【文档说明】山西省阳泉市第一中学2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.677 MB，由小赞的店铺上传

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阳泉一中2022——2023学年第一学期期中考试年级高二学科数学命题人：董海罡说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I卷（60分）一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）1.设,xyR，向量(,1,1)ax=，(1,,1)by=，(2,4,2)c=−，且ab⊥，//bc，则xy+的值为（）A1−B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直列方程来求

得xy+.【详解】由于ab⊥，所以10xy++=，所以1xy+=−.故选：A2.已知直线l过点()33,63A−−，()323,33B+−，则直线l的斜率为（）A.3B.33C.33−D.3−【答案】

C【解析】【分析】由斜率公式计算．【详解】因为直线l过点()33,63A−−，()323,33B+−，所以由过两点的直线的斜率公式，得直线l的斜率()()()()33633332333−−−=−+−−.故选：C．3.已知直线1:10lxay+−=与2:210lxy−+=平行，则1l

与2l的距离为（）.A.15B.55C.35D.355【答案】D【解析】【分析】先由两直线平行，求出12a=−，得到1:220lxy+−=，再由两平行线间的距离公式，即可求出结果.【详解】因为直线1:10lxay+−=与2:21

0lxy−+=平行，所以1(1)20−−=a，解得12a=−，所以11:102lxy−−=，即1:220−−=lxy，因此1l与2l的距离为222135521−−==+d.故选D【点睛】本题主要考查两平行线间的距离，熟记距

离公式，以及直线平行的判定条件即可，属于常考题型.4.已知圆C方程：2262150xyxy+−−−=，则直线20xy−+=被圆C截得的弦长为（）A.215B.217C.219D.8【答案】B【解析】【分析】求得圆心和半径，结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得正确答案.【详

解】圆2262150xyxy+−−−=，即()()223125xy−+−=，所以圆心()3,1C，半径=5r，圆心C到直线20xy−+=的距离为312222−+=，所以直线20xy−+=被圆C截得弦长为()222252217−=.故选：B5.若圆与圆222:680Cxyxym+−−+=外切，则m=

A.21B.19C.9D.-11【答案】C的【解析】【详解】试题分析：因为()()22226803425xyxymxym+−−+=−+−=−所以250m−25m且圆2C的圆心为()3,4半径为25m−根

据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得()()223040125m−+−=+−9m=故选C.考点：圆与圆之间的外切关系与判断6.双曲线22:13613xyC−=上的点P到左焦点的距离为10，则P到右焦点的距离为（）A.2B.22

C.2或22D.12【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义直接得解.【详解】设双曲线的左右焦点分别为1F，2F，由双曲线22:13613xyC−=，可得1212PFPF−=，又110PF=，则222PF=，故

选：B.7.已知命题p：方程22151xymm+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（）A.35mB.45mC.15mD.1m【答案】B【解析】【分析】若22151xymm+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，可得150mm

−−即可得m的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解.【详解】若方程22151xymm+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，则150mm−−，解得：35m．所以p成立的充要条件是：35m．结合四个选项可知：p成立的充分不必要条件是45m，故选：B.8.如图，在棱长为1的正方体11

11ABCDABCD−中，M，N分别为11AB和1BB的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（）A.32B.1010C.35D.25【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解.【详解】建立如

图所示空间直角坐标系：则()()111,,1,1,1,,1,0,0,0,1,022MNAC，所以110,,1,1,0,22AMCN==，所以122cos,554AMCNAMCNAMCN==

=，故选：D二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.经过点()4,2P−的抛物线的标准方程为（）A.2yx=B.28

xy=C.28xy=-D.28yx=−【答案】AC【解析】【分析】根据题意，分抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为()22>0ypxp=，和抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为()22>0xpyp=，分别代入点P的坐标，计算可得选项．【详解】解：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程

为()22>0ypxp=，又因为抛物线经过点()4,2P−，所以()2224p−=，解得12p=，所以抛物线的方程为2yx=.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为()22>0xpyp=，又因为抛物线经过点()4,2P−，所以()2422p=−，解得4p=

−，所以抛物线的方程为28xy=-.故选：AC．【点睛】本题考查求抛物线的标准访，注意考虑抛物线的焦点所在的位置，属于基础题．10.已知曲线22:1Cmxny+=.（）A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为nC.

