【文档说明】陕西省西安中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试卷 含解析.doc，共(18)页，1.345 MB，由小赞的店铺上传

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西安中学2020～2021学年度第一学期期末考试高二文科数学一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1.命题“对任意的3,210xRxx−+”的否定是（）A.不存在3,210xRxx−+B.

存在3,210xRxx−+C.存在3,210xRxx−+D.对任意的3,210xRxx−+————C分析：根据全称命题的否定是特称命题可得答案.解答：命题“对任意的3,210xRxx−+”的否定是“存在3,210xRxx−+”.故

选：C.2.“pq为真”是“p为假”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件————B分析：根据两者之间的推出关系可得正确的选项.解答：若p为假，则p为真，所以pq为真，故“p为假”能推出“pq为真”若q为真，p为假，此时pq为真，但p

为真．故“pq为真”推不出“p为假”，所以“pq为真”是“p为假”的的必要不充分条件．故选：B.点拨：本题考查复合命题真假的判断，一般地，pq的真假判断为“一真必真，全假才假”，pq的真假判断为“全真才真，一假必假”，p的真

假判断是“真假相反”．3.若2(,)1abiabi=++R，则20192020ab+=（）A.1−B.0C.1D.2————D分析：整理21abii=++可得：1iabi−=+，问题得解解答：因为21abii=++，所以1iabi−=+，所以1,1ab==−，所以20192

0202ab+=，故选：D.点拨：本题主要考查了复数的除法运算及复数相等知识，属于基础题.4.与双曲线22154xy−=的焦点相同，且长轴长为43的椭圆的标准方程为（）A.22154xy+=B.221123xy+=C.221167xy+=D.2214836xy+=————B分析：求出

双曲线的焦点坐标，结合长轴长即可得到椭圆的标准方程.解答：双曲线22154xy−=的焦点为()()3,0,3,0−，设椭圆标准方程为()22221,0xyabab+=43,,2,3323acab====，所以椭圆的标准方程为221123xy+=.故选：B点拨：求得双曲线的焦点坐标

是解题关键5.已知函数()322fxxx=−，13,x−，则下列说法不正确．．．的是（）A.最大值为9B.最小值为3−C.函数()fx在区间1,3上单调递增D.0x=是它的极大值点————C分析：利用导数分析函数()yfx=在区间1,3−上的单调性，求得该函数的极值与最值，由此可判

断各选项的正误.解答：()322fxxx=−，则()()23434fxxxxx=−=−.令()0fx，可得0x或43x；令()0fx，可得403x.当13,x−时，函数()yfx=在区间)1,0−,4,33上均为增函数，在区间40

,3上为减函数，C选项错误；所以0x=是函数()yfx=的极大值点，D选项正确；因为()00f=，()327299f=−=，()11213f−=−−=−，46416322327927f=−=−，所以，函数(

)yfx=在区间1,3−上的最大值为9，最小值为3−，A、B选项正确.故选：C.点拨：本题考查利用导数判断函数的单调性，以及利用导数求解函数的极值点与最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6.已知双曲线22213xya−=，(0)a的一个焦点

与抛物线28yx=的焦点重合，则该双曲线的渐近线是（）A.12yx=B.3yx=C.33yx=D.32yx=————B分析：先求出抛物线的焦点坐标，得出双曲线方程，再由双曲线的方程求解渐近线方程即可．解答：因为2

8yx=的焦点（2，0），所以a2+3＝4,∴a2＝1，∴双曲线方程为：2213yx−=．∴渐近线方程为：3yx=．故选：B7.函数cossinyxxx=−在下面哪个区间内是减函数（）A.3,22

B.(),2C.35,22D.()2,3————D【分析】求导sinyxx=−，由0y求解.解答：因为函数cossinyxxx=−，cossincossinyxxxxxx=−−=−，当23x时，0y，所以函数在()2,3

上是减函数，故选：D8.已知函数()lnfxxx=+，则下列选项正确的是（）A.()()()2.7feffB.()()()2.7ffefC.()()()2.7feffD.()()()2.7ffef————D分析：求导，判断(

)fx在()0,+上递增求解.解答：因为函数()()ln0fxxxx=+，所以()11102fxxx=+，所以()fx在()0,+上递增，又因为2.7e，所以()()()2.7ffef，故选：D9.已知椭圆22

