【文档说明】湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题+含答案.docx，共(15)页，1.191 MB，由小赞的店铺上传

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2023年湖北省高二9月起点考试高二数学试卷命题学校：孝昌一中命题教师：乐剑子审题学校：汉川一中考试时间：2023年09月07日下午15:00-17:00试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的

答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合2,1,0,1,2M=−−，260Nxxx=−−，则MN=（）A.2,1,0,1−−B.0,1,2C.

2−D.22.已知复数1i22iz−=+，则zz−=（）A.i−B.iC.0D.13.已知2log3a=，13log2b=，0.12c−=则（）A.abcB.bacC.cbaD.acb

4.在四面体OABC中OAa=，OBb=，OCc=点M在OA上，且2OMMA=，N为BC中点，则MN=（）A.121232abc−+B.211322abc−++C.111222abc+−D.221332abc+−5.从分

别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（）A.13B.25C.35D.156.已知向量a，b是平面的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线

l的一个方向向量，则“0ca=且0cb=”是“l⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知0,2，2tantan43+=−，则sincos22sin4=+

（）A.12−B.35−C.3D.538.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A.平均数为3，中位数为2B.中位数为3，众数为2C.平均数为2，方差为2.4D.中位数为3，方差为2.8

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝

，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”.从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）图1图2A.该平台女性主播占比的估计值

为0.4B.从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C.按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D.从所调查的青年人主播中，随机选取一位做为幸运主播，是女性的概率为

0.610.已知不同直线a，b，不同平面，，，下列说法正确的是（）A.若a，b，a∥，b∥，则∥B.若ab∥，a∥，b，则b∥C.若⊥，⊥，a=，则a⊥D.若a=，ab⊥，b，则⊥11.抛掷一黄一白两枚质地均匀

的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，b表示白色骰子朝上的点数，用(),ab表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件A=“关于x的方程()()22250xabxab−+++=无实根”，事件B=“4a=”，事件C=“4b”，事件D=“20ab”则（）A.A

与B互斥B.A与D对立C.B与C相互独立D.B与D相互独立12.如图，棱长为6的正方体1111ABCDABCD−中，点M、N满足1AMAC=，CNCD=，其中、()0,1，点P是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）A.当13=时，DM∥平面11CBDB.当12=时，若1BP∥

平面11ANC，则1BP的最大值为35C.当12==时，若1PMDN⊥，则点P的轨迹长度为1265+D.过A、M、N三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(),2am=，()3,5bm=+，若ab⊥，则m=______.14.

在三棱锥ABCD−中，3ABACBDCD====，2ADBC==，M、N分别是AD、BC的中点，则异面直线AN与CM所成角的余弦值为______.15.甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别是13，14，则密码被成功破译的概率为______.16.在

梯形ABCD中，ABCD∥，2AB=，1BCCDDA===，将ACD△沿AC折起，连接BD，得到三棱锥DABC−当三棱锥DABC−的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分1

0分）如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD−中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°.（1）求1AC的长；（2）求1BD与AC夹角的余弦值.18.（本小题满分12分）在ABC△中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足2cosco

scosaBbCcB=+（1）求角B的大小；（2）若2BDDC=，且1CD=，23AD=，求ABC△的面积.19.（本小题满分12分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识

，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：)40,50，)50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图.（1）求

频率分布直方图中a的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在)50,60的平均成绩是61，方差是7，落在)60,70的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差2s.20.（本小题满分

12分）如图，三棱柱111ABCABC−中，侧面11ACCA为矩形，ABAC⊥且6ABAC==，D为11BC的中点，1110AABC==.（1）证明：1AC∥平面1ABD；（2）求直线BC与平面1ABD的夹角的正弦值.2

1.（本小题满分12分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办.本届亚运会共设40个竞赛大项.其中首次增设了电子竞技项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败

赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决寨，总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组

，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军.双败赛制下会发现一个有意

思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？双败赛制流程图这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三

