【文档说明】四川省乐山市峨眉第二中学校2022-2023学年高二下学期期中数学理科试题 含解析.docx，共(21)页，1004.759 KB，由管理员店铺上传

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四川省峨眉二中2022-2023学年高二下学期半期考试理科数学试题一、选择题（每题5分共60分）1.设aR，则“1a”是“2aa”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析

】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2aa可得：1a或a<0，据此可知：1a是2aa的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解

法，充分性和必要性的判定，属于基础题.2.命题:p“21,10−xx”，则p为（）A.21,10−xxB.21,10−xxC.2001,10xx−D.2001,10xx−【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定

形式求解.【详解】命题:p“21,10−xx”为全称命题，其否定为特称命题，即p：2001,10xx−.故选：C3.已知()21i32iz−=+，则z=（）A.31i2−−B.31i2−+C.3i2−+D.3i2−−【答案】B【解析】【分

析】由已知得32i2iz+=−，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】()21i2i32izz−=−=+，()32ii32i23i31i2i2ii22z++−+====−+−−.故选：B.4.函数()

22lnfxxx=−的单调递减区间是（）A.(0,1B.)1,+C.(,1−−D.)(1,00,1−【答案】A【解析】【分析】求导，不等式()0fx的解集与函数的定义域取交集即可求出结果.【详解】由题意知()()222220xfxxxxx−=−=，由()0fx

，得01x．故选：A5.函数y＝xex的最小值是()A.－1B.－eC.－D.不存在【答案】C【解析】【分析】先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值.【详解】y′＝ex＋xex＝(1＋x)e

x，令y′＝0，则x＝－1，因为x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0，所以x＝－1时，ymin＝－.选C.【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0fx=得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最

值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.6.已知函数()2xfxx=+，则函数在=1x−处切线方程是（）A.2x−y+1=0B.x−2y+2=0C.2x−y−1=0D.x+

2y−2=0【答案】A【解析】的【分析】利用导数求(1)f¢-，并求(1)f−的值，写出在=1x−处的切线方程即可.【详解】由题设，22()(2)fxx=+，则2(1)2()212f−==−+，而(1

)1f−=−，∴函数在=1x−处的切线方程是2(1)1yx=+−，即2x−y+1=0.故选：A7.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）A.8种B.9种C.12种D.1

4种【答案】D【解析】【分析】采用采用间接法，任意选有4615C=种，都是男生有1种，进而可得结果.【详解】任意选有4615C=种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故选：D.【点睛】本题考查分类计数原理，考

查间接法求选法数，属于基础题目.8.72()xx−的展开式中3x的系数为（）A.168B.84C.42D.21【答案】B【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中3x的系数．【详解】解：由于7

2()xx−的展开式的通项公式为7217(2)rrrrTCx−+=−，则令72r3−=，求得2r=，可得展开式中3x的系数为27484C=，故选：B．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，以及二项展开式的通项公式以及系数的性质．9.已知函数()322sinxfxxx−＝＋，若()(12)0f

afa+−，则实数a的取值范围是（）A.(1，＋∞)B.(－∞，1)C.1(,)3+D.1(,)3−【答案】B【解析】【分析】先根据函数解析式确定函数的奇偶性，然后利用导数确定函数的单调性，再把不等式化为()()fmfn的形式，然后去“f”化为一般不等式，

从而得解.【详解】()fx的定义域为R，()32sin()2fxxxfxx+=−−＝--，所以()fx是奇函数，又2()322cos0fxxx=+−恒成立（仅当0x=时等号成立），所以()fx在R上单调递增，由()(12)0fafa+−得()(21)fafa−，所以21aa

−，解得1a，故选：B.10.已知函数3211()(0,0)62fxxaxbxab=−−的一个极值点为1，则ab的最大值为（）A.1B.12C.14D.116【答案】D【解析】【分析】求出()fx的导函数，由题意可得()1