若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为myxn=−D.若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，0mn时表示椭圆，0mn=时表示圆，0mn时表示双曲线，0,0mn=

时表示两条直线.【详解】对于A，若0mn，则221mxny+=可化为22111xymn+=，因为0mn，所以11mn，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0mn=，则221mxny+=

可化为221xyn+=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若0mn，则221mxny+=可化为22111xymn+=，此时曲线C表示双曲线，由220mxny+=可得myxn=−，故C正确；对于D

，若0,0mn=，则221mxny+=可化为21yn=，nyn=，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.在长方体1111ABCDABCD−中，14,2ABBCBB

===，E，F分别为棱11AB,AD的中点，则下列结论中正确的是（）A.1111122=++EFAABCCDB.||3EF=C.1=EDECEDECD.1⊥BFEC【答案】ABC【解析】【分析】建立空间直角

坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D、()2,0,0A、()2,4,0B、()2,2,0E、()12,0,2A、()1,0,2F、()10,0,2D、()10,4,2C、()0,4,0C，所以

()1,2,2EF=−−、()10,0,2AA=、()2,0,0BC=−、()110,4,0CD=−，所以1111122=++EFAABCCD，故A正确；()()2221223EF=−+−+=，故B正确；()2,2,0ED=−−，()12,2,2EC=−，()2,2,0EC=−，(

)1,4,2BF=−−，所以10EDEC=，0EDEC=，故1=EDECEDEC，即C正确；因为()()12124222BFEC=−−+−+=−，所以BF与1EC不垂直，故D错误；故选：ABC12.已知F为椭圆22:1168xyC+=的左焦点，经过原点O的直线l与椭

圆C交于,AB两点，ADx⊥轴，垂足为D(异于原点)，BD与椭圆C的另一个交点为E，则（）AABAE⊥B.ABD△面积的最大值为42C.ABF△周长的最小值为12D.116AFBF+的最小值为258【答案】ABD【解析】

【分析】对于A设(,)Amn，则(,),(,0)BmnDm−−，设11(,)Exy利用点差法推出1ABAEkk=−，判断A；利用基本不等式结合三角形面积公式，判断B；利用椭圆的定义以及几何性质判断C；利用基本不等式中“1”的巧用，结合基本不等式

可判断D.【详解】对于A设(,)Amn，则(,),(,0)BmnDm−−，设11(,)Exy由题意可知110,,0mmxmx+，.则2222111,1168168xnym+=+=，两式相减得2222110168mnxy−+

=−，即1111()(()))12(yyxnnmmx+−+=−−，即12BEAEkk=−由21,,222ABBDBEBDABnnnkkkkkmmm=====则11,122ABAEABAEkkkk=−=−，即ABAE⊥，故A正确；对于B，由A的分析可知221168m

n+=，不妨设点A在第一象限，则0,0mn，所以222212,42168168mmnnnm=+，当且仅当22,2mn==时取等号，故12422ABDSmnmn==△，故B正确；对于C，由题意知

22:1168xyC+=左焦点为(22,0)F−设右焦点为(22,0)F−，4,22ab==，则根据椭圆的对称性可知||||BFAF=故ABF△周长为2||8||aABAB+=+,而||AB的最小值为椭圆的短轴长242b=，由题意可知AB不能与

椭圆短轴重合，故ABF△周长大于842+，C错误；对于D，由C的分析可知，||||||||28AFBFAFAFa+=+==，故||1611611161()()(88|17|)ABFAFAFBFAFBFBFFFA

FB++=+=++125(172)8816BFAFAFBF+=当且仅当832||,||55AFBF==时取等号，D正确，故选：ABD【点睛】本题综合考查了椭圆的定义的应用以及几何性质的应用，涉及到

线段的垂直和三角形面积以及周长的最值得求法，解答时要注意综合利用椭圆的相关知识以及基本不等式的知识解决问题，属于较难题，计算量较大.第II卷（90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()()()1,0,1,2,2,1,3,4,abcz==−=，若,,abc共面

，则z等于_______【答案】9【解析】【分析】根据空间向量共面列方程，由此求得z的值.【详解】由于,,abc共面，所以存在,Rxy，使得cxayb=+，即()()3,4,2,2,zxyyxy=−+，所以2324xyyx

yz−==+=，解得7,2,9xyzxy===+=.故答案为：914.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22xa﹣25y=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=52x，则该双曲线的离心率是____.【答案】32【

解析】【分析】根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215xya−=，故5b=.由于双曲线的一条渐近线方程为52yx=，即522baa==，所以22453cab=+=+

=，所以双曲线的离心率为32ca=.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.15.已知圆()()221:111Cxy−++=，圆()()222:459Cxy−+−=，点M，N分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴

上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是_______.【答案】9【解析】【分析】利用点和圆的位置关系、点关于x轴的对称点等知识来求得|PN|－|PM|的最大值.【详解】圆1C的圆心为()11,1C−

