12aa−，所以11aaq−，即1q−，故等比数列{}na首项10a，公比q满足10q−或01q，当10q−时，等比数列{}na为正负项交替的摆动数

列，故不单调；当01q时，()11110nnnaaaqq−+−=−，等比数列{}na单调递减，故A，B不正确；又()()111111nnnaqaSqqq−==−−−，且101aq−所以当10q−时，由于()()22112111nnnnnaaSSqqqq

qq++−=−=−−−，则111351aSaSSq=−，16421201aSSSaaq=+−，此时数列{}nS的最小项为2S，最大项为1S；当01q时，有()()111111011nnnnnnaaSSqqqqaqqq++−=−=−=−−，则数列{}n

S为单调递增数列，有最小项1S，无最大项，故C正确，D不正确.故选：C.10.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如果对于正整数m，经过

n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”.如取5m=，由上述运算法则得出：5168421→→→→→，共需经过5个步骤变成1，得5n=.则下列说法错误的是（）A.若13m=，则9n=B.若2n=，则m

只能是4C.随着m的增大，n不一定增大D.若7n=，则m的可能值有5个【答案】D【解析】【分析】根据“冰雹猜想”逐项推理，即可判断作答.【详解】对于A，当13m=时，134020105168421→→→→→→→→→，9n=，A正确；对于B，若2n=，逆推：按减1除以3或乘以2，得124

→→，因此m只能是4，B正确；对于C，当3m=时，3105168421→→→→→→→，7n=，当4m=时，421→→，2n=，因此随着m的增大，n不一定增大，C正确；对于D，若7n=，逆推：按减1除以3或乘以2，得128326421124816205103

→→→→→→→→→，因此m的取值集合是{3,20,21,128}，m的值只有4个，D错误.故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()sin2

fxx=，则()fx=_____.【答案】2cos2x【解析】【分析】利用简单复合函数求导公式进行计算.【详解】令sinyu=，2ux=，则''2cos2cos2uxyuux==，故()2cos2fxx=.故答案：2cos2x12.如果1,,,,9a

bc−−成等比数列，那么b=________.【答案】3−【解析】【分析】根据等比中项以及等比数列的性质运算求解.【详解】设该数列的公比为q，则由题意可得419q−=−，解得49q=，即23q=，所以213bq=−=−.故答案为：3−．【点睛】考点：等比数列的通项公式．1

3.如图，已知函数()fx图象关于直线12x=对称，直线l是曲线()yfx=在点(0,2)处的切线，则Δ0(1Δ)(1)limΔxfxfx→+−=_____．为【答案】1−【解析】【分析】根据导数的定义，几何意义和求导公式即可求解

.【详解】根据二次函数图像可以设其解析式为：()(1)(2)yfxaxx==+−，所以()(21)2fxaxaxa−==−，曲线()yfx=在点(0,2)处的切线斜率为2010(2)−=−−，所以(0)1fa=−

=，所以1a=−，所以()21fxx=−+，所以Δ0(1Δ)(1)lim(1)1Δxfxffx→+−==−，故答案为：1−.14.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，3，L，9填入33的方格内，使三行，三列和两条对

角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，L，2n填入nn个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，记此和为nN，这个正方形叫做n阶幻方．如图三阶幻方的315N=．若k*N，则kN=_____.【答案】

()212kk+【解析】【分析】利用等差数列求和公式计算出()22211232kkk+++++=，从而得到kN.详解】由等差数列求和公式可得()22211232kkk+++++=，故每行，每列和每条对角线上的数字之和为()()2221122kkkkkNk++==，故答案：()212

kk+15.函数1()cos2fxxx=+（0x）的所有极值点从小到大排列成数列{}na，设nS是{}na的前n项和，给出下列四个结论：①数列{}na为等差数列；②313π6a=；③4a为函数()fx的极小值点；④2

0231sin2=−S.其中所有正确结论的序号是______．【答案】②③④【解析】【分析】先对函数求导，结合导数确定极值点，然后结合三角函数的性质分别检验各选项即可判断．【详解】解：1()sin2fxx=−，令()0fx=可得π2π6xk=+或5π2π6xk=+

，Zk，易得函数的极值点为π2π6xk=+或5π2π6xk=+，Zk，从小到大为π5π,66，13π6，不是等差数列，①错误；3π13π2π66a=+=，②正确；因为45π17π2π66a=+=，5π25π4π66a=+=，函数()fx在区间13π17π,66上为减函数，在区间1