22:1(0)xyEabab+=的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线:340lxy−=交椭圆E于,AB两点．若4AFBF+=，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A.3(0,]2B.3(0,]4C.3[,1)2D.3[,1)4————A【分

析】由题意求出a的值与b的取值范围，计算离心率e的取值范围即可．解答：解：设椭圆的左焦点为1F，半焦距为c，连结1AF，1BF，则四边形1AFBF为平行四边形，所以11||||||||4AFBFAFBF+=+=，根据椭圆定义，有11||||||||4AFAFBFB

Fa+++=，所以84a=，解得2a=．因为点M到直线l：340xy+=的距离不小于45，即44,155bb≥≥，所以21b，所以2221,41acc−−≥≥，解得03c，所以302ca，所以椭圆

的离心率的取值范围为30,2．故选：A点拨：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知函数32()31fxaxx=−+，若()fx存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围是A.()2,+B.()

1,+C.(),2−−D.(),1−−————C试题分析：当0a=时，2()31fxx=−+，函数()fx有两个零点33和33−，不满足题意，舍去；当0a时，2()36fxaxx=−，令()0fx=，得0x=或2xa=．(,0)x−时，()0fx；

2(0,)xa时，()0fx；2(,)xa+时，()0fx，且(0)0f，此时在(,0)x−必有零点，故不满足题意，舍去；当0a时，2(,)xa−时，()0fx；2(,0)xa时，()0fx；(0,)x+时，()0fx

，且(0)0f，要使得()fx存在唯一的零点0x，且00x，只需2()0fa，即24a，则2a−，选C．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．11.如图所示点F是抛物线28yx=的焦点，点A、B分别在抛物线28yx=及圆224120xyx+

−−=的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是（）A.(6,10)B.(8,12)C.[6,8]D.[8,12]————B分析：根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求

得B点横坐标的取值范围，即可由FAB的周长求得其范围.解答：抛物线28yx=，则焦点()2,0F，准线方程为2x=−，根据抛物线定义可得2AAFx=+，圆()22216xy−+=，圆心为()2,0，半径为4，点A、B分别在抛物线28yx=及圆

224120xyx+−−=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.点A、B分别在两个曲线上，AB总是平行于x轴，因而两点不能重合，不能在x轴上，则由圆心和半径可知()2,6Bx，则FAB的周长为246

ABABAFABBFxxxx++=++−+=+，所以()68,12Bx+，故选：B.点拨：本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.12.设()fx是定义在R上的函数，其导函数为()fx，若()

()1,(0)2021fxfxf−=，则不等式()20201xfxe+(e为自然对数的底数)解集为（）A.()(),00,−+B.()2020,+C.()0,+D.()(),02020,−+————C分析：令(

)()1xfxgxe−=，根据()()1fxfx−，利用导数法得到()gx在R上递增，再将()20201xfxe+变形为()12020xfxe−，即()()0gxg，利用单调性的定义求解.解答：令()()1xfxgxe−=，因为()()1

fxfx−，所以()()()10xfxfxgxe−+=，所以()gx在R上递增，又(0)2021f=，所以()()0012020gf=−=，不等式()20201xfxe+，转化为()12020xfxe−，即()()0gxg，所

以0x，故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分)13.设z＝11i+＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.————22分析：根据复数除法运算法则，结合复数模公式进行求解即可.解答：1111111(1)(1)2222iz

iiiiiiii−=+=+=−+=+++−,22112()()222z=+=.故答案为：22点拨：本题考查了复数除法的运算法则和复数模的计算，考查了数学运算能力.14.命题“0xR，满足不等式20040xmx++”是假命题，则m的取值范围为_____

_____.————4,4−分析：根据命题“0xR，满足不等式20040xmx++”是假命题，转化为xR，不等式240xmx++，恒成立，利用判别式法求解.解答：因为命题“0xR，满足不等式20040xmx++”是假命题，所以xR，不等式

240xmx++，恒成立，则2160m=−，解得44m−，所以m的取值范围为4,4−，故答案为：4,4−15.如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为______

______米.————9625（或3.84）分析：以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设所求抛物线的方程为22xpy=−，由题意可得出点()10,4A−−在该抛物线上，可求得p的值，然后将2x=代入抛物线