，半径11r=；圆2C的圆心为()24,5C，半径23r=.所以112211,33PCPMPCPCPNPC−+−+，1111PCPMPC−−−−，所以214PNPMPCPC−−+.()24,5C关于x轴的对称点为()34,5C−，2213

345CC=+=所以21134549PNPMPCPCCC−−+=+=，当且仅当13,,PCC三点共线时等号成立.所以|PN|－|PM|的最大值是9.故答案为：916.如图，二面角l−−为135，A，B，过A，

B分别作l的垂线，垂足分别为C，D，若1AC=，2BD=，2CD=，则AB的长度为______.【答案】3【解析】【分析】因为ABACCDDB=++，ACCD⊥，CDDB⊥，结合空间向量距离公式，转化求解即可.【详解】因为ABACCDDB=++，ACCD⊥，CD

DB⊥，所以()222221422ABACCDDBACCDDBDBACACDB=++=+++=+++，又因为二面角l−−为135，所以,45ACDB=，所以2721232AB=+=.故答案为：3.四、解答题（本大题共6小题，共7

0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.分别求满足下列条件的曲线方程（1）以椭圆221259xy+=的短轴顶点为焦点，且离心率为12e=的椭圆方程；（2）过点()4,3，且渐近线方程为12yx=的双曲线的标准方程．【答案】（1）2212736xy+=（2）2214xy−=【解析】【分

析】（1）由题意得出,,abc的值后写椭圆方程（2）待定系数法设方程，由题意列方程求解【小问1详解】221259xy+=的短轴顶点为(0，－3)，(0，3)，∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3．又12cea==，∴a＝6．∴

22236927bac=−=−=．∴所求椭圆方程为2212736xy+=．【小问2详解】根据双曲线渐近线方程为12yx=，可设双曲线的方程224xym−=，把()4,3代入224xym−=得m＝1．所以双曲线的方程为2214xy−=．18.已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两

点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.【答案】（1）()()22114xy

−+−=；（2）25.【解析】【分析】（1）设圆M的方程为：()()()2220xaybrr−+−=，由已知列出方程组，解之可得圆的方程；（2）由已知得四边形PAMB的面积为PAMPBMSSS=+，即有2SPA=，又有22||4SPM=

−.因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案.【详解】解：（1）设圆M的方程为：()()()2220xaybrr−+−=，根据题意得222222(1)(1)1(1)(1)

1202abraabrbabr−+−−==−−+−==+−==，故所求圆M的方程为：()()22114xy−+−=；（2）如图，四边形PAMB的面积为PAMPBMSSS=+，即()12SAMPABMPB=+又2,AMBMPA

PB===，所以2SPA=，而24PAPM=−，即22||4SPM=−.因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，PM的最小值即为点M到直线3480xy++=的距离所以min22348334PM++==+，四边形PAMB面积的最小值为22||42

5PM−=.19.已知直线()():212420lmxmym++−+−=与圆22:20Cxxy−+=交于,MN两点．（1）求出直线l恒过定点的坐标（2）求直线l的斜率的取值范围（3）若O为坐标原点，直线,OMON的斜率

分别为12,kk，试问12kk+是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【答案】（1）()0,2；（2）3,4−−；（3）12kk+为定值1.【解析】【分析】（1）将直线方程整理后可得方程组240220xyxy−+=+−=，解方程组可求得定点坐标

；（2）设直线l方程()20ykx−=−，利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果；（3）可设直线l方程2ykx=+，与圆方程联立得到韦达定理的形式，由121212yykkxx+=+()()12211222kxxkxxxx+++=整理可得定值.【详

解】（1）将直线l方程整理为：()()24220xymxy−+++−=，令240220xyxy−+=+−=，解得：02xy==，直线l恒过定点()0,2；（2）设直线l斜率为k，由（1）可知：直线l方程可设为：()20ykx−=−，即20k

xy−+=；圆C方程可整理为()2211xy−+=，则其圆心()1,0C，半径1r=，直线l与圆C交于,MN两点，圆心C到直线l距离dr，即2211kk++，解得：34k−，即直线l斜率的取值范围为3,4−−；（3）设()11,Mxy，()22

,Nxy当12m=时，:0lx=与圆C仅有一个交点，不合题意，12m，则直线2:221mlyxm+=+−，可设直线l方程为2ykx=+，由22220ykxxxy=+−+=得：()()221

