【文档说明】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）【精准解析】.doc，共(24)页，3.211 MB，由管理员店铺上传

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2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二文科数学期末考试试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z满足1+z1z−=i，则|z|=（）A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】试题分析：由题意得，1(1)(

1)1(1)(1)iiiziiii−−−===++−，所以1z=，故选A.考点：复数的运算与复数的模.2.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线ybxa=+$$$近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能

成立的是()A.线性相关关系较强，b的值为1.25B.线性相关关系较强，b的值为0.83C.线性相关关系较强，b的值为－0.87D.线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B【解析】【分析】根据散点图呈现的特点可以看出

，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.3.若m，n是两条不同的直线，

，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A.若m，⊥，则m⊥B.若m⊥，//m，则⊥C.若⊥，⊥，则⊥D.若m=，n=，//mn，则//【答案】B【解析】【分析】根据线面、面面的相关判定定理及性质定理一一分析可得

；【详解】解：A．错误，由⊥，得不出内的直线垂直于；B．正确，//m，根据线面平行的性质定理知，内存在直线//nm，m⊥，n⊥，n，⊥；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，这两

个平面可以平行、相交，不一定得到⊥；D．错误，m=，n=，//mn，则与可能平行、相交．故选：B．【点睛】考查空间想象能力，以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念，属于中档题．4.在正方体1111ABCDABCD−中，如图，M、N分别是正方形ABCD、11BC

CB的中心.则过点1C、M、N的截面是（）A.正三角形B.正方形C.梯形D.直角三角形【答案】A【解析】【分析】连接BN、BD、1BC，可知过点1C、M、N三点的截面为1BCD，判断该三角形的形状即可得出结论.【详解】如下图所示

，连接BN、BD、1BC，由于M、N分别为正方形ABCD、11BBCC的中心，则M、N分别为BD、1BC的中点，所以，过点1C、M、N三点的截面为1BCD，易知1BCD为正三角形.因此，过点1C、M、N

三点的截面为正三角形.故选：A.【点睛】本题考查正方体截面形状的判断，作出截面图形是解题的关键，考查空间想象能力，属于中等题.5.《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周

四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积112V=（底面的圆周长的平方高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（

）A.528B.6336C.704D.2112【答案】B【解析】【分析】求出底面半径，由圆柱体积公式计算，【详解】设r为底面半径，则248r=，24r=，又11h=，∴22246336()11Vrh===．故选：

B．【点睛】本题考查圆柱的体积，解题关键是求出底面半径，得底面面积，再由体积公式可得．6.从11，12，13，14，15中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则(|)

PBA等于（）A.18B.14C.25D.12【答案】B【解析】【分析】由题意求出所有基本事件数，A发生的基本事件数，AB发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得P(A),P(AB)，再利用条件概率的公式

即可求解.【详解】解：从11，12，13，14，15中任取2个不同的数有：（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（1

4，15）共10种，其中取到两个数之和为偶数的有（11，13），（11，15），（12，14），（13，15）有4种，所以42()105PA==，其中取到的两个数均为偶数且和为偶数的有：（12，14），所以1()10PAB=，所以()()1

110(|)245PABPBAPA===，故选：B【点睛】此题考查了条件概率的求解，考查了古典概型概率公式的应用，属于基础题.7.函数的图象大致为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判定奇偶性，然后在0x时，利用导数，结合三角函数和指数函数的性质

分0x和x，分别研究函数的单调性，从而做出判定.【详解】由于函数满足()()fxfx−=，故函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除B，当0x时，cosxyex=−，sinxyex=+，若0x时，0

y，当x时，3xeee，而1sin1x−，显然sin0xyex=+，从而可知，函数在[0,)+上为增函数，选D.【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，属中档题.关键是判定奇偶性，然后在y轴右侧，利用

导数分段研究函数的单调性.8.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，P，Q，M，N，H，R是各条棱的中点.①直线1//AD平面MNP；②1HDCQ⊥；③P，Q，H，R四点共面；④1AC⊥平面11ABD.其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由平面MNPP

