【文档说明】陕西省西安中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含答案.docx，共(10)页，678.701 KB，由小赞的店铺上传

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西安中学2020～2021学年度第一学期期末考试高二理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线214yx=的焦点坐标是()A.()1,0B.()0,1C.()2,0D.()0,22.设直线

1l、2l的方向向量分别为()1,2,2a=−，()2,3,bm=−，若12ll⊥，则m等于()A.1B.2C.12D.33.“若0x=或1x=，则20xx−=”的否命题为()A.若0x=或1x=，则20xx−B.若20xx−=，则0x

=或1x=C.若0x或1x，则20xx−D.若0x且1x，则20xx−4.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是()①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；③若ab，则ab；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A.0

B.1C.2D.35.过抛物线E：22yx=焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则AB=()A.2B.52C.3D.46.函数()21ln2fxxx=−的单调递减区间为()A.()1,1−B.(),1−

C.()0,1D.()1,+7.已知双曲线C的一条渐近线的方程是：2yx=，且该双曲线C经过点()2,2，则双曲线C的方程是()A.2221714xy−=B.2221714yx−=C.2214xy−=D.2214yx−=8.对于空间任意

一点O和不共线的三点A，B，C，且OPxyOBzOAOC=++(),,xyzR，则2x=，3y=−，2z=是P，A，B，C四点共面的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.椭圆2222:1(0)x

yCabab+=的右焦点为F，若存在直线yt=与椭圆C交于A，B两点，使得ABF为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率e=()A.22B.21−C.51−D.1210.已知函数()()21fxksinxxkR=++，当()(),22,k

−−+时，()fx在()0,2内的极值点的个数为()A.0B.1C.2D.311.如图，已知正方体1111ABCDABCD−，Q是平面ABCD内一动点，若1DQ与1DC所成角为4，则动点Q的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆12.双曲线()2222

:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的直线与C的左支交于M，N两点，若()2121·0FFFMMF+=，222FNFM=，则C的渐近线方程为()A.33yx=B.3yx=C.22yx=D.2y

x=二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“0xR，2002390xax−+”为假命题，则实数a的取值范围是．14.在空间直角坐标系中，()()1,1,1,2,3,4AB，平面BCD的一个法向量是()1,2,1−，则点A到平面BCD的距离为．15.过椭圆

221164xy+=内一点()2,1M引一条弦，使弦被M平分，则此弦所在直线方程为．16.设()()()2222,,44abbFabaebabR=−+−+，则(),Fab的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.

(本题满分10分)()1求焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程；()2求经过点()2,4P−−的抛物线的标准方程．18.(本题满分12分)如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABC

D是边长为2的正方形，且PAD为等边三角形．()1求证：PACD⊥；()2求二面角DPAC−−的正弦值．19.(本题满分12分)已知函数()313fxxaxb=−+，在点()()1,1Mf处的切线方程为93100xy+−=，求：(

)1实数a，b的值；()2函数()fx的单调区间以及在区间0,3上的极值．20.(本题满分12分)如图1，在MBC中，24BMBC==，BMBC⊥，,AD别为棱BM，MC的中点，将MAD沿AD折起到PAD的位置，使90PAB

=，如图2，连结PB，PC()1求证：平面PAD⊥平面ABCD；()2线段PC上是否存在一点E，使二面角EADP−−的余弦值为31010？若存在，求出PEPC的值；若不存在，请说明理由．21.(本题满分12分)在平面直角坐标系

xOy中，动点P与两定点()()2,0,2,0AB−连线的斜率之积为12−，记点P的轨迹为曲线C()1求曲线C的方程；()2若过点()2,0−的直线l与曲线C交于M，N两点，曲线C上是否存在点E，使得四

边形OMEN为平行四边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由.22.(本题满分12分)已知函数()()xfxaxeaR=−，()lnxgxx=．()1求函数()fx的单调区间()2若()00,x+，使不等式()

()xfxgxe−„成立，求a的取值范围．西安中学2020～2021学年度第一学期期末考试高二理科数学答案一、选择题：(5分×12=60分)题号123456789101112答案BBDBCCDBBCCB二、填空题(5分×4=20分)13.22,22−14.615.240x

y+−=16.21−三、解答题(共70分，17题10分，其余均为12分)17.()1解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为22221xyab−=．由题意，得22221254bcacab===+解得8a=，10.6cb==．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为2216436xy−=；…

……………………….5分()2解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：22ypx=−或22xpy=−在第一种情形下，求得抛物线方程为：28yx=−；在第二种情形下，求得抛物线方程为：2xy=−………………………….5分18.(1)证明：四边形ABCD为正方形，所