0f=，可得12ab+=，再根据基本不等式可求ab的最大值.【详解】函数3211()(0,0)62fxxaxbxab=−−，()212fxxaxb=−−，函数()fx的一个极值点为1，可得()10f=，即102ab−−=，得12ab+=，所以21216abab+=，当且仅

当14ab==时等号成立，故ab的最大值为116.故选：D11.若()fx在R上可导且()00f=，其导函数()fx满足()()0fxfx+，则()0fx的解集是（）A.(),0−B.(),1−C.()0,+D.R【答案】C

【解析】【分析】先构造函数()()exgxfx=，由()()0fxfx+确定()gx单调递减，从而得到()0gx的解集，即为()0fx的解集.【详解】设()()exgxfx=，则()()()()()()eeexxxgxfxfxfxfx=+=+，因为()()0fxfx+，所以(

)0gx在R上恒成立，所以()gx单调递减，又()00f=得()00g=，由()0fx等价于()0gx，所以0x，即()0fx的解集是()0,+.故选：C.12.已知函数()2,0exxfxx=.若存在实数a0

,1，使得3211122e2faaam−−−−+成立，则正实数m的取值范围为（）A.1,12B.1,12C.()0,1D.(0,1【答案】A【解析】【分析】依题意，令()32112e,0,

12gaaaaa−=−−+，求出()1max()0egag−==，若存在实数a0,1，使得3211122e2faaam−−−−+成立，等价于max12()fgam−成立，进而转化为()

121ffm−，再根据函数()2,0exxfxx=的单调性，得到10210mm−，从而求出正实数m的取值范围.【详解】令()32112e,0,12gaaaaa−=−−+，则()()()232321gaaaaa=−−=+−，当a0,1

时，()0ga，函数()ga在0,1上单调递减，()1max()0egag−==，若存在实数a0,1，使得不等式3211122e2faaam−−−−+成立，等价于1max

12()efgam−−=成立，又()11ef−=，()121ffm−，()2exxfx=，所以()()222,0eexxxxxxfxx−−==.当()0,2x时，()0

fx¢>，函数()fx在()0,2上单调递增，当()2,x+时，()0fx，函数()fx在()2,+上单调递减，m为正实数，122m−，又函数()fx在()0,2上单调递增，10210

mm−，解得11.2m正实数m的取值范围为1,12.故选：A.二、填空题（每题5分，共20分）13.命题“若24x，则22x−”的逆否命题是________.【答案】若2x或2x−，则24x【解析】【分析】根据逆否命题的概念填空

即可.【详解】由题,则命题“若24x,则22x−”的逆否命题为“若2x或2x−,则24x”,故答案为:若2x或2x−,则24x【点睛】本题考查命题的逆否命题,属于基础题.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣

传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分

类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C=现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A=根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636=种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了

计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.已知函数()()1lnexfxaxaR=+．若函数()fx在定义域内不是单调函数，则实数a的取值范围是__________

．【答案】10,e【解析】【分析】转化为函数在定义域内有极值点求解，分离参数后得xxae=，从而求出函数()(0)xxgxxe=的值域即可．【详解】由函数()fx在定义域()0,+内不单调，得函数()fx在定义域内有极值

点．∵()1lnexfxax=+，∴()0xafxex−+=−=，∴xxae=．令(),0xxgxxe=，则()1xxgxe=−，∴函数()gx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，又()00,gx=→+当时，()0gx→，()11ge=，∴(

)10gxe．∴实数a的取值范围是10,e．【点睛】解答本题关键在于将问题进行转化，即把函数在定义域内不单调的问题转化为导函数在定义域内有变号零点的问题求解，同时解题中要结合函数的图象求解，体现了数形结合在解题中的应用．16.已知a，b为实数，不等式lnaxbx+恒成立，