个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为12.最初分组时AB同组，CD同级.（1）若34p=，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？（2）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用P

表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形11ACCA中，160ACC=，12CC=，平面11ACCA⊥平面ABC，D，E分别是线段AC、1CC

的中点.（1）求证：1AC⊥平面BDE；（2）若点F为棱11BC的中点，求点F到平面BDE的距离；（3）若点F为线段11BC上的动点（不包括端点），求锐二面角FBDE−−的余弦值的取值范围.2023年湖北省高二9

月起点考试高二数学试卷解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的选项中，只有一项符合题目的要求）1.C2.A3.D4.B5.A6.B7.B8.C8.对于A，当掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，所以A

错误。对于B，当掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，中位数为3，众数为2，所以B错误，对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差()221623.22.45s−=当平均数为2，方差为2.4是一定没

有出现点数6，所以C正确，对于D，当掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，中位数为3，平均数为3，方差()()()()()222222113233333632.85s=−+−+−+−+−=，可以出现6，所以D错误，故选C二、多选题（本题共4小题，每

小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9.AC10.BC11.BCD12.ABC12以点1D为原点，11DA、11DC、1DD所在直

线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()10,0,0D、()16,6,0B、()0,6,6C、()6,0,6A、()0,0,6D、()10,6,0C，对于A选项，当13=时，()()

()1116,6,66,0,04,2,233DMAMADACAD=−=−=−−−−=−，设平面11CBD的法向量为()111,,mxyz=，()116,6,0DB=，()10,6,6DC=则1111111660660mDB

xymDCyz=+==+=，取11y=−，可得()1,1,1m=−，所以4220mDM=−−=，则mDM⊥，因为DM平面11CBD，故当13=时，DM∥平面11CBD，A对；对于B选项，当12=时，N为CD中点分别取AB、BC中点G、H，连接1

BG、GH、1BH、11AC、GN，因为G、H分别为AB、BC的中点，所以GHAC∥，又因为11AACC∥且11AACC=，所以四边形11AACC为平行四边形，则11ACAC∥，所以11GHAC∥，因为GH平面11ANC，11AC平面11ANC，所以GH∥平面11

ANC，同理可得，1BG∥平面11ANC，因为1BGGHG=，1BG、GH平面1BGH，所以平面1BGH∥平面11ANC，当点P为1BGH△的边上一点（异于点1B）时，则1BP平面1BGH，则1BP∥平面11ANC，故点P的轨迹为1BGH△的边（除去点1B），因

为2222116335BGBBBG=+=+=，同理可得135BH=，结合图形可得111max35BPBGBH===，B正确；当12==时，M、N分别为1AC、CD的中点，如图所示：此时点()0,3,6N、()3,3,3M、()10,0,0D，()10,3,6DN=，当点P在平面11

AADD内运动时，设点(),0,Pxz，其中06x，06z，则()3,3,3MPxz=−−−，因为1DNMP⊥，则()19636270DNMPzz=−+−=−=，解得92z=，设点P的轨迹分别交棱1AA、1DD于点R、Q，则96,0,2R、90,0,2Q，当点P

在平面11CCDD内运动时，设点(),0,Pxz，其中06y，06z，()3,3,3MPyz=−−−，则()1396336270DNMPyzyz=−+−=+−=，设点P的轨迹交棱1CC于点F，则30,6,2F

，设点P的轨迹交棱1BB于点T，因为平面11AADD∥平面11BBCC，平面RQFT平面11AADDRQ=，平面RQFT平面11BBCCFT=，所以RQFT∥，同理可得QFRT∥，所以四边形RQFT为平行四边形，且6FTRQ==，222390635

22RTFQ==++−=，因此，点P的轨迹的长度即为平行四边形RQFT的周长()26351265+=+，C对；对于D选项，设截面AMN交棱11AB于点U，连接AU、1CU，题意可知，截面AMN与平面1ACN重合，因为平面ABCD∥平面1111ABCD，平面1ANC平面ABCDAN=，平