平面11ADDA，易证1AD∥平面MNP，①正确；假设1HDCQ⊥，易证CQ⊥平面11DDAA，易证//CQCD，与=CQCDC矛盾，故②错误；因为PQACHR∥∥，故P，Q，H，R四点共面，③正确；欲证1A

C⊥平面11ABD，只需证明1AC垂直于平面11ABD内的两条相交直线的即可，根据正方体易证.【详解】解：对于①，通过观察，平面MNPP平面11ADDA，所以1AD∥平面MNP，①正确；对于②，假设1HDCQ⊥，显然1DDCQ

⊥，111HDDDD=，1DD平面11DDAA1HD平面11DDAA，所以CQ⊥平面11DDAA，又CD⊥平面11DDAA，所以//CQCD，与=CQCDC矛盾，故②错误.对于③，因为PQACHR∥∥，故P，Q，H，R四

点共面，③正确；对于④，显然1111ACBD⊥，111AABD⊥，1111AAACA=，1AA平面11AACC，11AC平面11AACC，所以11BD⊥平面11AACC，1AC平面11AACC，所以11BD⊥1AC，同理可证1BA⊥1AC，又1111BDBA

B=，所以1AC⊥平面11ABD，故④正确所有正确的是①③④，故选：C【点睛】在正方体内已知棱的中点，考查证明线面平行与垂直、线线垂直以及点共面等基础知识，一些常见结论应该让学生熟记，同时考查空间想象能力以及逻辑推理能力，基础题.9.已知正三棱锥SA

BC−的四个顶点都在球O的球面上，且球心O在三棱锥的内部.若该三棱锥的侧面积为73,2BC=，则球O的表面积为（）A.25B.16C.1219D.1699【答案】D【解析】【分析】由条件作出如图辅助线，并根据正三棱锥的性质确定球心的位置，OAM△中，利用勾股定理求半径R，

最后求球的表面积.【详解】作SM⊥平面ABC，连结AM并延长交BC于点D，连结SD，正三棱锥外接球的球心O在高SM上，连结OA，123732SSD==，解得：733SD=,正三角形ABC中，3363DMBC==，233AM=224SMSDD

M=−=，设SOAOR==，OAM△中，()2222343RR=−+，解得：136R=,则球O的表面积216949SR==.故选：D【点睛】本题考查几何体与球的综合问题，意在考查

空间想象能力，和推理计算，属于基础题型.10.如图，四棱锥PABCD−中，PAB与PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，ACBD⊥，则下列结论不一定成立的是（）A.PBAC⊥B.PD⊥平面ABCDC.ACPD⊥D.平面PBD⊥平面ABCD【答案】B【解析】过BP中点O连接,OAOC

,易得,BPOABPOCBP⊥⊥⊥面OACBPAC⊥选项A正确；又ACBDAC⊥⊥面,BDPACPD⊥平面PBD⊥平面ABCD,故选项C、D正确，故选B.11.如图，四棱锥PABCD−中，底面为直角梯形，90DBCADC==，23ABCD=，E为P

C上靠近点C的三等分点，则三棱锥BCDE−与四棱锥PABCD−的体积比为（）A.19B.15C.16D.13【答案】B【解析】【分析】设四棱锥PABCD−的高为h，则三棱锥BCDE−的高为13h，2ABa=，则3CDa=，由此能求出三棱锥BCDE−与四棱锥PABCD−的体

积比．【详解】解：设四棱锥PABCD−的高为h，则三棱锥BCDE−的高为13h，2ABa=，则3CDa=，11532PABCDVaADh−=，1113323BCDEVaADh−=，三棱锥BCDE−与四棱锥PABCD−的体积比为：15BCDEPABCDV

V−−=．故选：B．【点睛】本题考查三棱锥与四棱锥的体积比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．12.已知P为双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）左支上一点，1F，2F分别为C的左、右焦点，M为虚轴的一个端点，若2

||MPPF+的最小值为12FF，则C的离心率为（）A.262+B.26+C.426+D.46+【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义可得21||||2MPPFMPPFa+=++，又11||MPPFMF+即