则ba的最小值为______．【答案】-1【解析】的【分析】先由lnaxbx+恒成立得出ln1ba−−，进而ln1baaa−−，构造函数()()ln10agaaa−−=求解.【详解】设()()ln0fxxaxbx=−−，则不等式lnaxbx+恒成立等价于()

max0fx成立，显然当0a时不符合题意．当0a时，()()110axfxaxxx−=−=，∴当10xa时，()0fx¢>，当1xa时，()0fx，则()fx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减，∴()m

ax1ln1fxfaba==−−−．由()max0fx得ln1ba−−，∴ln1baaa−−．令()()ln10agaaa−−=，则()2lnagaa=，当01a时，()0ga，()ga在()0,1上单调递减，当1a时，()0ga

，()ga在()1,+上单调递增，∴()()min11gag==−，∴1ba−，则min1ba=−，此时1a=，1b=-．故答案为：1−.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于依题意得出ln1ba−−，进而得出ln1baaa−−.三．解答题（共7

0分）17.一个小组有10名同学，其中4名男生，6名女生，现从中选出3名代表，（1）其中至少有一名男生的选法有几种？（2）至多有1名男生的选法有几种？【答案】（1）100（种）（2）80（种）【解析】【分析】（1）可知直接法处理，分类后

利用分类加法计数原理求解，也可间接法求解；（2）分无男生和一名男生两类情况求解，再由分类加法计数原理即可.【小问1详解】方法一：(直接法)．第一类：3名代表中有1名男生，则选法种数为1246CC60=(种)；第二类：3名代表中有2名男生，则选法种数为2146CC36=(种)；第

三类：3名代表中有3名男生，则选法种数为34C4=(种)；故共有60＋36＋4＝100(种)．方法二：(间接法)．从10名同学中选出3名同学的选法种数为310C种．其中不适合条件的有36C种，故共有33

106CC100−=(种)．【小问2详解】第一类：3名代表中有一名男生，则选法为1246CC60=(种)；第二类：3名代表中无男生，则选法为36C20=(种)；故共有60＋20＝80(种).18.已知函数ln()1xfxx=−.（1）求函数

()fx的单调区间；（2）求函数()fx在区间π,5上的最大值．【答案】（1）单调递增区间为()0,e，单调递减区间为()e,+.（2）lnπ1π−【解析】【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间；（2）根据函数在区间内单调性求最大值.【小

问1详解】因为函数()fx的定义域为()0,+，且()21lnxfxx−=，由()00fxx得0ex；由()0?0?fxx得ex.所以函数()fx的单调递增区间为()0,e，单调递减区间为()e,+．【小问2详解】由（1）得()fx在π,5上单调递

减，∴maxlnπ()(π)1πfxf==−.19.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1BB的中点．的（Ⅰ）求证：1//BC平面1ADE；（Ⅱ）求直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23.【

解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形11ABCD为平行四边形，可得出11//BCAD，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用

空间向量计算求解.【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体1111ABCDABCD−中，11//ABAB且11ABAB=，1111//ABCD且1111ABCD=，11//ABCD且11ABCD=，所以，四边形11ABCD为平行四边形，则11/

/BCAD，1BC平面1ADE，1AD平面1ADE，1//BC平面1ADE；[方法二]:空间向量坐标法以点A为坐标原点，AD、AB、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz−，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2

，则()0,0,0A、()10,0,2A、()12,0,2D、()0,2,1E，()12,0,2AD=，()0,2,1AE=，设平面1ADE的法向量为(),,nxyz=，由100nADnAE==，得22020xzyz+=+=，令2z=−，则2x=，

1y=，则()2,1,2n=−.又∵向量()12,0,2BC=,()1·2201220BCn=++−=,又1BC平面1ADE，1//BC平面1ADE；（Ⅱ）[方法一]：几何法延长1CC到F，使得1CFBE=，连接EF，交11BC于G，又∵1//CFBE，∴四边形

1BEFC为平行四边形，∴1//BCEF，又∵11//BCAD,∴1//ADEF,所以平面1ADE即平面1ADFE,连接1DG，作11CHDG⊥,垂足为H,连接FH,∵1FC⊥平面1111DCBA,1DG平面1111DC

