【文档说明】内蒙古海拉尔第二中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学（理）答案.docx，共(7)页，365.155 KB，由管理员店铺上传

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海拉尔第二中学第四次阶段考试数学试题一、选择题：DCBADAACDBCB二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.____.1yx=−14____721015．_____22(1)yx=−16．_______.3:13−三、解答题：17.(本小题满分1

2分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若3S3＝2S2＋S4，且a5＝32.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设bn＝1log2an·log2an＋2，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】解(1)由3S3＝2S2＋S4，可得2S3－2S2＝S4－S3.所以公比q＝2，又a5＝3

2，故an＝2n.4分(2)因为bn＝1log2an·log2an＋2＝121n－1n＋2，6分所以Tn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋29分＝1232－1n＋1－1n

＋2＝34－12n＋2－12n＋4.12分18．(本小题满分12分)已知ABC的内角,,ABC对边分别为,,abc，且()22sinsinsinsinsinACBAC−=−.（1）求角B的大小；（2）若ABC为锐角三角形，且

3b=，求ca−的取值范围.（1）解：由已知得222sinsinsinsinsinACBAC+−=，故由正弦定理得222acbac+−=，由余弦定理得2221cos22acbBac+−==，因为()0,B，

所以π3B=.（2）解：由（1）知3sin2B=，∴2sinsinsinacbACB===，∴2sin,2sincCaA==∴()()π2(sinsin)2sinsinsin3cos2sin.3caCACBC

CCC−=−=−+=−=−在锐角三角形ABC中，π3B=，∴ππ,62C，∴πππ,366C−−，∴()π2sin1,13C−−，∴ca−的取值范围为()1,1−.19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱111A

BCABC−中，11160,,2BACAACAABAAABAC=====,点O是BC的中点.（1）求证:BC⊥平面1AAO；（2）若11AO=，求直线1BB与平面11ACB所成角的正弦值.【解析】(1)11111111,,AACAABABACAAAAAA

BAACABAC=====.又O为BC中点，1,AOBCAOBC⊥⊥.又11,,AOAOOAOAO=平面1,AAOBC⊥平面1AAO.(2)60,2,BACABACO===为BC中点，2,

1,3BCBOCOAO====.又222111112,1,,AAAOAOAOAAAOAO==+=⊥.又由（1）知，1,BOAOBOAO⊥⊥，则以O为原点，分别以1,,OAOBOA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz−，

则()()()()13,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1ABCA−.()()1113,1,0,0,1,1CACAAB===−.设平面11ACB的一个法向量为(),,nxyz=，则30{0xyyz+=−=，令1x=，得()()111,3,3,3,0,1n

BBAA=−−==−.设1BB与平面11ACB的所成角为，则11·2321sin727·BBnBBn===20．(本小题满分12分)已知椭圆C：22221xyab+=()0ab的离心率22e=，左、右焦点分别是1F、2F，且椭圆上一动点

M到2F的最远距离为21+，过2F的直线l与椭圆C交于A，B两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）当1FAB以1FAB为直角时，求直线AB的方程；（3）直线l的斜率存在且不为0时，试问x轴上是否存在一点P使得OPAOPB=，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.【详解】（1）由题

意，椭圆C的离心率22e=，且椭圆上一动点M到2F的最远距离为21+，可得2222221ceaacabc==+=+=+，解得211acb===，所以椭圆的标准方程为2212xy+=.（2）由题意可知，当k不存在时，1FAB不符合题意.设直线ABl：()1ykx=−，

则1AFl：()11yxk=−+，∴()()111ykxyxk=−=−+，得()2211kxk+=−，∴22212,11kkAkk−−++∴()()()222222218211kkkk−+=++

，427610kk−−=，∴21k=，直线AB的方程为1yx=−+或1yx=−.（3）设(),0Pm，()11,Axy，()22,Bxy，ABl：()1ykx=−，()22122ykxxy=−+=∴()222