可得到关于e的方程，解得.【详解】解：21||||2MPPFMPPFa+=++221222MFabcac+=++=…，即22222caac−+=，化简得222850caca−+=，即22850ee−+=，解得462e+=或462e−=，所以462e+=.故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考

查化归与转化的数学思想.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y取值如表：x01356y1m3m5.67.4画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx=+，则m=__________．【

答案】32【解析】分析：计算,xy，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值．详解：计算x=15×（0+1+3+5+6）=3，y=15×（1+m+3m+5.6+7.4）=1445m+，∴这组数据的样本中心点是（3，14

45m+），又y与x的线性回归方程y=x+1过样本中心点，∴1445m+=1×3+1，解得m=32.故填32.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．14.若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径1r，2r满足122lrr=+，且

圆台的侧面积为8，则l=__________.【答案】2【解析】【分析】根据圆台的侧面积公式计算．【详解】由题意()21228rrll+==，解得2l=．故答案为：2．【点睛】本题考查圆台的侧面积公式，属于基础题．15.甲乙两人练习射击，命中目标的概率分别

为12和13，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率是__________.【答案】23【解析】【分析】计算出两人都没击中的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】甲、乙两人各射击一次，都没击中

的概率为11111233−−=，因此，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率是12133−=.故答案为：23.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求事件的概率，考查计算能力，属于基础题.16.在平面上，

我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，由勾股定理有：222cab=+．设想将正方形换成正方体1111ABCDABCD−，把截线换成截面。这时从正方体上截下一个角，那么截下一个三棱锥AEFG−．如果该三棱锥的三个侧面面积分别为1，2，4，则该三棱锥的底面E

FG的面积是______．【答案】21【解析】【分析】用平面图形的结论，类比到空间几何体，同时模型不变.【详解】建立从平面图形到空间图形的类比，作出猜想：22221234+SSSS+=，则该三棱锥的底面EFG的面积222=12421S++=.故答案为：21.【点睛】本题主要考查

学生的类比推理的能力，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为11cos:sinxCy=+=(为参数)，曲线222:12xCy+=.（1）在以O为极点，x轴的正半轴为

极轴的极坐标系中，求1C，2C的极坐标方程；（2）若射线((0)6=与1C的异于极点的交点为A，与2C的交点为B，求AB.【答案】（1）2cos=，()222cos2sin2+=；（2）21035-.【解析】【分析】（1）由曲线1C：1cossi

nxy=+=(为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得1C，2C的极坐标方程；（2）分别求得点,AB对应的的极径21253,10pr==，根据极经的几何意义，即可求解.【详解】（1

）曲线1C：1cossinxy=+=(为参数)可化为普通方程：()2211xy−+=，由cossinxy==可得曲线1C的极坐标方程为2cos=，曲线222:12xCy+=的极坐标方程

为()222cos2sin2+=.（2）射线(0)6=与曲线1C的交点A的极径为1236cospr==，射线(0)6=与曲线2C的交点B的极径满足22126sinpr骣琪琪桫+=，解

得22105r=，所以1221035ABrr=-=-.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.在直三棱柱AB

C－A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝2AB，D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面A1CD;(2)若点P在线段BB1上，且BP＝14BB1，求证：AP⊥平面A1CD.【答案】详见解析【解析】【分析】

（1）连接1AC，与1AC交于点O，连结OD，可以证明1//ODBC，根据线面平行的判定可以可证明1//BC平面1ACD．（2）中易证CDAP⊥，只要证明1APAD⊥就可以证明AP⊥平面1ACD，它可以由1~RtABPRtAA

D得到．【详解】(1)连接1AC，与1AC交于点O，连结OD，∵四边形11AACC是矩形，∴O是1AC的中点．在1ABC中，,OD分别是1,ACAB的中点，∴1//ODBC，又∵OD平面1ACD，1BC平面1AC