的方程，进而可求得结果.解答：以抛物线的顶点O为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为22xpy=−，由题意可知点()10,4A−−在该抛物线上，所以，()10024p=

−−，解得252p=，所以，抛物线的方程为225xy=−，当2x=时，2242525y=−=−，因此，最长的支柱的长度为49642525−=（米）.故答案为：9625（或3.84）.点拨：利用解析法解决平面几何问题的步骤如下：（1）建立合适的坐标系；（2）将几何元素用

代数形式加以表示；（3）将几何关系转化为数学运算；（4）将数学结果转化为实际结论.16.已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．————(－1,0)根据函

数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边有f′(x)＞0，右边有f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范

围是(－1,0)．三、解答题(共6小题，共70分）17.（1）已知椭圆()222210xyCabab：+=的离心率为22，点()2,2在C上.求椭圆C的方程；（2）求与椭圆224520xy+=有相同的焦点，且顶点

在原点的抛物线方程.————（1）22184xy+=；（2）24yx=.分析：（1）由离心率、点的坐标代入椭圆方程和222abc、、间的关系列出方程组可得答案；（2）求出椭圆的焦点坐标，设出抛物线方程，根据焦点坐标可得答案.解答：（1）由已知得2222222421caab

abc=+=−=，解得2284ab==，所以椭圆的方程为22184xy+=.（2）由224520xy+=得22154xy+=，所以225,4ab==，椭圆的焦点坐标为()()1,0,1,0−

，所以抛物线的焦点坐标为()()1,0,1,0−，当抛物线的开口向右时设抛物线的方程为22(0)ypxp=，所以12p=，得2p=；当抛物线的开口向左时设抛物线的方程为22(0)ypxp=−，所以12p−=−，得2

p=，综上所述，抛物线的方程为24yx=.点拨：本题考查了椭圆的方程的求法、抛物线方程的求法，关键点是熟练掌握椭圆的标准方程、抛物线的标准方程和它们的简单的几何意义，考查了学生的运算能力.18.设关于

x的不等式254xx−的解集为A，不等式()()22202xaxaa−++的解集为B.（1）求集合A，B；（2）若xA是xB的必要条件，求实数a的取值范围.————（1）1,4A=，{|2}Bxxa=；（2）2,4.分析：（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A，B即

可.（2）根据xA是xB的必要条件，由BA求解.解答：（1）不等式254xx−，化为2540xx−+，因式分解为()()140xx−−，解得14x，解集14A=，；不等式()2220xaxa−++，化为()()20xxa−−，当2a时，解集2Ma=，；当2a=时，

解集2M=，综上，不等式()()22202xaxaa−++的解集{|2}Bxxa=.（2）因为xA是xB的必要条件，所以BA，24a，实数a的取值范围是24，.19.已知mR，命题p：方程22117xymm+=−

−表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：“方程2222(26)14260xyxmymm+−+−+−+=表示圆心在第一象限的圆”.（1）若命题p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和q均为假命题，求实数m的取值范围.————（1）14m（2）(,1][4,)−+分析

：（1）根据方程表示焦点在y轴上的椭圆，列出不等式组即可得到m的范围；（2）先求出命题p和q为真命题时m的范围，然后分别取补集再取交集即可得到答案.解答：（1）若命题p是真命题，则107071mmmm−−−−，解得14m；（2）(

)22222614260xyxmymm+−+−+−+=化为()()2213816xymm−++−=−∵“方程()22222614260xyxmymm+−+−+−+=表示圆心在第一象限的圆.”为真命题∴308160mm−−，解得23m，即:23qm.p为假命题则1m

或4mq为假命题则2m或3m由p和q均为假命题，∴1m或4m由p和q均为假命题，∴1m或4m∴实数m的取值范围为(),14,−+点拨：本题考查命题真假判断的应用，考查椭圆的标准方程和圆的一般方程的应用，

考查推理和计算能力.20.函数1()ln1fxxx=+−.（1）求曲线()yfx=在点(2,(2))f处的切线方程；（2）求()fx在区间1,ee上的最大值.————（1）44ln240xy−+−