2124220kxkxk+−+−=，∴2122412kxxk+=+，21222212kxxk−=+，∵11APykxm=−，22BPykxm=−，所以()()()()1221120APBPyxmyxmkkxmxm−+−+==−−，∴()1221120yxyxmyy+−+=，∴()()12

12220kxxkmkxxkm−+++=，∴24kmk=，2m=，∴()2,0P.21．(本小题满分12分)已知()3sinfxxaxx=+−.（1）当16a=时，求证：函数()fx在R上单调递增；（2）若()fx只有一个零点，求a的取值范围.（1）当16a=时，()3

1sin6fxxxx=+−，()21cos12fxxx=+−，()sinfxxx=−，()1cos0fxx=−，所以()sinfxxx=−在R上单调递增，且()00f=，所以当0x时，()0fx；当0

x时，()0fx，所以()21cos12fxxx=+−在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，且()00f=，所以()()00fxf=，所以()31sin6fxxxx=+−在R上单调递增；（2）因为()()()33sinsinfxxaxx

xaxxfx−=−−+=−+−=−，所以()fx为奇函数，()00f=，要证明()fx只有一个零点，只需证明()fx在()0,+上无零点，由（1）知：当0x时，()()00fxf=，故31sin6xxx−−，令()3016fxax−

，则16a时，()fx无零点，符合题意，当0a时，()2cos31cos10fxxaxx=+−−，故()fx在()0,+上单调递减，则()()00fxf=，()fx无零点，符合题

意，当106a时，()2cos31fxxax=+−，()sin6fxxax=−+，()cos6fxxa=−+，所以()fx在()0,π上单调递增，且()0610fa=−，()π610fa=+，故存在唯一()00,πx，使得()00fx

=，所以()fx在()00,x上单调递减，在()0,πx上单调递增，当()00,xx时，()()00fxf=，可得()fx在()00,x上单调递减，所以()()000fxf=，取πxk=，Nk时，令()

()3210fxaxxxax=−=−，可得1xa，即1πka，且Nk时，()0fx，由零点存在性定理，()fx在()0,x+上至少存在一个零点，不符合题意，综上所述：a的取值范围为(1,

0,6−+(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线:3lyxm=+．以坐标原点为极点、以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程

为4cos=．（1）写出圆C的直角坐标方程及对应的参数方程；（2）当直线l经过点()1,0P时，设l与圆C的两个交点为A，B，求11PAPB+的值．解：（1）由4cos=得24cos=，所以圆C的直角坐标方程为2240xyx+−=．圆C的参数方程为22cos2si

nxy=+=（为参数）（2）易知直线l的倾斜角为π3，直线l的参数方程为11232xtyt=+=（t为参数）．把直线l的参数方程代入圆C的普通方程，得230tt−−=．设A，B对应的参数为1t，2t，则121tt+=，123tt=−．所以()212121212121

2121241111133ttttttttPAPBtttttttt+−+−+=+====．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|－|2x－a|(a>1，且a∈R)．(1)当a＝2时，解不等式f(

x)≥12x；(2)若f(x)的最大值为M，且正实数b，c满足1b＋2c＝a－M，求2b－1＋1c－2的最小值．【答案】解(1)由a＝2，得f(x)＝|2x－1|－|2x－2|，①当x≤12时，f(x)＝－1≥12x⇒x≤－2；②当12

<x<1时，f(x)＝4x－3≥12x⇒67≤x<1；③当x≥1时，f(x)＝1≥12x⇒1≤x≤2，综上所述，不等式的解集为x∈(－∞，－2]∪67，2.4分(2)由绝对值三角不等式可得|2x－1|－|2x－a|≤|(2x－1)－(2x－a)|＝|a－1|＝a－1，

∴1b＋2c＝a－M＝a－(a－1)＝1⇒1b＋2c＝1⇒b＝cc－2，∵b>0，c>0，∴c>2，6分∴2b－1＋1c－2＝2cc－2－1＋1c－2＝c－2＋1c－2≥2(c－2)×1c－2＝2，∴2b－1＋1c－2的最小值为2，当且仅当c－2

＝1c－2，即c＝3时取等号.10分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com