面1ANC平面11111ABCDCU=，所以1ANCU∥，同理可得1AUCN∥，所以四边形1AUCN为平行四边形，易知()0,66,6N−，其中01，所以()6,66,0AN=−−，()10,6,6CN=−，所以()()16663610ANCN=−−=−，故AN

与1CN不可能垂直，故平行四边形1AUCN不可能为矩形，故过A、M、N三点的截面不可能是矩形，D错.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.2−14.7815.1216.516.解：过点C作CEAB⊥，垂足为E，如图1.∵ABCD为等腰梯形，2AB=，1CD=，∴12BE=

，1cos2BEBBC==，∴3B=，由余弦定理得2222cos3ACABBCABBCB=+−=，即3AC=，∵222ABBCAC=+，∴BCAC⊥，易知，当平面ACD⊥平面ABC时，三棱锥DABC−体积最大，如图2此时，BC⊥平面ACD，易知，2

3ADC=，记O为外接球球心，半径为R，∵BC⊥平面ACD，OBOC=，∴O到平面ACD的距离1122dBC==，又ACD△的外接圆半径122sin3ACr==，∴22254Rrd=+=，∴245SR==图1图2四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明

、证明过程或演算步骤）17.解：记ABa=，ADb=，1AAc=，则2abc===，,,,60abacbc===∴2abacbc===……2分（1）()()()2222212444222224ACabca

bcabacbc=++=+++++=+++++=……4分∴12426AC==……5分（2）∵1BDbca=+−，ACab=+，∴122BD=，23AC=……7分∴()()2214BDACbcaabacabbc=+−

+=−++=……9分∴1116cos,6BDACBDACBDAC==.……10分18.解：（1）在ABC△中，因为2coscoscosaBbCcB=+，由正弦定理可得2sincossincossincosABBCCB=+，所以()2sincossi

nsinABBCA=+=，3分∵A、()0,B，则sin0A，所以1cos2B=，因此3B=.……6分（2）∵2BDDC=，且1CD=，23AD=，∴2BD=，3BC=，……7分在ABD△中，由余弦

定理有2222cosADABBDABBDB=+−，即212422cos3ABAB=+−，即2280ABAB−−=，∵0AB，解得4AB=……10分所以113sin1233222ABCSABBCB===△.……12分19.解

：（1）∵每组小矩形的面积之和为1，∴()0.0050.0100.0200.0250.010101a+++++=，∴0.030a=.……2分（2）成绩落在)40,80内的频率为()0.0050.0100.0200.030100.65+++=，落在)40,90内的频率为()0.0050.01

00.0200.0300.025100.9++++=，设第75百分位数为m，由()0.65800.0250.75m+−=，得84m=，故第75百分位数为84；……6分（3）由图可知，成绩在)50,60的市民人数为1000.110=，成绩在)60,70的市民人

数为1000.220=，故10516320591020z+==+……9分设成绩在)50,60中10人的分数分别为12310,,,,xxxx；成绩在)60,70中20人的分数分别为12320,,,,yyyy，则由

题意可得222221231051710xxxx++++−=，222221232063420yyyy++++−=，∴22221231026080xxxx++++=，22221232079460yyyy++++=，∴()2222222222123101232011020sxxxxyyy

yz=+++++++++−+()212608079460593730=+−=……12分20.证明：（1）连接1AB与1AB交于点O，连接OD∵111ABCABC−为三棱柱，∴11ABBA为平行四边形，点O为1AB的中点又∵D为11BC

的中点，则1ACOD∥又∵OD平面1ABD，1AC平面1ABD，∴1AC∥平面1ABD.……4分（2）∵CAAB⊥，1CAAA⊥，1ABAAA=，∴CA⊥平面11ABBA，∵1AB平面11ABBA，∴1CAAB⊥，∴2222111068ABCBAC=−=−=∵6AB=，18AB=，110B