4240kxkx++−+=，由（2）知：34k−；122241kxxk−+=+，12241xxk=+，()()12211212211212121222kxxkxxyyyxyxkkxxxxxx+++++=+==()212121222422212212141

kkxxxxkkkkxxk−+++==+=+−=+，12kk+定值1.【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆中的定值问题的求解，解题关键是能够将所求量表示成韦达定理的形式，通过韦达定理代入整理，消去变量即可得到定值.20.如图，在

直三棱柱111ABCABC-中，ACBC⊥，1ACBC==，12AA=.M为侧棱1BB的中点，连接1AM，1CM，CM.（1）证明：AC∥平面11ACM；（2）证明：CM⊥平面11ACM；（3）求二面角111BCAM−−大小.【答案】（1

）证明见详解；为的（2）证明见详解；（3）3【解析】【分析】小问1：由于11//ACAC，根据线面平行判定定理即可证明；小问2：以C为原点，1,,CACBCC分别为,,xyz轴建立空间坐标系，根据向量垂直关系即可证明；小问3：分别求得平面11AMB与平面11AMC的法向量，根据

向量夹角公式即可求解．【小问1详解】在直三棱柱111ABCABC-中，11//ACAC，且AC平面11ACM，11AC平面11ACM所以AC∥平面11ACM；【小问2详解】因为ACBC⊥，故以C为原

点，1,,CACBCC分别为,,xyz轴建立空间坐标系如图所示：则()()()()110,0,0,0,1,1,1,0,2,0,0,2CMAC，所以()()()110,1,1,1,1,1,0,1,1,CMAMCM==−−=−则110110,0110,CMAMCMCM=+−==

+−=所以11,,CMAMCMCM⊥⊥又11,AMCMM=1AM平面11ACM，1CM平面11ACM故CM⊥平面11ACM；【小问3详解】由()10,1,2B，得()111,1,0AB=−，()10,0

,1MB=设平面11AMB的一个法向量为(),,nxyz=则1110,0,nABnMB==得()1,1,0n=又因为平面11AMC的一个法向量为()0,1,1CM=所以1cos,2nCMnCMnCM==所以二面角111BCAM−−的大小为321.如图，四棱锥

SABCD−中，//,ADBCADAB⊥，且SAD是边长为2的等边三角形.若平面SAD⊥平面ABCD，2AB=，直线SC与平面SAB所成角的正弦值为33322，求三棱锥SBCD−的体积.【答案】3【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据直线SC

与平面SAB所成角的正弦值求得BC，进而求得三棱锥SBCD−的体积.【详解】设O是AD的中点，连接SO，则SOAD⊥，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD=，SO平面SAD，AB平面ABCD，

ADAB⊥，所以AB⊥平面SAD，SO⊥平面ABCD，故以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则由题意知(0,0,0),(2,0,0),(0,1,3)ABS，所以(0,1,3),

(2,0,0)ASAB==uuruuur.设平面SAB的法向量为(,,)nxyz=，则00nABnAS==，即2030xyz=+=，则0x=，取1z=−，得3y=，故(0,3,1)n=−.设(0)BCaa=，则(2,,0),(2,1,3)CaSCa=−−

uur，则2||3333|cos,|22||||2(1)7nSCanSCnSCa===−+，解得3a=，即3BC=，故111132333326SBCDBCDVSSOBCABSO−====△.22.已知椭圆:22221xyab+=（0ab）的半焦距为c，原

点到经过两点(),0c，()0,b的直线的距离为12c．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆:()()225212xy++−=的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】（Ⅰ）32；（Ⅱ）221123xy+=．【解析】【详解】试题分析：（1）依题意，由点

到直线的距离公式可得bcda=，又有12dc=，联立可求离心率；（2）由（1）设椭圆方程，再设直线AB方程，与椭圆方程联立，求得AB，令10AB=，可得b，即得椭圆方程.试题解析：（Ⅰ）过点()(),0,0,cb的直线方程为0bxcybc+−=，则原

点O到直线的距离22bcbcdabc==+，由12dc=，得2222abac==−，解得离心率32cea==.（Ⅱ）由（1）知，椭圆E的方程为22244xyb+=.依题意，圆心()2,1M−是线段AB的中点，且10AB=.易知，AB不与x轴垂直.设其直线方程为(

)21ykx=++，代入（1）得()()()22221482142140kxkkxkb+++++−=.设()()1122,,,AxyBxy，则()12282114kkxxk++=−+，()22122421414kbxxk+−=−+.由124xx+=−，得

()2821=414kkk+−−+，解得12k=.从而21282xxb=−.于是()()222121212151410222ABxxxxxxb=+−=+−=−.由10AB=，得()210210b−=，解得23b=.故椭圆E的方程为221123xy+=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微

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