7π25π,66上为增函数，【为所以4a为函数()fx的极小值点，③正确；2023122023π5π13π17ππ10112π66666Saaa=+++=++++++，π13ππ5π17π5π10112π10102π666666

=+++++++++，π101210115π1010101110122π10112π6262=+++π5π10121011101

01011101210112π2π6622=+++则根据诱导公式得2023π5π6067ππsinsin10121011sinsin1011π6666S=+==+

7π7π1sin1010πsin662=+==−，④正确；故答案为：②③④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知数列{}na为等差数列，若124aa+=−，754aa−=.（1）求{}na的通项

公式；（2）若数列{}nb满足3nnnba=+，求数列{}nb的前n项和nS.【答案】（1）25nan=−（2）1233422nnSnn+=−+−【解析】【分析】（1）设{}na的公差为d，根据通项公式列方程解得1,ad，即可得解；（2）结合（1）得nb，再利用分组求和法求解即可．【小问1详解

】设{}na的公差为d，因为124aa+=−，754aa−=，所以124ad+=−，24d=；解得13a=−，2d=，∴32(1)25nann=−+−=−.【小问2详解】因为25nan=−，3nnnba=+253nn=−+；所以(

)()()231125333nnSn=−+−+++−++++()()313325213nnn−−+−=+−1233422nnn+=−+−．17.已知函数32()69fxxxx=−+．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若()fx在区间[1,]m上的最小值为0，求m的取值范围.

【答案】（1）单调递增区间为(,1)−，(3,)+，单调递减区间为(1,3)（2）3m【解析】【分析】（1）首先求函数导数，根据导数和单调性的关系，即可求解；（2）根据（1）的结果，结合函数的最小值，即可确定m的取值范围.【小问1详解】由

题可知()23129fxxx=−+，令()0fx=，即231290xx−+=，解得1x=或3x=，当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(,1)−1(1,3)3(3,)+'()fx+0−0+()fx单调递增极大

值单调递减极小值单调递增所以()fx的单调递增区间为(,1)−，(3,)+，单调递减区间为(1,3).的【小问2详解】因为()fx在区间(1,3)上单调递减，在区间(3,)+上单调递增，又有(1)4f=，(3)0f=，要使(

)fx在区间[0,]m上的最小值为0，则3m.18.已知数列{}na满足13a=，且134nnaa+=−．（1）设数列{}nb满足2nnba=−，证明：{}nb是等比数列；（2）求数列{}na的通项公式．【答案】（1）证明见解析（2）132nna−=+【解析】【

分析】（1）根据题意，表示出1nb+与1na+的关系式，计算得13nnbb+=，根据等比数列的定义可证明数列{}nb是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式写出数列{}nb的通项，从而可得数列{}na

的通项公式.【小问1详解】1121ba=−=，2nnba=−，134nnaa+=−，112(34)23(2)3nnnnnbaaab++=−=−−=−=，因为10b，故0nb，13nnbb+=．{}nb是首

项11b=，公比3q=的等比数列．【小问2详解】由（1）知，13nnb−=，又2nnba=−，所以123nna−−=，所以132nna−=+．故数列{}na的通项公式为132nna−=+．19.已知函数()22xfxx

a−=+，且()fx在=1x−处取得极值.（1）求实数a的值；（2）若方程()fxk=有两个解，求实数k的取值范围.【答案】（1）5a=（2）102k或1010k−【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据()10f−=，求a的值；（2）利用导数判断函数的性质，再利用数形

结合，求实数k的范围.【小问1详解】由题可知()()2224xxafxxa−−=+因为()fx在=1x−处取得极值，所以(1)0f−=，解得5a=；经检验，5a=满足题意.【小问2详解】由（1）知，()225xfxx−=+，()()()()22515xx

fxx−+=+令()0fx=，解得=1x−或5x=；当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(,1)−−1−(1,5)−5(5,)+'()fx+0−0+()fx增极大值减极小值增函数()fx的单调递增区间为(,1)−−，(5,

)+；单调递减区间为(1,5)−.当2x时，()0fx；当2x时，()0fx，所以()fx的极大值()112f−=；()fx的极小值()1510f=−.因为方程()fxk=有两个解，所以102k或1010k−.20.已知函数

2()ln()fxaxxxa=−R.（1）当1a=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若函数()fx在区间[1,e]上单调递增，求实数a的取值范围.【答案】（1）yx=−（2）[e,)+【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2

）解法一：由题意得()0fx在区间[1,e]上恒成立，设()()ln12Fxaxx=+−，然后利用导数求出其最小值，使其大于等于零，从而可求出实数a的取值范围；解法二：由题意得()0fx在区间[1,e]上恒成立，则2ln1xax