=；（2）2e−.【分析】（1）先对函数求导，根据导数的几何意义，求出曲线在点(2,(2))f处的切线斜率，进而可得切线方程；（2）对函数求导，判断其在给定区间的单调性，计算端点值比较大小，即可得出结果.解答：（1）因为1()ln1fxx

x=+−的定义域为()0,x+，所以()22111xfxxxx−=−+=，因此()2212124f−==，即曲线()yfx=在点(2,(2))f处的切线斜率为14.又()12ln22f=−，所以曲线()yfx=在点(2,(2))f处的切线

方程为11ln2(2)24yx−−=−，即44ln240xy−+−=；(2)因为()22111xfxxxx−=−+=，1,xee，所以当1,1xe时，()210xfxx−=，即()fx单调递减；当()1,xe时，()210xfxx−=，即

()fx单调递增；所以()()min10fxf==；又12fee=−，()1fee=，而12ee−，所以()fx在区间1,ee上的最大值为max1()2fxfee==−.点拨：思路点睛：利用导数的方法求函数的最值时，一般需要先对

函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，求出给定区间内的极值以及端点值，比较大小，即可求解.21.已知中心在原点的椭圆()222210xyCabab+=：的一个焦点为1(3,0)F，点(4,)(0)Myy为椭圆上一点，1M

OF△的面积为32.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于AB、两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由.————（1

）221189xy+=；（2）存在，110244yx=.分析：（1）根据三角形面积公式，结合椭圆中,,abc的关系进行求解即可；（2）根据题意设出直线l的方程与椭圆的方程联立，结合以线段为直径的圆的性质、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.解答：解：（1）13

2MOFS=3322y=得1y=M在椭圆上，221611ab+=①1F是椭圆的焦点229ab=+②由①②解得：2218,9ab==方程：221.189xy+=（2）OM的斜率14k=，设l的方程为14yxm=+，联立方程组22141189yxmxy

=++=整理得22916890.ymym−+−=△()()221649890mm=−−，解得9292,44m−设AB、两点的坐标为1122(,)(,)xyxy，则212121689,.99mmyyyy−+==以AB为直径的圆经过原点，所以有0OAOB=，即

12120.xxyy+=212121212(44)(44)1616()16xxymymyymyym=−−=−++212121212121616()16xxyyyymyymyy+=−+++2222212121

7(89)161716()1616099mmyymyymm−=−++=−+=解得1024m=9292,44−经检验满足，所求l的方程为110244yx=22.已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝lnxx，

x∈(0，e]，其中e是自然常数，aR.（1）讨论a＝1时，函数f(x)的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f(x)>g(x)＋12；（3）是否存在正实数a，使()fx的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.————（1）

当01x时，()fx单调递减；当1xe时，()fx单调递增；最小值1；（2）证明见解析；（3）存在，2ae=.分析：(1)根据f(x)＝x－lnx，求导得11()1xfxxx−=−=，分别令f′(

x)<0，f′(x)>0求解单调性和极值.(2)要证f(x)>g(x)＋12，即证[f(x)]min－[g(x)]max>12，由(1)知f(x)在(0，e]上的最小值为1，再利用导数法求得[g(x)]max即可.(3)假设存在正实数a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值

3，求导11()axfxaxx−=−=，分0<1a<e，1a≥e讨论求解.解答：(1)因为f(x)＝x－lnx，所以11()1xfxxx−=−=，所以当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当1<x≤e时，f′(x)>0时，此时f(x)单调递增．∴f(x)的

极小值为f(1)＝1.(2)∵f(x)的极小值为1，∴f(x)在(0，e]上的最小值为1，即[f(x)]min＝1.又g′(x)＝21lnxx−，∴当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)在(0，e]上单调递增．∴[g(x)]max＝g(e)＝112e，∴[f(x)]min－

[g(x)]max>12，∴在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋12.(3)假设存在正实数a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，则11()axfxaxx−=−=.①当0<1a<e时，f(x)

在(0，1a)上单调递减，在(1a，e]上单调递增，[f(x)]min＝f(1a)＝1＋lna＝3，a＝e2，满足条件；②当1a≥e时，f(x)在(0，e]上单调递减，[f(x)]min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝4e(舍去)，所以，此时f(x)无最小值．综上，存在实数a＝

e2，使得当x∈(0，e]时f(x)有最小值3.点拨：方法点睛：不等式问题.（1）证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．（2）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．