B=，∴22211ABABBB+=，即1ABAB⊥……6分以A为坐标原点，AB、1AB、AC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，()0,0,0A，()16,8,0A−，()6,0,0B，()0,0,6C，()10,8,0B，()16,8,6C−，

()3,8,3D−∴()112,8,0AB=−，()13,0,3AD=，()6,0,6BC=−，……8分设平面1ABD的法向量为(),,nxyz=，则1100ABnADn==，即3200xyxz−=+=令2x=，3y=，2z=−，∴()2,3,2n=−……10

分设直线BC与平面1ABD的夹角为，∴24234sincos,171762nBCnBCnBC====∴直线BC与平面1ABD的夹角的正弦值为23417.……12分21.解：（1）记A，C拿到冠军分别为事件M，N，淘汰赛

赛制下，A只需要连赢两场即可拿到冠军，因此()3394416PM==，……2分对于C想拿到冠军，首先得战胜D，然后战胜A，B中的胜者，因此()131111524424232PN=+=.……5分（2）记两种赛制下A获得冠军的概率分别为1p，2p，则21pp=.……6分而双败赛制下，A

获得冠军有三种可能性：①直接连赢三局；②从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；③直接掉入败者组拿到冠军.∴()()()323321132ppppppppp=+−+−=−，……8分∴()110pppp−=−

，()()221210ppppp−=−+则不论哪种赛制下，A获得冠军的概率均小于p……10分而()()221121ppppp−=−−若12p，则21pp，若12p，则21pp综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大

，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的.……12分22.证明：（1）连接1AC，因为ABC△为等边三角形，D为AC中点，∴BDAC⊥，又平面11ACCA⊥平面ABC，平面11ACCA平面ABCAC=，BD平面ABC，∴BD⊥平面11AAC

C，又1AC平面11AACC，∴1BDAC⊥，……2分由题设知四边形11AACC为菱形，∴11ACAC⊥，∵D，E分别为AC，1CC中点，∴1DEAC∥，∴1ACDE⊥，又BDDED=，BD，DE

平面BDE，∴1AC⊥平面BDE……4分（2）由题设知四边形11AACC为菱形，且160ACC=，∴1ACC△为正三角形，又D为AC中点，∴1CDAC⊥又平面11ACCA⊥平面ABC，平面11ACCA平面ABCAC=，1CD平

面11AACC，∴1CD⊥平面ABC，又BD平面ABC，AC平面ABC，∴1CDBD⊥，1CDAC⊥又ABC△为等边三角形，D为AC中点，∴BDAC⊥，……5分则以D为坐标原点，DB，DA，1DC所在直线为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D，()3,0,0B，()0

,1,0C−，()10,0,3C，130,,22E−，()13,1,3B，()10,2,3A31,,322F∴()3,0,0DB=，130,,22DE=−，31,,322DF=

，……6分设平面BDE的一个法向量为(),,mxyz=∵00DBmDEm==，即3013022xyz=−+=不妨取1z=，则3y=，则()0,3,1m=∴平面BDE的一个法向量

为()0,3,1m=……7分∴点F到平面BDE的距离为3333224mDFdm+===……8分（3）∴()113,1,0CB=，()10,3,3CA=设(),,Fxyz，()11101CFCB=，则()(),,33

,,0xyz−=，∴3x=，y=，3z=，∴()3,,3F，∴()3,,3DF=；……9分由（2）知：1AC⊥平面BDE∴平面BDE的一个法向量()0,3,1m=设平面FBD的法向量(),,nabc=，则∵30330DBnaDFnabc

===++=，令3b=，则0a=，c=−，∴()0,3,n=−；∴()222331cos,2323mnmnmn−−===++，……10分令()32,3t−=，则3t=−，∴222111co

s,126212621tmntttt==−+−+；∵111,32t，∴212611,13tt−+∴13,2co2s,mn，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com