BA,∴11FCDG⊥，又∵111FCCHC=,∴直线1DG⊥平面1CFH,又∵直线1DG平面1DGF,∴平面1DGF⊥平面1CFH,∴1C在平面1DGF中的射影在直线FH上,∴直线FH为直线1FC在平面1DGF中的射影，∠1CFH为直线1FC与平面1DGF所成的角，根据直线

1//FC直线1AA，可知∠1CFH为直线1AA与平面1ADG所成的角.设正方体的棱长为2，则111CGCF==,15DG=,∴121255CH==,∴223155FH=+=,∴112sin3CHCFHFH==,即直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值

为23.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面1ADE的法向量()2,1,2n=−，又∵()10,0,2AA=,∴11142cos,323nAAnAAnAA==−=−，∴直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值为23.[方法三]：几何法+体积

法如图，设11BC的中点为F，延长111,,ABAEDF，易证三线交于一点P．因为111,BBAAEFAD∥∥，所以直线1AA与平面1ADE所成的角，即直线1BE与平面PEF所成的角．设正方体的棱长为2，在PEF!中，易得

5,2PEPFEF===，可得32PEFS=．由11BPEFPBEFVV−−=三棱锥三棱锥，得113111123232BH=，整理得123BH=．所以1112sin3BHBEHBE==．所以直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值为23．[方法四]：纯体积法设正方体的棱长

为2，点1A到平面1AED的距离为h，在1AED△中，115,22,3AEADDE===，22211119585cos25235DEAEADAEDDEAE+−+−===，所以125sin5AED

=，易得13AEDS=．由1111EAADAAEDVV−−=，得111111133ADAAEDSABSh=，解得43h=，设直线1AA与平面1AED所成的角为，所以12sin3hAA==．【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，

方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法

的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.20.已知函数()2lnfxxaxxx=−−，aR，()fx是()fx的导函数．（1）若0a

=，求函数()fx的最小值；（2）若函数()fx在()0,+上单调递增，求a的取值范围．【答案】（1）ln2；（2）(,ln2−．【解析】【分析】（1）当0a=时求出()fx，设()()gxfx=，利

用()gx的单调性可得答案；（2）设()()hxfx=，利用()hx的单调性求得最小值1ln22ha=−+，由已知只需()()minmin0fxhx=可得答案．【详解】（1）当0a=时，()2lnfxxxx=−的定义域为()0,x+，故()21lnfx

xx=−−，设()21lngxxx=−−，则()21xgxx−=，当102x时，()0gx，()gx单调递减，当12x时，()0gx，()gx单调递增，所以当12x=时，()gx有最小值，所以()()minmin11121lnln2222fxgxg===

−−=．（2）因()21lnfxxax=−−−，设()21lnhxxax=−−−，则()21xhxx−=，由（1）可知()hx的最小值是1ln22ha=−+，要使()fx在()0,x+上单调递增，只需()()minminln20fxhxa==−+，

所以ln2a，故a的取值范围为(,ln2−．【点睛】本题考查了求函数的最小值及求参数的取值范围的问题，解题的关键点是利用导数判断函数的单调性求最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.21.已知函数()2lnfxxaxbx=+−.（1）若函数()yfx=在2x

=处取得极值1ln22−，求a，b的值;（2）当18a=−时，函数()()gxfxbxb=++在区间1,3上的最小值为1，求()ygx=在该区间上的最大值.【答案】（1）180ab=−=；（2）5ln28+【解析】【分析

】（1）本小题根据题意建立方程组，直接解题，再检验即可；（2）本题先判断函数的单调性，再根据最小值建立方程组求参数，最后根据单调性求最大值即可.【详解】（1）()()120fxaxbxx=+−∴()()1240212ln242ln22f

abfab=+−==+−=−，解得：180ab=−=∴()()()()221044xxxfxxxx−+=−=，当'()002fxx，当'()02fxx，∴()fx在()0,2递增，()2,+?递减，