D，∴1//BC平面1ACD．(2)∵CACB=，D是AB的中点，∴CDAB⊥．又∵在直三棱柱111ABCABC−中，底面ABC⊥侧面11AABB，交线为AB，CD平面ABC，∴CD⊥平面11AABB．∵AP平面11AABB，∴CDAP⊥.∵11122442BPBBABAD===，∴2

2BPAD=．而122ABAA=，∴1RtABPRtAAD，从而1AADBAP=，∴11190AADAAPBAPAAP+=+=，∴1APAD⊥.又∵1CDADD=，CD平面1ACD，1AD平面1ACD，∴AP⊥平面1ACD．19.BMI指数

（身体质量指数，英文为BodyMassIndex，简称BMI）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI=体重（kg）/身高（m）的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI≥28时为肥胖.某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患

者，被调查者的频率分布直方图如下：（1）求被调查者中肥胖人群的BMI平均值；（2）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.()2PKk…0.0500.0100.0

01k3.8416.63510.828肥胖不肥胖合计高血压非高血压合计附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++【答案】（1）29.8=（2）填表见解析；有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关【解析

】【分析】（1）分别计算高血压和非高血压人群中各BMI值段的人数，然后用各BMI值段的人数乘以频率分布直方图每个对应表格的中点再求和，最后除以总人数则可得到平均值.（2）根据频率分布直方图，分别计算高血压人群、非高血压人群中肥胖和不肥胖的人数，填表，然后

计算观测值2K，对应给出的表格，得出结论.【详解】解：（1）根据频率分布直方图，200名高血压患者中，BMI值在)28,30的人数为0.1220040=，在)30,32的人数为0.05220020=，在)32,34的人

数为0.025220010=1000名非高血压患者中，BMI值在)28,30的人数为0.0821000160=，在)30,32的人数为0.032100060=，在)32,34的人数为0.0

052100010=被调查者中肥胖人群的BMI平均值(40160)29(2060)31(1010)3329.84020101606010+++++==+++++（2）由（1）知，200名高血压患者中，有40201070++=人肥胖，20070130−=人不肥胖1000名非高血压

患者中，有1606010230++=人肥胖，1000230770−=人不肥胖肥胖不肥胖合计高血压70130200非高血压2307701000合计3009001200221200(70770230130)12.810.8282001000900300K−==有99.9%

的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.【点睛】本题考查频率分布直方图均值的计算，考查22列联表以及2K的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题.20.四棱锥SABCD−如图所示，其中四边形ABCD是直角梯形，ABAD⊥，ADDC⊥，SA⊥平面ABCD，12DA

DCAB==，AC与BD交于点G，25cos5SCA=，点M线段SA上.（1）若直线//SC平面MBD，求SMMA的值；（2）若1DA=，求点A到平面SCD的距离.【答案】（1）12；（2）33.【解析】【分析】（1）连接MG，直线//SC平面MBD，可推出//S

CMG，从而得SMCGMAAG=，而由已知条件可得12DCCGABAG==，进而可得SMMA的值；（2）在平面SAD内作ANSD⊥于点N，可得AN⊥平面SCD，于是求出AN的值就是点A到平面SCD的距离，结合已知条件在

RtSAD△利用面积法可求解.【详解】解：（1）连接MG.ABAD⊥，ADDC⊥，且AB，CD在同一平面内，//ABCD，设1DC=，2AB=，得2AGABGCDC==，//SC平面MBD，平面SAC平面MBDMG=，SC平面SAC，//SCMG，故12SMCGMAAG==；（2）

在平面SAD内作ANSD⊥于点NSA⊥平面ABCDDCSA⊥，又DCAD⊥，SAADA=，得DC⊥平面SAD.AN平面SAD，CDAN⊥.又SDCDD=，AN⊥平面SCD.25cos5SCA=，∴25sin5ASC=，又2AC=，10sin2ACSCASC==，则22SA=，而1

AD=，SAAD⊥，求得2262SDSAAD=+=，·33SAADANSD==，即点A到平面SCD的距离为33.【点睛】此题考查线面平行的性质和线面垂直的判定，考查了点到面的距离，考查了推理和计算能力，属于中档题.21.如图所示的几何体111ABCABC−中，四边形11AB

