【文档说明】-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docx，共(7)页，38.364 KB，由管理员店铺上传

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专题20两角和与差的正弦、余弦和正切公式【考点总结】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos__β＋sin_αsin__β．C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos__β－sin_αsin__

β．S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos__β＋cos_αsin__β．S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos__β－cos_αsin__β．T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋ta

nβ1－tanαtanβα，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβα，β，α－β≠π2＋kπ，k∈Z.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sin

_αcos__α．C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．T2α：tan2α＝2tanα1－tan2αα≠π4＋kπ2，且α≠kπ＋π2，k∈Z.【常用结论】记准四个必备结论(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2

，sin2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式变形：tanα±tanβ＝tan(a±β)(1∓tanαtanβ)．(4)辅助角公式：asinx＋bc

osx＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2)．【易错总结】(1)不会逆用公式，找不到思路；(2)不会合理配角出错；(3)忽视角的范围用错公式．例1．化简：sin50°sin65°·1－cos50°＝________．解析：原式＝

cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝2.答案：2例2．若tanα＝3，tan(α－β)＝2，则tanβ＝________．解析：tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan（α－β）1＋tanα·tan（

α－β）＝3－21＋3×2＝17.答案：17例3．已知θ∈0，π2，且sinθ－π4＝210，则tan2θ＝________．解析：法一：sinθ－π4＝210，得sinθ－cosθ＝15，①θ∈0，π2，①平方得2sin

θcosθ＝2425，可求得sinθ＋cosθ＝75，所以sinθ＝45，cosθ＝35，所以tanθ＝43，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.法二：因为θ∈0，π2且sinθ－

π4＝210，所以cosθ－π4＝7210，所以tanθ－π4＝17＝tanθ－11＋tanθ，所以tanθ＝43.故tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.答案：－247【考点解析】【考点】一、和差公式的直接应用例1．已知sinα＝3

5，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A．－211B．211C.112D．－112解析：选A.因为sinα＝35，α∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝－34.因为tan(π－β)

＝12＝－tanβ，所以tanβ＝－12，则tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－211.例2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B．55

C.33D．255解析：选B.由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈0，π2，所以cosα＝1－sin2α，所以2sinα1－si

n2α＝1－sin2α，解得sinα＝55，故选B.例3．已知α∈π2，π，sinα＝55.(1)求sinπ4＋α的值；(2)求cos5π6－2α的值．解：(1)因为α∈π2，π，sin

α＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255，故sinπ4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22×－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2

×552＝35，所以cos5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310.三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使

用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．【考点】二、三角函数公式的逆用与变形用角度一公式的逆用例1、(1)化简sin10°1－3tan10°＝________．(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC＝________．【解析】(1

)sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°412cos10°－32sin10°＝sin20°4sin（30°－10°）＝14.(2)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－

tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.【答案】(1)14(2)22角度二公式的变形用例2、(1)化简sin235°－12cos10°cos80°＝_____

___．(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是________．【解析】(1)sin235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°

＝－1.(2)原式＝1－cos2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2α＝1－12cos2α－π3＋cos2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cosπ3－sin2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12.【

答案】(1)－1(2)12(1)和差角公式的常见变形①sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；②cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；③tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanαtanβ)．(2)二倍角正、余弦公式的常见变换方式①配方变换：1

±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；②因式分解变换：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)；③降幂扩角变

换：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；④升幂缩角变换：1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2；⑤公式变换：cosα＝sin2α2sinα，sinα＝sin2α2cosα.【变式】1．(一题多解)3

cos15°－4sin215°cos15°＝()A.12B．22C．1D．2解析：选D.法一：3cos15°－4sin215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝3cos15°－2sin15°·sin

30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝2.故选D.法二：因为cos15°＝6＋24，sin15°＝6－24，所以3cos15°－4sin215°·cos15°＝3×6＋24－4×

6－242×6＋24＝6＋24×(3－2＋3)＝6＋24×(23－2)＝2.故选D.【变式】2．计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为________．解析：sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°co

s310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.答案：12【考点】三、和差公式的灵活运用角度一变角问题例1、(1)设α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β

)＝35，则cosβ＝________．(2)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为________．【解析】(1)依题意得sinα＝1－cos2α＝255，因为sin(α＋β)＝35<sinα且α＋β>α，所以α＋β∈

π2，π，所以cos(α＋β)＝－45.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525.(2)cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝13，

所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－29＝79.【答案】(1)2525(2)79角度二变名问题例2、求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°

.【解】原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°si

n5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin（30

°－10°）2sin10°＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊

角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，π4＋α＋π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角

函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[提醒]转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求

联系，实现转化．【变式】1．已知sin2α＝13，则cos2α－π4＝________．解析：cos2α－π4＝1＋cos2α－π22＝12＋12sin2α＝12＋12×13＝23.答案：23【变式】2.c

os10°－3cos（－100°）1－sin10°＝________．(用数字作答)解析：cos10°－3cos（－100°）1－sin10°＝cos10°＋3cos80°1－cos80°＝cos10°＋3sin10°2·sin40

°＝2sin（10°＋30°）2·sin40°＝2.答案：2