以CDAD⊥，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，CD⊥平面ADP又PA平面ADP，所以PACD⊥。………………………….4分(2)解：取AD中点记为O，连结BO.由于PAD为等边三角形，O为AD中点，POAD⊥又平面PAD⊥平

面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，所以PO⊥平面ABCD，在平面ABCD内过O作直线平行于AB，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，……………………….6分则()10,0,A，()03,0,P，(),10,0D−，(

),10,2C−()1,0,3AP=−，()2,2,0AC=−平面PAD的一个法向量为()0,1,0m=．………………………….8分设平面PAC的一个法向量()222,,nxyz=，则有22220203

2zAPnxACnxy=−==−=++，令21x=，则31,1,3n=………………………….10分则有121cos,731113mnmnnmn===++，则二面角DPAC

−−的正弦值277………………………….12分19.解：()1因为在点()()1,1Mf处的切线方程为93100xy+−=，所以切线斜率是3k=−，且()9131100f+−=，求得()113f=，即点1

1,3M，………………………….2分又函数()313fxxaxb=−+，则()2'fxxa=−，所以依题意得()()11311133fafab=−=−=−+=，解得44ab=

=．………………………….5分()2由()1知()31443fxxx=−+所以()()()2'422fxxxx=−=+−，令()'0fx=，解得2x=或2x=−，当()'02fxx或2x−；当的单调递增区间是(),2−，

()2,+，单调递减区间是()2,2−，………………………….8分又0,3x，所以当x变化时，()fx和()'fx变化情况如下表：x0()0,22()2,33()fx−0+0()fx4减极小值43−增1………………………….11分由表可知，当2x=时，()fx

有极小值43−………………………….12分20.(Ⅰ)证明：因为A，D分别为MB，MC中点，所以//ADBC．因为BMBC⊥，所以.BMAD⊥所以PAAD⊥．因为90PAB=，所以PAAB⊥．又因为ABADA=，AB，AD平面

ABCD，所以PA⊥平面ABCD．又因为PA平面PAD，所以平面PAD⊥平面.ABCD………………………….4分(Ⅱ)解：因为PAAB⊥，PAAD⊥，90PAB=，所以AP，AB，AD两两互相垂直．以A为

坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，假设线段PC上存在一点E，使二面角EADP−−的余弦值为31010．设()000,,Exyz，()01PEPC=，则()01PEPC=，即()()000,,22,2,2PExyzPC=−==−．所以()

2,2,22E−，………………………….6分()0,1,0AD=，()2,2,22AE=−．平面PAD的一个法向量为(1,m=0，0)．设平面ADE的一个法向量()222,,pxyz=，则有()2222022220ADpyAEpxyz

===++−=，令2z=，则(1,p=−0，)．………………………….8分若二面角EADP−−的余弦值为31010，则有221310cos,10(1)mpmpmp−===−+，………………………….10分由01

，解得14=．故线段PC上存在一点E，使二面角EADP−−的余弦值为31010，且14PEPC=．………………………….12分21.解：()1设(),Pxy，12PAPBkk=−，则，1222yyxx=−+−整理得()221,242

xyx+=曲线C的方程为()221242xyx+=………………………….4分()2设()11,Mxy，()22,Nxy，由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：2xmy=−，代入椭圆方程整理得：()2222220mymy+−−=，0，12

2222myym+=+，()1212242222xxmyym+=+−=−+．………………………….8分假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，其充要条件为OEOMON=+．则点E的坐标为()1212224222,.,.22m

xxyyEmm++−++………………………….10分把E的坐标代入得()221,242xyx+=可得：440m−=．解得22m=．直线l的方程为220xy−=………………………….12分22.（1）(),x

fxaex=−R当0a时，()0,()fxfx在R上单调递减；当0a时，令()0fx=，得lnxa=由()0fx，得()fx的单调递增区间为(,ln)a−由()0fx，得()fx的单调递减区间为(ln,)a+综上，

当0a时，()fx的单调递减区间为R；当0a时，()fx的单调递增区间为(,ln),()afx−的单调递减区间为(ln,)a+………………………….5分（2）0(0,)x+，使不等式()()xfxgxe−，则lnxaxx，即2lnxax.设2ln()xhxx=，则问题转化为

max2ln()xax，………………………….6分由312ln()xhxx−=令()0hx=，则xe=.………………………….8分当x在区间(0,)+内变化时，()hx和()hx变化情况如下表：x(0,)ee(,)e+()hx+0−()hx单调递增极大值12

e单调递减由上表可知，当xe=时，函数()hx有极大值，即最大值为12e，1,2ae−.………………………….12分