BA是正方形，四边形11BCCB是梯形，11//BCBC，且1112BCBC=，ABAC=，平面11ABBA⊥平面ABC.（1）求证：平面11ACC⊥平面11BCCB；（2）若4AB=，90BAC=，求几何体111ABCABC−的体积.【答案】（1）证明

见解析；（2）803.【解析】【分析】（1）首先取BC的中点D，连接AD，1CD，利用面面垂直的性质得到1BB⊥平面ABC，从而得到1BBAD⊥，易证ADBC⊥，从而得到AD⊥平面11BCCB，又因为11//ACAD得到11AC⊥平面11BCCB，再利用面面

垂直的判定得到平面11ACC⊥平面11BCCB.（2）分别计算直三棱柱111ABCABD−的体积和四棱锥11−CADCA的体积，再相加即可得到答案.【详解】（1）取BC的中点D，连接AD，1CD，四边形

11ABBA是正方形，1BBAB⊥，又平面11ABBA⊥平面ABC，平面11ABBA平面ABCAB=.1BB⊥平面ABC，AD平面ABC，1BBAD⊥ABC中，ACAB=，CDDB=，ADBC⊥，又1BCBBB

=∩，AD⊥平面11BCCB.四边形11BCCB是梯形，11//BCBC，且1112BCBC=，11BCBD=，四边形11BBCD是平行四边形，11//CDBB，又11//BBAA，11//CDAA，四边

形11ADCA是平行四边形.11//ACAD，11AC⊥平面11BCCB.又11AC平面11ACC，平面11ACC⊥平面11BCCB.（2）由（1）可得：三棱柱111ABCABD−是直三棱柱，4AB=，90BAC=，所以22ADBD=

=.直三棱柱111ABCABD−的体积()211224162V==，四边形11ADCA是矩形，CD⊥底面11ADCA.四棱锥11−CADCA的体积21322242233V==.几何体111ABCABC−的体积1232801633VV=+=+=.【点睛】本题第一问考查面

面垂直的证明，第二问考查组合体的体积，属于中档题.22.已知函数21()23ln2fxxxx=−−，211()322gxxxa=−−（aR）.（1）若0x，()fxm恒成立，求实数m的取值范围；（2）设函数()()2()Fxfxgx=−，若()Fx在[1,5]上有零点，求实

数a的取值范围.【答案】（1）33ln32m−−（2）1515[3ln3,3ln5]22−−【解析】试题分析：（1）0x，()fxm恒成立，即求()minfxm在()0,+上恒成立（2）函数()()()2Fxfxgx=−在1,5上有零点，等价于方程()()20f

xgx−=在1,5上有解.化简，得2143ln2xxxa−+=.设()2143ln2hxxxx=−+，研究单调性，画出图像即得解.试题解析：（1）由题意，得()fx的定义域为()0,+，()()()2133232xxxxfxxxxx+−−−==−−=.0x，∴()fx、()fx随x的变

化情况如下表：x()0,33()3,+()'fx-0+()fx单调递减极小值单调递增所以()()min333ln32fxf==−−.()fxm在()0,+上恒成立，∴33ln32m−−.（2）函数()()()2Fxfxgx=−在1,5上有零点，等价

于方程()()20fxgx−=在1,5上有解.化简，得2143ln2xxxa−+=.设()2143ln2hxxxx=−+.则()()()1334xxhxxxx=−−=−+，0x，()hx、()hx随x的变化情况如下表:x()0,11()1,33()3,+()hx+0-0+()h

x单调递增72−单调递减153ln32−单调递增且()712h=−，()1533ln32h=−，()1553ln52h=−，()()34513ln54ln5ln0hhe−=−=−.作出()hx在1,5上的大致图象（如图所示）.所以，当15153ln33ln522a−−时，21

43ln2xxxa−+=在1,5上有解.故实数a的取值范围是15153ln3,3ln522−−.点睛：函数有零点的问题可以转化为方程有交点的问题，进而可以把方程进行变量分离，研究新函数的图像即得解.