+在区间[1,e]上恒成立，令2()([1,e])ln1xgxxx=+，利用导数求出其最大值即可,【小问1详解】当1a=时，函数2()lnfxxxx=−．令1x=，得(1)1f=−，即切点坐标为(1,1)−．()ln21fxxx=−+，令1x=，得(1)1f

=−，即切线斜率1k=−，故切线方程为1(1)yx+=−−，即yx=−．【小问2详解】解法一：已知()2lnfxaxxx=−，可得()(ln1)2fxaxx=+−，因为()fx在区间[1,e]上单调递增，所以()0fx在区间[1,e]上恒成立，设()()ln12Fxaxx=+

−，可得2()axFxx−=，令()0Fx=，2ax=；①当12a时，2a，[1,e]x，()0Fx，()Fx单调递减，min()(e)22e0FxFa==−，不满足题意；②当1e2a时，22ea，(1,)2ax时，()0Fx，()Fx

单调递增；,e2ax时，()0Fx，()Fx单调递减，由()120Fa=−，(e)22e0Fa=−，22ea，得e2ea；③当e2a时，2ea，[1,e]x，()0Fx≥，()Fx单调递增，由min()(1)20FxFa==−，得2a，所以2ea；综

上，ea.经检验，ea满足题意.所以实数a的取值范围为[e,)+.解法二：()(ln1)2fxaxx=+−．由题意，()(ln1)20fxaxx=+−在区间[1,e]上恒成立，因为[1,e]x，所以ln10x+，所以2ln1xax+在区间[

1,e]上恒成立．令2()([1,e])ln1xgxxx=+，则22ln()0(ln1)xgxx=+，所以()gx在区间[1,e]上单调递增，所以()gx的最大值为(e)eg=，所以ea．经检验，ea满足题意.所以实数a的取值范围为

[e,)+.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是将问题转化为()(ln1)20fxaxx=+−在区间[1,e]上恒成立，然后分离参数，再构造函数，利用导数求其最值即

可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.21.定义“三角形数”：对于给定的正整数n，若存在正整数k，使得123nk=++++，则称n是“三角形数”；否则，n不是“三角形数”．已知数列{}na满足1

1a=，且11,?”2,?”nnnaan+−=若是三角形数若不是三角形数．（1）写出23456,,,,aaaaa的值；（2）证明：当且仅当n是“三角形数”时，18(1)72n++−是正整数；（3）证明：数列{}na的通

项公式为1872[]2nnan+−=−，其中[]x表示不超过x的最大整数，如[3]3=，[0.4]0=，[1.7]1=．【答案】（1）234562,4,5,7,9aaaaa=====（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分别代入计算即可；（2）根据三角形数

界定范围求解计算可得；（3）分类讨论是否是三角形数分别证明即可.【小问1详解】234562,4,5,7,9aaaaa=====．【小问2详解】若n是“三角形数”，则存在*Nk，使得(1)1232kknk+=++++=，故18(1)714(1)1121

1222nkkkk++−+++++===+是正整数．若n不是“三角形数”，则n介于两个相邻“三角形数”之间，即存在*Nk，使得(1)(1)(2)22kkkkn+++，由之前的计算可知，18(1)7122nkk++−++，即18(1)72n++−不是正整数．综上

，命题得证．【小问3详解】只要做验证性证明即可，即若通项公式可推导出递推公式，则通项公式正确．当1n=时，1112[]12a+=−=，满足初值条件．又118(1)7187{2(1)[]}{2[]}22n

nnnaann+++−+−−=+−−−18(1)71872{[][]}22nn++−+−=−−．而18(1)718710(8187)222nnnn++−+−−=+−−181(87)4412818781878187nnnnnn+−−===

++−++−++−≤．设18(1)72nx++−=，1872nxr+−=−，其中01r．当n是“三角形数”时，18(1)7[][]2nxx++−==，187[][]12nxrx+−=−=−．当n不是“三角形数”时，由（

2）知存在*Nk，使得(1)(1)(2)22kkkkn+++，且18(1)7122nkk++−++，故18(1)7[][]12nxk++−==+．又(1)12kkn++≥，(1)18(1)71872

122kknk+++−+−=+≥，故187[][]12nxrk+−=−=+．因此，当n是“三角形数”时，1211nnaa+−=−=；当n不是“三角形数”时，1202nnaa+−=−=．综上所述，数列{}na的通项公式

为1872[]2nnan+−=−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com