满足2x=在处取到极值，∴180ab=−=满足条件.（2）当18a=−时，()()()()22211ln,844xxxgxxxbgxxx−+=−+=−=()1,2x时，()()0;2,3gxx时，()0gx¢<，()gx在[1]2

，单增，在[2]3，单减()()max12ln22gxgb==−+又()()191,3ln3,88gbgb=−+=−+()()31ln310gg−=−；()()min1118gxgb==−+=，98b=，()52ln28g

=+，函数()gx在区间[1]3，上的最大值为()52ln28g=+.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值、单调区间的求法，考查数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想的应用，求解时要注意定义域优先法则的应用，同时注意第（1）问中求得,ab的值后，还要进行验证，是

中档题．22.已知函数2()2(1)exfxaxx=−−（其中,eaR为自然对数的底数）．（1）讨论()fx的单调性；（2）当0x时，2(1)ln3fxxxx+−−−，求a的取值范围．【答案】（1）答

案见解析（2）41,2e+【解析】【分析】（1）先求导数，分类讨论，利用导数的符号判定函数的单调性；（2）分离参数，构造新函数，利用新函数的单调性求解最值或者利用换元法求解最值，可得答案.【小问1详解】由2()2(1)exfxaxx=−−可得()()2e1xfxxa=−，当0

a„时，e10xa−，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，从而()fx的单调递增区间为(,0)−，单调递减区间为(0,)+；当0a时，由()0fx=得，10x=，21lnxa=，①若1ln0a=，即1a

=时，()0fx…恒成立，故()fx在R上单调递增：②若1ln0a，即1a时，由()0fx可得，1lnxa或0x．令()0fx可得1ln0xa，此时()fx的单调递增区间为1,lna−和(0,)+，单调递减区间为1ln,

0a；③若1ln0a，即01a时，由()0fx可得，0x或1lnxa，令()0fx可得10lnxa，此时()fx的单调递增区间为(,0)−和1ln,a+，单调递减区间为10,lna；综上所述，当0a„时，()fx的单调递增区间为(

,0)−，单调递减区间为(0,)+；当1a=时，()fx在R上单调递增；当1a时，()fx的单调递增区间为1,lna−和(0,)+，单调递减区间为1ln,0a；当01a时，()fx的单调递增区间为(,0)−和1ln,a+，单调递减区间为

10,lna；【小问2详解】不等式2(1)ln3fxxxx+−−−，可得12eln20xaxxx+−−+对0x恒成立，即ln22eexxxax+−对任意的0x恒成立，令ln2()(0)exxxgxxx+−=，则22211e(1)e(ln2)(1)(3ln)()eexxxxx

xxxxxxxgxxx+−++−+−−==，令()3lnhxxx=−−，则1()10hxx=−−，则()hx在(0,)+上单调递减，又(1)20h=，故()0hx=在(0,)+上有唯一的实根，不妨设该实根为0x，故当()00,x

x时，()0hx，()0gx，()gx单调递增；当()0,xx+时，()0hx，()0gx，()gx单调递减，故()000max00ln2()exxxgxgxx+−==，又因为003ln0xx

−−=，所以00ln3xx+=，00ln3eexx−=，030eexx=，所以()000030ln21eexxxgxx+−==，由题意知312eea，解得412ea，故a的取值范围为41,2e+．另解：（2）由不等式2

(1)ln3fxxxx+−−−，可得12eln20xaxxx+−−+对0x恒成立，即ln22eexxxax+−，()lne22eexxxax−对任意0x恒成立，令e0xtx=，ln2()(0)tgttt−

=，则23ln()tgtt−=，故当()30,et时，()0gt，()gt单调递增；当()3e,t+时，()0gt，()gt单调递减，故()3max31()eegtg==，由题意知312eea，解得412ea，故a的取

值范围为41,2e+．【点睛】本题主要考查导数应用，单调性的判定主要利用导数的符号来判定，注意分类讨论的不重不的的漏，参数范围的求解一般利用分离参数法来进行，借助导数求解新函数的最值.获得更多资源请扫码加

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